Arithmétique exercices - Laroche - Free

Affirmation : a ≡ b[ p ] si et seulement si na nb[ p ]
≡ .
4. L’espace est muni d’un repère orthonormal ( O ; i , j , k ) . E est l’ensemble des points M de l’espace dont
les coordonnées (x; y; z) vérifient l’équation :
y = 3.
Affirmation : S est un cercle.
2 2
z = x + y . On note S la section de E par le plan d’équation
5. L’espace est muni d’un repère orthonormal ( O ; i , j , k ) . P est la surface d’équation
2 2 2
x + y = 3z
.
Affirmation : O(0 ; 0 ; 0) est le seul point d’intersection de P avec le plan (yOz) dont les coordonnées sont
des nombres entiers.
4. 60. Th. de Wilson, Am du Nord 2009
Soit A l’ensemble des entiers naturels de l’intervalle [1 ; 46].
1. On considère l’équation (E) : 23x + 47y = 1 où x et y sont des entiers relatifs.
a. Donner une solution particulière (x 0, y 0) de (E).
b. Déterminer l’ensemble des couples (x, y) solutions de (E).
c. En déduire qu’il existe un unique entier x appartenant à A tel que 23x ≡ 1[ 47 ] .
2. Soient a et b deux entiers relatifs.
a. Montrer que si ab ≡ 0[ 47 ] alors a ≡ 0[ 47 ] ou 0[ 47 ]
b ≡ .
2
b. En déduire que si a ≡ 1[ 47 ] , alors a ≡ 1[ 47 ] ou 1[ 47 ]
a ≡ − .
3. a. Montrer que pour tout entier p de A, il existe un entier relatif q tel que pq ≡ 1[ 47 ] .
Pour la suite, on admet que pour tout entier p de A, il existe un unique entier, noté inv(p), appartenant à A
p.inv p ≡ 1 47 .
tel que ( ) [ ]
Par exemple : inv(1)= 1 car 1.1 ≡ 1[ 47 ] , inv(2)= 24 car 2.24 ≡ 1[ 47 ] , inv(3)= 16 car 3.16 1[ 47 ]
b. Quels sont les entiers p de A qui vérifient p =inv(p) ?
c. Montrer que 46! ≡ − 1[ 47 ] .
4. 61. ROC+Base 12, N. Calédonie, mars 2008 (c)
5 points
Partie A : Question de cours
≡ .
Quelles sont les propriétés de compatibilité de la relation de congruence avec l’addition, la multiplication
et les puissances ?
Démontrer la propriété de compatibilité avec la multiplication.
Partie B
On note 0, 1, 2, . . . , 9, α , β , les chiffres de l’écriture d’un nombre en base 12. Par exemple :
12 2
βα7 = β × 12 + α × 12 + 7 = 11× 144 + 10× 12 + 7 = 1711 en base 10.
1. a. Soit N 1 le nombre s’écrivant en base 12 :
b. Soit N 2 le nombre s’écrivant en base 10 :
Déterminer l’écriture de N 2 en base 12.
12
1 = 1 . Déterminer l’écriture de N1 en base 10.
N β α
3 2
N 2 = 1131 = 1× 10 + 1× 10 + 3× 10 + 1.
Dans toute la suite un entier naturel N s’écrira de manière générale en base 12 :
2. a. Démontrer que N a [ ]
0 3
12
n n−1...
1 0
N = a a a a .
≡ . En déduire un critère de divisibilité par 3 d’un nombre écrit en base 12.
b. À l’aide de son écriture en base 12, déterminer si N 2 est divisible par 3. Confirmer avec son écriture en
base 10.
Terminale S 19 F. Laroche
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