Optimalisation d'un bass-reflex sur calculatrice HP 97 - pure-hifi

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PR 38 en bass-reflex
Audiophile n°14, Février 1980
Optimalisation
d'un bass-reflex
sur calculatrice HP 97
Michel A lard
Jacques MahuI a montré dans le précédent numéro comment Snyder avait résolu de manière
particulièrement élégante le problème de la détermination théorique de la courbe de réponse d'un
bass-reflex. Les calculatrices programmables rendent désormais possible le calcul direct de ces
courbes et permettent d'envisager une réelle optimalisation de l'enceinte.
A.N. Thicle a été le premier à
poser le problème du bass-refle\
dans sa réelle dimension el à
appliquer les méthode» de
synthèse de filtres au domaine de
l'acoustique. Avant lui, le
réglage d'un bass-rcfle* était Tait
de manière extrêmement empirique
: on se contentait généralement
d'accorder la fréquence de
résonance de IVvent sur celle du
haut-parleur. Depuis, Small,
Keele et Snyder ont largement
ouvert le champ de ces investigations.
Cependant, on retrouve à
la base de leurs travaux un dénominateur
commun : la modélisation
du bass-reflex sous (orme de
circuit acoustique, sujet auquel
nous consacrons la I' partie de
cet aruclc
MODULATION
DU BASS-REFLEX
Impédances
électriques et mécaniques
Le classique réseau RLC va
nous permettre d'illustrer ces
différentes notions. Dans le cas
de la Figure I. on peut écrire :
II) E =
M
Fif I ; Cinuii RLC
LçH + RI + / Idt
dt C
L R C
' 1
Considérons maintenant un
haut-parleur dont la membrane a
pour masse Mm». dont la suspension
a pour compliance Cm,

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représenter le haut-parleur
comme un circuit mécanique où
force et vitesse sont les équivalents
de ta tension et du courant
dans un circuit électrique (Fig.2)
Naturellement l'analogie va
beaucoup plus loin que ce simple
exemple. En particulier, la puissance
P s'exprime dans te cas du
continu :
E.t et P = F.v.
Si l'on s'intéresse a des excitations
sinusoïdales du type E •
Eo C*"' ou F = Fo d"> (notées
sous forme complexe), on peut
définir les impédances complexes
électrique et mécanique :
(4) Ze = cl Zm = —
Fig 2 ; Analogie électrique du hautparleur
Si la mécanique fait appel à ta
notion de force, on utilise plutôt
en acoustique la notion de pression,
Il est donc intéressant de
construire un système où les
grandeurs de base ne soient plus
force et vitesse (F et v), mais
leurs équivalents acoustiques
pression et vélocité volumique (p
et u) définis par :
[ p • F/S
u = vxS
Ces équations ne sont pas sans
rappeler celles d'un transformateur
(ftg-3) :
[
Es « a Ei
b = l./n
Cette représentation nous permet
de passer facilement du circuit
mécanique au circuit acoustique
(Fig 4>. Une impédance Zm
dans le circuit mécanique sera
vue dans le circuit acoustique
comme une impédance 2* définie
par :
(6) fc.£.IE..55;
u S'v S'
Ainsi les notions de masse, de
résistance et de compltance
acoustique sont définies par :
CRCUiï
^CÛNIQUE
-
Impédance de rayonnement
d'un haut-parleur
X S» u
Fît 1 ÎP
Le haut-parleur est un système
vibrant qui rayonne de l'énergie
sous forme acoustique. On peut
calculer son « impédance de
rayonnement » en l'assimilant à
un piston plan dans un baffle
infini. Ce calcul fait intervenir
les fonctions de Bes&el. La figure
S montre la partie réelle Rir et la
partie imaginaire Xar de l'impédance
de rayonnement. On
remarque que lorsque ta longueur
d'onde est grande par rapport
au périmètre a du piston (ce
qui sera le cas aux basses fréquences),
on a :
(8) R„ = 2 u P oo/C
Connaissant cette résistance,
on déduit la puissance acoustique
rayonnée (9) P«i = R*r U',
formule qui équivaut en électricité
4 la relation P = RI'.
Compilante acoustique
d'un volume d'air
Il est bien connu que le volume
d'air emprisonné dans une
QRCLIT
ACOUSTIQUE
Flg3 :Représentation du transforma-fig
4 : Transformation mévanique-acousllçue
-teur
On sait en particulier que
l'impédance d'une self L est
Zc = jLoi, celle d'une capacité
C: Ze - 1/jCo». De même
l'impédance mécanique d'une
masse Mm« est Zm • jMim et
celle d'une compilante Cm, :
Z»n B 1/jCmtu.
