Arithmétique exercices - Laroche - Free
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3. Étude d'une surface.<br />
(S) est la surface d'équation 4z = xy dans le repère ( O ; i , j , k ) .<br />
Les figures suivantes représentent les intersections de y avec certains plans de l'espace.<br />
figure n° 1 figure n° 2 figure n° 3 figure n° 4<br />
a. S 1 désigne la section de la surface (S) par le plan (xOy). Une des figures données représente S 1, laquelle ?<br />
b. S2 désigne la section de la surface (S) par le plan (R) d’équation z = 1 . Une des figures données représente<br />
S2, laquelle ?<br />
c. S3 désigne la section de la surface (S) par le plan d’équation y = 8 . Une des figures données représente S3, laquelle ?<br />
d. S 4 désigne la section de la surface (S) par le plan (P) d'équation 3x + 2y = 29 de la question 2.<br />
Déterminer les coordonnées des points communs à S 4 et (P) dont l'abscisse x et l'ordonnée y sont des<br />
entiers naturels vérifiant l'équation 3x + 2y = 29.<br />
4. 58. Restes chinois, Asie 2009<br />
⎧⎪ N ≡ 5 13<br />
1. On se propose, dans cette question, de déterminer tous les entiers relatifs N tels que ⎨<br />
⎪⎩ N ≡ 1 17<br />
a. Vérifier que 239 est solution de ce système.<br />
[ ]<br />
[ ]<br />
b. Soit N un entier relatif solution de ce système. Démontrer que N peut s’écrire sous la forme<br />
N = 1+ 17x = 5 + 13y<br />
où x et y sont deux entiers relatifs vérifiant la relation 17x − 13y = 4.<br />
c. Résoudre l’équation 17x − 13y = 4 où x et y sont des entiers relatifs.<br />
d. En déduire qu’il existe un entier relatif k tel que N = 18 + 221k.<br />
⎧⎪ N ≡ 5[ 13 ]<br />
e. Démontrer l’équivalence entre N ≡ 18[ 221]<br />
et ⎨ .<br />
⎪⎩ N ≡ 1[ 17 ]<br />
2. Dans cette question, toute trace de recherche,même incomplète, ou d’initiative,même infruxtueuse, sera prise en<br />
compte dans l’évaluation.<br />
k<br />
a. Existe-t-il un entier naturel k tel que 10 ≡ 1[ 17 ] ?<br />
l<br />
b. Existe-t-il un entier naturel l tel que 10 ≡ 18[ 221]<br />
?<br />
4. 59. QCM, Antilles 2009<br />
Dans chacun des cas suivants, indiquer si l’affirmation proposée est vraie ou fausse et justifier la réponse.<br />
1. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal ( O ; u, v ) . On considère l’application f du plan dans<br />
z' = 1+ i 3 z + 2 3 . On<br />
lui-même qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z’ telle que ( )<br />
note A le point d’affixe 2i.<br />
π<br />
Affirmation : f est la similitude directe, de centre A, d’angle et de rapport 2.<br />
3<br />
2009<br />
2. Affirmation : 1991 2[ 7 ]<br />
≡ .<br />
3. a et b sont deux entiers relatifs quelconques, n et p sont deux entiers naturels premiers entre eux.<br />
Terminale S 18 F. <strong>Laroche</strong><br />
<strong>Arithmétique</strong> http://laroche.lycee.free.fr<br />
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