Arithmétique exercices - Laroche - Free

n+ 6 n
b. Démontrer que, pour tout n, 3 − 3 est divisible par 7. En déduire que
dans la division par 7.
c. A l’aide des résultats précédents, calculer le reste de la division euclidienne de 1000
3 par 7.
6
3 n+ et 3 n ont même reste
d. De manière générale, comment peut-on calculer le reste de la division euclidienne de 3 n par 7, pour n
quelconque ?
e. En déduire que, pour tout entier naturel n, 3 n est premier avec 7.
n−1
2 n−1 i
2. Soit un
= 1+ 3 + 3 + ... + 3 =∑ 3 , n entier supérieur ou égal à 2.
1 n
a. Montrer que n ( 3 1 )
u = − .
2
i=
0
b. Déterminer les valeurs de n telles que u n soit divisible par 7.
c. Déterminer tous les diviseurs de u 6 .
Correction
1. a.
0 1 2 3 4 5 6
3 = 1 ≡ 1[7], 3 = 3 ≡ 3[7], 3 = 9 ≡ 2[7], 3 ≡ 3× 2[7] ≡ 6[7], 3 ≡ 4[7], 3 ≡ 5[7], 3 ≡ 1[7].
Tous les 6 termes on retourne au point de départ.
n 6 n n 6
b. 3 3 3 ( 3 1 )
+ 6
− = − or 3 1[7]
≡ donc 6
c. Divisons 1000 par 6 : 1000 6 166 4
1000
3 ≡ 4[7] .
3 − 1 est divisible par 7.
1000 6 4
= × + donc ( ) 166
3 = 3 × 3 ; comme
6
3 ≡ 1[7] et
4
3 ≡ 4[7] ,on a
d. En divisant n par 6 on a une partie qui sera congrue à 1 et l’autre tombera dans les restes calculés au 1.a.
e. En aucun cas on ne peut trouver un reste nul donc pour tout entier naturel n, 3 n est premier avec 7.
1 n
2. a. On a la somme des termes d’une suite géométrique de raison 3, de premier terme 1 : n ( 3 1 )
n
b. u n est divisible par 7 lorsque 3 ≡ 1[7] , soit lorsque n est un multiple de 6.
6
−
c. u6
( )( )
3 1 1 3 3 2
3 1 3 1 2 7 13
= = − + = × × ; tous les diviseurs sont donc
2 2
1, 13, 7, 91, 2, 26, 14, 182, 4, 52, 28, 364.
4. 122. PGCD & parité, N. Calédonie, déc. 1999
5 points
Soit n un entier naturel non nul, on considère les entiers suivants : N = 9n + 1 et M = 9n − 1.
1. On suppose que n est un entier pair.Onpose n = 2p, avec p entier naturel non nul.
a. Montrer que M et N sont des entiers impairs.
b. En remarquant que N = M + 2, déterminer le PGCD de M et N.
2. On suppose que n est un entier impair. On pose n = 2p + 1, avec p entier naturel.
a. Montrer que M et N sont des entiers pairs.
b. En remarquant que N = M + 2, déterminer le PGCD de M et N.
3. Pour tout entier naturel non nul n, on considère l’entier 81n 2 − 1.
a. Exprimer l’entier 81n 2 − 1 en fonction des entiers M et N.
b. Démontrer que si n est pair alors 81n 2 − 1 est impair.
c. Démontrer que 81n 2 − 1 est divisible par 4 si et seulement si n est impair.
u = − .
2
Terminale S 55 F. Laroche
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