Arithmétique exercices - Laroche - Free
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Soit i un élément de Ω .<br />
a. Montrer, en raisonnant par l’absurde, que si, pour tout i ∈Ω , i < 10, a i n’est pas congru à 1 modulo 11,<br />
alors la fonction h permet le déchiffrement avec certitude de tous messages.<br />
i<br />
b. Montrer que s’il existe i ∈Ω , i < 10, tel que a ≡ 1[11] , alors la fonction h ne permet pas de déchiffrer<br />
un message avec certitude.<br />
c. On suppose que i est le plus petit entier naturel tel que 1 ≤ i ≤ 10 vérifiant a ≡ 1[11] .<br />
En utilisant la division euclidienne de 10 par i, prouver que i est un diviseur de 10.<br />
d. Quelle condition doit vérifier le nombre a pour permettre le chiffrage et le déchiffrage sans ambiguïté de<br />
tous messages à l’aide de la fonction h ? Faire la liste de ces nombres.<br />
4. Exercices Baccalauréat<br />
4. 47. Puissances de 7, Polynésie 2010<br />
Les parties A et B sont indépendantes<br />
Partie A<br />
On considère l’équation (E) : 7x − 6y = 1 où x et y sont des entiers naturels.<br />
1. Donner une solution particulière de l‘équation (E).<br />
2. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers naturels solutions de l’équation (E).<br />
Partie B<br />
Dans cette partie, on se propose de déterminer les couples (n, m) d’entiers naturels non nuls vérifiant la<br />
relation<br />
n m<br />
7 − 3 × 2 = 1 (F).<br />
1. On suppose m ≤ 4 . Montrer qu’il y a exactement deux couples solutions.<br />
2. On suppose maintenant que m ≥ 5 .<br />
n<br />
a. Montrer que si le couple (n, m) vérifie la relation (F) alors 7 ≡ 1( modulo 32 ) .<br />
b. En étudiant les restes de la division par 32 des puissances de 7, montrer que si le couple (n, m) vérifie la<br />
relation (F) alors n est divisible par 4.<br />
n<br />
c. En déduire que si le couple (n, m) vérifie la relation (F) alors 7 ≡ 1( modulo 5 ) .<br />
d. Pour m ≥ 5 , existe-t-il des couples (n, m) d’entiers naturels vérifiant la relation (F) ?<br />
3. Conclure, c’est-à-dire déterminer l’ensemble des couples d’entiers naturels non nuls vérifiant la relation<br />
(F).<br />
4. 48. QCM, Liban 2010<br />
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et donner une justification de la réponse<br />
choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou<br />
d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.<br />
1. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct ( O ; u, v ) , le point A<br />
π<br />
d’affixe 2 − i et B l’image de A par la rotation de centre O et d’angle . On note I le milieu du segment<br />
2<br />
[AB].<br />
Proposition 1 : « La similitude directe de centre A qui transforme I en O a pour écriture complexe<br />
( )<br />
z ' = 1 + i z − 1 − 2i<br />
. »<br />
2. On appelle S l’ensemble des couples (x ; y) d’entiers relatifs solutions de l’équation 3x − 5y = 2.<br />
Proposition 2 : « L’ensemble S est l’ensemble des couples<br />
2 2<br />
3. On considère l’équation (E) : x y 0( mod 3 )<br />
(5k − 1 ; 3k − 1) où k est un entier relatif. »<br />
+ ≡ , où (x ; y) est un couple d’entiers relatifs.<br />
Terminale S 12 F. <strong>Laroche</strong><br />
<strong>Arithmétique</strong> http://laroche.lycee.free.fr<br />
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