Arithmétique exercices - Laroche - Free
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. En déduire un procédé de décodage.<br />
c. Décoder la lettre W.<br />
4. 66. Surface+Eq. dioph., Am Nord, juin 2008 (c)<br />
L’espace est rapporté au repère orthonormal ( O ; i , j , k ) .<br />
On nomme (S) la surface d’équation<br />
2 2 2<br />
x + y − z = 1 .<br />
1. Montrer que la surface (S) est symétrique par rapport au plan (xOy).<br />
2. On nomme A et B les points de coordonnées respectives (3 ; 1 ; −3) et (−1 ; 1 ; 1).<br />
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D) passant par les points A et B.<br />
b. Démontrer que la droite (D) est incluse dans la surface (S).<br />
3. Determiner la nature de la section de la surface (S) par un plan parallèle au plan (xOy).<br />
4. a. On considère la courbe (C), intersection de la surface (S) et du plan d’équation z = 68. Préciser les<br />
éléments caractéristiques de cette courbe.<br />
b. M étant un point de (C), on désigne par a son abscisse et par b son ordonnée.<br />
On se propose de montrer qu’il existe un seul point M de (C) tel que a et b soient des entiers naturels<br />
vérifiant a < b et ppcm(a ; b)= 440, c’est-à-dire tel que (a, b) soit solution du système<br />
⎧ a < b<br />
⎪ 2 2<br />
(1) : ⎨ a + b = 4625 .<br />
⎪<br />
⎩<br />
ppcm ( a ; b ) = 440<br />
Montrer que si (a, b) est solution de (1) alors pgcd(a ; b) est égal à 1 ou 5. Conclure.<br />
Dans cette question toute trace de recherche même incomplete ou d’initiative, même non fructueuse sera prise en<br />
compte dans l’évaluation.<br />
Correction<br />
2 2 2<br />
1. Si M( x ; y ; z ) appartient à ( S ) , alors on a x + y − z = 1 , soit (<br />
2<br />
)<br />
à-dire que le point M′ de coordonnées ( x ; y ; − z ) appartient également à ( )<br />
2 2 2 2 2 1<br />
x + y − − z = x + y − z = , c’est-<br />
S et réciproquement.<br />
Par conséquent, le plan d’équation z = 0 , c’est-à-dire le plan ( xOy ) , est un plan de symétrie de la surface<br />
( S ) .<br />
⎧ x − 3 = − 4k ⎧ x = − 4k + 3<br />
⎪ ⎪<br />
M∈ D ⇔ AM = kAB ⇔ ⎨ y − 1 = 0k ⇔ ⎨ y = 1 , k∈<br />
ℝ .<br />
⎪ z 3 4k ⎪<br />
⎩ + = ⎩ z = 4k − 3<br />
2. a. ( )<br />
b. On remplace x, y et z dans l’équation de ( S ) :<br />
( ) ( )<br />
2 2 2 2 2 2 2 2<br />
x + y − z = − 4k + 3 + 1 − 4k − 3 = 16k − 24k + 9 + 1− 16k + 24k − 9 = 1 , ce qui est toujours vrai.<br />
On en déduit que tout point de ( D ) appartient à ( S ) , la droite est incluse dans la surface ( S ) .<br />
3. Soit ( P ) un plan parallèle au plan ( xOy ) . ( P ) a alors une équation de la forme z = c où c est un réel,<br />
soit<br />
2 2 2<br />
x y c 1<br />
+ = + qui est l’équation d’un cercle de centre ( 0 ; 0 ; c )<br />
Ω et de rayon<br />
( P ) . La section de la surface ( S ) par un plan parallèle au plan ( xOy ) est un cercle.<br />
4. a. Soit ( C ) la courbe d’intersection de la surface ( S ) et du plan d’équation z = 68 .<br />
D’après la question précédente ( C ) est le cercle de centre ( 0 ; 0 ; 68 )<br />
tracé dans le plan d’équation z = 68 .<br />
Ω et de rayon<br />
2<br />
1+ c , tracé dans<br />
2<br />
1+ 68 = 5 185 ,<br />
Terminale S 24 F. <strong>Laroche</strong><br />
<strong>Arithmétique</strong> http://laroche.lycee.free.fr