Arithmétique exercices - Laroche - Free

Si m
n ,
m'
n '
,
m''
m' m + m''
sont trois termes successifs d’une suite de Farey, alors = .
n ''
n' n+ n''
Farey était un géologue britannique. Il introduisit en 1816 les suites qui portent son nom, en en énonçant
les propriétés que nous venons de voir. Cauchy compléta ses preuves.
On peut aussi parler de l’approximation rationnelle d’un réel, par exemple sous l’aspect graphique, pour
commencer. Les meilleures fractions approximantes sont les réduites de la fraction continuée. Le “Résultat”
ci-dessus permet d’affirmer que deux réduites consécutives m
n et
m'
vérifient l’équation : nm’ – mn’ = 1
n '
ou – 1.
Terminale S 63 F. Laroche
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