Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

2.7. Corrigés 111
Exercice 2.26 (Somme de variables poissoniennes)
1. Soit n ∈Æfixé. Puisque X1 et X2 sont à valeurs dansÆ, leur somme est égale à n si et
seulement si il existe k ∈ {0,...,n} tel que X1 = k et X2 = (n − k). C’est exactement ce
que traduit l’égalité : {X = n} = n k=0 {X1 = k,X2 = n−k}.
2. X est à valeurs dansÆ, donc pour connaître sa loi il suffit de calculerÈ(X = n) pour tout
n ∈Æ, ce qui donne :
n
n
È(X = n) =È
{X1 = k,X2 = n−k} = = k,X2 = n−k),
k=0È(X1
k=0
et on applique l’indépendance de X1 et X2 pur poursuivre le calcul :
È(X = n) =
n
k=0È(X1 = k)È(X2 = n−k) =
n
k=0
e −λ1 λk 1
k!
λn−k
2
e−λ2
(n−k)! ,
et la fin du calcul glisse comme un pet sur une toile cirée grâce à la formule du binôme :
È(X = n) = e−(λ1+λ2)
n!
On en déduit que X ∼ P(λ1 +λ2).
n
k=0
n
λ
k
k 1λ n−k
2 = e−(λ1+λ2) (λ1 +λ2) n
3. Généralisation : soit n variables indépendantes X1,...,Xn suivant des lois de Poisson de
paramètres respectifs λ1,...,λn, avec λi > 0 pour tout i ∈ {1,...,n}, alors la variable
X = X1 +···+Xn suit elle aussi une loi de Poisson, de paramètre λ = λ1 +···+λn.
Exercice 2.27 (Un calendrier stochastique)
1. La variable X peut prendre les valeurs {28,30,31} avec les probabilités 1/12, 4/12 et 7/12.
2. La fonction de répartition de X est représentée figure 2.16.
5/12
1/12
3. L’espérance de X est donc
On a par ailleurs
1
F(x)
σ(X) = E[X 2 ]−(E[X]) 2 =
28 30
Figure 2.16 – Fonction de répartition de X.
E[X] = 28× 1 4 7 365
+30× +31× = ≈ 30.42
12 12 12 12
282 × 1
12 +302 × 4
12 +312 × 7
−
12
31
x
n!
.
2 365
≈ 0.86
12
4. La variable Y peut elle aussi prendre les valeurs {28,30,31}. Mais à la différence de X, la
probabilité qu’elle prenne :
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2