Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

98 Chapitre 2. Variables aléatoires discrètes
Comme on l’a vu ci-dessus, la probabilité qu’aucun des Xn ne soit égal à 1 est nulle donc on
exclut ce cas et X est alors une variable aléatoire à valeurs dansÆ∗ . Il nous reste à trouver
sa loi, or pour tout n ∈Æ∗ :
È(X = n) =È(X1 = 0,...,Xn−1 = 0,Xn = 1),
probabilité qu’on évalue facilement via l’indépendance des Xi :
È(X = n) =È(X1 = 0)...È(Xn−1 = 0)È(Xn = 1) = (1−p) n−1 p,
et X suit donc une loi géométrique de paramètre p. La loi géométrique se rencontre typiquement
dans les phénomènes d’attente jusqu’à l’apparition d’un événement.
Figure 2.13 – Lois de Poisson P(2) et P(20).
Exercice 2.6 (Loi de Poisson)
1. Rappelons que pour tout réel x on a +∞
n=0 xn
n! = ex . C’est exactement ce qui s’applique ici :
+∞
n=0
e −λλn
n!
= e−λ
+∞
n=0
λ n
n! = e−λ e λ = 1.
2. Les lois de Poisson pour λ = 2 et λ = 20 sont représentées figure 2.13.
3. Soit λ > 0 fixé. On lance n fois une pièce amenant Pile avec la probabilité pn = λ/n. Soit
Xn le nombre de fois où Pile apparaît durant ces n lancers.
(a) La loi de Xn est la loi binomiale B(n,pn) = B(n,λ/n). En particulier :
∀k ∈ {0,...,n} È(Xn = k) =
(b) Pour k fixé entre 0 et n, on a :
n λ
k n
D’autre part :
k
=
n!
k!(n−k)!
n
p
k
k n(1−pn) n−k =
n
k
λ
n
k 1− λ
n−k .
n
k λ
=
n
λk
1−
k!
1
... 1−
n
k−1
λ
−−−→
n n→∞
k
k! .
1− λ
n−k
= 1−
n
λ
−k e
n
nln(1−λ/n) .
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités