Arithmétique exercices - Laroche - Free
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c. Donner l’ordre modulo 7 de tous les entiers a compris entre 2 et 6.<br />
n n n n n<br />
4. A tout entier naturel n, on associe le nombre A = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 . Montrer que A2006 ≡ 6 mod 7 .<br />
Correction<br />
1. a. On écrit que a = b + 7k<br />
, c = d + 7k' d’où<br />
( 7 )( 7 ' ) 7( ' 7 ' ) [ 7 ]<br />
ac = b + k d + k = bd + bk + dk + kk ⇔ ac ≡ bd .<br />
b. Par récurrence : vrai pour n = 1. Supposons a b mod 7<br />
n<br />
n n<br />
n n n+ 1 n+<br />
1<br />
≡ , alors a a b b[ 7 ] a b [ 7 ]<br />
× ≡ × ⇔ ≡ .<br />
n<br />
2. Pour a = 2 puis pour a = 3, déterminer un entier naturel n non nul tel que a ≡ 1 mod 7 .<br />
On cherche les restes de 2 n et 3 n modulo 7 :<br />
n 1 2 3 4 5 6<br />
2 n 2 4 1 2 4 1<br />
3 n 3 2 6 ou −1 4 ou −3 5 ou −2 1<br />
Donc pour 2 la première valeur de n est 3, pour 3 c’est 6.<br />
p 1<br />
3. a. Théorème de Fermat : si p premier ne divise pas a, alors a 1[<br />
p ]<br />
kq r kq r k<br />
q<br />
r<br />
6 +<br />
b. On a donc 6<br />
( )<br />
r<br />
[ ]<br />
− ≡ d’où avec p = 7 : 6<br />
= kq + r ⇒ a = a = a × a = a a ; comme 1 mod 7<br />
k<br />
a ≡ 1 mod 7 .<br />
k<br />
k<br />
q<br />
q<br />
a ≡ , ( ) 1 [ 7 ] 1[ 7 ]<br />
a ≡ ≡ donc<br />
a ≡ 1 7 . Comme k est le plus petit entier tel que a ≡ 1 mod 7 , r = 0 donc k divise 6, soit k=1, 2, 3 ou 6.<br />
c.<br />
4.<br />
a<br />
2<br />
a mod 7<br />
3<br />
a mod 7<br />
6<br />
a mod 7<br />
1 (k=1) 1 1 1<br />
2 (k=3) 4 1 1<br />
3 (k=6) 2 6 1<br />
4 (k=3) 2 1 1<br />
5 (k=6) 4 6 1<br />
6 (k=2) 1 6 1<br />
2006 2006 2006 2006 2006<br />
A 2006 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 , et 2006 = 2× 1003 = 3× 668 + 2 = 6 × 334 + 2 ; on a donc<br />
668<br />
2006 6<br />
334<br />
2<br />
2006 3<br />
668<br />
2<br />
= ( ) × ≡ [ ] , 3 = ( 3 ) × 3 ≡ 9[ 7 ] ≡ 2[ 7 ] , 4 ( 4 ) 4 16[ 7 ] 2[ 7 ]<br />
2006 3 2<br />
2 2 2 4 7<br />
334<br />
2006 2<br />
1003<br />
= ( ) × ≡ [ ] ≡ [ ] et 6 = ( 6 ) ≡ 1[ 7 ]<br />
2006 6 2<br />
5 5 5 25 7 4 7<br />
= × ≡ ≡ ,<br />
2006 2006 2006 2006 2006<br />
d’où enfin [ ] [ ] [ ]<br />
A 2006 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ≡ 4 + 2 + 2 + 4 + 1 7 ≡ 13 7 ≡ 6 7 .<br />
4. 74. QCM, Polynésie, juin 2006 (c)<br />
Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une<br />
démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.<br />
Proposition 1 : « Pour tout entier naturel n, 3 divise le nombre 2 2n − 1 ».<br />
Proposition 2 : « Si un entier relatif x est solution de l’équation<br />
x ≡ 0( modulo 3 ) ».<br />
2<br />
x x 0( modulo 6 )<br />
+ ≡ alors<br />
Proposition 3 : « L’ensemble des couples d’entiers relatifs (x ; y) solutions de l’équation 12x − 5y = 3 est<br />
l’ensemble des couples (4+10k ; 9+24k) où k∈ℤ ».<br />
Proposition 4 : « Il existe un seul couple (a ; b) de nombres entiers naturels, tel que a < b et<br />
PPCM(a, b) − PGCD(a, b) = 1 ».<br />
Terminale S 29 F. <strong>Laroche</strong><br />
<strong>Arithmétique</strong> http://laroche.lycee.free.fr