Arithmétique exercices - Laroche - Free

More documents

Recommendations

Info

⎧ x0 = 3, xn+ 1 = 2xn −1 ⎨ . ⎩ y0 = 1, yn+ 1 = 2yn + 3 1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, Terminale S 44 F. Laroche Arithmétique http://laroche.lycee.free.fr xn n+ 1 = 2 + 1. 2. a. Calculer le PGCD de x 8 et x 9 , puis celui de x 2002 et x 2003 . Que peut-on en déduire pour x 8 et x 9 d’une part, pour x 2002 et x 2003 d’autre part ? b. n x et n 1 x + sont-ils premiers entre eux pour tout entier naturel n ? 3. a. Démontrer que pour tout entier naturel n, 2x − y = 5 . b. Exprimer y n en fonction de n. n n c. En utilisant les congruences modulo 5, étudier suivant les valeurs de l’entier naturel p le reste de la division euclidienne de 2 p par 5. d. On note n d le PGCD de n x et n y pour tout entier naturel n. Démontrer que l’on a dn = 1 ou dn= 5 ; en déduire l’ensemble des entiers naturels n tels que x n et y n soient premiers entre eux. 4. 98. Repunit, Am. du Sud, décembre 2002 On considère la suite d’entiers définie par a n = 111 . . . 11 (l’écriture décimale de a n est composée de n chiffres 1). On se propose de montrer que l’un, au moins, des termes de la suite est divisible par 2001. 1. En écrivant a n sous la forme d’une somme de puissances de 10, montrer que pour tout entier naturel n non nul, an n 10 −1 = . 9 2. On considère la division euclidienne par 2001 : expliquer pourquoi parmi les 2002 premiers termes de la suite, il en existe deux, au moins, ayant le même reste. Soit a n et a p deux termes de la suite admettant le même reste (n < p). Quel est le reste de la division euclidienne de a p − a n par 2001 ? 3. Soit k et m deux entiers strictement positifs vérifiant k < m. Démontrer l’égalité : 10 k a − a = a − × . m k m k 4. Calculer le PGCD de 2001 et de 10. Montrer que si 2001 divise am − ak , alors 2001 divise am− k . 5. Démontrer alors que l’un, au moins, des termes de la suite est divisible par 2001. 4. 99. Eq. dioph., N. Calédonie, nov. 2002 On considère deux entiers naturels, non nuls, x et y premiers entre eux. On pose S = x + y et P = xy. 1. a. Démontrer que x et S sont premiers entre eux, de même que y et S. b. En déduire que S = x + y et P = xy sont premiers entre eux. c. Démontrer que les nombres S et P sont de parités différentes (l’un pair, l’autre impair). 2. Déterminer les diviseurs positifs de 84 et les ranger par ordre croissant. 3. Trouver les nombres premiers entre eux x et y tels que : SP = 84. 4. Déterminer les deux entiers naturels a et b vérifiant les conditions suivantes : ⎧⎪ a + b = 84 ⎨ avec d = PGCD(a ; b) 3 ⎪⎩ ab = d (on pourra poser a = dx et b = dy avec x et y premiers entre eux). 4. 100. Bézout+rotation, France, sept. 2002 On considère un rectangle direct ABCD vérifiant : AB = 10 cm et AD = 5 cm.
1. Faire une figure : construire ABCD, puis les images respectives M, N et P de B, C et D par la rotation r de π centre A et d’angle . 2 2. a. Construire le centre Ω de la rotation r’ qui vérifie r’(A) = N et r’(B) = P. Déterminer l’angle de r’. b. Montrer que l’image de ABCD par r’ est AMNP. c. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation Terminale S 45 F. Laroche Arithmétique http://laroche.lycee.free.fr −1 r r' . 