Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

108 Chapitre 2. Variables aléatoires discrètes
Exercice 2.23 (Mode(s) d’une loi de Poisson)
1. Pour tout n ∈Æ, on obtient rn = pn+1
pn
= λ
n+1 .
2. Pour connaître les variations de la suite (pn), il suffit donc de comparer rn à 1 (on rappelle
que tous les pn sont strictement positifs). On distingue donc deux cas :
(a) λ ∈Æ∗ : pour n = λ−1, on a rn = 1, donc il y a deux modes :
max = pλ−1 = pλ = e
n∈Æpn −λλλ
λ! .
(b) λ /∈Æ∗ : on a cette fois un seul mode, atteint pour n égal à la partie entière de λ :
Exercice 2.24 (Parité d’une loi de Poisson)
1. On a d’une part :
et d’autre part :
On en déduit que
S1 +S2 =
S1 −S2 =
+∞
k=0
+∞
k=0
S1 = eλ +e −λ
2
max = p⌊λ⌋ = e
n∈Æpn −λλ⌊λ⌋
⌊λ⌋! .
λ2k (2k)! +
+∞ λ
k=0
2k+1
(2k +1)! =
+∞ λ
n=0
n
n! = eλ ,
λ2k (2k)! −
+∞ λ
k=0
2k+1
(2k +1)! =
+∞ (−λ)
n=0
n
n! = e−λ .
& S2 = eλ −e −λ
2. Application : Notons S le nombre de prospectus distribués dans la journée. Par hypothèse
S ∼ P(λ). La probabilité que ce nombre soit pair vaut :
+∞
p = = 2k) =
k=0È(S
+∞
k=0
−λ λ2k
e
(2k)! = e−λS1 = 1+e−2λ
.
2
Par conséquent la probabilité que ce nombre soit impair vaut :
q = 1−p = 1−e−2λ
.
2
Puisque e −2λ > 0, on a p > q. En moyenne, c’est donc Pierre qui gagne.
3. Lorsque X décrit l’ensemble des entiers naturels pairs, X/2 décrit l’ensemble de tous les
entiers naturels, donc Y est à valeurs dansÆ. Soit n ∈Æ∗ , la probabilité que Y soit égale à
n correspond à la probabilité que X soit égale à 2n :
On en déduit que :
∀n ∈Æ∗
, È(Y
−λ λ2n
= n) =È(X = 2n) = e
(2n)! .
È(Y = 0) = 1−
+∞
n=1
−λ λ2n
e
(2n)! = 1−e−λ (S1 −1) = 1− (1+e−λ ) 2
.
2
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités
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