Arithmétique exercices - Laroche - Free

. En déduire un procédé de décodage.
c. Décoder la lettre W.
4. 66. Surface+Eq. dioph., Am Nord, juin 2008 (c)
L’espace est rapporté au repère orthonormal ( O ; i , j , k ) .
On nomme (S) la surface d’équation
2 2 2
x + y − z = 1 .
1. Montrer que la surface (S) est symétrique par rapport au plan (xOy).
2. On nomme A et B les points de coordonnées respectives (3 ; 1 ; −3) et (−1 ; 1 ; 1).
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D) passant par les points A et B.
b. Démontrer que la droite (D) est incluse dans la surface (S).
3. Determiner la nature de la section de la surface (S) par un plan parallèle au plan (xOy).
4. a. On considère la courbe (C), intersection de la surface (S) et du plan d’équation z = 68. Préciser les
éléments caractéristiques de cette courbe.
b. M étant un point de (C), on désigne par a son abscisse et par b son ordonnée.
On se propose de montrer qu’il existe un seul point M de (C) tel que a et b soient des entiers naturels
vérifiant a < b et ppcm(a ; b)= 440, c’est-à-dire tel que (a, b) soit solution du système
⎧ a < b
⎪ 2 2
(1) : ⎨ a + b = 4625 .
⎪
⎩
ppcm ( a ; b ) = 440
Montrer que si (a, b) est solution de (1) alors pgcd(a ; b) est égal à 1 ou 5. Conclure.
Dans cette question toute trace de recherche même incomplete ou d’initiative, même non fructueuse sera prise en
compte dans l’évaluation.
Correction
2 2 2
1. Si M( x ; y ; z ) appartient à ( S ) , alors on a x + y − z = 1 , soit (
2
)
à-dire que le point M′ de coordonnées ( x ; y ; − z ) appartient également à ( )
2 2 2 2 2 1
x + y − − z = x + y − z = , c’est-
S et réciproquement.
Par conséquent, le plan d’équation z = 0 , c’est-à-dire le plan ( xOy ) , est un plan de symétrie de la surface
( S ) .
⎧ x − 3 = − 4k ⎧ x = − 4k + 3
⎪ ⎪
M∈ D ⇔ AM = kAB ⇔ ⎨ y − 1 = 0k ⇔ ⎨ y = 1 , k∈
ℝ .
⎪ z 3 4k ⎪
⎩ + = ⎩ z = 4k − 3
2. a. ( )
b. On remplace x, y et z dans l’équation de ( S ) :
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2
x + y − z = − 4k + 3 + 1 − 4k − 3 = 16k − 24k + 9 + 1− 16k + 24k − 9 = 1 , ce qui est toujours vrai.
On en déduit que tout point de ( D ) appartient à ( S ) , la droite est incluse dans la surface ( S ) .
3. Soit ( P ) un plan parallèle au plan ( xOy ) . ( P ) a alors une équation de la forme z = c où c est un réel,
soit
2 2 2
x y c 1
+ = + qui est l’équation d’un cercle de centre ( 0 ; 0 ; c )
Ω et de rayon
( P ) . La section de la surface ( S ) par un plan parallèle au plan ( xOy ) est un cercle.
4. a. Soit ( C ) la courbe d’intersection de la surface ( S ) et du plan d’équation z = 68 .
D’après la question précédente ( C ) est le cercle de centre ( 0 ; 0 ; 68 )
tracé dans le plan d’équation z = 68 .
Ω et de rayon
2
1+ c , tracé dans
2
1+ 68 = 5 185 ,
Terminale S 24 F. Laroche
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