Exercices - Probabilités conditionnelles et indépendance ... - Bibmath
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<strong>Exercices</strong> - <strong>Probabilités</strong> <strong>conditionnelles</strong> <strong>et</strong><br />
<strong>indépendance</strong> : énoncé<br />
<strong>Probabilités</strong> <strong>conditionnelles</strong><br />
Exercice 1 - CD-Rom - Deuxième année - ⋆<br />
Le gérant d’un magasin d’informatique a reçu un lot de boites de CD-ROM. 5% des boîtes<br />
sont abîmées. Le gérant estime que :<br />
– 60% des boîtes abîmées contiennent au moins un CD-ROM défectueux.<br />
– 98% des boïtes non abîmées ne contiennent aucun CD-ROM défectueux.<br />
Un client achète une boite du lot. On désigne par A l’événement : “la boite est abimée” <strong>et</strong> par<br />
D l’événement “la boite ach<strong>et</strong>ée contient au moins une disqu<strong>et</strong>te défectueuse”.<br />
1. Donner les probabilités de P (A), P ( Ā), PA(D), P (D| Ā), P ( ¯ D|A) <strong>et</strong> P ( ¯ D| Ā).<br />
2. Le client constate qu’un des CD-ROM ach<strong>et</strong>é est défectueux. Quelle est a la probabilité<br />
pour qu’il ait ach<strong>et</strong>é une boite abimée.<br />
Exercice 2 - <strong>Probabilités</strong> composées - L1/L2 - ⋆<br />
On considère une urne contenant 4 boules blanches <strong>et</strong> 3 boules noires. On tire une à une <strong>et</strong><br />
sans remise 3 boules de l’urne. Quelle est la probabilité pour que la première boule tirée soit<br />
blanche, la seconde blanche <strong>et</strong> la troisième noire ?<br />
Exercice 3 - QCM - L2 - ⋆<br />
Un questionnaire à choix multiples propose m réponses pour chaque question. Soit p la<br />
probabilité qu’un étudiant connaisse la bonne réponse à une question donnée. S’il ignore la<br />
réponse, il choisit au hasard l’une des réponses proposées. Quelle est pour le correcteur la<br />
probabilité qu’un étudiant connaisse vraiment la bonne réponse lorsqu’il l’a donnée ?<br />
Exercice 4 - Dé pipé - Deuxième année - ⋆<br />
Un lot de 100 dés contient 25 dés pipés tels que la probabilité d’apparition d’un six soit de<br />
1/2. On choisit un dé au hasard, on le j<strong>et</strong>te, <strong>et</strong> on obtient un 6. Quelle est la probabilité que le<br />
dé soit pipé ?<br />
Exercice 5 - Pièces défectueuses - Deuxième année - ⋆<br />
Une usine fabrique des pièces, avec une proportion de 0,05 de pièces défectueuses. Le contrôle<br />
des fabrications est tel que :<br />
– si la pièce est bonne, elle est acceptée avec la probabilité 0,96.<br />
– si la pièce est mauvaise, elle est refusée avec la probabilité 0,98.<br />
On choisit une pièce au hasard <strong>et</strong> on la contrôle.Quelle est la probabilité<br />
1. qu’il y ait une erreur de contrôle ?<br />
2. qu’une pièce acceptée soit mauvaise ?<br />
Exercice 6 - Compagnie d’assurance - Deuxième année - ⋆<br />
Une compagnie d’assurance répartit ses clients en trois classes R1, R2 <strong>et</strong> R3 : les bons<br />
risques, les risques moyens, <strong>et</strong> les mauvais risques. Les effectifs de ces trois classes représentent<br />
20% de la population totale pour la classe R1, 50% pour la classe R2, <strong>et</strong> 30% pour la classe R3.<br />
Les statistiques indiquent que les probabilités d’avoir un accident au cours de l’année pour une<br />
personne de l’une de ces trois classes sont respectivement de 0.05, 0.15 <strong>et</strong> 0.30.<br />
1. Quelle est la probabilité qu’une personne choisie au hasard dans la population ait un<br />
accident dans l’année ?<br />
