Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

110 Chapitre 2. Variables aléatoires discrètes
(b) Pour que X soit supérieure ou égale à i, il faut que les 4 dés prennent une valeur
supérieure ou égale à i. Notons U1,...,U4 les 4 variables correspondant aux valeurs
prises par ces dés. Ce sont des variables indépendantes donc
È(X ≥ i) =È(U1 ≥ i,U2 ≥ i,U3 ≥ i,U4 ≥ i) =È(U1 ≥ i)È(U2 ≥ i)È(U3 ≥ i)È(U4 ≥ i)
et puisqu’elles sont uniformes sur {1,...,6}, on a
È(U1 ≥ i) =È(U1 = i)+···+È(U1 = 6) = 1 1
+···+ = (7−i)/6,
6 6
d’où l’on déduit 4 7−i
È(X ≥ i) = .
6
(c) De la formule de sommation des queues, on déduit alors
E[X] =
6
7−i
i=1
6
4
=
4 6
+
6
4 5
+···+
6
4 1
≈ 1.755
6
(d) Soit S la somme des 3 plus gros scores. En notant T = (U1+U2+U3+U4) le total des
quatre dés, il vient T = X +S, d’où S = T −X, et puisque E[U1] = 7/2 on en déduit
E[S] = E[T]−E[X] = 4E[U1]−E[X] = 4× 7
−E[X] ≈ 12.24
2
(e) Pour chaque valeur i entre 1 et 5, on peut écrire
4
7−i 7−(i+1)
È(X = i) =È(X ≥ i)−È(X ≥ i+1) = −
6 6
4
4 4 7−i 6−i
= − .
6 6
4. Généralisation : soit X variable aléatoire à valeurs dansÆ∗ admettant une espérance.
(a) Pour une variable à valeurs dansÆ∗ , la formule de sommation des queues s’écrit
+∞
E[X] = ≥ n).
n=1È(X
(b) Soit T1, T2, T3, T4 les temps aléatoires nécessaires pour faire apparaître le 2 sur les
4 dés respectivement. Ces variables sont indépendantes et de même loi géométrique
de paramètre 1/6. Notons T la variable aléatoire correspondant au minimum de ces
temps, T = min(T1,T2,T3,T4). Pour tout n deÆ∗ , on a par le même raisonnement que
ci-dessus È(T ≥ n) =È(T1 ≥ n) 4 ,
or È(T1 ≥ n) =
+∞
k=nÈ(T1 = k) = 1
6
+∞
k=n
k−1 5
6
= 1(5/6)
6
n−1
1−5/6 =
n−1 5
.
6
On en déduit queÈ(T ≥ n) = (5/6) 4(n−1) et de la formule de sommation des queues :
E[T] =
+∞
n=1
4(n−1) 5
=
6
1
1−(5/6) 4.
Remarque : ce résultat peut bien sûr se retrouver en disant que le minimum de 4
variables géométriques indépendantes de paramètre 1/6 est géométrique de paramètre
1−(5/6) 4 .
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités