Arithmétique exercices - Laroche - Free

a. Peut on trouver S tel que 3 soit solution de (E) ? Si oui, préciser la deuxième solution.
b. Même question avec 5 ?
c. Montrer que tout entier n solution de (E) est un diviseur de 11994. En déduire toutes les valeurs possibles
de S.
3. 36. Base de numération 1
1. Résoudre dans ℤ l’équation 5242 + 13x = 6y.
2. Soit N le nombre dont l’écriture dans le système de numération de base 13 est N = 25x3 . Pour quelles
valeurs de x :
* N est-il divisible par 6 ?
* N est-il divisible par 4 ?
* N est-il divisible par 24 ? (24 est écrit en décimal…).
3. 37. Base de numération 2
1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, 3 2n – 1 est divisible par 8.
En déduire que 3 2n+2 + 7 est un multiple de 8 et que 3 2n+4 – 1 est un multiple de 8.
2. Déterminer les restes de la division par 8 des puissances de 3.
3. Le nombre p étant un entier naturel, on considère le nombre A p défini par : A p = 3 p + 3 2p + 3 3p + 3 4p .
a. Si p = 2n, quel est le reste de la division de A p par 8 ?
b. Démontrer que, si p = 2n + 1, A p est divisible par 8.
4. On considère les nombres a et b écrits dans le système "base 3" :
a = ______
1110 trois .
b = ______________
101010100 trois .
Les nombres a et b sont-ils divisibles par 8 ?
5. De même, on considère le nombre c = ______________________
2002002002000 trois . Démontrer que c est divisible par 16.
Remarque : pour les questions 4 et 5, on raisonnera sans utiliser la valeur numérique en base dix des
nombres a, b, c.
3. 38. Somme des cubes
1. Calculer, en fonction de n, la somme des n premiers entiers naturels non nuls.
2. Démontrer par récurrence que
n n
3
∑ ∑
p= 1 p=
1
2
n
n =∑
p=
1
⎛ ⎞
p = ⎜ p ⎟ . Exprimer s p
⎜ ⎟
⎝ ⎠
3. Soit D n le PGCD des nombres s n et s n+1 . Calculer D n lorsque
a. n= 2k,
b. n = 2k+1.
En déduire que s n, s n+1 et s n+2 sont premiers entre eux.
3. 39. Somme des diviseurs
1. On considère le nombre
3 2
n = 200 = 2 5 .
Terminale S 8 F. Laroche
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3
en fonction de n.
a. Combien n a-t-il de diviseurs ? En utilisant un arbre, calculez les tous et faites leur somme s.
b. Vérifiez que
2 3 2
s = (1+ 2 + 2 + 2 )(1 + 5 + 5 ) .
α β
2. On considère maintenant le nombre N = a b où a et b sont deux nombre premiers, α et β des
entiers.
a. Quel est le nombre de diviseurs de N ?