Arithmétique exercices - Laroche - Free

2. Soit n un entier naturel non nul. On note a n et b n les entiers naturels tels que : ( )
1+ 6 = a + b 6 .
a. Que valent a 1 et b 1 ? D’après les calculs de la question 1. a., donner d’autres valeurs de a n et b n.
b. Calculer a n+1 et b n+1 en fonction de a n et b n.
c. Démontrer que, si 5 ne divise pas an + bn, alors 5 ne divise pas non plus an+ 1 + bn+
1 . En déduire que, quel
que soit n entier naturel non nul, 5 ne divise pas an + bn
.
d. Démontrer que, si a n et b n sont premiers entre eux, alors a n+1 et b n+1 sont premiers entre eux. En déduire
que, quel que soit n entier naturel non nul, a n et b n sont premiers entre eux.
Correction
4 2
1. a. ( ) 2
1+ 6 = 1+ 2 6 + 6 = 7 + 2 6 , ( ) ( )
6
( ) ( )( )
1+ 6 = 73 + 28 6 7 + 2 6 = 847 + 342 6 ..
1+ 6 = 7 + 2 6 = 73 + 28 6 ,
b. 847 = 342× 2 + 163 ; 342 = 163× 2 + 16 ;163 = 16 × 10 + 3 ;16 = 3× 5 + 1 donc 847 et 342 sont premiers entre
eux.
1+ 6 = a + b 6 .
2. ( )
a. 1 1
n
n n
a = 1, b = 1 ; a2 = 7, b2
= 2 ; a3 = 73, b3
= 28 , etc.
⎧ an+ 1 = an + 6bn
+ 6 = + 6 1+ 6 = + 6 + + 6 donc ⎨
.
⎩ bn+ 1 = an + bn
b. a b ( a b )( ) a b ( a b )
n+ 1 n+ 1 n n n n n n
an+ 1 + bn+ 1 = 2an + 7bn = 2 an + bn + 5bn
; comme 5b n est divisible par 5, si 5 ne divise pas an + bn
, alors 5
ne divise pas non plus an+ 1 + bn+
1 . Par ailleurs 5 ne divise pas a1 + b1
= 2 donc par récurrence 5 ne divise pas
an + bn
.
c. ( )
⎧ an+ 1 = an + 6bn ⎧ an+ 1 − bn+ 1 = 5bn
d. ⎨ ⇔ ⎨
.
⎩ bn+ 1 = an + bn ⎩ 6bn+ 1 − an+ 1 = 5an
Comme il est clair que a n et n
b sont entiers, an+ 1 − bn+
1 et 6bn+ 1 an+
1
− sont divisibles par 5.
Si an+1 et bn+1 ne sont pas premiers entre eux, il existe k tel que an+ 1 kα = , bn+ 1 kβ = (k ne peut être un
multiple de 5 sinon il se mettrait en facteur dans an + bn
qui serait alors divisible par 5). Remplaçons :
( α β )
( β α )
⎧ an+ 1 − bn+ 1 = 5bn
⎧⎪
5bn
= k −
⎨ ⇔ ⎨
⎩ 6bn+ 1 − an+ 1 = 5an ⎪⎩ 5an = k 6 −
Terminale S 43 F. Laroche
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n
n n
d’où a n et b n ont un facteur commun ce qui est contradictoire.
Par ailleurs a 2 et b 2 sont premiers entre eux donc par récurrence a n et b n sont premiers entre eux.
4. 96. PGCD, Asie, juin 2003
1. a. Montrer que, pour tout entier naturel n, 3n − 11n + 48 est divisible par n + 3.
b. Montrer que, pour tout entier naturel n, 3n − 9n + 16 est un entier naturel non nul.
2. Montrer que, pour tous les entiers naturels non nuls a, b et c, l’égalité suivante est vraie :
2
3
PGCD(a ; b) = PGCD(bc − a ; b).
3. Montrer que, pour tout entier naturel n, supérieur ou égal à 2, l’égalité suivante est vraie :
PGCD(3n 3 − 11n ; n + 3) = PGCD(48 ; n + 3).
4. a. Déterminer l’ensemble des diviseurs entiers naturels de 48.
b. En déduire l’ensemble des entiers naturels n tels que
4. 97. Congruences, Liban, mai 2003
Les suites d’entiers naturels (x n) et (y n) sont définies sur ℕ par :
3
3n −11n
soit un entier naturel.
n+
3