Impédance acoustique
Ma. = rVWSd
!
1
R., = Rmi/Sd'
C » Cm,x Sd'
Sd étant la surface rayonnante
utile de la membrane (d pour
• diaphragm »). Cependant, les
impédances acoustiques ne dérivent
pas toutes d'impédances
mécaniques.
enceinte close se comporte aux
basses fréquences comme un
étant le volume de
l'enceinte, eo la masse volumique
de l'air et c la célérité du son
dans l'air.
2 sur 10 22/03/12 11:25

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M»w acouvliqur
d'un evral
Un évcm de surface S> (v pour
« vent ») et de longueur lv représente
une masse d'air Mm* =
ootvSt. On en déduit d'après (7)
la masse acoustique correspondante
:
01) * . - # •
La charge bass-reflex
Ces deux derniers exemples
nous permettent de modéliser de
façon simple une charge du type
bass-reflex

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®
Rg
M
BL ^U
/•îx 7 : Modélisation du hixut-park MF
é) r etS -ri'
fil « ; Aforféfe de />«>/«•
«« 9 : Modèle nmpiin*
v) (voir fïg.7). En particulier, on
peui représenter un générateur
de force électromotncc Eg et de
résistance interne Rg par un
générateur de force Eg BL Rg ci
de résistance mécanique interne
B'LVRf dans le circuit mécanique,
ou encore par un générateur
de pression Eg BL Rg Sj cl de
résistance acoustique interne
B'L'/Rg Sd J dans le circuit
acoustique.
Le modèle de Thiclr
(Figure S)
Ce modèle, qui n'est rien de
plus que ta juxtaposition des éléments
que nous venons de
décrire, appelle un certain nombre
de remarques. Il n'est valable
que si le haut-parleur fonctionne
en piston et si les dimensions de
l'enceinte sont faibles par rapport
a la longueur d'onde. Ce
^^
Km R rw On» e, i
ri H Jjp,
i|ui nous fixe une fréquence
limite supérieure d'environ
200 Hz. D'autre part, il peut
paraitre surprenant que les résistances
de rayonnement du hautparleur
et de Pévent n'interviennent
pas. puisqu'elles sont à
l'origine de la puissance acoustique
rayonnéc. Cependant, ces
résistances sont faibles et peuvent
être négligées dans le calcul
des vélocités volumiques. Ceci
explique au passage que le rendement
d'un système à radiation
mécaniques de ce circuit peuvent
être représentés par leur équivalent
acoustique, ce qui nous
mène a la représentation simpli
fiée de la figure 9. Les résistances
en série Rt et Rf (résistance en
continu du haut-parleur) sont
remplacées par Rlf « B'LV
(R< -i- Rc) Sd>. On posera RJI =
RM + Rw.
Connaissant Ut- et Up, on peut
calculer la puissance acoustique
rayonnéc d'après (12). Il convient
de préciser que Thiele a
considéré que l'impédance de
rayonnement du haut-parleur
était celle d'un piston au bout
d'un tube infini. Le haut-parleur
rayonnant dans 4it stéradians au
lieu de 2a, cette impédance est la
moitié de celle qui est donnée par
la relation (8).
La puissance électrique reçue
peut être estimée en assimilant
l'impédance nominale du hautparleur
à sa résistance en continu
:
(15) P* « E, Rc/(R» + R*) 1
Le rendement global du
système (qui est fonction de la
fréquence) sera le rapport P»,/
P» avec :
(16) n ~ na| EipiH '
17a étant le rendement et E

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(19)
U = l/2n\/M»«Cu Vt, • C.bcoC*
fb = l/^VWivC.b V« = C,«coC •
h « fb/f. » = V„
On trouve finalement :
411' fi 1 V„
rjo =-
On
Qa. étant la valeur de Qe lorsque
l'impédance de sortie de l'amplificateur
esi nulle. La constante
4n/C vaut 9.64 10\
La réponse du système exprimée
en dB devient :
(20) E )
avec Z = fbfs/H
At = a,-' - 2aj
Aj = ajJ + 2 - 2 a,a.
A, = a^ - 2 a,
et a, « 1/VhQt
fc = h +(l + a) /h
a, - Vh/Qt
Il PROGRAMME
SLR HP 97
Le modèle que nous avons
choisi est un peu plus complexe
que celui de Thiele. puisqu'il
tient compte des pertes dans
l'enceinte : matériaux absorbants,
amortissement de l'évent,
défaut* d'étanchéité. Small a
démontré que ces perles avaient
des effets sensiblement comparables
sur la courbe de réponse. On
peut donc les assimiler a des pertes
d'étanchéité. celles-ci étant
généralement prépondérantes.
