Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

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114 Chapitre 2. Variables aléatoires discrètes Exercice 2.35 (Le dé dyadique) Cet exercice est corrigé en annexe (sujet de novembre 2010). Exercice 2.36 (Répartition des tailles) Cet exercice est corrigé en annexe (sujet de novembre 2010). Exercice 2.37 (Poisson en vrac) Cet exercice est corrigé en annexe (sujet de novembre 2010). Exercice 2.38 (Jeu d’argent) Cet exercice est corrigé en annexe (sujet de décembre 2010). Exercice 2.39 (Rubrique à brac) Cet exercice est corrigé en annexe (sujet de décembre 2010). Exercice 2.40 (Ascenseur pour l’échafaud) Cet exercice est corrigé en annexe (sujet de décembre 2010). Exercice 2.41 (Systèmes de contrôle) Cet exercice est corrigé en annexe (sujet de novembre 2011). Exercice 2.42 (Kramer contre Kramer) Cet exercice est corrigé en annexe (sujet de novembre 2011). Exercice 2.43 (Loterie) Cet exercice est corrigé en annexe (sujet de novembre 2011). Exercice 2.44 (Dé coloré) Cet exercice est corrigé en annexe (sujet de décembre 2011). Exercice 2.45 (Beaujolais nouveau) Cet exercice est corrigé en annexe (sujet de décembre 2011). Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités
Chapitre 3 Variables aléatoires à densité Introduction Contrairement au chapitre précédent, on considère ici des variables aléatoires à valeurs dansÊ ou un intervalle deÊ. Parmi celles-ci, seules celles dont la loi admet une représentation intégrale nous intéresseront : on parle alors de variables à densité, ou absolument continues. On pourra ainsi retrouver l’ensemble des notions vues pour les variables discrètes. 3.1 Densité d’une variable aléatoire Dans toute la suite, (Ω,F,È) désigne un espace probabilisé. On commence par définir la notion de variable aléatoire de façon très générale, valable en particulier pour les variables discrètes. Rappelons qu’un intervalle I deÊest un ensemble d’un seul tenant, c’est-à-dire de la forme I = [a,b] ou I =]a,b] ou I = [a,b[ ou I =]a,b[, avec a et b deux réels, voire −∞ et/ou +∞ à condition d’ouvrir les crochets. Définition 3.1 (Variable aléatoire) Une application X : →Ê (Ω,F,È) ω ↦→ X(ω) est une variable aléatoire si pour tout intervalle I deÊ: {X ∈ I} := X −1 (I) = {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ I} ∈ F. Commençons par remarquer que siX prend ses valeurs dans un sous-ensemble au plus dénombrable X deÊ, on retrouve la définition 2.1 d’une variable discrète puisqu’alors : {X ∈ I} = {X = xi} ∈ F, i : xi∈I car la tribu F est stable par union au plus dénombrable. Réciproquement, si I = {xi} = [xi,xi], alors suivant la définition ci-dessus : et la boucle est bouclée. {X ∈ I} = {X = xi} ∈ F, Expliquons en deux mots la définition générale ci-dessus. L’intérêt de supposer qu’un événement appartient à F est bien sûr d’être assuré qu’on pourra en calculer la probabilité. Mais dans le
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Université Rennes 2 Licence MASS 2
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Chapitre 1 Espaces probabilisés In
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1.4. Exercices 13 1.4 Exercices Exe
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1.5. Corrigés 25 Exercice 1.53 (Ut
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Annexe A Annexes A.1 Annales Univer
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Bibliographie [1] Nicolas Bouleau.
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