Dossier - La navigation astronomique.pdf - Etud - Insa - Toulouse

LA NAVIGATION
ASTRONOMIQUE
CARTIER Chloé
CARVIN Denis
ABDELHAMID Brahim
BRAZEILLES Rémi 1° année SHN
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A l’ère des nouvelles technologies, quand on sait qu’un banal navigateur GPS peut nous
donner notre position de manière quasi infaillible et ce sans aucun calcul, on peut se
demander si connaître la navigation astronomique est réellement utile… La réponse est que
ce n’est pas tant pour son utilité que l’on s’intéresse à la navigation astronomique, mais
surtout car c’est enrichissant et passionnant.
Les méthodes de navigation astronomiques sont différentes selon que l’on désire
s’adonner au calcul littéral de la position si l’on est un passionné des mathématiques, ou que
l’on veut un calcul rapide et précis. Il existe ainsi plusieurs méthodes, mais qui reposent toutes
sur le même principe : avoir la tête dans les étoiles!
Brève chronologie
La navigation astronomique est une méthode de repérage qui ne date pas d’hier. En
effet, dès le IX° siècle avant J.C., dans le célèbre recueil de poèmes l’Odyssée, on observe
qu’Ulysse aurait utilisé le soleil pour se repérer durant son périple. Les Grecs connaissaient la
carte du ciel et naviguaient grâce aux étoiles.
Dix siècles plus tard, un moine Celte aurait utilisé un Gnomon, instrument décrit
comme étant aussi vieux que la navigation astronomique elle-même, afin de sillonner
l’Atlantique et de découvrir l’Amérique.
Plus tard, au IX° et XI° siècle après J.C., les Vikings utilisaient l’ombre du soleil pour
se repérer et estimer la direction a prendre.
Enfin au XVI° siècle, les navigateurs utilisaient d’autres instruments tels que
l’Arbalestrille et le Quartier de Davis comme instruments de navigation, toujours en se basant
sur le ciel, les étoiles et le soleil.
Petit lexique
- Gnomon :
Le gnomon est le premier instrument utilisé en astronomie. Il est connu depuis la plus haute
antiquité (Égyptiens, Chaldéens, Grecs).
C'est une simple tige verticale (style) plantée sur un plan horizontal.
La longueur de l'ombre portée permet de mesurer la hauteur de l'astre, (soleil ou lune), l'angle
alpha;
la direction de l'ombre donne l'azimut * de l'astre.
Le gnomon est l'ancêtre du cadran solaire.
Ératosthène savant grec vers l'an 250 avant J.C., mesura avec cet instrument rudimentaire le
méridien terrestre avec une précision étonnante.
- Arbalestrille :
L'arbalestrille ou arbalète, encore appelée "bâton de Jacob", est apparue au XIV è siècle et a
servi jusqu'au XVII è siècle.
C'est tout simplement une règle en bois sur laquelle coulisse un curseur appelé "marteau" et
directement graduée en degrés. Cet instrument permet de mesurer la hauteur d'un astre (étoile
ou soleil) et donc la latitude du lieu d'observation.
Il permet aussi des mesures topographiques , par exemple la mesure de la hauteur d'un édifice
ou de sa distance.
- Quartier de Davis :
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Le Quartier de Davis a été créé vers 1590 par un marin anglais, John Davis, à partir de
l'arbalète. Cet appareil était constitué d'une baguette sur laquelle étaient fixés deux arcs de
cercle. L'arc de cercle supérieur était gradué de 0° à 60°, l'arc inférieur de 0° à 30° . Sur les
deux arcs de cercle de même centre A, deux fentes coulissaient.
Pour effectuer la mesure, l'observateur tournait le dos au soleil et maintenait l'instrument dans
un plan vertical. Ses rayons passaient à travers la fente de l'arc de cercle supérieur et venaient
éclairer une fente horizontale située en A à l'extrémité de la baguette. Dans le même temps,
l'observateur visait par la fente de l'arc de cercle inférieur l'horizon à travers cette même fente.
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COMMENT SE POSITIONNER
A L’AIDE
DES ASTRES ??
I )Comment se situer une première fois :
II) Comment recalculer sa position à partir de sa position
initiale ?
A / Se positionner sur sa carte
B/ Le calcul de la hauteur estimée, de l’intercept et de l’azimut
III) L’avenir de la navigation astronomique
Conclusion
Annexe :
-glossaire
-le sextant
-divers canevas
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Sachons tout d’abord qu’en navigation la méconnaissance totale de sa position est
extrêmement rare. En effet le premier soucis d’un navigateur étant de se repérer sur la terre,
ce dernier se préoccupera sans cesse de connaître sa position, il sera toujours à l’affût du soleil
et des astres. La prise de mesures et de repères est donc fréquente pour un navigateur ne
disposant pas des derniers outils technologique comme les GPS etc…
Quel est donc le principe du positionnement ?
Supposons que nous sommes au large d'une côte, sur laquelle nous apercevons un seul amer,
un phare par exemple. Nous pouvons nous situer, à condition de connaître trois choses :
-La position de cet amer sur notre carte marine,
-la distance qui nous en sépare,
-la direction dans laquelle il se trouve par rapport à nous.
