Arithmétique exercices - Laroche - Free

mu nv d d
d ⎛ mu nv
a −1 ⎞ ⎛ a −1
⎞ d
Divisons la relation ( a −1) −( a − 1) a = a − 1 par D = a − 1 : ⎜
a 1
d ⎟ − ⎜ =
d ⎟
a −1 ⎟ ⎜ a −1
⎟
; ceci montre
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
qu’il existe deux entiers tels que 1. .
d
a −1
A − a B = D où A =
d
a − 1
et
a −1
B = . A et B sont donc premiers
d
a − 1
entre eux et D est le PGCD de A et B.
c. Le PGCD de 63
2 − 1 et de 60
2 − 1 est obtenu en passant par le PGCD de 63 et 60 qui est d = 3. On a alors
1.63 − 1.60 = 3 d’où en prenant a = 2 :
4. 90. Fermat, La Réunion, juin 2004
63
A = 2 − 1 ,
Terminale S 41 F. Laroche
Arithmétique http://laroche.lycee.free.fr
mu
60
B = 2 − 1 et
nv
3
D = 2 − 1 = 7 .
On rappelle la propriété, connue sous le nom de petit théorème de Fermat :
« Soit p un nombre premier et a un entier naturel premier avec p ; alors
1. Soit p un nombre premier impair.
a. Montrer qu’il existe un entier naturel k, non nul, tel que 2 ≡ 1( p)
.
k
k
p 1
1
a − − est divisible par p ».
b. Soit k un entier naturel non nul tel que 2 ≡ 1( p)
et soit n un entier naturel.Montrer que, si k divise n,
n
alors 2 ≡ 1( p)
.
b
c. Soit b tel que 2 ≡ 1( p)
, b étant le plus petit entier non nul vérifiant cette propriété. Montrer, en utilisant
la division euclidienne de n par b, que si 2 ≡ 1( p)
, alors b divise n.
n
q
2. Soit q un nombre premier impair et le nombre A = 2 − 1 . On prend pour p un facteur premier de A.
a. Justifier que : 2 ≡ 1( p)
.
b. Montrer que p est impair.
b
q
c. Soit b tel que 2 ≡ 1( p)
, b étant le plus petit entier non nul vérifiant cette propriété. Montrer, en utilisant
1. que b divise q. En déduire que b = q.
d. Montrer que q divise p −1, puis montrer que p ≡ 1(2 q)
.
17
3. Soit A 1 = 2 − 1.
Voici la liste des nombres premiers inférieurs à 400 et qui sont de la forme 34m+1, avec
m entier non nul : 103, 137, 239, 307. En déduire que A1 est premier.
4. 91. Restes chinois + plan, N. Calédonie, sept 2003
1. a. Soit p un entier naturel. Montrer que l’un des trois nombres p, p +10 et p +20, et l’un seulement est
divisible par 3.
b. Les entiers naturels a, b et c sont dans cet ordre les trois premiers termes d’une suite arithmétique de
raison 10. Déterminer ces trois nombres sachant qu’ils sont premiers.
2. Soit E l’ensemble des triplets d’entiers relatifs (u, v, w) tels que 3u +13v +23w = 0.
a. Montrer que pour un tel triplet v ≡ w(mod
3) .
b. On pose v = 3k +r et w = 3k’ +r où k, k’ et r sont des entiers relatifs et 0 ≤ r ≤ 2 . Montrer que les
éléments de E sont de la forme : (−13k − 23k’ − 12r, 3k + r, 3k’ + r).
c. L’espace est rapporté à un repère orthonormal d’origine O et soit P le plan d’équation 3x +13y +23z = 0.
Déterminer l’ensemble des points M à coordonnées (x, y, z) entières relatives appartenant au plan P et
situés à l’intérieur du cube de centre O, de côté 5 et dont les arêtes sont parallèles aux axes.
4. 92. Eq. dioph., Antilles, sept 2003
3 2
Soit l’équation (1) d’inconnue rationnelle x : 78x + ux + vx − 14 = 0 où u et v sont des entiers relatifs.
1. On suppose dans cette question que 14
39
est solution de l’´equation (1).
a. Prouver que les entiers relatifs u et v sont liés par la relation 14u + 39v = 1 129.