Arithmétique exercices - Laroche - Free

u ≡ 2(modulo 4) et u 2 + 1 ≡ 0(modulo 4) .
2k
3. a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 2u n = 5 n+2 +3.
b. En déduire que, pour tout entier naturel n, 2un ≡ 28(modulo 100) .
4. Déterminer les deux derniers chiffres de l’écriture décimale de u n suivant les valeurs de n.
5. Montrer que le PGCD de deux termes consécutifs de la suite (u n) est constant. Préciser sa valeur.
Correction
1. On calcule u 1 = 64, u 2 = 314, u 3 = 1 564, u 4 = 7 814.
On peut conjecturer que u 2k = . . .14 et u 2k+1 = . . .64.
2. u = 5u − 6 = 5( 5u − 6 ) − 6 = 25u + 36 . Or 24 36 0[ 4 ]
n+ 2 n+ 1
n n
Terminale S 37 F. Laroche
Arithmétique http://laroche.lycee.free.fr
n
k
u + ≡ , donc
( )[ ] ( )[ ] [ ]
un+ 2 un 24un 36 4 un 0 4 un
4
≡ + + ≡ + ≡ .
On en déduit par récurrence que u ≡ u [ ] or u ≡ 2[ 4 ] donc, pour tout naturel k, 2[ 4 ]
2 0 4 k
2 1 1 4
k+
≡ or [ ]
1 64 0 4
De même u u [ ]
3. a. Au rang 0 : 2u 0 = 28 = 52 + 3 : vrai.
0
u = ≡ donc, pour tout naturel k, [ ]
n+
2
Supposons que pour l’entier n, on ait 2u = 5 + 3 alors
n
( ) ( )
n+ 1 n n
= − = × − = + − = + − = + .
u 2k+ 1 ≡ 0 4 .
n+ 2 n+ 3 n+
3
u ≡ .
2u 2 5u 6 5 2u 12 5 5 3 12 5 15 12 5 3
La relation est donc vraie au rang n +1.
b. On a
n+
2
n n+ 2
n = + or 5 1[ 4 ] 5 25[ 100 ]
2u 5 3
( )[ ] [ ]
2u ≡ 25 + 3 100 ≡ 28 100 .
n
≡ ⇒ ≡ en multipliant tout par 25 ; finalement
4. La relation précédente donne un = 14 + 50 k, k∈ℤ
; mais comme u2k ≡ 2[ 4 ] et que 14 2[ 4 ]
50k ≡ 0[ 4 ] et donc lorsque k est pair u ≡ 14[ 100 ] , lorsque k est impair 14 50[ 100 ] 64[ 100 ]
k
k
2k
≡ , il faut
u ≡ + ≡ .
5. On voit que le PGCD de 14 et 64 est 2 ; il faut donc montrer que c’est le cas. Comme on a 5un − u n+
1 = 6 ,
la relation de Bézout montre que PGCD(un+1 ; un) est un diviseur de 6. Or 3 divise 3 mais pas 5 donc 3 ne
n+
2
divise pas 2u = 5 + 3 . Conclusion : PGCD(un+1 ; un) = 2.
n
4. 84. PGCD dans suite, La Réunion, juin 2005
Dans cet exercice, on pourra utiliser le résultat suivant :
« Étant donnés deux entiers naturels a et b non nuls, si PGCD(a ; b) = 1 alors PGCD(a 2 ; b 2 ) = 1 ».
Une suite (S n) est définie pour n >0 par
n
n =∑
p=
1
S p
nul n, le plus grand commun diviseur de S n et S n+1.
⎛ n( n+
1) ⎞
1. Démontrer que, pour tout n > 0, on a : Sn
= ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠ .
2. Étude du cas où n est pair. Soit k l’entier naturel non nul tel que n = 2k.
a. Démontrer que PGCD( S2k ; S2k+ 1)
(2k 1) PGCD( k ;( k 1) )
= + + .
b. Calculer PGCD (k ; k +1).
c. Calculer PGCD(S 2k ; S 2k+1).
3
. On se propose de calculer, pour tout entier naturel non
2 2 2
3. Étude du cas où n est impair. Soit k l’entier naturel non nul tel que n = 2k +1.
a. Démontrer que les entiers 2k +1 et 2k +3 sont premiers entre eux.
b. Calculer PGCD(S 2k+1 ; S 2k+2).
4. Déduire des questions précédentes qu’il existe une unique valeur de n, que l’on déterminera, pour
laquelle S n et S n+1 sont premiers entre eux.
2