Si nous pouvons déterminer ces 3 éléments (en reconnaissant le phare, puis en mesurant son
relèvement au compas et sa distance au télémètre, par exemple), nous pouvons nous situer par
rapport à lui : "Je suis à x milles du phare Y, dans telle direction" (Soit en réalité les
coordonnées polaires.)
C'est exactement ce principe que nous allons utiliser en navigation astronomique.
Mais comment se situer lorsque l’on ne dispose d’aucun amer visible?
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I) COMMENT SE SITUER UNE PREMIERE FOIS :
LE CALCUL DE LA MERIDIENNE
Imaginons nous au beau milieu de l’océan sans aucun repère terrestre, et sans aucune
connaissance de sa position sur le globe.
Pour se situer il faut disposer d’un minimum de matériel et de données à savoir :
-Les éphémérides nautiques (dans la méthode présentée ce sera les éphémérides du soleil)
-l’heure au temps universel (TU ou GMT, autrement dit l’heure de greenwich), et l’heure
locale (ou un chronomètre)
-un sextant
-une boussole, ou mieux, un compas de marine.
A quoi correspond tout ce matériel ?
Les éphémérides :
En navigation astronomique, l’homme considérera que la terre est immobile et que ce sont les
astres qui se déplacent autour d’elle. Ainsi grâce au lois de la mécanique céleste (mais ce n’est
pas le sujet de l’exposé) on peut déterminer la position de chaque astre par rapport à la terre.
N’ayant pas d’amer terrestre, on utilisera les éphémérides nautiques.
Ces tables donnent la position des astres sur la "sphère céleste", en utilisant le même système
de coordonnées que celui que nous utilisons sur terre : la Longitude et la Latitude. Pour les
astres, la Longitude est appelée "Angle Horaire", et la latitude "Déclinaison". Elles tiennent
donc compte de l’inclinaison de la terre par rapport au soleil.
(La seule petite différence est que nous avons l'habitude d'indiquer notre longitude à l'Est ou à
l'Ouest de Greenwich, alors que l'angle horaire d'un astre se mesure sur les 360° du tour
complet de la Terre. Ainsi, un bateau situé à 20° Est et un astre dont l'angle horaire est de
340° sont, en fait, exactement sur le même méridien.)
Les éphémérides ne donnant la position des astres que heure par heure, voire jour par jour, il
faut interpoler pour connaître la position exacte de l'astre à l'instant précis de notre
observation.
La position de l'astre ainsi calculée est aussi celle de son "pied" à la surface du globe (le pied
étant la projection orthogonale). Cela signifie que, si à l'instant de votre mesure au sextant, un
observateur s'était trouvé sur la terre à l'endroit précis dont vous venez de calculer les
coordonnées, il aurait vu l'astre que vous avez visé très exactement au-dessus de sa tête, à sa
verticale, à son zénith.
Ce point particulier qui sera notre amer virtuel s’appelle la Position géographique de l’astre
(Pg).
Elle est donnée par les éphémérides et C'est par rapport à ce point de la surface du globe
que nous allons nous situer.
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Ephémérides du soleil du jeudi 26 janvier 2006
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La connaissance de la date, de l’heure par rapport a greenwich :
Ceci va nous permettre de déterminer notre longitude. En effet en connaissant le décalage
horaire, il va de soi que nous connaissons notre fuseau horaire exact, c'est-à-dire le méridien
sur lequel nous nous trouvons. Si nous ne disposons uniquement de l’heure TU et d’un
chronomètre, il faut mesurer le décalage entre le zénith au méridien de greenwich et notre
propre zénith que l’on peut déterminer au sextant : moment ou le soleil est le plus haut dans le
ciel. Nous disposons de notre longitude, il suffit de connaître la latitude pour se positionner
sur le globe.
L’usage du sextant :
Le fonctionnement du sextant étant déjà défini en annexe, on se consacrera ici uniquement a
son usage.
Le sextant permet de mesurer la hauteur d’un astre dans le ciel. On entend par là, l’angle
formé par l’horizon de l’observateur avec la droite qui relie l’observateur à l’astre. Comme
ceci :
Comment exploiter cette mesure ?
Lorsque le soleil est au zénith, cela signifie qu’il est sur notre méridien (que nous connaissons
d’après l’heure TU et notre chronomètre). Le schéma ci-dessus représente donc la vue de la
terre en section par le plan formé par notre méridien et le centre de la terre.
Le soleil étant une étoile que l’on peut considérer comme infiniment loin, la mesure au
sextant de Hv va nous permettre de connaître notre distance avec le point Pg. En effet, la
distance zénithale Dz est telle que
Dz =90°-Hv
Or nous connaissons le rayon de la terre, nous connaissons donc la longueur d’arc qui nous
sépare nous (placés en O) de Pg.