Cette dernière remarque peui
surprendre, les enceintes actuelles
étant bien conçues sur ce
point. En fait, les défauts d'étanchéité
proviennent du haut-
vb
Qw -= 1 \/M»
R« V CM
R« V C„
Q, = 1 \/M«"
R-I V C„
parleur lui-même (fixation,
porosité de la membrane et du
cache noyau...). Nous avons fait
comme Snyder l'hypothèse
Qb - 7. L'expression de la
réponse du bass-reflex reste valable
(20). mais les paramètres ai,
aj et .i diffèrent légèrement :
a< = 1 • VHL
VhQi Qb
(21) aj = h + l+o + 1
h QbQi
a, - Vh~+ I
Oi VhQb
Le programme comporte 2
cartes magnétiques. Signalons
qu'il est parfaitement possible
d'utiliser ces cartes sur la HP 67
ou sur la nouvelle HP 41 C. Pour
cette dernière, cependant, il
serait préférable d'écrire un programme
spécifique plus performant.
Ondulations
df IN courbe de réponse
Le calcul point par point par
la formule (20) est naturellement
possible mais d'un intérêt
limité : il faut en effet tracer la
réponse complète pour pouvoir
apprécier sa linéarité. Nous
avons mis au point un programme
permettant de déterminer
rapidement les « bosses » et
les « creux » de la courbe de
réponse. Ce programme n'a pas
la prétention d'être le plus simple
ou le plus rapide, mais [I a le
mérite de pouvoir résoudre les
cas les plus critiques. Nous
n avons pour notre part jamais
réussi a le prendre en défaut. Le
principe de son fonctionnement
est le suivant : il apparaît dans
l'expression (20) un polynôme
Pt /.) du 4' degré. Le programme
calcule les racines réelles positives
de l'équation p'(Z) =• Oeten
déduit les différents extremums
de la courbe de réponse. Leur
nombre peut aller de 0 A 3. Le
calculateur donne pour chaque
extremum la fréquence (A
0,1 Hz) et le niveau (A 0.01 dB
près). Cette précision est naturellement
illusoire mais elle facilite
les comparaisons entre deux alignements.
Les résultats sont
imprimés mais restent également
en mémoire A la fin du programme
(registres R.-R,, RVRj,
R.-Rt).
— Utilisation du programme
— thaigjn la première
carte dans le cakulLalcur.
— charger les registres :
fb
f.
Qi
vb
vM
-
RA
RB
Rc
RD
RE
— appuyer sur la touche
IS ; déroulement du programme
et impression des
résultats.
— le chiffre 9 apparaît A
l'affichage : le programme
est terminé.
— Remarque : V et V en m'.
Fréquence de coupure
Le calcul de la fréquence de la
coupure A 3 dB f -est la principale
fonction de la deuxième carte.
Cette partie du programme uti-
5 sur 10 22/03/12 11:25

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6 sur 10
lise des données stockées en
mémoire après utilisation de la
le carte. 11 ne faut donc pas
modifier le contenu des registres
mémoires entre la 1ère et
2ème carte.
S'il existe plusieurs fréquences
à 3 dB (ce qui peut arriver pour
des réponses très accidentées) le
calculateur choisit la plus élevée.
— Utilisation du programme
— charger la V carte
dans le calculateur.
— appuyer sur la touche
19 : déroulement du
programme et impression
du résultat.
— la fréquence de coupure
affichée : le programme
est terminé.
Tracé de la courbe de réponse
Si le résultat obtenu donne
satisfaction, cette deuxième carte
permet de tracer point par point
la courbe de réponse.
— Utilisation du programme
— Inscrire une fréquence
r (en Hz) à l'affichage.
— Appuyer sur la
touche El
— La réponse du bass-reflex
(en dB) a cette fréquence
apparaît à l'affichage.
Le programme est terminé.
Tracé de ht courbe
de débattement du II IV
Pour effectuer ce cakul, il
faut connaître la surface rayonnante
utile Sd (en m 1 ), le facteur
de qualité électrique Q« et fixer
une puissance électrique Pc :
— Charger les registres :
Pe -Ri
Sd -Ri
Q«-R.
Alors le programme peut être
utilisé de la façon suivante :
— Incrire une fréquence
(en Hz) à l'affichage.
— appuyer sur la louche
G
— le débattement crête à
crête (en mm) apparaît
à l'affichage. Le programme
est terminé.
