Arithmétique exercices - Laroche - Free

c. Donner l’ordre modulo 7 de tous les entiers a compris entre 2 et 6.
n n n n n
4. A tout entier naturel n, on associe le nombre A = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 . Montrer que A2006 ≡ 6 mod 7 .
Correction
1. a. On écrit que a = b + 7k
, c = d + 7k' d’où
( 7 )( 7 ' ) 7( ' 7 ' ) [ 7 ]
ac = b + k d + k = bd + bk + dk + kk ⇔ ac ≡ bd .
b. Par récurrence : vrai pour n = 1. Supposons a b mod 7
n
n n
n n n+ 1 n+
1
≡ , alors a a b b[ 7 ] a b [ 7 ]
× ≡ × ⇔ ≡ .
n
2. Pour a = 2 puis pour a = 3, déterminer un entier naturel n non nul tel que a ≡ 1 mod 7 .
On cherche les restes de 2 n et 3 n modulo 7 :
n 1 2 3 4 5 6
2 n 2 4 1 2 4 1
3 n 3 2 6 ou −1 4 ou −3 5 ou −2 1
Donc pour 2 la première valeur de n est 3, pour 3 c’est 6.
p 1
3. a. Théorème de Fermat : si p premier ne divise pas a, alors a 1[
p ]
kq r kq r k
q
r
6 +
b. On a donc 6
( )
r
[ ]
− ≡ d’où avec p = 7 : 6
= kq + r ⇒ a = a = a × a = a a ; comme 1 mod 7
k
a ≡ 1 mod 7 .
k
k
q
q
a ≡ , ( ) 1 [ 7 ] 1[ 7 ]
a ≡ ≡ donc
a ≡ 1 7 . Comme k est le plus petit entier tel que a ≡ 1 mod 7 , r = 0 donc k divise 6, soit k=1, 2, 3 ou 6.
c.
4.
a
2
a mod 7
3
a mod 7
6
a mod 7
1 (k=1) 1 1 1
2 (k=3) 4 1 1
3 (k=6) 2 6 1
4 (k=3) 2 1 1
5 (k=6) 4 6 1
6 (k=2) 1 6 1
2006 2006 2006 2006 2006
A 2006 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 , et 2006 = 2× 1003 = 3× 668 + 2 = 6 × 334 + 2 ; on a donc
668
2006 6
334
2
2006 3
668
2
= ( ) × ≡ [ ] , 3 = ( 3 ) × 3 ≡ 9[ 7 ] ≡ 2[ 7 ] , 4 ( 4 ) 4 16[ 7 ] 2[ 7 ]
2006 3 2
2 2 2 4 7
334
2006 2
1003
= ( ) × ≡ [ ] ≡ [ ] et 6 = ( 6 ) ≡ 1[ 7 ]
2006 6 2
5 5 5 25 7 4 7
= × ≡ ≡ ,
2006 2006 2006 2006 2006
d’où enfin [ ] [ ] [ ]
A 2006 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ≡ 4 + 2 + 2 + 4 + 1 7 ≡ 13 7 ≡ 6 7 .
4. 74. QCM, Polynésie, juin 2006 (c)
Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une
démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
Proposition 1 : « Pour tout entier naturel n, 3 divise le nombre 2 2n − 1 ».
Proposition 2 : « Si un entier relatif x est solution de l’équation
x ≡ 0( modulo 3 ) ».
2
x x 0( modulo 6 )
+ ≡ alors
Proposition 3 : « L’ensemble des couples d’entiers relatifs (x ; y) solutions de l’équation 12x − 5y = 3 est
l’ensemble des couples (4+10k ; 9+24k) où k∈ℤ ».
Proposition 4 : « Il existe un seul couple (a ; b) de nombres entiers naturels, tel que a < b et
PPCM(a, b) − PGCD(a, b) = 1 ».
Terminale S 29 F. Laroche
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