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O Pg = Dz(rad)* 2pi Rayon terrestre
Afin de faciliter les calculs, les navigateur on défini le mille marin, on a ainsi
O Pg= Dz(en minutes d’angle)=Dz milles marins
où 1milles marin=longueur d’arc d’équateur défini par un angle au centre de 1minute
Nous connaissons donc notre distance avec le pied du soleil, et nous connaissons notre
méridien. Nous sommes donc a l’intersection d’un cercle de rayon Dz milles marins et de
notre méridien. Cela défini deux points diamétralement opposés :
S N
C’est ici qu’intervient notre boussole :
-si nous tournons le dos au Nord lors de notre mesure au sextant, nous sommes donc situés sur
le point qui est au nord de Pg
-si nous tournons le dos au Sud lors de notre mesure au sextant nous sommes alors situés sur
le point qui est au sud de Pg
Ainsi nous nous sommes positionnés sur la terre une première fois.
Concrétisons ceci par une application numérique :
Un jour, en pleine mer, nous allumons notre radio afin d’avoir l’heure au temps universel,
nous entendons qu’il est très exactement 12H GMT le 26/01/06
Au même moment nous déclenchons notre chronomètre
8H 54 min plus tard, avec notre sextant nous mesurons l’angle de hauteur vraie du soleil à
son zénith en tournant le dos au Sud . Il est après toutes les corrections apportées (voir annexe
pour les corrections des mesures) de 45°37’.
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Calculons tout d’abord notre longitude grâce au décalage horaire.
En observant les éphémérides on constate que à midi le soleil n’était pas tout a fait au zénith
de greenwich :
Mais plutôt à 12h 12 min 30s.
En effet à 12H TU le soleil est à 356° 52’ et à 13H il est a 11°51,8’.
Entre 12H TU et 13H TU la longitude du soleil a obtenue la valeur 360° ou 0° (la longitude
du soleil étant une fonction continue du temps)
Or le soleil se déplace à une vitesse longitudinale connue :
360° soit 21600’ (un tour complet) est effectué en 24H (1440 minutes)
A 12H TU la longitude est 356°52’ au temps (12H+ t) TU la longitude était de
356°52’+3°8’=360° avec 3°8’=188’ une simple règle de trois permet de terminer t :
360° ó 24 H
21600’ ó 1440 min
188’ó t t = (188*21600)/ 1440 =12min 30sec
Le soleil était donc sur le méridien de greenwich à 12 H 12min 30sec TU
Notre décalage horaire est donc de
8H 54min -12min 30 sec =8H41 30sec = 521,5 min
et nous sommes donc a l’Ouest car en retard sur greenwich!
Soit X notre longitudes en minutes d’angles
360° ó 24 H min
21600’ ó 1440 min
X ó 521,5 min è X= (521,5* 21600)/ 1436 = 7844,29’ = 130° 44,29’
Notre longitude est donc de 130° 44,29’ O à l’heure de la mesure
Calculons maintenant notre Latitude :
Notre mesure a été réalisée à 12H+(8H 54min) soit à 20H 54 min TU le 26/01/06
En regardant les éphémérides du jour on trouve :
(notons aussi que à 21H TU la latitude du soleil était de 131°50,8 confirmant notre résultat
précédent)
La déclinaison du soleil est de 18°35’ S or nous tournons le dos au sud lors de la mesure.
Notre déclinaison propre est donc de :
D= 18°35’ + (90°-45°37’)=62°58’ S
Notre position le 26 janvier 06 à 20H54 TU était 130° 44,29’ O
62° 58,00’ S
Donc en océan pacifique près du cercle polaire antarctique. Sachons qu’en tout point de la
terre une erreur de 1° sur la latitude engendre une erreur de 111,12 Km Tandis que à cette
endroit précis, une erreur de 1° sur la longitude engendre une erreur de cos(62°58’)*60*
1,852= 50,44 Km
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II) COMMENT RECALCULER SA POSITION A
PARTIR DE SA POSITION INITIALE
Nous avons vu précédemment comment déterminer les coordonnées terrestres du pied de
l’astre.
Nous avons également vu comment trouver le cercle de hauteur sur lequel nous nous
trouvions.
Il suffirait a priori, diriez vous, de tracer maintenant deux cercles de hauteurs. En effet, à
partir de la position de deux astres (comme la lune et le soleil si les deux sont visible
simultanément), donnée par les éphémérides et la mesure de leur hauteur au sextant on
pourrait tracer deux cercles se coupant en deux point . Ces derniers étant a priori assez
éloigner sur la sphère on pourrait choisir l’un des deux qui serait le point le plus proche de
notre position estimée.
Déterminer par le calcul les coordonnées des points d’intersections des deux cercles de
hauteur n’est pas une tache aisée .. (quoique pourrait faire l’objet d’un programme
automatique de calcul) . Nous Nous intéresseront donc pas a ce calcul mais plutôt a la
résolution graphique de ce problème qui est avant tout un problème pratique !
N’oublions pas que le marin cherche a se positionner sur sa carte !
Mais comment à vrai dire pouvons nous tracer sur une carte marine un cercle de hauteur ?
A) SE POSITIONNER SUR SA CARTE.
LA DROITE DE HAUTEUR
Le rayon du cercle de hauteur étant si grand (plusieurs milliers de milles) et la portion qui
nous intéresse si petite (quelques dizaines de milles), que l'on peut, sans risque, assimiler cette
petite portion du cercle à sa tangente. Cette tangente est ce que l’on appelle la droite de
hauteur.
Notre travail va donc consister à tracer différentes droites de hauteur a partir de différents
astres.