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<strong>Exercices</strong> - <strong>Probabilités</strong> <strong>conditionnelles</strong> <strong>et</strong><br />
<strong>indépendance</strong> : énoncé<br />
2. Si M.Martin n’a pas eu d’accident c<strong>et</strong>te année, quelle est la probabilité qu’il soit un bon<br />
risque ?<br />
Exercice 7 - La rumeur - L2 - ⋆⋆<br />
Une information est transmise à l’intérieur d’une population. Avec une probabilité p, c’est<br />
l’information correcte qui est transmise à chaque étape d’une personne à une autre. Avec une<br />
probabilité 1 − p, c’est l’information contraire qui est transmise. On note pn la probabilité que<br />
l’information après n transmissions soit correcte.<br />
1. Donner une relation de récurrence entre pn+1 <strong>et</strong> pn.<br />
2. En déduire la valeur de pn en fonction de p <strong>et</strong> de n.<br />
3. En déduire la valeur de limn pn. Qu’en pensez-vous ?<br />
Exercice 8 - Sauts de puce - L2/ECS - ⋆⋆<br />
Une particule se trouve à l’instant 0 au point d’abscisse a (a entier), sur un segment gradué<br />
de 0 à N (on suppose donc 0 ≤ a ≤ N). A chaque instant, elle fait un bond de +1 avec la<br />
probabilité p (0 < p < 1/2), ou un bond de −1 avec la probabilité q = 1 − p. Autrement dit, si<br />
xn est l’abscisse de la particule à l’instant n, on a :<br />
xn+1 =<br />
<br />
xn + 1 avec probabilité p<br />
xn − 1 avec probabilité 1 − p.<br />
Le processus se termine lorsque la particule atteint une des extrémités du segment (i.e. s’il existe<br />
xn avec xn = 0 ou xn = N).<br />
1.<br />
Écrire un algorithme qui simule c<strong>et</strong>te marche aléatoire. En particulier, c<strong>et</strong> algorithme<br />
prendra en entrée l’abscisse a de départ, la longueur N du segment, <strong>et</strong> produira en sortie<br />
un message indiquant si la marche s’arrête en 0 ou en N, <strong>et</strong> le nombre de pas nécessaires<br />
pour que le processus s’arrête. On supposera qu’on dispose d’une fonction alea() qui<br />
r<strong>et</strong>ourne un nombre aléatoire suivant une loi uniforme sur [0, 1].<br />
2. On note ua la probabilité pour que la particule partant de a, le processus s’arrête en 0.<br />
(a) Que vaut u0 ? uN ?<br />
(b) Montrer que si 0 < a < N, alors ua = pua+1 + qua−1.<br />
(c) En déduire l’expression exacte de ua.<br />
3. On note va la probabilité pour que la particule partant de a, le processus s’arrête en N.<br />
Reprendre les questions précédentes avec va au lieu de ua.<br />
4. Calculer ua + va. Qu’en déduisez-vous ?<br />
Indépendance d’événements<br />
Exercice 9 - Circuit électrique - Deuxième année - ⋆<br />
1. Soient A, B, C trois événements. Montrer que :<br />
P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (A ∩ B) − P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C).<br />
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<strong>Exercices</strong> - <strong>Probabilités</strong> <strong>conditionnelles</strong> <strong>et</strong><br />
<strong>indépendance</strong> : énoncé<br />
2. On dispose de 3 composants électriques C1, C2 <strong>et</strong> C3 dont la probabilité de fonctionnement<br />
est pi, <strong>et</strong> de fonctionnement totalement indépendant les uns des autres. Donner la<br />
probabilité de fonctionnement du circuit<br />
(a) si les composants sont disposés en série.<br />
(b) si les composants sont disposés en parallèle.<br />
(c) si le circuit est mixte : C1 est disposé en série avec le sous-circuit constitué de C2 <strong>et</strong><br />
C3 en parallèle.<br />
Exercice 10 - Indépendance <strong>et</strong> contexte - Deuxième année - ⋆<br />
