Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

2.7. Corrigés 101
Exercice 2.7 (Espérance d’une loi uniforme)
1. On a X ∈ {0,1} avecÈ(X = 0) =È(X = 1) = 1/2, donc
2. Pour un dé équilibré, on obtient cette fois :
E[X] = 0×È(X = 0)+1×È(X = 1) = 1
2 .
E[X] = 1
7
(1+2+3+4+5+6) = = 3,5.
6 2
3. La somme des termes d’une suite arithmétique vaut de façon générale “((1er terme + dernier
terme)× nb de termes)/2”, ce qui donne ici :
1+2+···+n = n(n+1)
.
2
On en déduit que lorsque U ∼ U {1,...,n}, son espérance vaut :
E[U] = 1 n+1
(1+2+···+n) = .
n 2
4. Pour l’exercice sur le gardien de nuit à jeun, on a vu que le nombre N d’essais nécessaires
pour ouvrir la porte suit une loi uniforme sur {1,...,10}, donc le nombre moyen d’essais
nécessaires pour ouvrir la porte est E[N] = 11/2 = 5,5.
5. Soit m et n dansÆ∗ . Soit X une variable aléatoire à valeurs dans {1,2,...,mn} et telle que
∀i ∈ {1,2,...,mn},È(X = i) = 1/m−1/n.
(a) Pour qu’on ait bien une loi de probabilité, il faut déjà que 1/m−1/n > 0, donc m < n.
Par ailleurs la somme des probabilités doit valoir 1 :
mn
i=1È(X = i) = 1 ⇐⇒ mn
Ainsi X suit une loi uniforme sur {1,2,...,n(n−1)}.
(b) On a donc E[X] = n(n−1)+1
2 et
E[X] = 7
2
⇐⇒ n(n−1)+1
2
Exercice 2.8 (Espérance d’une loi de Bernoulli)
1. La moyenne de X est E[X] = 2/3.
2. De façon générale, lorsque X ∼ B(p), on a :
1 1
− = 1 ⇐⇒ m = n−1.
m n
= 7
2
E[X] = 0×(1−p)+1×p = p.
⇐⇒ n = 3.
3. Une roulette a 37 numéros : 18 rouges, 18 noirs et 1 vert (le zéro).
(a) Si on mise 1e sur rouge, on gagne 1e avec probabilité 18/37 et on perd 1e avec
probabilité 19/37 donc notre bénéfice B a pour moyenne :
E[B] = −1× 19 18 1
+1× = −
37 37 37 .
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2