Deux données essentiel au tracé de la droite de hauteur : l’intercept et l’azimut
Le point Pg étant inaccessible car beaucoup trop éloigné, l'idée a été de retourner le problème
et de partir de la position estimée du bateau. Autrement dit, le raisonnement est le suivant :
On supposera que nous sommes à l'endroit E. On calculera ensuite grâce à une formule
mathématiques l’angle de hauteur vraie que l’on aurait du mesurer en E (Hc) . Nous avons
également mesuré l'astre avec notre sextant à la hauteur Hv. Comment utiliser ces deux
mesures pour rectifier notre position ?
Pour comprendre cela, il faut bien comprendre la relation étroite entre la hauteur de l'astre et
sa distance zénithale. Imaginons que l’on mesure un astre à une hauteur H. notre distance
zénithale serait alors 90°– H. Mais si on se rapproche de Pg de 1 mille, notre distance
zénithale va diminuer de 1 mille. Or Dz = 90° – H, reste vraie. L'astre va apparaître plus haut
de 1 minute d'arc. H sera alors de H+1'.
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Inversement, si on s'éloigne de Pg de, disons, 10 milles. La distance zénithale va augmenter
de 10 milles et donc la hauteur à laquelle l'astre apparaîtra diminuera de 10 minutes d'arc. H
sera alors de H – 10'
Ainsi, la différence entre les deux hauteurs (Hc et Hv) exprimée en minutes d'arc indique
exactement la distance en milles séparant la position estimée (où l’on se situe
approximativement) de notre cercle de hauteur vraie (où l’on est réellement). Cette mesure est
l'intercept.
On dois donc maintenant déterminer avec précision dans quelle direction se trouve Pg par
rapport à la position estimée.
Pour cela, il est tout à fait possible de mesurer au compas de relèvement la position de l'astre.
Mais outre qu'il est dangereux de regarder le soleil sans protection, cette mesure au compas
est trop imprécise. On préfère donc calculer aussi cette valeur. C'est l'azimut
Nous avons donc une carte ressemblant a ceci :
1 - Sur votre carte marine, le point Pe est
votre position estimée que vous
connaissez en Latitude et Longitude.
L'azimut que vous venez de calculer est
la direction de Pg. Vous pouvez aussi le
tracer : c'est une flèche passant par Pe et
pointant vers Pg.
Vous êtes sur un cercle situé à quelque
distance de Pe, dont le centre est Pg.
Nous avons représenté ce cercle pour
l'explication mais, en réalité, nous
ignorons où il est exactement. C'est ce
que nous cherchons à déterminer.
2 - La mesure au sextant vous permet de
connaître Dzm : le rayon du cercle.
En réalité, vous ne considérez que Hv,
complément de Dzm.
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3 - Par le calcul, vous avez déterminé
Dzc, distance entre la position estimée et
le point Pg. C'est l'orthodromie entre Pe et
Pg.
En réalité, vous ne vous occupez que de
Hc, complément de Dzc.
Vous vous apercevez qu'il y a une
différence entre Dzm et Dzc (c'est la
même différence entre Hv et Hc). C'est
bien sûr parce que votre position estimée
n'est pas sur le cercle.
4 - Pour atteindre le cercle, vous devez
déplacer votre position estimée, selon la
direction de Pg, de la valeur de la
différence entre Dzm et Dzc (soit
exactement la différence entre Hv et Hc).
Cette différence est l'intercept I
Dans cet exemple, Pe est à l'extérieur du
cercle, l'intercept I est vers Pg
Hv > Hc donc le résultat de Hv – Hc = I
est positif
5 - Dans cet exemple, Pe est à l'intérieur
du cercle, l'intercept I est à l'opposé de
Pg.
Hv < Hc, donc le résultat de Hv – Hc = I
est négatif
On commence par porter notre position estimée Pe sur notre carte marine, à l'intersection de la
Latitude L et de la Longitude G estimées.
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Par le point ainsi obtenu, on trace l'azimut Z en pointant par une flèche la direction de l'astre
donnée par l’azimut.
Puis on porte l'intercept I le long de l'azimut, en partant de la position estimée. On obtient "le
point déterminatif"
Ce point déterminatif est sur notre cercle de hauteur. C'est donc une position réelle possible.
Mais nous pouvons aussi être un peu à côté. Nous devrions alors tracer un "lieu géométrique"
de notre position, petite portion du cercle de hauteur, de part et d'autre du point
déterminatif,que l'on peut assimiler à sa tangente.
Cette tangente est facile à tracer : c'est la perpendiculaire à l'azimut (rayon du cercle) passant
par le point déterminatif. C'est la droite de hauteur. Il est de tradition de représenter cette
droite par un double trait.
Nous venons de tracer notre Droite de Hauteur. Nous sommes désormais certains qu'à l'instant
de notre mesure, nous étions "quelque part" sur cette droite. Mais où exactement ?
Pour préciser notre position et obtenir ce que l'on appelle "Le Point", il faut recouper cette
droite de hauteur par une autre droite.
