Arithmétique exercices - Laroche - Free

(pas de courbe visible)
graphique 1 graphique 2 graphique 3
4. 51. Surface+équation, Antilles Guyane 2009
L’espace est muni d’un repère orthonormé ( O ; i , j , k ) .
On considère la surface S 1 d’équation z = x 2 + y 2 , et la surface S 2 d’équation z = xy + 2x.
Partie A
On note P le plan d’équation x = 2, E 1 l’intersection de la surface S 1 et du plan P et E 2 l’intersection de la
surface S 2 et du plan P.
1. a. Déterminer la nature de l’ensemble E 1.
b. Déterminer la nature de l’ensemble E 2.
2. a. Représenter les ensembles E1 et E2 dans un repère ( A ; j, k ) du plan P où A est le point de
coordonnées (2 ; 0 ; 0).
b. Dans le repère ( O ; i , j , k ) donner les coordonnées des points d’intersection B et C des ensembles E1 et
E 2.
Partie B
C λ
L’objectif de cette partie est de déterminer les points d’intersection M(x ; y ; z) des surfaces S 1 et S 2 où y et z
sont des entiers relatifs et x un nombre premier. On considère un tel point M(x ; y ; z).
1. a. Montrer que y(y − x) = x(z − x).
b. En déduire que le nombre premier x divise y.
2. On pose y = kx avec k ∈ ℤ .
a. Montrer que x divise 2, puis que x = 2.
b. En déduire les valeurs possibles de k.
3. Déterminer les coordonnées possibles de M et comparer les résultats avec ceux de la PARTIE A,
question 2. b.
4. 52. Equation diophantienne, Nelle Calédonie, 2009
Les questions 1 et 2 sont indépendantes.
Soit n un entier naturel non nul.
1. On considère l’équation notée (E) : 3x + 7y = 10 2n où x et y sont des entiers relatifs.
a. Déterminer un couple (u ; v) d’entiers relatifs tels que 3u +7v = 1.
En déduire une solution particulière (x 0 ; y 0) de l’équation (E).
b. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs (x ; y) solutions de (E).
2. On considère l’équation notée (G) 3x 2 + 7y 2 = 10 2n où x et y sont des entiers relatifs.
a. Montrer que 100 ≡ 2 (modulo 7). Démontrer que si (x ; y) est solution de (G) alors 3x 2 ≡ 2 n (modulo 7).
b. Reproduire et compléter le tableau suivant :
Reste de la division euclidienne de
x par 7
0 1 2 3 4 5 6
Terminale S 15 F. Laroche
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C λ