1. Une urne contient 12 boules numérotées de 1 à 12. On en tire une hasard, <strong>et</strong> on considère<br />
les événements<br />
A = “tirage d’un nombre pair”,<br />
B = “tirage d’un multiple de 3”.<br />
Les événements A <strong>et</strong> B sont-ils indépendants ?<br />
2. Reprendre la question avec une urne contenant 13 boules.<br />
Exercice 11 - Indépendance impossible - Deuxième année - ⋆⋆<br />
On suppose qu’on a un espace probabilisé tel que l’univers Ω est un ensemble fini de cardinal<br />
un nombre premier p, <strong>et</strong> que le modèle choisi soit celui de l’équiprobabilité. Prouver que deux<br />
événements A <strong>et</strong> B non triviaux ne peuvent pas être indépendants.<br />
Exercice 12 - Indicatrice d’Euler - L2/L3/Master Enseignement - ⋆⋆⋆<br />
Soit n > 1 un entier fixé. On choisit de manière équiprobable un entier x dans {1, . . . , n}.<br />
Pour tout entier m ≤ n, on note Am l’événement ”m divise x”. On note également B l’événement<br />
”x est premier avec n”. Enfin, on note p1, . . . , pr les diviseurs premiers de n.<br />
1. Exprimer B en fonction des Apk .<br />
2. Pour tout m ≤ n qui divise n, calculer la probabilité de Am.<br />
3. Montrer que les événements Ap1 , . . . , Apr sont mutuellement indépendants.<br />
4. En déduire la probabilité de B.<br />
5. Application : on note φ(n) le nombre d’éléments inversibles de Z/nZ. Démontrer que<br />
φ(n) = n<br />
r<br />
k=1<br />
<br />
1 − 1<br />
Exercice 13 - Deuxième lemme de Borel-Cantelli - L2/L3 - ⋆⋆<br />
Soit (Ω, F, P) un espace probabilisé. Soit (An)n≥0 une suite d’événements indépendants. On<br />
note A = lim sup n An. On suppose que <br />
n P(An) = +∞ <strong>et</strong> on souhaite prouver que P(A) = 1.<br />
1. Préliminaire. Justifier que pour tout x > −1, ln(1 + x) ≤ x.<br />
2. Soient n ≤ N. On note En,N = N k=n Ak <strong>et</strong> En = <br />
k≥n Ak.<br />
(a) Démontrer que (n étant fixé), limN→+∞ ln P(En,N) = −∞.<br />
(b) En déduire que P(En) = 0.<br />
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pk<br />
<br />
.
<strong>Exercices</strong> - <strong>Probabilités</strong> <strong>conditionnelles</strong> <strong>et</strong><br />
<strong>indépendance</strong> : énoncé<br />
(c) En déduire que P(A) = 1.<br />
Indépendance de variables aléatoires<br />
Exercice 14 - Déterminant - L3 - ⋆⋆<br />
Soient (Xi,j) 1≤i,j≤n2 une suite de variables aléatoires indépendantes définies sur un espace<br />
probabilisté (Ω, A, P). On suppose que ces variables aléatoires ont la même loi suivante : elles<br />
sont à valeurs dans {−1, 1} avec P(Xi,j = 1) = P(Xi,j = −1) = 1<br />
2 . On note M la matrice<br />
M = (Xi,j) 1≤i≤j≤n2. Quelle est l’espérance du déterminant de M ?<br />
Problèmes ouverts<br />
Exercice 15 - Tests de dépistage - Deuxième année - ⋆⋆<br />
Vous êtes directeur de cabin<strong>et</strong> du ministre de la santé. Une maladie est présente dans la<br />
population, dans la proportion d’une personne malade sur 10000. Un responsable d’un grand<br />
laboratoire pharmaceutique vient vous vanter son nouveau test de dépistage : si une personne<br />
est malade, le test est positif à 99%. Si une personne n’est pas malade, le test est positif à 0, 1%.<br />
Autorisez-vous la commercialisation de ce test ?<br />
Exercice 16 - Menteur ! - Deuxième année - ⋆⋆⋆<br />
Vous jouez à pile ou face avec un autre joueur. Il parie sur pile, lance la pièce, <strong>et</strong> obtient<br />
pile. Quelle est la probabilité pour qu’il soit un tricheur ?<br />
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