2 cas sont alors envisageables :
1 - Vision simultanée de 2 (ou plus) amers :
C'est, par exemple, le cas de nuit lorsque vous pouvez voir plusieurs étoiles en même temps,
ou bien de jour lorsque le soleil et la lune sont tous les deux visibles. C'est aussi le cas lorsque
vous apercevez un amer côtier (phare, côte, ligne de sonde), dont la présence précise le point.
Dans tous ces cas, le déplacement de votre bateau entre chaque visée peut être considéré
comme négligeable, le point obtenu est très précis et seule l'erreur éventuelle de la mesure au
sextant ou des calculs pourra fausser le résultat.
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Point de nuit sur les étoiles :
A quelques minutes d'intervalle, vous relevez 3 étoiles dans des
azimuts assez différents. Vous pouvez négliger votre déplacement
entre les différentes visées et faire tous les calculs et tous les tracés
avec la même position estimée. Votre point est alors obtenu
immédiatement avec une bonne précision.
Sur le schéma ci-contre, les tracés ont été distingués par des
couleurs distinctes, pour plus de clarté)
Point de jour Soleil + lune :
Il arrive souvent que la lune soit visible en plein jour. Un point peut
alors être facilement obtenu en visant le soleil et la lune. Les deux
visées sont très proches l'une de l'autre, on peut utiliser la même
position estimée.
Droite de hauteur + amer :
Un amer est visible sur la côte, à peu près dans l'azimut de l'astre. Un
relèvement de cet amer coupera la droite de hauteur de l'astre pour
donner un point très précis.
Droite de hauteur + ligne de sonde
A l'approche d'une côte, à l'instant où le sondeur indique le passage
sur une ligne de sonde portée sur la carte, une droite de hauteur
permettra de caler précisément votre estime
2 - Pas de visée simultanée :
C'est le cas le plus fréquent de visée du soleil : on fait une droite de hauteur le matin, et une
autre l'après midi, ou bien on calcule la latitude à la méridienne, puis une droite de hauteur
quelques heures plus tard... Dans tous ces cas vous vous êtes déplacé entre les visées et il
faudra tenir compte de ce déplacement pour "transporter" la première position pour recouper
la deuxième. A l'erreur éventuelle de votre mesure et de vos calculs, s'ajouteront alors les
imprécisions (cap et vitesse) de votre estime.
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2 droites de hauteur à quelques heures
d'intervalle :
Il faut attendre suffisamment longtemps entre
les 2 visées pour que les 2 azimuts soient bien
distincts.
Il faut transporter la première droite selon la
route (cap et distance) estimée parcourue
entre-temps.
Méridienne + droite de hauteur :
Vous avez pu faire une latitude à la
méridienne et une droite de hauteur dans
l'après-midi. Il faut transporter la latitude de
la valeur du déplacement estimé.
Là aussi, l'écart de temps entre les deux
mesures doit être suffisamment important
pour que les droites soient bien distinctes.
Bien sûr l'ensemble de cette théorie est applicable à tous les astres (lune, planètes, étoiles),
mais nous n'aborderons pas cette étude dans le cadre de notre étude. Pour effectuer le tracé il
nous faut donc la hauteur estimée de l’astre, l’azimut et l’intercept….
B) LE CALCUL DE LA HAUTEUR ESTIMEE, DE
L’INTERCEPT ET DE L’AZIMUTH
Nous pouvons nous trouver dans les trois cas de figure suivant :
-Ne posséder uniquement les tables de navigations un papier un crayon bref a l’ancienne !
-Posséder une calculatrice de type collège
-Posséder une calculatrice programmable
Dans un premier temps nous donnerons les formules permettant de calculer respectivement la
hauteur estimée, l’intercept, l’azimut. Ensuite nous montrerons selon le matériel a disposition
comment déterminer ces valeurs.
Soit G notre longitude estimée L notre latitude estimée
Soit D la déclinaison (latitude) et AH l’angle horaire (longitude) de Pg à l’instant de la
mesure
Soit A notre angle horaire local : angle entre notre méridien estimé et celui de l’astre
Soit H la hauteur calculé : c'est la hauteur qu'on aurait dû mesurer au sextant si notre
position estimée était juste.
Soit Hv la hauteur vraie : La hauteur instrumentale Hi mesurée au sextant n'est pas la
hauteur réelle de l'astre. Celle-ci est en effet toujours entachée d'erreurs qu'il faut corriger.
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La première de ces erreurs est la collimation que vous avez mesurée en visant l'horizon, avant
de procéder à la mesure de la hauteur de l'astre. Il faut annuler cette erreur en ajoutant ou en
retranchant sa valeur à Hi.
Les autres erreurs sont inhérentes aux caractéristiques optiques de la mesure. Vous trouverez
la valeur des corrections dans des tables plus ou moins sophistiquées fournies avec les
éphémérides.
Soit I l’intercept et Z l’azimut de l’astre (par rapport à notre position estimée)
Les mathématiques nous permettent d’établir les relations suivantes
- AHl = AH ± G
- H = sin -1 ( sin L × sin D + cos L × cos D × cos A )
- I = Hv – Hc
- Z = cos -1 ( ( sin D – sin L × sin H ) ÷ (cos L × cos H ) )
Pour faciliter les étapes de calcul il existe des canevas de calculs (voir en annexe)
Ceux-ci sont fait pour être rempli facilement et ainsi permettre un calcul ne nécessitant plus
de réfections. Nous les donnerons en annexe pour chacun des cas suivant :
Le calcul avec les tables marines et le calcul avec la calculatrice type collège.
