Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

2.7. Corrigés 97
ce qui s’écrit encore :
n (Np)(Np−1)...(Np−k+1)×(Nq)(Nq −1)...(Nq −(n−k)+1)
È(X = k) =
.
k
N(N −1)...(N −n+1)
Puisque n ≪ N, on a aussi k ≪ Np et (n−k) ≪ Nq, d’où les approximations suivantes :
È(X = k) =
n
p
k
k 1
q
n−k(1− Np
k−1 1 n−k−1
)...(1− Np )×(1− Nq )...(1− Nq )
(1− 1
N
)...(1− n−1
N )
≈
n
p
k
k q n−k ,
et on arrive bien à l’approximation d’une loi hypergéométrique par une loi binomiale. Ceci est
bien moral : on aurait exactement une loi binomiale si on faisait des tirages avec remise dans
la population, or un sondage correspond à un tirage sans remise (on ne sonde pas deux fois
la même personne). Cependant, lorsque l’échantillon est de taille négligeable par rapport à la
population totale, un tirage avec remise se comporte comme un tirage sans remise puisqu’il
y a très peu de chances qu’on pioche deux fois la même personne. En pratique, on effectue
l’approximation H(N,n,p) ≈ B(n,p) dès que n < N/10. Ceci est illustré figure 2.12 lorsque
N = 60, n = 5 et p = 1/4.
Exercice 2.5 (Loi géométrique)
1. Pour tout n ∈Æ, notons En l’événement : “Pile apparaît après le n-ème lancer” et A l’événement
: “Pile n’apparaît jamais”. On a clairement :
A =
+∞
+∞
En ⇒È(A) =È
En
n=0
n=0
et puisque (En)n≥0 est une suite décroissante pour l’inclusion, on peut utiliser la continuité
monotone décroissante :È(A) = limn→+∞È(En). Or pour que Pile apparaisse après len-ème
lancer, il faut n’obtenir que des Face lors des n premiers jets ce qui arrive avec probabilité
2 −n . Ainsi È(A) = lim
n→+∞
1
= 0,
2n et on dit que A est un événement négligeable, c’est pourquoi on l’exclut dans la suite. La
variable aléatoire X est donc à valeurs dansÆ∗ . Pour tout n ∈Æ∗ , la probabilité que X soit
égale à n est la probabilité qu’on obtienne Face durant les (n−1) premiers lancers et Pile
au n-ème, ce qui arrive avec probabilitéÈ(X = n) = 2 −n .
2. Par le même raisonnement que ci-dessus, la variable X est à valeurs dansÆ∗ , avec cette fois :
∀n ∈Æ∗ È(X = n) = 1
6
5
6
,
n−1
.
3. Pour vérifier que c’est bien une loi de probabilité, on remarque que (pn) forme une suite
géométrique de raison (1 − p) donc on utilise la formule “couteau suisse” des sommes géométriques,
à savoir : “Somme = (1er terme écrit - 1er terme non écrit)/(1-la raison)”, ce qui
donne dans notre cas :
+∞
pn = p1 −0 p
= = 1.
1−(1−p) p
n=1
Soit (Xn)n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées
suivant la loi de Bernoulli B(p). Définissons à partir de celles-ci une nouvelle variable X
comme le plus petit indice pour lequel Xn vaut 1 :
X = min{n ≥ 1 : Xn = 1}.
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2