3. On considère les images successives des rectangles ABCD et AMNP par la translation de vecteur DM . Sur la demi-droite [DA), on définit ainsi la suite de points (Ak), k > 1, vérifiant, en cm, DA = 5 + 15k . Sur la même demi-droite, on considère la suite de points (En), n > 1, vérifiant, en cm, DE = 6,55n . a. Déterminer l’entier k tel que E 120 appartienne à [A k, A k+1]. Que vaut la longueur A kE 120 en cm ? b. On cherche dans cette question pour quelle valeur minimale n 0 le point point A k. Montrer que si un point E n est confondu avec un point A k alors 131n − 300k = 100. Vérifier que les nombres n = 7 100 et k = 3 100 forment une solution de cette équation. Déterminer la valeur minimale n 0 recherchée. 4. 101. Bézout & suites, Asie, juin 2002 ⎧ 7 1 xn+ 1 = xn + yn + 1 ⎪ On considère les suites (xn) et (yn) définies par x0 = 1, y0 = 8 et 3 3 ⎨ , n∈ℕ . ⎪ 20 8 yn+ 1 = xn + yn + 5 ⎪⎩ 3 3 n k E n est confondu avec un 0 1. Montrer, par récurrence, que les points Mn de coordonnées (xn ; yn) sont sur la droite ( ∆ ) dont une équation est 5x − y + 3 = 0. En déduire que xn+ 1 4xn 2 = + . 2. Montrer, par récurrence, que tous les x n sont des entiers naturels. En déduire que tous les y n sont aussi des entiers naturels. 3. Montrer que : a. x n est divisible par 3 si et seulement si y n est divisible par 3. b. Si x n et y n ne sont pas divisibles par 3, alors ils sont premiers entre eux. 1 n 4. a. Montrer, par récurrence, que n ( 4 5 2 ) x = × − . 3 n b. En déduire que 4 × 5 − 2 est un multiple de 3, pour tout entier naturel n. 4. 102. Triplets pythag., C. étrangers, juin 2002 Soit p un nombre premier donné. On se propose d’étudier l’existence de couples (x ; y) d’entiers naturels strictement positifs vérifiant l’équation :
Page 1 and 2: Terminale S Arithmétique exercices
Page 3 and 4: 1. 5. PGCD - 1 (c) Trouvez le PGCD
Page 5 and 6: Correction « Si l’entier M est d
Page 7 and 8: 2. Démontrer que si x et y sont de
Page 9 and 10: . Soit S la somme des diviseurs de
Page 11 and 12: Les nombres 1 ; 11 ; 111 ; 1111 ; e
Page 13 and 14: Proposition 3 : « Il existe des co
Page 15 and 16: (pas de courbe visible) graphique 1
Page 17 and 18: On note d(M, P) la distance d’un
Page 19 and 20: Affirmation : a ≡ b[ p ] si et se
Page 21 and 22: 2. Soit x un entier relatif. 2 Prop
Page 23 and 24: C. Une propriété des points situ
Page 25 and 26: . Soit ( a ; b ) une solution de (
Page 27 and 28: 4. 70. Surface+éq. dioph., Polyné
Page 29 and 30: c. Donner l’ordre modulo 7 de tou
Page 31 and 32: Vérifier que, pour un tel couple,
Page 33 and 34: 2. Montrer que, pour tout entier na
Page 35 and 36: 2. Justifier que si le couple (a ;
Page 37 and 38: u ≡ 2(modulo 4) et u 2 + 1 ≡ 0(
Page 39 and 40: En itérant (et en descendant), il
Page 41 and 42: mu nv d d d ⎛ mu nv a −1 ⎞
Page 43: 2. Soit n un entier naturel non nul
Page 47 and 48: Montrer, après factorisation, que
Page 49 and 50: Un astronome a observé au jour J 0
Page 51 and 52: 4. 114. PGCD & PPCM, N. Calédonie,
Page 53 and 54: 4. 119. Bézout et plans, Asie juin
Page 55 and 56: n+ 6 n b. Démontrer que, pour tout
Page 57 and 58: Correction 1. Il semble que lorsque
Page 59 and 60: 3. L’entier (n − 1)! + 1 est-il
Page 61 and 62: Partie C Evident… inutile de dép
Page 63: Si m n , m' n ' , m'' m' m + m'' so

Arithmétique exercices - Laroche - Free

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?