¤ Le canevas assistant le calcul avec la calculatrice collège n’est pas indispensable . Avec un
peu de méthode on peut poser facilement les formules précédemment citées et ainsi obtenir ce
que l’on cherche : azimut et intercept. Le calcul de ces valeur n’est alors plus qu’une simple
application numérique.
¤ Avec une calculatrice type lycée, il suffit d’écrire le bon programme incluant le calcul des
éphémérides, la correction du sextant et autres paramètres contraignant. Cela permet a
l’utilisateur de ne se préoccuper de rien, et seulement entrer des données telles que la mesure
de son sextant, les coordonnées de sa position estimée, l’heure de la mesure, la hauteur de son
œil etc…
Nous essaieront de vous présenter lors de la soutenance oral un programme réalisé en langage
ada ou une feuille de calcul exel effectuant un calcul automatique de la position a partir des
éphémérides donné par l’utilisateur la position estimé et la mesure faite au sextant
Les tables de navigations
¤ Dans le cas ou nous disposons uniquement des tables de calculs cela s’avère plus difficile.
Avant l'apparition de calculatrices scientifiques à bas prix, comment faisait-on ?
Outre l'utilisation des tables de logarithmes, plusieurs méthodes ont été proposées pour
faciliter les calculs d'astro. En France, les plus connues ont été les tables de Perrin, de
Dieumegard ou de Bataille. Mais la méthode la plus utilisée dans la période "moderne" (juste
avant l'arrivée du GPS) est sans conteste celle des tables américaines HO-249 (ou anglaises
AP3270, ce sont les mêmes). Les tables HO-249 se présentent sous la forme de 2 livres de
grandes dimensions (30 x 24 cm) de plus de 300 pages.
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Le premier tome concerne les navigations entre l'équateur et le 39ème parallèle nord ou sud,
et le deuxième tome s'adresse aux navigateurs entre le 40ème parallèle et le pôle nord ou sud.
(Il y a un troisième tome uniquement consacré aux étoiles, nous n'en parlerons pas ici)
Ces tables sont utilisables pour tous les astres dont la déclinaison n'excède pas 29°, ce qui est
le cas du soleil, de la lune, des planètes observables et de beaucoup d'étoiles utilisables en
navigation astro (pour pouvoir appliquer cette méthode à tous les astres, il faut utiliser les
HO-229)
Les HO-249 sont relativement faciles d'emploi car elles ne mettent en jeu que des opérations
simples (addition et soustraction). Elles contiennent en effet tous les résultats des calculs
trigonométriques de toutes les combinaisons possibles des 3 paramètres L, D, et AHl Tous les
résultats ?! mais c'est infini ! En effet c'est pourquoi seules les valeurs arrondies au degré sont
utilisées.
Toute la difficulté (si l'on peut dire) est donc de s'accommoder de cette limitation.
Voyons un exemple complet de calcul de l'Intercept et de l'Azimut avec les HO-249 :
Le calcul de l'Intercept et de l'Azimut :
Comme nous l'avons dit, ces tables n'utilisent que les valeurs arrondies au degré. Il appartient
à l'utilisateur de s'arranger pour avoir de telles valeurs rondes pour entrer dans ces tables.
Comme il ne lui est pas possible de jouer sur la position de l'astre (Angle horaire et
déclinaison de Pg) fixée avec précision pour l'instant de l'observation, ni sur la position des
pôles ( ! ), c'est sur sa position estimée qu'il va intervenir, ce qui n'est pas grave puisque celleci
est, par définition, imprécise.
On détermine d'abord une Latitude arbitraire ronde, c'est à dire sans minutes ni secondes, en
arrondissant notre latitude estimée au degré le plus proche.
Puis on choisit une Longitude arbitraire telle que ajoutée (si Est) ou retranchée (si West) à
l'angle horaire, on obtienne un Angle Horaire local rond.
Nous voici en possession des 3 clés permettant d'entrer dans les HO-249 :
Notre Latitude arbitraire ronde,
La Déclinaison du soleil (Les degrés seulement),
Notre Angle Horaire local rond.
Nous choisissons d'abord le tome des HO-249 qui nous concerne, selon la latitude où nous
naviguons.
- Nous y cherchons ensuite les pages de notre Latitude. Il y en a plusieurs, une dizaine,
parfois.
- Parmi ces pages, nous devons ensuite rechercher celles concernant la déclinaison du soleil
(degrés seuls). Il peut y en avoir 4 ou 5.
- Parmi ces pages, nous devons choisir selon que notre Latitude et la déclinaison du soleil sont
de même nom (Nord & Nord ou Sud & Sud) ou de nom contraire (Nord & Sud ou Sud &
Nord). Dans le premier cas, on choisira les pages "Déclination SAME name to Latitude", dans
le deuxième cas "Déclination CONTRARY name to Latitude". Il ne nous reste plus que 3
pages maximum.
