Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

104 Chapitre 2. Variables aléatoires discrètes
Exercice 2.12 (Espérance d’une loi de Poisson)
1. Le calcul détaillé vu en cours pour montrer que E[X] = 1 lorsque X ∼ P(1) se généralise au
cas où X ∼ P(λ).
2. La moyenne de Y = e −X peut se calculer par le théorème de transfert :
E[Y] =
+∞
n=0
e −n e −λλn
n!
+∞ (λe
= e−λ
−1 ) n
n=0
où l’on retrouve le développement en série de l’exponentielle :
E[Y] = e −λ e λe−1
= e λ(e−1 −1) .
3. (a) La variable X est à valeurs dansÆ∗ . Pour que X = 1, il faut que le premier soit réussi,
ce qui est certain, et que le second soit raté, ce qui arrive avec probabilité 1/2, donc
p1 =È(X = 1) = 1/2 = 1/(1+1)!. De façon générale, pour que X = n, il faut que les
n premiers sauts soient réussis, ce qui arrive avec probabilité 1×1/2×···×1/n, et que
le (n+1)-ème soit un échec, ce qui arrive avec probabilité 1−rn+1 = n/(n+1). Ainsi :
pn =È(X = n) = 1× 1 1 n
×···× ×
2 n n+1 =
n=1
n=1
n!
,
n
(n+1)! .
On vérifie (pour la forme) que c’est bien une loi de probabilité grâce à l’astuce n =
(n+1)−1 :
+∞
+∞
1
pn =
n! −
1
= 1,
(n+1)!
puisque les termes se télescopent.
(b) Le théorème de transfert donne :
E[X +1] =
+∞
n=1
n
(n+1)
(n+1)! =
Par suite E[X]+1 = e, donc E[X] = e−1.
+∞
n=1
1
= e.
(n−1)!
Exercice 2.13 (Espérance d’une loi arithmétique)
1. Pour que X soit effectivement une variable aléatoire, il faut que les pk somment à 1, or :
1 =
n
pk = α
k=0
2. Avec en tête la relation n
n
k=0
k = α n(n+1)
2
k=0k2 = n(n+1)(2n+1)
6
E[X] =
n
kpk =
k=0
2
n(n+1)
=⇒ α =
2
n(n+1) .
, on peut y aller à fond de cinquième :
n
k=0
k 2 = 2n+1
.
3
Exercice 2.14 (Deux dés : somme et différence)
1. U1 suit une loi uniforme sur {1,...,6}, son espérance vaut 7/2 et sa variance 35/12.
2. On appelle X = (U1 +U2) la somme et Y = (U1 −U2) la différence des deux résultats. U2 a
la même loi que U1 donc : E[X] = E[U1]+E[U2] = 7 et E[Y] = E[U1]−E[U2] = 0. Pour le
produit, il suffit d’écrire :
E[XY] = E[(U1 +U2)(U1 −U2)] = E[U 2 1 ]−E[U2 2 ] = 0,
toujours en raison du fait que U1 et U2 ont même loi.
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités