Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

2.7. Corrigés 113
Exercice 2.30 (Test sanguin)
1. Soit X le nombre de soldats porteurs de cette maladie. Puisque les soldats sont porteurs ou
non de la maladie indépendamment les uns des autres,X suit une loi binomialeB(500,1/1000).
Ainsi sa moyenne vaut-elle E[X] = 500×1/1000 = 1/2.
2. Dans ces conditions, on peut approcher la loi de X par une loi de Poisson de même moyenne,
c’est-à-dire X ≈ P(1/2).
3. La probabilité que le test soit positif est, en utilisant la loi binomiale :
È(X ≥ 1) = 1−È(X = 0) = 1− 1− 1
500 ≈ 0.3936
1000
Si on utilise l’approximation par la loi de Poisson, on trouve :
È(X ≥ 1) = 1−È(X = 0) = 1−e −1
2 ≈ 0.3935
Donc, pour cette probabilité, l’erreur d’approximation est très faible, de l’ordre de 10 −4 .
4. On cherche cette fois une probabilité conditionnelle, à savoir :
È(X ≥ 2|X ≥ 1) =È({X ≥ 2}∩{X ≥ 1})
È(X ≥ 1)
avec, toujours par l’approximation de Poisson :
È(X ≥ 2) = 1−(È(X = 0)+È(X = 1)) = 1−
d’où
È(X ≥ 2|X ≥ 1) = 1−e−1 2
1− 3
2e−12 ≈ 0.229
=È(X ≥ 2)
È(X ≥ 1) ,
e −1
2 + 1
2 e−1
2 ,
5. Si Jean est malade, la probabilité qu’il y ait au moins une autre personne malade est par
contre la probabilité que parmi 499 personnes, au moins une soit atteinte. En d’autres termes,
on est ramené au calcul de la question 3 en remplaçant 500 par 499 :
p = 1− 1− 1
499 ≈ 0.3930
1000
6. Le raisonnement de la question précédente s’applique mutatis mutandis. En notant pn la
probabilité, en fonction de n, qu’une des personnes restantes au moins soit malade, on obtient
pn = 1− 1− 1
500−n ≈ 1−e
1000
−500−n
1000
Exercice 2.31 (Boules blanches et noires)
Cet exercice est corrigé en annexe (sujet de décembre 2009).
Exercice 2.32 (Défaut de fabrication)
Cet exercice est corrigé en annexe (sujet de décembre 2009).
Exercice 2.33 (Recrutement)
Cet exercice est corrigé en annexe (sujet de décembre 2009).
Exercice 2.34 (Lancer de dé)
Cet exercice est corrigé en annexe (sujet de novembre 2010).
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2