Arithmétique exercices - Laroche - Free
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Vérifier que, pour un tel couple, le nombre N = 13× 12v + 6 × 19u<br />
est une solution de (S).<br />
⎧⎪ n ≡ n<br />
2. a. Soit n0 une solution de (S), vérifier que le système (S) équivaut à ⎨<br />
⎪⎩ n ≡ n<br />
⎧⎪ n ≡ n<br />
b. Démontrer que le système ⎨<br />
⎪⎩ n ≡ n<br />
0<br />
0<br />
( 19 )<br />
équivaut à n n0<br />
( 12 19 )<br />
( 12 )<br />
≡ × .<br />
( 19 )<br />
( 12 )<br />
3. a. Trouver un couple (u ; v) solution de l’équation 19u + 12v = 1 et calculer la valeur de N<br />
correspondante.<br />
b. Déterminer l’ensemble des solutions de (S) (on pourra utiliser la question 2. b.).<br />
4. Un entier naturel n est tel que lorsqu’on le divise par 12 le reste est 6 et lorsqu’on le divise par 19 le reste<br />
est 13.<br />
On divise n par 228 = 12 ×19. Quel est le reste r de cette division ?<br />
Correction<br />
Partie A : Question de cours, voir démonstrations arithmétique.<br />
( )<br />
( )<br />
⎪⎧<br />
n ≡ 13 19 ⎧ n ≡ 13 + 19k<br />
Partie B : ( S ) ⎨ ⇔ ⎨<br />
.<br />
⎪⎩ n ≡ 6 12 ⎩ n ≡ 6 + 12k′<br />
1. Théorème de Bézout : 19 et 12 sont premiers entre eux donc il existe un couple (u ; v) d’entiers relatifs<br />
tel que : 19u + 12v = 1.<br />
N = 13× 12v + 6 × 19u<br />
est une solution de (S) : il faut mettre N sous la forme N ≡ 13 + 19k<br />
. Or<br />
12v 1 19u<br />
N = 13 1− 19u + 6 × 19u = 13 + 19× − 7u<br />
; ok.<br />
= − donc ( ) ( )<br />
N = 13× 12v + 6 × 19u = 13× 12v + 6 1− 12v = 6 + 12× 7v<br />
; ok.<br />
De même ( )<br />
2. a. Si n 0 est une solution de (S), on a<br />
⎧ n = 13 + 19k<br />
⎨<br />
⎩ n0 = 6 + 12k0′<br />
0 0<br />
( )<br />
( ′ ′ )<br />
d’où en soustrayant ligne à ligne :<br />
( )<br />
( )<br />
⎧⎪ n − n0 = 19 k − k0 ⎧⎪<br />
n ≡ n0<br />
19<br />
⎨ ⇔ ⎨<br />
⎪⎩ n − n0 = 12 k − k0 ⎪⎩<br />
n ≡ n0<br />
12<br />
b. En fait 19 divise n − n0<br />
de même que 12 ; comme ils sont premiers entre eux, 19 × 12 divise n n0<br />
équivaut à n n ( 12 19 )<br />
≡ × .<br />
0<br />
Terminale S 31 F. <strong>Laroche</strong><br />
<strong>Arithmétique</strong> http://laroche.lycee.free.fr<br />
.<br />
0<br />
0<br />
.<br />
− , ce qui<br />
3. a. Avec l’algorithme d’Euclide on a 19( − 5 ) + 12( 8 ) = 1 ; on peut donc prendre u = −5 dans<br />
N = 13 + 19× ( − 7u<br />
) , ce qui donne N = 678 ; de même on prend v = 8 et N = 6 + 12× ( 7v<br />
) , ce qui redonne<br />
bien N = 678 .<br />
p C, C = p C p C = 0,8 = 0,64 .<br />
b. ( ) ( ) ( ) 2<br />
4. 222.<br />
4. 76. Fermat, Centres étrangers, juin 2006<br />
Le but de l’exercice est d’étudier certaines propriétés de divisibilité de l’entier 4n−1, lorsque n est un entier<br />
naturel.<br />
On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat : « si p est un nombre entier et a<br />
p−1<br />
un entier naturel premier avec p, alors a −1 ≡ 0 mod p ».<br />
Partie A : quelques exemples<br />
1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, 4 n est congru à 1 modulo 3.<br />
2. Prouver à l’aide du petit théorème de Fermat, que 4 28 −1 est divisible par 29.<br />
3. Pour 1 ≤ n ≤ 4 , déterminer le reste de la division de 4n par 17. En déduire que, pour tout entier k, le<br />
nombre 44k −1 est divisible par 17.