- Nous allons maintenant rechercher notre Angle Horaire Local dans les colonnes de droite ou
de gauche de la page, intitulées LHA (abréviation anglaise de AHl)
- A l'intersection de la ligne de notre Angle horaire local et dans la colonne de la déclinaison
du soleil, nous trouvons 3 chiffres : Hc, d (précédé de + ou –), et Z
Hc est la Hauteur Calculée d est l'indice de correction de Hc Z est l'Azimut
il faut maintenant exploiter ces informations.
18

L'Intercept : On prend maintenant les minutes de la Déclinaison de l'astre et d, pour entrer
dans la Table 5 des HO-249. A l'intersection de la ligne et de la colonne de ces 2 chiffres, on
en trouve un 3ème. On lui affecte le même signe qu'à d (+ ou –) et on l'ajoute (ou on le
soustrait) à Hc. Le résultat est la hauteur calculée définitive Hc.
Pour obtenir l'Intercept, il suffit de faire Hv – Hc = I.
L'Azimut : La valeur de Z fournie par les HO-249 doit être modifiée selon votre Latitude L et
la valeur de AHl :
Si AHL > 180°
(le matin)
Si AHL < 180°
(l'après-midi)
Si L est Nord Si L est Sud
Zn = Z Zn = 180 – Z
Zn = 360 – Z Zn = 180 + Z
Cette règle est rappelée sur toutes les pages des HO-249
Le résultat, Zn, est votre Azimut définitif.
Nous pouvons enfin tracer maintenant notre droite de hauteur !
La page suivante montre un aperçu des tables HO-249 :
19

III) L’AVENIR DE LA NAVIGATION ASTRONOMIQUE
Les méthodes que nous avons développés jusque-là, y compris la méthode automatique, se
basent sur des calculs et des mesures humaines (sextant). Or, il y a toujours le risque d’avoir
une erreur ou une imprécision, ce qui peut fausser, plus ou moins,les résultats obtenues.
Néanmoins, elles permettent d’avoir une estimation de notre position en mer.
Cependant, toujours grâce aux avancées scientifiques et techniques, l’homme ne se contentent
plus, de nos jours, d’une estimation plus ou moins grossière de sa position en mer (longitude,
latitude). Il a, par conséquent, développer des systèmes beaucoup plus perfectionnés (que
ceux que l’on a décrit jusque-là) et permettant d’afficher instantanément votre position.
Suivant la région que nous fréquentons, il s'agit soit du LORAN C, soit du DECCA, soit d'un
navigateur par satellites TRANSIT, ou encore d'un GPS (Global Positioning System) pour les
principaux (car il en existe d'autres : I'OMEGA DIFFERENTIEL, le RANA, le TORAN ...).
¤ Le LORAN C :C’est un système qui couvre depuis l' Irlande et les côtes nord de
l'Angleterre, la côte Est des U.S.A., la Floride, le Golf du Mexique. La Méditerranée
est pratiquement toute couverte. Par contre le système est inutilisable pour une traversée
vers les Antilles par la route des alizés. Le Principe est le suivant :
Chaque chaîne est constituée d'une station maître et de deux ou plusieurs stations
secondaires commandées par la station maître. A bord du bateau le récepteur calcule la
différence de temps entre l'arrivée des signaux radio émis par les stations. Ces temps
correspondent à des hyperboles. L'intersection de 2 d'entre elles détermine la position.
¤ Le DECCA : Ce système a été mis au point par les anglais après la dernière guerre.
25 chaînes couvrent actuellement tout le Nord de l'Europe jusqu'à Gibraltar
mais pas la Méditerranée. Le principe est basé sur la comparaison de phases de signaux
haute fréquence (voisins de 100 KHz) provenant d'émetteurs terrestres synchronisés.
Chaque chaîne comporte 4 émetteurs : 1 maître + 3 esclaves synchronisés en phase et en
fréquence par le maître.
Le système DECCA permet de connaître sa position à tout instant avec une
précision allant de quelques dizaines à quelques centaines de mètres, et ceci,
quelles que soient les conditions météorologiques.
¤ LES NAVIGATEURS PAR SATELLITES
Deux navigateurs par satellites, pratiquement basés sur le même principe, vont nous
permettre de donner les différents systèmes utilisés.
TRANSIT est un récepteur automatique qui capte les informations des satellites de la chaîne
transit, mis en service par l'armée
américaine pour les sous-marins nucléaires.
5 satellites tournent autour de la terre en 107 minutes à une altitude de 1000 km en orbite
polaire et assurent une couverture mondiale. Sa précision est excellente : de 0,05 mille à 0,2
mille suivant que le bateau se déplace ou non.
Le navigateur par satellites GPS (ou Global Positioning System) est un système de
navigation en 3 dimensions: il donne aussi l'altitude. Géré par le gouvernement Américain,
il assure une couverture mondiale grâce à 24 satellites placés sur des orbites circulaires
parcourues 2 fois par jour à une altitude de 20 232 Km. Chaque orbite est inclinée de 55°
par rapport à l'équateur.
21

Le signal émis en permanence par chaque satellite est piloté par une horloge atomique. La
précision des informations est contrôlée et corrigée en permanence par des stations terrestres.
