Arithmétique exercices - Laroche - Free

1. 5. PGCD - 1 (c)
Trouvez le PGCD des nombres 1640 et 492 en utilisant la décomposition en facteurs premiers, puis en
utilisant l’algorithme d’Euclide.
Correction
Avec l’aide de Maple on a immédiatement :
> ifactor(1640); ifactor(492);
( 2 )
3 ( 5 ) ( 41 )
( 2 )
2 ( 3 ) ( 41 )
et le PGCD : 2
2 .41 = 164 . Avec Euclide :
1. 6. PPCM et PGCD - 2
1640 = 492× 3 + 164
donc…
492 = 164× 3 + 0
Trouvez les deux nombres a et b sachant que leur PGCD est 24 et leur PPCM est 1344.
1. 7. PPCM et PGCD - 3
Trouvez deux entiers dont la différence entre leur PPCM et leur PGCD est 187.
1. 8. Théorème de Gauss-1
1. a est un entier naturel. Montrez que a 5 – a est divisible par 10.
2. a et b sont des entiers naturels avec a ≥ b . Démontrez que si a5 − b5 est divisible par 10 alors a2 – b2 est
divisible par 20.
1. 9. Bases de numération-1
Trouvez toutes les valeurs des chiffres x et y telles que le nombre n = 26x95y dans le système décimal soit
divisible par 3 et 11.
1. 10. Bases de numération-2
A est le nombre qui s’écrit 16524 dans le système à base 7. Ecrivez ce nombre en bases 10, puis 2 et enfin 16
(tous les calculs doivent apparaître).
1. 11. Bases de numération-3
Le nombre N s’écrit 23 dans le système décimal. Peut-il s’écrire 27 dans une autre base ?
1. 12. Ecriture répétée
Soit n un entier naturel qui s’écrit dans le système décimal n = abcabc avec a ≠ 0.
1. a. Déterminer n tel que les deux conditions suivantes soient vérifiées :
* n est divisible par 5,
* L’entier bc est le double de a.
b. Décomposer le nombre ainsi obtenu en produit de facteurs premiers.
2. Etude du cas général
a. Montrer que n est divisible par abc . En déduire qu’il est divisible par 7, 11 et 13.
b. Montrer que n ne peut pas être un carré parfait (c’est à dire le carré d’un entier naturel).
3. Montrer que 121 et 140 sont premiers entre eux.
4. On pose n1 = 121121 et n2 = 140140. On appelle (E) l’équation n1x + n2y = 1001 d’inconnues les entiers
relatifs x et y.
a. Déterminer une solution particulière de (E)
b. Résoudre (E) dans Z 2 .
1. 13. Congruences-1 (c)
Quel est le reste de la division par 7 du nombre (32) 45
Terminale S 3 F. Laroche
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