Exercices - Probabilités conditionnelles et indépendance ... - Bibmath

Exercices - Probabilités conditionnelles et
indépendance : énoncé
Probabilités conditionnelles
Exercice 1 - CD-Rom - Deuxième année - ⋆
Le gérant d’un magasin d’informatique a reçu un lot de boites de CD-ROM. 5% des boîtes
sont abîmées. Le gérant estime que :
– 60% des boîtes abîmées contiennent au moins un CD-ROM défectueux.
– 98% des boïtes non abîmées ne contiennent aucun CD-ROM défectueux.
Un client achète une boite du lot. On désigne par A l’événement : “la boite est abimée” et par
D l’événement “la boite achetée contient au moins une disquette défectueuse”.
1. Donner les probabilités de P (A), P ( Ā), PA(D), P (D| Ā), P ( ¯ D|A) et P ( ¯ D| Ā).
2. Le client constate qu’un des CD-ROM acheté est défectueux. Quelle est a la probabilité
pour qu’il ait acheté une boite abimée.
Exercice 2 - Probabilités composées - L1/L2 - ⋆
On considère une urne contenant 4 boules blanches et 3 boules noires. On tire une à une et
sans remise 3 boules de l’urne. Quelle est la probabilité pour que la première boule tirée soit
blanche, la seconde blanche et la troisième noire ?
Exercice 3 - QCM - L2 - ⋆
Un questionnaire à choix multiples propose m réponses pour chaque question. Soit p la
probabilité qu’un étudiant connaisse la bonne réponse à une question donnée. S’il ignore la
réponse, il choisit au hasard l’une des réponses proposées. Quelle est pour le correcteur la
probabilité qu’un étudiant connaisse vraiment la bonne réponse lorsqu’il l’a donnée ?
Exercice 4 - Dé pipé - Deuxième année - ⋆
Un lot de 100 dés contient 25 dés pipés tels que la probabilité d’apparition d’un six soit de
1/2. On choisit un dé au hasard, on le jette, et on obtient un 6. Quelle est la probabilité que le
dé soit pipé ?
Exercice 5 - Pièces défectueuses - Deuxième année - ⋆
Une usine fabrique des pièces, avec une proportion de 0,05 de pièces défectueuses. Le contrôle
des fabrications est tel que :
– si la pièce est bonne, elle est acceptée avec la probabilité 0,96.
– si la pièce est mauvaise, elle est refusée avec la probabilité 0,98.
On choisit une pièce au hasard et on la contrôle.Quelle est la probabilité
1. qu’il y ait une erreur de contrôle ?
2. qu’une pièce acceptée soit mauvaise ?
Exercice 6 - Compagnie d’assurance - Deuxième année - ⋆
Une compagnie d’assurance répartit ses clients en trois classes R1, R2 et R3 : les bons
risques, les risques moyens, et les mauvais risques. Les effectifs de ces trois classes représentent
20% de la population totale pour la classe R1, 50% pour la classe R2, et 30% pour la classe R3.
Les statistiques indiquent que les probabilités d’avoir un accident au cours de l’année pour une
personne de l’une de ces trois classes sont respectivement de 0.05, 0.15 et 0.30.
1. Quelle est la probabilité qu’une personne choisie au hasard dans la population ait un
accident dans l’année ?
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indépendance : énoncé
2. Si M.Martin n’a pas eu d’accident cette année, quelle est la probabilité qu’il soit un bon
risque ?
Exercice 7 - La rumeur - L2 - ⋆⋆
Une information est transmise à l’intérieur d’une population. Avec une probabilité p, c’est
l’information correcte qui est transmise à chaque étape d’une personne à une autre. Avec une
probabilité 1 − p, c’est l’information contraire qui est transmise. On note pn la probabilité que
l’information après n transmissions soit correcte.
1. Donner une relation de récurrence entre pn+1 et pn.
2. En déduire la valeur de pn en fonction de p et de n.
3. En déduire la valeur de limn pn. Qu’en pensez-vous ?
Exercice 8 - Sauts de puce - L2/ECS - ⋆⋆
Une particule se trouve à l’instant 0 au point d’abscisse a (a entier), sur un segment gradué
de 0 à N (on suppose donc 0 ≤ a ≤ N). A chaque instant, elle fait un bond de +1 avec la
probabilité p (0 < p < 1/2), ou un bond de −1 avec la probabilité q = 1 − p. Autrement dit, si
xn est l’abscisse de la particule à l’instant n, on a :
xn+1 =
xn + 1 avec probabilité p
xn − 1 avec probabilité 1 − p.
Le processus se termine lorsque la particule atteint une des extrémités du segment (i.e. s’il existe
xn avec xn = 0 ou xn = N).
1.
Écrire un algorithme qui simule cette marche aléatoire. En particulier, cet algorithme
prendra en entrée l’abscisse a de départ, la longueur N du segment, et produira en sortie
un message indiquant si la marche s’arrête en 0 ou en N, et le nombre de pas nécessaires
pour que le processus s’arrête. On supposera qu’on dispose d’une fonction alea() qui
retourne un nombre aléatoire suivant une loi uniforme sur [0, 1].
