Arithmétique exercices - Laroche - Free

. Soit ( a ; b ) une solution de ( 1 ) . Alors :
⎧ a < b
⎪ 2 2
⎨ a + b = 4625 .
⎪
⎩
ppcm ( a ; b ) = 440
d le PGCD de a et b divise a (et aussi 2
a ) et divise b (et aussi 2
b ), d’où d divise
2 2
a + b ; d divise 4625.
De plus, d divise le PPCM de a et b. Donc d divise 440, d est un diviseur commun de 440 et de 4625.
Or les diviseurs de 4625 sont : 1 ; 5 ; 25 ; 37 ; 125 ; 185 ; 925 et 4625.
Les diviseurs de 440 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 8 ; 10 ; 11 ; 20 ; 22 ; 40 ; 44 ; 55 ; 88 ; 110 ; 220 et 440.
d ne peut être égal qu’à 1 ou à 5.
d = , ab pgcd ( a ; b ) ppcm ( a ; b )
* 1
= × , c’est-à-dire ab = 1× 440 = 440 .
a et b sont donc des diviseurs de 440 dont la somme des carrés est égale à 4625 et le produit à 440.
Or ( ) 2 2 2
a+ b = a + b + 2ab = 4625 + 880 = 5505 ; ce qui est impossible car a + b est un entier naturel (en
tant que somme de deux entiers naturels). Il n’y a dans ce cas aucun couple solution de ce système.
* Supposons que 5
d = ; alors ab pgcd ( a ; b ) ppcm ( a ; b )
= × , c’est-à-dire ab = 5× 440 = 2200 .
a et b sont donc des diviseurs de 440 dont la somme des carrés est égale à 4625 et le produit à 2200.
Or ( ) 2 2 2
a b a b 2ab 4625 4400 9025
+ = + + = + = , soit a + b = 95 .
Seul le couple ( 40 ; 55 ) est solution de ce système dans ce cas.
Il existe un seul point M de ( C ) tel que a et b soient des entiers naturels vérifiant a < b et
ppcm( a ; b ) = 440 .
4. 67. Bézout+Fermat, National, sept 2007
1. On considère l’ensemble = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }
a. Pour tout élément a de 7
(soit modulo 7).
A .
7
A écrire dans le tableau ci-dessous l’unique élément y de 7
a 1 2 3 4 5 6
y
b. Pour x entier relatif, démontrer que l’équation 3x ≡ 5[ 7 ] équivaut à 4[ 7 ]
x ≡ .
A tel que ay ≡ 1[ 7 ]
c. Si a est un élément de A 7 , montrer que les seuls entiers relatifs x solutions de l’équation ax ≡ 0[ 7 ] sont
les multiples de 7.
2. Dans toute cette question p est un nombre premier supérieur ou égal à 3.
On considère l’ensemble A { 1 ; 2 ; ... ; p − 1}
Soit a un élément de A p .
a. Vérifier que
p
= des entiers naturels non nuls et strictement inférieurs à p.
p 2
a − est une solution de l’équation ax 1[
p ]
≡ .
p 2
b. On note r le reste dans la division euclidienne de a − par p. Démontrer que r est l’unique solution dans
ax ≡ 1 p .
A de l’équation [ ]
p
c. Soient x et y deux entiers relatifs. Démontrer que xy 0[
p ]
y est un multiple de p.
d. Application : p = 31.
Résoudre dans A 31 les équations 2x ≡ 1[ 31]
et 3x ≡ 1[ 31]
.
≡ si et seulement si x est un multiple de p ou
Terminale S 25 F. Laroche
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