Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

102 Chapitre 2. Variables aléatoires discrètes
(b) Si on mise 1e sur le 13, notre gain moyen vaut :
E[B] = −1× 36 1 1
+35× = −
37 37 37 ,
donc en moyenne cela revient au même que de miser sur une couleur (en moyenne, mais
pas en variance...).
Exercice 2.9 (Espérance d’une loi binomiale)
1. Lorsque X suit une loi binomiale B(n,p), on peut calculer directement sa moyenne comme
suit (en notant q = (1−p) pour alléger les notations) :
E[X] =
n
n
k p
k
k q n−k =
k=0
n
k
k=1
et le changement d’indice j = (k−1) donne :
n!
k!(n−k)! pk q n−k = np
n
k=1
n−1
n−1
E[X] = np p
j
j q (n−1)−j = np(p+q) n−1 = np.
j=0
Ainsi lorsque X ∼ B(n,p), son espérance vaut E[X] = np.
n−1
p
k−1
k−1 q (n−1)−(k−1) ,
2. Soit X1,...,Xn n variables aléatoires i.i.d. suivant la loi de Bernoulli B(p). Rappelons rapidement
la loi de X. La variable aléatoire X = X1 + ··· + Xn peut prendre les valeurs
{0,...,n}. Soit donc k ∈ {0,...,n}, on cherche la probabilité que X soit égale à k. Pour
ce faire, il faut que k des n variables Xi prennent la valeur 1 et les (n−k) autres la valeur
0 : il y a n combinaisons de cette forme. Par indépendance des Xi, chaque événement de
k
cette forme a alors la même probabilité d’apparition, à savoir pkqn−k . On en déduit que
È(X = k) = n
k pkqn−k , c’est-à-dire que X suit une loi binomiale B(n,p).
Par linéarité de l’espérance et sachant que E[X1] = ··· = E[Xn] = p, il vient donc :
E[X] = E[X1 +···+Xn] = E[X1]+···+E[Xn] = np,
ce qui est une façon élémentaire de retrouver l’espérance d’une loi binomiale.
3. Soit X1,...,Xn+m variables aléatoires i.i.d. suivant la loi de Bernoulli B(p), alors X =
X1+···+Xn, suit une loi binomiale B(n,p), Y = Xn+1+···+Xn+m suit une loi binomiale
B(m,p) et Z = X1 + ··· + Xn+m suit une loi binomiale B(n+m,p). On en déduit que la
somme de deux binomiales indépendantes de même paramètre p est encore une binomiale de
paramètre p.
4. Y est à valeurs dans {1,...,n}. Soit donc k ∈ {1,...,n}, on cherche la probabilité que Y
soit égale à k. De deux choses l’une : ou bien on a d’entrée X = k, ou bien on a X = 0 puis
U = k, ce qui traduit par :
È(Y = k) =È({X = k}∪({X = 0}∩{U = k})) =È(X = k)+È({X = 0}∩{U = k}),
et on utilise maintenant l’indépendance des variables X et U :
n
È(Y k 1 1
= k) =È(X = k)+È(X = 0)È(U = k) = + ×
2n 2n n
On en déduit l’espérance de Y :
E[Y] =
n
kÈ(Y = k) =
k=1
n k n
k 1
+
2n 2n k=1
n
k=1
= 1
2 n
k
n .
n
+
k
1
.
n
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités