Arithmétique exercices - Laroche - Free

3. a. Démontrer que N a a ... a a [ 11]
écrit en base 12.
≡ + + + + . En déduire un critère de divisibilité par 11 d’un nombre
n n−1
1 0
b. À l’aide de son écriture en base 12, déterminer si N 1 est divisible par 11. Confirmer avec son écriture en
base 10.
4. Un nombre N s’écrit
Correction
Partie A : Question de cours
12
N = x4y . Déterminer les valeurs de x et de y pour lesquelles N est divisible par 33.
Les propriétés de compatibilité de la relation de congruence avec l’addition, la multiplication et les
n n
puissances sont a ≡ a'[ p ] et b ≡ b'[ p ] alors a + b ≡ a'+ b'[ p ] , ab ≡ a'b '[
p ] et a a' [ p ]
Propriété de compatibilité avec la multiplication :
on pose que a = pk + a'
, b ph b'
Partie B
1. a.
12 2
N1 = β1α = 12 × 11+ 12× 1+ 10 = 1606 .
2
= + d’où ab p kh a' ph b' pk a' b' a' b' p(
... )
= + + + = + .
≡ .
b. Il faut diviser par 12 plusieurs fois : 1131 ≡ 12× 94 + 3 , 94 ≡ 12× 7 + 10 = 12× 7 + α , donc
12 2
N2 = 7α3 = 7 × 12 + α × 12 + 3 = 7 × 144 + 10 × 12 + 3 = 1131 .
n−1
2. a. N 12 a ... 12 a a a [ 12 ] a [ 3 ]
= × + + × + ≡ ≡ . Si le dernier chiffre est 0 modulo 3, soit un multiple
de 3 le nombre sera divisible par 3.
n
1 0 0 0
b. N 2 se termine par 3 en base 12, il est divisible par 3. En base 10 la somme des chiffres est 6, il est donc
divisible par 3.
3. a. Chaque puissance de 12 est congrue à 1 modulo 11 donc N a a ... a a [ 11]
des chiffres est un multiple de 11, ce nombre sera divisible par 11.
≡ + + + + . Si la somme
n n−1
1 0
b. La somme des chiffres de N1 en base 12 est β + 1+ α = 11+ 1 + 10 = 22 donc N1 est divisible par 11. En
base 10 on fait la somme des termes de rang pair moins la somme des termes de rang impair : 12−1=11
qui est divisible par 11.
4.
12
N = x4y . N est divisible par 33 si N est divisible par 3 : y = 3k
, et par 11 : x + 4 + y = 11k' .
⎧ y = 3k ⎧ y = 3k
On résoud : ⎨ ⇔ ⎨
; les valeurs possibles de k sont 0, 1, 2, 3 :
⎩ x + 4 + 3k = 11k' ⎩ x = 11k'− 3k − 4
k y x k’ N N (b. 10)
0 0 11k’−4 k’=1 soit x=7 12
740 1056
1 3 11k’−7 k’=1 soit x=4 12
443 627
2 6 11k’−10 k’=1 soit x=1 12
146 198
3 9 11k’−13 k’=2 soit x=9 12
949 1353
4. 62. QCM, Polynésie, juin 2008
Pour chacune des propositions suivantes indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de la
réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche,
même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
1. Proposition 1 : « Pour tout entier naturel n non nul, n et 2n + 1 sont premiers entre eux. »
Terminale S 20 F. Laroche
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