Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

106 Chapitre 2. Variables aléatoires discrètes
Exercice 2.17 (Minimum de lois géométriques)
1. Tout comme les variables X1 et X2, la variable aléatoire X est à valeurs dansÆ∗ .
2. Soit n ∈Æfixé, on peut écrire grâce à l’indépendance de X1 et X2 :
È(X > n) =È(X1 > n,X2 > n) =È(X1 > n)È(X2 > n),
or ces quantités ont été vues dans l’exercice précédent :
È(X > n) = (1−p1) n (1−p2) n = ((1−p1)(1−p2)) n = (1−(1−(1−p1)(1−p2))) n .
Puisqu’il est clair que 0 < 1−(1−p1)(1−p2) < 1, on en déduit que X = min(X1,X2) suit
elle-même une loi géométrique, et plus précisément X ∼ G(1−(1−p1)(1−p2)).
3. Application : On s’intéresse donc à la variable X = min(X1,X2), où X1 ∼ G(1/6), X2 ∼
G(1/6), avec X1 et X2 indépendantes. On vient de voir que X ∼ G(11/36), donc le nombre
moyen de “ doubles lancers ” nécessaires est E[X] = 36/11.
4. Généralisation : soit n variables indépendantes X1,...,Xn suivant des lois géométriques de
paramètres respectifs p1,...,pn, avec pi ∈]0,1[ pour tout i ∈ {1,...,n}. Le même calcul que
ci-dessus permet de montrer que :
X = min(X1,...,Xn) ∼ G(1−(1−p1)...(1−pn)).
Exercice 2.18 (Un problème de natalité)
1. X est à valeurs dansÆ∗ et on vérifie facilement que X suit une loi géométrique G(1/2).
2. Puisqu’il y a exactement un garçon parmi les X enfants, P = 1/X.
3. Le calcul d’espérance s’écrit par le théorème de transfert :
E[P] = E[1/X] =
Rappelons le développement en série entière :
+∞
n=1
1 1
×
n 2n. +∞
∀x ∈ [−1,+1[ ln(1−x) = −
qu’il suffit d’appliquer ici en x = 1/2 pour obtenir E[P] = ln2 ≈ 0.69. Ainsi, à la génération
suivante, il y a bien plus de garçons que de filles, ce qui n’est pas étonnant (cf. figure 2.15)
mais risque de poser très vite des problèmes de renouvellement de population.
Exercice 2.19 (Tirages de cartes)
Nous avons affaire à un cas d’école : X ∼ B(5,1/8), d’espérance 5/8 et de variance 35/64.
Exercice 2.20 (Codage redondant)
Le nombre N d’erreurs lors d’une transmission suit une loi binomiale B(5;0,2). Pour que le message
soit mal interprété après un décodage à la majorité, il faut et il suffit qu’il y ait eu au moins 3
erreurs lors de la transmission. La probabilité p de mauvaise interprétation vaut donc :
p =È(N = 3)+È(N = 4)+È(N = 5) =
5
k=3
n=1
x n
n ,
5
(0,2)
k
k (0,8) 5−k ≈ 0,058.
Le codage redondant permet donc de passer de 20% d’erreurs de transmission à seulement 5,8%.
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités