Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

2.7. Corrigés 99
Puisque ln(1−x) = −x+o(x), on en déduit que le second terme tend vers e −λ , tandis
que le premier tend clairement vers 1, donc :
1− λ
n−k −−−→
n n→∞ e−λ .
Le tout mis bout à bout donne :
n
p
k
k n(1−pn) n−k −−−→
n→∞ e−λλk
k! .
Lorsque n devient grand, la loi binomiale “ressemble” à une loi de Poisson.
(c) Le résultat précédent est encore vrai si on suppose juste que limn→+∞npn = λ, puisque
d’une part :
et d’autre part :
n
p
k
k (npn) k
n = 1−
k!
1
... 1−
n
k −1 λ
−−−→
n n→∞
k
k! ,
(1−pn) n−k = (1−pn) −k e nln(1−pn) −−−→
n→∞ e−λ .
4. On considère donc une variable discrète X à valeurs dans {0,1,...,8} et dont la loi p =
[p0,p1,...,p8] s’obtient en divisant les données du tableau par 760 :
268 266 152 53 13 7 1
p = , , , , , ,0,0,
760 760 760 760 760 760 760 ,
≈ [0.353,0.35,0.2,0.07,0.017,0.009,0,0,0.001].
Bien sûr, supposer que X suit une loi de Poisson semble a priori un peu farfelu puisqu’une loi
de Poisson prend ses valeurs dansÆtout entier, tandis que X les prend dans {0,1,...,8}.
Néanmoins on voit en figure 2.13 que les probabilités pn d’une loi de Poisson décroissent
extrêmement vite vers 0, donc l’approximation de X par une variable Y suivant une loi de
Poisson P(λ), pour peu qu’elle colle bien sur les premiers termes, n’est pas déraisonnable. Il
nous faut trouver une valeur pour le paramètre λ, or on sait queÈ(Y = 0) = e−λ , donc on
peut proposer par exemple :
268
λ = −ln(È(Y = 0)) ≈ −lnp0 = −ln ≈ 1.04.
760
Voyons ce que donnent les 8 premiers termes d’une loi de Poisson P(1.04) :
[È(Y = 0),...,È(Y = 8)] ≈ [0.353,0.368,0.191,0.066,0.017,0.004,0.001,0.000,0.000].
On constate donc que l’approximation par une loi de Poisson est excellente, alors même
que nous avons pris pour λ un estimateur on ne peut plus rudimentaire! Les deux lois sont
représentées figure 2.14.
Un estimateur plus sophistiqué est celui du maximum de vraisemblance. Pour une équipe
et un match donnés, considérons le nombre de buts marqués comme la réalisation y d’une
variable aléatoire Y distribuée suivant une loi de Poisson de paramètre λ. Puisqu’il y a
380 matchs, nous disposons de 760 réalisations (y1,...,y760) de 760 variables aléatoires
(Y1,...,Y760) suivant la même loi de Poisson de paramètre λ. Le principe de l’estimation
au maximum de vraisemblance (likelihood en anglais) est de chercher le paramètre λmax qui
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2