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fïf /O : lire cane magnétique
Programme
simplifié
sur HP 25
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« a
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Une simple calculatrice possédant
49 lignes de programme
permet, au prix de quelques calculs
préliminaires, de tracer les
deux courbes précédentes.
m
1M
m
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tir
m
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m ini
i« «» •
u- m
u
S
m
ta
m
— calculer a,, aj et tu (cf
(21) et stocker dans les
registres R,. R: et Rj.
— stocker 1/h en R, et
l/QbVn~en R, (on
prendra Qb =» 7).
— calculer
SdVt^Qt
— calculer fbfi et stocker
en R7.
•ai
au
Df
m
i< au a «
mm
ati aa
. .

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— tracé de la courbe
de débattement du H. P
Stocker x dans le registre
R». Le tracé point par point se
fait alors de la façon suivante :
— inscrire une fréquence
à l'affichage.
— lancer le programme.
— le debattcnicnt crête
A crête en mm apparaît A
l'affichage.
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tique Imposant et le soin évident
apporté A sa réalisation. L'efficacité
pour 103 dB pour
I W/l m en bruit rose filtré
250 Hz - 2 kHz. Si l'on s'intéresse
au domaine de fréquences
« utiles ». c'est-à-dire msqu'A
500 Hz, l'efficacité moyenne est
de 98 dB pour I W/l m.
Les caractéristiques de ce
haut-parleur sont les suivantes :
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11
Ftg II : 2ème carte magne'tique et programme sur HP 23
OPTIMALISATION
Une enceinte bass-reflex
pour le haut-parleur
Audax PR 38 S 100
— Description du haut-parieur
Ce nouveau haut-parleur de
38 cm inspire immédiatement
confiance par son circuit magné-
f. = 24 Hz
Vâl - 0.440 m'
R* « 5,5 13
a
Ml
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Su = 0,0880 m*
Ou = 0.17
Qo = 0,18
Omi = 3.47
On en déduit le rendement i
l'aide de la relation (19) :
no = 3,26 •*
Optimaliser une enceinte pour
un haut-parleur possédant un tel
rendement et un Q.» aussi faible
est un problême particulièrement
délicat. Il est prévisible que la
fréquence de coupure sera relativement
haute si l'on veut une
bonne linéarité. Le meilleur
compromis est difficile A trouver
et justifie pleinement l'utilisation
du programme que nous venons
de décrire.
— I llll-.Ull.lll
en filtrage passif
Le filtre passif introduit une
résistance série supplémentaire
dont nous devons tenir compte.
Nous la supposerons égale A 1 Q,
valeur tout A fait réaliste et très
proche par exemple de celle du
filtre Onkcn-Mahul. Ceci nous
donne de nouvelles valeurs pour
QtetQi :
Or
Q.
5,5 + I On
5.5
QtQmi
= 0,200
Qe + Qm»
0.212
Dans toute la suite, nous considérons
que ce filtre fait parité
de l'enceinte, ce qui nous donne
un rendement légèrement plus
faible :
no - 2,77 ft
— Optimum absolu
Cet optimum sera défini de la
façon suivante : il s'agit de l'alignement
donnant la fréquence
de coupure la plus basse possible
en ne dépassant pas une ondulation
de ± 1 dB. Nous avons
recalculé le réseau de courbes de
Snyder pour Qt = 0.2 (cf.
fig.12). L'ondulation augmentant
avec le volume utilisé, il
7 sur 10 22/03/12 11:25

Le magazine audiophile -PR 38 en bass-reflex http://www.pure-hifi.info/audiophile-l/biblioteca/RevueAud..
Fig 12 : Réseau de courba de Snyder
f, « 44,3 Hz. soit 1,2 Hz de
plus que l'optimum théorique.
Celte fréquence peut paraître
élevée au premier abord pour
une enceinte de ce volume et
pour un haut-parleur de ce diamètre.
C'est la contrepartie inévitable
de très haut rendement.
Cependant, la fréquence
41.23 Hz est reproduite A- 3 dB,
c'est-A-dire A un niveau tout A
fait réaliste. Si nous portons un
intérêt particulier A cette fréquence,
c'est qu'elle correspond
au mi - I, la note ta plus grave
d'une contrebasse !
— I.e débattraient
du haut-parleur
Nous aborderons ici un problème
important et pourtant
bien souvent négligé dam La conception
d'enceintes acoustiques.
Réaliser un système A très haut
rendement n'aurait aucun sens si
ce devrait être au détriment de la
puissance admissible. Le problème
ne se pose pas sur le plan
thermique (le PR 38 est donné
par le constructeur pour 200 W).
