Arithmétique exercices - Laroche - Free

Partie C
Evident… inutile de dépasser 1999 ≈ 44,7 …
4. 132. Diviseurs+pgcd, Bac C, Lyon, 1981
n désigne un entier naturel.
6 1999 2005
1999 6 2005
3998 3 4001
5997 2 5999
11994 1 11995
1. Montrer que le pgcd de n – 1 et n + 3 est le même que celui de n + 3 et 4.
Quelles valeurs peut prendre le pgcd de n – 1 et n + 3 ?
2. Déterminer l’ensemble des entiers naturels n tels que n – 1 divise n + 3.
3. Montrer que pour tout n, les entiers n – 1 et n 2 + 2n – 2 sont premiers entre eux.
4. Déterminer l’ensemble des entiers n tels que (n – 1)(2n + 1) divise (n + 3)(n 2 + 2n – 2).
4. 133. Bézout + ppcm, Bac C, Japon 1980
1. On considère dans Z 2 l’équation (E) :18a + 23b = 2001.
a. Montrer que pour tout couple (a, b) solution de (E) a est un multiple de 23 et b un multiple de 3.
b. Déterminer une solution de (E).
c. Résoudre (E).
2. Déterminer les couples (p, q) d’entiers tels que 18d + 23m = 2001, où d désigne le pgcd de p et q, et m
leur ppcm.
4. 134. Base et diviseurs, Bac C, Inde, 1979
Soit B un entier strictement supérieur à 3. Dans tout ce qui suit, les écritures surlignées représentent des
nombres écrits en base B
1. Montrer que 132 est divisible par B + 1 et B + 2
2. Pour quelles valeurs de B 132 est il divisible par 6 ?
3. Montrer que A = 1320 est divisible par 6.
4. 135. Bases+congruences, Bac C, Aix, 1976
1. Déterminer suivant les valeurs de l’entier naturel n le reste de la division euclidienne de 4 n par 7.
2. Déterminer suivant les valeurs de l’entier naturel n le reste de la division euclidienne de
3n 2n
n
A = 851 + 851 + 851 + 2 par 7 (on pourra remarquer que 851 4[ mod7 ]
3. On considère le nombre B qui s’écrit
division euclidienne de B par 4.
≡ ).
4. 136. Nombres de Farey et approximation d’un rationnel par un rationnel
Définition
4
2103211 . Déterminer dans le système décimal le reste de la
On dira que deux fractions irréductibles m
n et
m'
m m'
sont consécutives si < et s’il n’existe pas de
n '
n n'
fraction a
⎤ m m'
⎡
comprise dans l’intervalle ouvert ;
b ⎥
⎦ n n'
⎢
telle que b soit inférieur au plus petit des deux
⎣
dénominateurs n et n’.
Terminale S 61 F. Laroche
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