Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

2.7. Corrigés 107
P = 1
X = 1 ⇒ P = 1 3 P = 1
P = 4
1
2
Figure 2.15 – Proportion de garçons (surface grisée).
Exercice 2.21 (Inégalité de Tchebychev)
1. La variable S est la somme de 3600 variables indépendantes de Bernoulli de paramètre 1/6.
On en déduit que S suit une loi binomiale B(3600,1/6), de moyenne E[S] = 3600×1/6 = 600
et de variance Var(S) = 3600×1/6×5/6 = 500.
2. La probabilité que S soit compris strictement entre 480 et 720 est donc :
719
719
n 3600 1 5
È(480 < S < 720) = = n) =
n=481È(S
n 6 6
n=481
3600−n
L’inégalité de Tchebychev permet de minorer cette probabilité comme suit :
È(480 < S < 720) =È(−120 < S −600 < 120) =È(−120 < S −E[S] < 120),
ce qui s’écrit encore :
È(480 < S < 720) = 1−È(|S −E[S]| ≥ 120) ≥ 1− Var(S)
,
1202 ce qui donne : È(480 < S < 720) ≥ 0.965.
(2.2)
Il y a donc au moins 96,5% de chances que le nombre de 1 obtenus sur les 3600 lancers soit
entre 480 et 720. Le calcul sur machine de la somme (2.2) donne en faitÈ(480 < S < 720) ≈
1−10 −7 . Ainsi la borne donnée par l’inégalité de Tchebychev est très pessimiste : lorsqu’on
lance 3600 fois un dé, il y a environ une chance sur 10 millions que le nombre de 1 ne soit
pas compris entre 480 et 720.
Exercice 2.22 (Surbooking)
Puisqu’il y a 94 places vendues et que pour chacune d’entre elles, il y a 5% de chances que le passager
ne soit pas là pour l’embarquement, le nombre S de personnes absentes à l’embarquement suit une
loi binomiale B(94,0.05). La probabilité qu’il y ait trop de monde à l’embarquement est donc :
0 94 3 94 5 95 94 5 95
p =È(S ≤ 3) =È(S = 0)+···+È(S = 3) =
+···+
0 100 100 3 100 100
Via l’approximation d’une loi binomiale B(94,0.05) par une loi de Poisson P(94×0.05) = P(4,7),
ceci est à peu près égal à :
p ≈ e −4,74,70
0! +···+e−4,74,73
3!
≈ 0,310.
Il y a donc 31,0% de risques de problème avec cette technique de surbooking.
Remarque : si on n’effectue pas l’approximation poissonienne, on obtient en fait p = 30,3%.
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2
91
.