Par contre, la reproduction de
basses fréquences A fort niveau
peut imposer A la membrane des
Fît >3 •' Réponse du baa-refkx pour V m 0.132 m ' et différentes fréquences
d'accord/ ,. *
déplacements trop importants.
existera donc un volume maxi 43,1 Hz, valeur qu'il est impossi­
mal A ne pas dépasser. L'effet de ble d'améliorer sans dégrader la La figure 13 montre le déboî­
la fréquence d'accord fb apparat! linéarité de la réponse
tement crête A crête de la mem­
sur la figure 13. On remarque
brane en fonction de la fré­
que un volume donné, la fre — Une solution de compromit quence pour une puissance élec­
quence de coupure la plus basse
L'examen de la figure 13 montrique de 100 W. La zone de
sera obtenue pour une fréquence
tre qu'il est possible, au prix fonctionnement linéaire corres­
fb aussi basse que possible,
d'un léger sacrifice au niveau de pond A une excursion totale de
compte tenu de l'ondulation
la fréquence de coupure, d'obte­
maximale A ne pas dépasser.
7 mm (hauteur de la bobine
nir une meilleure linéarité et un mobile moins la hauteur de
La réponse optimale est une volume sensiblement plus faible. l'entrefer). Elle s'étend jusqu'A
courbe qui tangente les niveaux Si nous fixons le volume A 132 I.,
une fréquence inférieure de
+ I dB et - 1 dB (cf. fig. 14). la réponse optimale sera obtenue
Elle est obtenue pour un volume pour une courbe tangente au 38,7 Hz. Il s'agit LA d'un lest
de 166 litres et une fréquence niveau - 1 dB. On trouve redoutable. En pratique, une
d'aocord de 46,6 Hz. La fré­ fb = 43,4 Hz, ce qui conduit A telle puissance n'est jamais conquence
de coupure est alors de une fréquence de coupure centrée sur une fréquence pure.
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«T'41
Fig 12 : Réseau de courbes de Snyder
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fa­
is
Fig 13 : Réponse du bass-reflex pour V = 0,132 m'et différentes fréquences
d'accord f b ,
b
t 1 ill
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Le magazine audiophile -PR 38 en bass-reflex
10 sur 10
Ainsi, Harwood a montré que
l'écart entre le niveau crête dans
une bande d'octave donnée et le
niveau crête total d'une modulation
n'est jamais inférieur A
4dB.
Cette tenue en puissance
remarquable est due A la grande
surface rayonnante de la membrane
et sunoui au choix de la
fréquence fo, L'évcnt prend ainsi
le relais du haut-parleur au
moment où le débattement
atteint une valeur critique.
Pour une fréquence f =
41,25 Hz, l'excursion atteint
5,0 mm pour 100 W électriques,
soit une puissance acoustique de
0,855 W (2,77 W moins 5.1 dfl).
Un watt acoustique est obtenu
avec un débattement de 5.4 mm.
Ce résultat prend toute sa signification
lorsqu'on sait que le
même haut-parleur utilisé daas
un système clos et délivrant la
même puissance atteint un
débattement de 20,5 mm. Quant
au débatiement d'un 13 cm. il
dépasse de beaucoup le diamètre
du haut-parleur ! Pour rester
dans une zone linéaire, il faut se
contenter de I mW acoustique I
'M aï
• «t.» — m
• ' * * " " * H E
1 •*•' •••Œ /.
i—i /
• •• i ,M /
• -MI
hig 14 : Réponse optimale et chou final
DEBATTEMENT POUR I HATT ACOUSTIQUE à 41.25 Ht
Enceinte
bass refln PR 38
enceinte close 38 cm
enceinte date 31 cm
enceinte close 24 cm
enceinte close 20 cm
enceinte close 17 cm
enceinte close 13 cm
http://www.pure-hifi.info/audiophile-l/biblioteca/RevueAud..
...
Fïg 15 : Débatiement crête à crête du haut-parleur (en mm) pour 100 Watts.
S* (m 1 )
0.0880
0,0880
0,0530
n.0301
0.0221
0,0145
0,0089
Excursion crête A
crête (mm)
5,4
20.5
34
60
82
125
203
CONCLUSION
La présente étude est à la base
d'une réalisation de haute qualité
qui sera décrite dans un prochain
article. Nous verrons que
les prévisions théoriques et les
résultats pratiques concordent
parfaitement pourvu que l'on
fasse appel à des méthodes de
mesure permettant de pallier les
défauts de la chambre sourde.
De plus, l'excellent comportement
en puissance laisvc augurer
d'une très faible distorsion et
d'une intermodulation particulièrement
réduite entre les registres
grave et bas médium.
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