Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

100 Chapitre 2. Variables aléatoires discrètes
Figure 2.14 – Loi empirique du nombre de buts par équipe et par match (à gauche) et son
approximation par une loi de Poisson P(1.04) (à droite).
rend cet ensemble d’observations le plus vraisemblable, c’est-à-dire tel que la fonction du
paramètre λ définie par
L(λ) =È(Y1 = y1,...,Y760 = y760)
soit maximale pour λ = λmax. Ce calcul se fait facilement si on suppose que les Yi sont des
variables indépendantes. En effet, cette vraisemblance devient alors
760
L(λ) =È(Y1 = y1)...È(Y760 = y760) = e −λλyi
i=1
yi! = e−760λ λ 760
i=1 yi
760 i=1 yi!
Puisque la fonction logarithmique est croissante, il est équivalent de chercher la valeur de λ
pour laquelle le logarithme de L(λ) est maximal. Nous passons donc à la log-vraisemblance
760
lnL(λ) = −760λ+ln(λ)
i=1
760
yi −
ln(yi!)
Pour trouver en quel point cette log-vraisemblance atteint son maximum, il suffit de la dériver
(lnL(λ)) ′ = −760+
i=1
760
i=1 yi
λ
d’où l’on déduit que l’estimateur au maximum de vraisemblance de λ est
λmax =
760
i=1 yi
760
824
= ≈ 1.08.
760
L’estimateur au maximum de vraisemblance est donc tout simplement la moyenne empirique
des yi, souvent notée ¯y. Ceci n’a rien de choquant intuitivement : le paramètre λ correspondant
à la moyenne d’une loi de Poisson P(λ), il est naturel de l’estimer par la moyenne
empirique de l’échantillon. Cette fois, les 8 premiers termes d’une loi de Poisson P(1.08)
sont :
[È(Y = 0),...,È(Y = 8)] ≈ [0.340,0.367,0.198,0.071,0.019,0.004,0.001,0.000,0.000],
qui constitue également une très bonne approximation des données réelles.
Remarque. La principale critique vis-à-vis de l’estimation au maximum de vraisemblance
est qu’elle suppose l’indépendance des variables Yi, laquelle semble peu réaliste dans une
compétition sportive.
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités