Arithmétique exercices - Laroche - Free

Soit i un élément de Ω .
a. Montrer, en raisonnant par l’absurde, que si, pour tout i ∈Ω , i < 10, a i n’est pas congru à 1 modulo 11,
alors la fonction h permet le déchiffrement avec certitude de tous messages.
i
b. Montrer que s’il existe i ∈Ω , i < 10, tel que a ≡ 1[11] , alors la fonction h ne permet pas de déchiffrer
un message avec certitude.
c. On suppose que i est le plus petit entier naturel tel que 1 ≤ i ≤ 10 vérifiant a ≡ 1[11] .
En utilisant la division euclidienne de 10 par i, prouver que i est un diviseur de 10.
d. Quelle condition doit vérifier le nombre a pour permettre le chiffrage et le déchiffrage sans ambiguïté de
tous messages à l’aide de la fonction h ? Faire la liste de ces nombres.
4. Exercices Baccalauréat
4. 47. Puissances de 7, Polynésie 2010
Les parties A et B sont indépendantes
Partie A
On considère l’équation (E) : 7x − 6y = 1 où x et y sont des entiers naturels.
1. Donner une solution particulière de l‘équation (E).
2. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers naturels solutions de l’équation (E).
Partie B
Dans cette partie, on se propose de déterminer les couples (n, m) d’entiers naturels non nuls vérifiant la
relation
n m
7 − 3 × 2 = 1 (F).
1. On suppose m ≤ 4 . Montrer qu’il y a exactement deux couples solutions.
2. On suppose maintenant que m ≥ 5 .
n
a. Montrer que si le couple (n, m) vérifie la relation (F) alors 7 ≡ 1( modulo 32 ) .
b. En étudiant les restes de la division par 32 des puissances de 7, montrer que si le couple (n, m) vérifie la
relation (F) alors n est divisible par 4.
n
c. En déduire que si le couple (n, m) vérifie la relation (F) alors 7 ≡ 1( modulo 5 ) .
d. Pour m ≥ 5 , existe-t-il des couples (n, m) d’entiers naturels vérifiant la relation (F) ?
3. Conclure, c’est-à-dire déterminer l’ensemble des couples d’entiers naturels non nuls vérifiant la relation
(F).
4. 48. QCM, Liban 2010
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et donner une justification de la réponse
choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou
d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
1. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct ( O ; u, v ) , le point A
π
d’affixe 2 − i et B l’image de A par la rotation de centre O et d’angle . On note I le milieu du segment
2
[AB].
Proposition 1 : « La similitude directe de centre A qui transforme I en O a pour écriture complexe
( )
z ' = 1 + i z − 1 − 2i
. »
2. On appelle S l’ensemble des couples (x ; y) d’entiers relatifs solutions de l’équation 3x − 5y = 2.
Proposition 2 : « L’ensemble S est l’ensemble des couples
2 2
3. On considère l’équation (E) : x y 0( mod 3 )
(5k − 1 ; 3k − 1) où k est un entier relatif. »
+ ≡ , où (x ; y) est un couple d’entiers relatifs.
Terminale S 12 F. Laroche
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