Arithmétique exercices - Laroche - Free

. Soit S la somme des diviseurs de N. Montrez que
Déduisez en une expression « simple » de S.
2 α 2 β
S = (1 + a + a + ... + a )(1 + b + b + ... + b ) .
S a b
c. Montrez alors que pour α et β suffisamment grands on a ≈ . .
N a− 1 b − 1
3. Application numérique :
100 200
N = 5 7 ; trouver une valeur approchée de S.
Rappel : la somme des n premiers termes d’une suite géométrique de premier terme u 0 et de raison q est
n+
1
1−
q
u0
.
1−
q
Correction : voir Antisèches TS.
3. 40. Racines rationnelles (méthode de Descartes)
1. Montrer que si p et q sont deux entiers relatifs premiers entre eux, il en est de même de p et q 3 .
2. On se propose de trouver les solutions rationnelles de l’équation :
3 2
(1) : 3x − 2x + 6x − 4 = 0 .
On rappelle qu’un nombre rationnel est le quotient de deux entiers relatifs.
a. Soit a
un nombre rationnel écrit sous forme irréductible. Montrer que s’il est solution de (1) alors a
b
divise 4 et b divise 3.
b. Montrer qu’une solution de (1) ne peut pas être négative.
c. Déduire de ce qui précède que la seule solution rationnelle de (1) est 2
3 .
3 2
3. Résoudre dans Q l’équation 3x − 2x + 6x − 4 = 0 .
3. 41. QCM, Banque exercices 2004 - 29
L’exercice propose cinq affirmations numérotées de 1 à 5.
Pour chacune de ces affirmations, dire si elle est vraie ou si elle est fausse, en justifiant le choix effectué.
1. Si un nombre est divisible par 4, alors il est divisible par 8.
2. Si un nombre est divisible par 2 et par 3, alors il est divisible par 6.
3. Si un nombre est divisible par 4 et par 6, alors il est divisible par 24.
4. Si deux entiers a et b sont premiers entre eux, alors les entiers a + b et a − b sont premiers entre eux.
5. Si deux entiers a et b sont premiers entre eux, alors les entiers 2a + b et 3a + 2b sont
premiers entre eux.
3. 42. Cryptographie, Banque exercices 2004 - 30
1. a. Déterminer deux entiers relatifs u et v tels que 7u − 13v = 1.
b. En déduire deux entiers relatifs u 0 et v 0 tels que 14u 0 − 26v 0 = 4.
c. Déterminer tous les couples (a, k) d’entiers relatifs tels que 14a − 26k = 4.
2. On considère deux entiers naturels a et b. Pour tout entier n, on note ϕ(n) le reste de la division
euclidienne de an + b par 26.
On décide de coder un message, en procédant comme suit : à chaque lettre de l’alphabet on associe un
entier compris entre 0 et 25, selon le tableau :
Lettre A B C D E F G H I J K L M
Nombre 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Lettre N O P Q R S T U V W X Y Z
Terminale S 9 F. Laroche
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