Arithmétique exercices - Laroche - Free

(E) :
2 2 2
x + y = p .
1. On pose p = 2. Montrer que l’équation (E) est sans solution.
On suppose désormais que p est différent de 2 et que le couple (x ; y) est solution de l’équation (E).
2. Le but de cette question est de prouver que x et y sont premiers entre eux.
a. Montrer que x et y sont de parités différentes.
b. Montrer que x et y ne sont pas divisibles par p.
c. En d éduire que x et y sont premiers entre eux.
3. On suppose maintenant que p est une somme de deux carrés non nuls, c’est-à-dire :
et v sont deux entiers naturels strictement positifs.
2 2
a. Vérifier qu’alors le couple ( u v ; 2uv
)
− est solution de l’´equation (E).
b. Donner une solution de l’équation (E), lorsque p = 5 puis lorsque p = 13.
2 2
p = u + v où u
4. On se propose enfin de vérifier sur deux exemples, que l’équation (E) est impossible lorsque p n’est pas
somme de deux carrés.
a. p = 3 et p = 7 sont-ils somme de deux carrés ?
2 2
2 2
b. Démontrer que les équations x + y = 9 et x + y = 49 n’admettent pas de solution en entiers naturels
strictement positifs.
4. 103. Bézout, France, juin 2002
1. On considère l’équation (E) : 6x + 7y = 57 où x et y sont des entiers relatifs.
a. Déterminer un couple d’entiers relatifs (u ; v) tel que 6u + 7v = 1 ; en déduire une solution particulière
(x 0 ; y 0) de l’équation (E).
b. Déterminer les couples d’entiers relatifs solutions de l’équation (E).
2. Soit un repère orthonormal ( O ; i , j , k ) de l’espace.
On considère le plan (P) d’équation : 6x + 7y + 8z = 57.
On considère les points du plan (P) qui appartiennent aussi au plan ( O ; i , j ) . Montrer qu’un seul de ces
points a pour coordonnées des entiers naturels ; déterminer les coordonnées de ce point.
3. On considère un point M du plan (P) dont les coordonnées x, y et z sont des entiers naturels.
a. Montrer que l’entier y est impair.
b. On pose y = 2p + 1 où p est un entier naturel.
Montrer que le reste dans la division euclidienne de p + z par 3 est égal à 1.
c. On pose p + z = 3q + 1 où q est un entier naturel. Montrer que les entiers naturels x, p et q vérifient la
relation : x + p + 4q = 7.
En déduire que q prend les valeurs 0 ou 1.
d. En déduire les coordonnées de tous les points de (P) dont les coordonnées sont des entiers naturels.
4. 104. PGCD, Polynésie, juin 2002
n est un entier naturel supérieur ou égal à 2.
1. Montrer que n et 2n + 1 sont premiers entre eux.
2. On pose α = n + 3 et β = 2n+ 1 et on note δ le PGCD de α et β .
a. Calculer 2α − β et en déduire les valeurs possibles de δ .
b. Démontrer que α et β sont multiples de 5 si et seulement si (n − 2) est multiple de 5.
⎧ 3 2
⎪ a = n + 2n − 3n
3. On considère les nombres a et b définis par : ⎨ .
2
⎪⎩ b = 2n − n−
1
Terminale S 46 F. Laroche
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