Arithmétique exercices - Laroche - Free

4. 70. Surface+éq. dioph., Polynésie juin 2007
Partie A
Dans l’espace muni d’un repère orthonormal ( ; , , )
et le cône ( Γ ) d’axe ( O ; k ) , de sommet O et contenant le point A.
1. Montrer qu’une équation de ( Γ ) est
O i j k on considère les points A ( 1 ; 3 ; 2 ) , B( 4 ; 6 ; − 4 )
2 2 5 2
x + y = z .
2
2. Soit (P) le plan parallèle au plan (xOy) et contenant le point B.
a. Déterminer une équation de (P).
b. Préciser la nature de l’intersection (C 1) de (P) et de ( Γ ).
3. Soit (Q) le plan d’équation y = 3 . On note (C2) l’intersection de (Q) et de ( Γ ). Sans justification
reconnaître la nature de (C 2) parmi les propositions suivantes :
Partie B
* deux droites parallèles ;
* deux droites sécantes ;
* une parabole ;
* une hyperbole ;
* un cercle.
Soient x, y et z trois entiers relatifs et M le point de coordonnées ( x ; y ; z ) . Les ensembles (C1) et (C2) sont
les sections définies dans la partie A.
1. On considère l’équation (E) :
a. Résoudre l’équation (E).
2 2
x + y = 40 où x et y sont des entiers relatifs.
b. En déduire l’ensemble des points de (C 1) dont les coordonnées sont des entiers relatifs.
2. a. Démontrer que si le point M de coordonnées ( x ; y ; z ) , où x, y et z sont des entiers relatifs, est un
point de ( Γ ) alors z est divisible par 2 et
b. Montrer que si M est un point de (C 2) alors
2 2
x + y est divisible par 10.
2
x ≡ 1 modulo 10 .
c. Résoudre dans l’ensemble des entiers relatifs l’équation
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2
x ≡ 1 modulo 10 .
d. Déterminer un point de (C 2), distinct de A, dont les coordonnées sont des entiers relatifs.
4. 71. QCM, Liban juin 2007
Pour chacune des 5 propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la
réponse choisie.Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
1. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O ; u, v ) . On considère la transformation
du plan qui à tout point d’affixe z associe le point d’affixe z’ définie par : z' = 2iz + 1 .
Proposition 1 : « Cette transformation est la similitude directe de centre A d’affixe
rapport 2 ».
1 2
5 5 i + , d’angle π
et de
2
2. Dans l’espace muni du repère orthonormal ( O ; i , j , k ) , on note S la surface d’équation
2 2
z = x + 2x + y + 1 .
Proposition 2 : « La section de S avec le plan d’équation z = 5 est un cercle de centre A de coordonnées
(−1 ; 0 ; 5) et de rayon 5 ».
3. Proposition 3 : « 5 750 − 1 est un multiple de 7 ».
4. Proposition 4 : « Si un entier naturel n est congru à 1 modulo 7 alors le PGCD de 3n +4 et de 4n +3 est
égal à 7 ».