2. On note ua la probabilité pour que la particule partant de a, le processus s’arrête en 0.
(a) Que vaut u0 ? uN ?
(b) Montrer que si 0 < a < N, alors ua = pua+1 + qua−1.
(c) En déduire l’expression exacte de ua.
3. On note va la probabilité pour que la particule partant de a, le processus s’arrête en N.
Reprendre les questions précédentes avec va au lieu de ua.
4. Calculer ua + va. Qu’en déduisez-vous ?
Indépendance d’événements
Exercice 9 - Circuit électrique - Deuxième année - ⋆
1. Soient A, B, C trois événements. Montrer que :
P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (A ∩ B) − P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C).
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Exercices - Probabilités conditionnelles et
indépendance : énoncé
2. On dispose de 3 composants électriques C1, C2 et C3 dont la probabilité de fonctionnement
est pi, et de fonctionnement totalement indépendant les uns des autres. Donner la
probabilité de fonctionnement du circuit
(a) si les composants sont disposés en série.
(b) si les composants sont disposés en parallèle.
(c) si le circuit est mixte : C1 est disposé en série avec le sous-circuit constitué de C2 et
C3 en parallèle.
Exercice 10 - Indépendance et contexte - Deuxième année - ⋆
1. Une urne contient 12 boules numérotées de 1 à 12. On en tire une hasard, et on considère
les événements
A = “tirage d’un nombre pair”,
B = “tirage d’un multiple de 3”.
Les événements A et B sont-ils indépendants ?
2. Reprendre la question avec une urne contenant 13 boules.
Exercice 11 - Indépendance impossible - Deuxième année - ⋆⋆
On suppose qu’on a un espace probabilisé tel que l’univers Ω est un ensemble fini de cardinal
un nombre premier p, et que le modèle choisi soit celui de l’équiprobabilité. Prouver que deux
événements A et B non triviaux ne peuvent pas être indépendants.
Exercice 12 - Indicatrice d’Euler - L2/L3/Master Enseignement - ⋆⋆⋆
Soit n > 1 un entier fixé. On choisit de manière équiprobable un entier x dans {1, . . . , n}.
Pour tout entier m ≤ n, on note Am l’événement ”m divise x”. On note également B l’événement
”x est premier avec n”. Enfin, on note p1, . . . , pr les diviseurs premiers de n.
1. Exprimer B en fonction des Apk .
2. Pour tout m ≤ n qui divise n, calculer la probabilité de Am.
3. Montrer que les événements Ap1 , . . . , Apr sont mutuellement indépendants.
4. En déduire la probabilité de B.
5. Application : on note φ(n) le nombre d’éléments inversibles de Z/nZ. Démontrer que
φ(n) = n
r
k=1
1 − 1
Exercice 13 - Deuxième lemme de Borel-Cantelli - L2/L3 - ⋆⋆
Soit (Ω, F, P) un espace probabilisé. Soit (An)n≥0 une suite d’événements indépendants. On
note A = lim sup n An. On suppose que
n P(An) = +∞ et on souhaite prouver que P(A) = 1.
1. Préliminaire. Justifier que pour tout x > −1, ln(1 + x) ≤ x.
2. Soient n ≤ N. On note En,N = N k=n Ak et En =
k≥n Ak.
(a) Démontrer que (n étant fixé), limN→+∞ ln P(En,N) = −∞.
(b) En déduire que P(En) = 0.
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pk
.

Exercices - Probabilités conditionnelles et
indépendance : énoncé
(c) En déduire que P(A) = 1.
Indépendance de variables aléatoires
Exercice 14 - Déterminant - L3 - ⋆⋆
Soient (Xi,j) 1≤i,j≤n2 une suite de variables aléatoires indépendantes définies sur un espace
probabilisté (Ω, A, P). On suppose que ces variables aléatoires ont la même loi suivante : elles
sont à valeurs dans {−1, 1} avec P(Xi,j = 1) = P(Xi,j = −1) = 1
2 . On note M la matrice
M = (Xi,j) 1≤i≤j≤n2. Quelle est l’espérance du déterminant de M ?
Problèmes ouverts
Exercice 15 - Tests de dépistage - Deuxième année - ⋆⋆
Vous êtes directeur de cabinet du ministre de la santé. Une maladie est présente dans la
population, dans la proportion d’une personne malade sur 10000. Un responsable d’un grand
laboratoire pharmaceutique vient vous vanter son nouveau test de dépistage : si une personne
est malade, le test est positif à 99%. Si une personne n’est pas malade, le test est positif à 0, 1%.
Autorisez-vous la commercialisation de ce test ?
Exercice 16 - Menteur ! - Deuxième année - ⋆⋆⋆
Vous jouez à pile ou face avec un autre joueur. Il parie sur pile, lance la pièce, et obtient
pile. Quelle est la probabilité pour qu’il soit un tricheur ?
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