Arithmétique exercices - Laroche - Free

3. Étude d'une surface.
(S) est la surface d'équation 4z = xy dans le repère ( O ; i , j , k ) .
Les figures suivantes représentent les intersections de y avec certains plans de l'espace.
figure n° 1 figure n° 2 figure n° 3 figure n° 4
a. S 1 désigne la section de la surface (S) par le plan (xOy). Une des figures données représente S 1, laquelle ?
b. S2 désigne la section de la surface (S) par le plan (R) d’équation z = 1 . Une des figures données représente
S2, laquelle ?
c. S3 désigne la section de la surface (S) par le plan d’équation y = 8 . Une des figures données représente S3, laquelle ?
d. S 4 désigne la section de la surface (S) par le plan (P) d'équation 3x + 2y = 29 de la question 2.
Déterminer les coordonnées des points communs à S 4 et (P) dont l'abscisse x et l'ordonnée y sont des
entiers naturels vérifiant l'équation 3x + 2y = 29.
4. 58. Restes chinois, Asie 2009
⎧⎪ N ≡ 5 13
1. On se propose, dans cette question, de déterminer tous les entiers relatifs N tels que ⎨
⎪⎩ N ≡ 1 17
a. Vérifier que 239 est solution de ce système.
[ ]
[ ]
b. Soit N un entier relatif solution de ce système. Démontrer que N peut s’écrire sous la forme
N = 1+ 17x = 5 + 13y
où x et y sont deux entiers relatifs vérifiant la relation 17x − 13y = 4.
c. Résoudre l’équation 17x − 13y = 4 où x et y sont des entiers relatifs.
d. En déduire qu’il existe un entier relatif k tel que N = 18 + 221k.
⎧⎪ N ≡ 5[ 13 ]
e. Démontrer l’équivalence entre N ≡ 18[ 221]
et ⎨ .
⎪⎩ N ≡ 1[ 17 ]
2. Dans cette question, toute trace de recherche,même incomplète, ou d’initiative,même infruxtueuse, sera prise en
compte dans l’évaluation.
k
a. Existe-t-il un entier naturel k tel que 10 ≡ 1[ 17 ] ?
l
b. Existe-t-il un entier naturel l tel que 10 ≡ 18[ 221]
?
4. 59. QCM, Antilles 2009
Dans chacun des cas suivants, indiquer si l’affirmation proposée est vraie ou fausse et justifier la réponse.
1. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal ( O ; u, v ) . On considère l’application f du plan dans
z' = 1+ i 3 z + 2 3 . On
lui-même qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z’ telle que ( )
note A le point d’affixe 2i.
π
Affirmation : f est la similitude directe, de centre A, d’angle et de rapport 2.
3
2009
2. Affirmation : 1991 2[ 7 ]
≡ .
3. a et b sont deux entiers relatifs quelconques, n et p sont deux entiers naturels premiers entre eux.
Terminale S 18 F. Laroche
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