Arithmétique exercices - Laroche - Free

En itérant (et en descendant), il vient : d est un diviseur commun de u 1 = 1 et u o = 1 donc d = 1 et u n+1 et
u n sont premiers entre eux.
4. 86. QCM, Antilles, sept 2004 (c)
Pour chacune des six affirmations, dire si elle est vraie ou si elle est fausse, en justifiant le choix effectué.
1. Le PGCD de 2 004 et 4 002 est 6.
2. Si p et q sont deux entiers naturels non nuls, 2 pq − 1 est divisible par 2 p − 1 et par 2 q − 1.
3. Pour tout n de ℕ *, 2 n − 1 n’est jamais divisible par 9.
4. L’ensemble des couples d’entiers solutions de l’équation : 24x + 35y = 9 est l’ensemble des couples :
(−144+70k ; 99−24k) où k ∈ ℤ .
5. Soient A et B deux points distincts du plan ; si on note f l’homothétie de centre A et de rapport 3 et g
l’homothétie de centre B et de rapport 1
alors g f est la translation de vecteur AB .
3
6. Soit s la similitude d’écriture complexe z’ = iz +(1− i), l’ensemble des points invariants de s est une
droite.
Correction
1. Vrai : 4 002 = 2 004×1+1 998 ; 2 004 = 1 998×1+6 ; 1 998 = 6×336. Le dernier reste non nul est
bien 6.
pq p
q
p
q
m m−1 m−2
2. Vrai : 2 − 1 = ( 2 ) − 1 = ( 2 ) − 1 ; or a 1 ( a 1 )( a a ... 1 )
3. Faux : contre-exemple : 2 6 −1 = 63 est divisible par 9.
− = − + + + .
4. Faux : les méthodes habituelles donnent les solutions (35k −144 ; 99−24k), k∈ℤ .
5. Faux : soit M un point du plan ; son image M1 par f vérifie AM1 = 3AM
. Puis l’image M’ de M1 par g
1 1 1 1 2
BM = MA + AB + BA + AM = MA + AB + BA + × 3AM
= AB .
3 3 3 3 3
vérifie 1 ( 1 )
6. Vrai : les points invariants vérifient z iz ( 1 i )
x y 1 i( y x 1 ) 0 x y 1 0
+ − + − + = ⇔ + − = qui est bien l’équation d’une droite.
4. 87. Congruences, Asie, juin 2004
= + − , soit avec z = x + iy, x + iy = ix − y + 1−
i , soit
On appelle (E) l’ensemble des entiers naturels qui peuvent s’écrire sous la forme 9+a 2 où a est un entier
naturel non nul ; par exemple 10 = 9+1 2 ; 13= 9+2 2 etc.
On se propose dans cet exercice d’étudier l’existence d’éléments de (E) qui sont des puissances de 2, 3 ou 5.
1. Étude de l’équation d’inconnue a : a2 +9 = 2n où a∈ ℕ, n∈ ℕ , n ≥ 4 .
a. Montrer que si a existe, a est impair.
b. En raisonnant modulo 4, montrer que l’équation proposée n’a pas de solution.
2. Étude de l’équation d’inconnue a : a2 +9 = 3n où a∈ ℕ, n∈ ℕ , n ≥ 3 .
a. Montrer que si n ≥ 3 , 3n est congru à 1 ou à 3 modulo 4.
b. Montrer que si a existe, il est pair et en déduire que nécessairement n est pair.
c. On pose n = 2p où p est un entier naturel, p ≥ 2 . Déduire d’une factorisation de 3n − a2 , que l’équation
proposée n’a pas de solution.
3. Étude de l’équation d’inconnue a : a2 +9 = 5n où a∈ ℕ, n∈ ℕ , n ≥ 2 .
a. En raisonnant modulo 3, montrer que l’équation n’a pas de solution si n est impair.
b. On pose n = 2p, en s’inspirant de 2. c. démontrer qu’il existe un unique entier naturel a tel que a 2 + 9
soit une puissance entière de 5.
4. 88. Repunit, Centres étrangers, juin 2004
On se propose dans cet exercice d’étudier le problème suivant :
Terminale S 39 F. Laroche
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