Arithmétique exercices - Laroche - Free

« Les nombres dont l’écriture décimale n’utilise que le seul chiffre 1 peuvent-ils être premiers ? »
Pour tout entier naturel p ≥ 2 , on pose Np = 1...1 où 1 apparaît p fois.
On rappelle dès lors que
Np
p−1 p−2
0
= 10 + 10 + ... + 10 .
1. Les nombres N 2 = 11, N 3 = 111, N 4 = 1111 sont-ils premiers ?
2. Prouver que
Np
p
10 −1
p
= . Peut-on être certain que 10 − 1 est divisible par 9 ?
9
3. On se propose de démontrer que si p n’est pas premier, alors N p n’est pas premier.
On rappelle que pour tout nombre réel x et tout entier naturel n non nul,
n
p−1 p−2
x − 1 = ( x − 1)( x + x + ... + x + 1)
a. On suppose que p est pair et on pose p = 2q, où q est un entier naturel plus grand que 1. Montrer que N p
est divisible par N 2 = 11.
b. On suppose que p est multiple de 3 et on pose p = 3q, où q est un entier naturel plus grand que 1.
Montrer que N p est divisible par N 3 = 111.
c. On suppose p non premier et on pose p = kq où k et q sont des entiers naturels plus grands que 1. En
déduire que N p est divisible par N k .
4. Énoncer une condition nécessaire pour que N p soit premier. Cette condition est-elle suffisante ?
4. 89. Fermat et Bézout, National, juin 2004 (c)
1. Montrer que pour tout entier naturel non nul k et pour tout entier naturel x :
2 k−1 k
( x − 1)(1 + x + x + ... + x ) = x − 1 .
Dans toute la suite de l’exercice, on considère un nombre entier a supérieur ou égal à 2.
d
2. a. Soit n un entier naturel non nul et d un diviseur positif de n : n = dk. Montrer que a − 1 est un
n
diviseur de a − 1.
b. Déduire de la question précédente que 2004
2 − 1 est divisible par 7, par 63 puis par 9.
3. Soient m et n deux entiers naturels non nuls et d leur PGCD.
a. On définit m’ et n’ par m = dm’ et n = dn’. En appliquant le théorème de Bézout à m’ et n’, montrer qu’il
existe des entiers relatifs u et v tels que mu − nv = d .
mu nv d d
b. On suppose u et v strictement positifs. Montrer que ( a −1) −( a − 1) a = a − 1.
Montrer ensuite que
d
a − 1 est le PGCD de a − 1 et de a − 1 .
mu
nv
c. Calculer, en utilisant le résultat précédent, le PGCD de 63
2 − 1 et de 60
2 − 1 .
Correction
1. On redémontre le théorème sur la somme des termes d’une suite géométrique : on développe
2 k−1 2 k 2 k−1 k
( x − 1)(1 + x + x + ... + x ) = ( x + x + ... + x ) − (1 + x + x + ... + x ) = x − 1 .
2. a. n = dk. Remplaçons x par
d
n
d
a dans la relation précédente :
d d 2 d d( k−1) dk n
( a − 1)(1 + a + a + ... + a ) = a − 1 = a − 1 .
a − 1 est en facteur dans a − 1,
c’en est bien un diviseur.
b. On effectue la décomposition en facteurs premiers de 2004 :
par
2 3 4 6 12
2 − 1 = 3, 2 − 1 = 7, 2 − 1 = 15, 2 − 1 = 63, 2 − 1 = 4095, ...
comme 9 divise 63 il divise également 2004
2 − 1.
2
2004
2004 = 2 .3.167 donc 2 − 1 est divisible
2004
2 − 1 est donc divisible par 7 et 63 ;
3. a. Bézout dit : m’ et n’ sont premiers entre eux si et seulement si il existe u et v tels que um'+ vn'
= 1 (ou
um'− vn'
= 1).
On multiplie tout par d : udm'+ vdn' = d , soit um + vn = d (ou um − vn = d ).
b. Développons :
mu nv+ d d d mu nv+ d mu nv+ d
a − 1− a + a = a −1 ⇔ a − a = 0 ⇔ a = a ⇔ mu = nv + d ⇔ mu − nv = d .
Terminale S 40 F. Laroche
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