Le G.P.S, permet de se positionner à quelques dizaines de mètres près dans les meilleures
conditions. Il est, actuellement, l’un des systèmes de positionnement les plus précis. Voici
quel en est le principe de fonctionnement :
Généralités
Le principe de localisation GPS repose sur l'émission de signaux codés véhiculés par une
onde porteuse, selon deux modes de fonctionnement :
- un mode précis de positionnement à priori réservé à des utilisateurs identifiés
(code P ; précision de l'ordre de 10m)
- un mode standard de positionnement, sans restriction d'utilisation
(code C/A ; précision de l'ordre de 100 m).
Un récepteur reçoit donc simultanément les signaux codés en provenance de plusieurs
satellites situés à des distances différentes du lieu d'observation. Le décodage de ces signaux
permet d'évaluer ces distances et d'en déduire la position du récepteur dans un référentiel
géodésique connu (WGS 84).
La précision peut être améliorée par méthode différentielle (DGPS), en s'aidant d'une station
de référence proche de l'endroit où l'on effectue les mesures.
A noter que la précision centimétrique nécessaire dans des domaines tels que la géophysique
requiert le traitement d'informations sur la phase de l'onde porteuse elle-même, opération qui
ne peut être effectuée qu'en différé, à l'aide d'un système de traitement spécifique.
Eléments d'explication
L'onde porteuse émise par un satellite GPS se propage dans toutes les directions à la vitesse
c = 300 000 km.s -1 .
Le front de l'onde est donc sphérique. Lorsque ce front d'onde rencontre la surface terrestre
considérée comme sphérique, l'intersection est un cercle. Sur le schéma ci-dessous, un signal
de très courte durée véhiculé par l'onde porteuse émise par le satellite 1 atteint tous les points
du cercle rouge au même instant . Pour simplifier, imaginons que les satellites émettent de
façon synchronisée une série de lettres, de A à Z, les unes après les autres.
A une date précise, t, compte tenu des distances d1, d2, d3 différentes, tous les points situés sur
le cercle rouge recevront par exemple la lettre Z alors que tous les points situés sur le cercle
vert recevront la lettre H et tous les points situés sur le cercle bleu recevront la lettre A.
A cette date t, Le récepteur situé en P recevra la combinaison ZHA. Seul ce point peut
recevoir cette combinaison à cette
date. Un récepteur situé ailleurs
recevrait une combinaison de lettres
différente.
On conçoit donc que du décodage de
signaux véhiculés par ondes porteuses
et provenant de satellites plus ou moins
éloignés, on puisse déduire la position
géographique d'un récepteur.
Il faut au minimum 3 satellites pour
avoir une localisation en 2
dimensions à la surface de la Terre et
4 satellites pour accéder à l'altitude.
22

Précision des mesures
Globalement, la précision du système GPS dépend étroitement de la qualité de mesure du
temps (un signal véhiculé par une onde progresse de 3 m en 10 milliardièmes de seconde !).
La précision de localisation dépend donc des performances des horloges, de la
synchronisation des horloges des satellites, de la connaissance du décalage de temps entre
l'horloge du récepteur et celles des satellites, et aussi de la connaissance des paramètres
susceptibles d'influer sur la vitesse de propagation des ondes.
Le ‘DOP’ (Dilution of Précision): Pour l'utilisateur, la précision dépend également des
positions des satellites dans le ciel, par rapport au lieu de réception. Il est aisé de concevoir
que si les satellites reçus sont dans la même direction et au ras de l'horizon, le calculateur aura
bien du mal à localiser correctement le récepteur. Le "DOP" est un paramètre qui permet
d'estimer la qualité de la mesure effectuée en fonction de l'azimut et de l'élévation de chacun
des satellites dont les signaux sont reçus au lieu d'observation.
Ci_dessous : L'angle alpha représente l'azimut. Il est compté à partir du nord, positivement
dans le sens de rotation des aiguilles d'une montre. L'angle alpha représente l'élévation du
satellite au dessus de l'horizon.
23

CONCLUSION :
Est-il aujourd'hui nécessaire de connaître la Navigation Astronomique ?
La réponse tient en un mot : non.
A l'heure où le GPS vous donne en quelques secondes une position quasi infaillible, sans
aucun calcul, et pour un prix égal à celui d'un banal sextant en plastique, la connaissance de
cette technique n'est plus indispensable.
Alors, pourquoi faire de la Navigation Astronomique?
Tout simplement parce qu'en la découvrant, vous vous rapprochez de la science des marins
d'autrefois, de tous les Capitaines Cook, Surcouf, Bligh, Bougainville... des Slocum,
Moitessier, Dumas... qui sont à l'origine de certains points clés de notre histoire. Cela permet
aussi de faire travailler l'imagination et de se rendre compte qu'avec des moyen rudimentaire,
quelques approximations et autres calculs quasi élémentaire, on peut se repérer sur la terre .
Mais aussi parce que cela peut toujours servir! Qui vous garantit que jamais votre GPS ne
tombera en panne ? qui vous dit que jamais vous n'aurez besoin de sortir votre sextant de sa
boîte ....?
24

ANNEXE :
GLOSSAIRE :
Angle horaire et déclinaison :
Un système de coordonnées, similaire aux coordonnées terrestres de latitude et de longitude, a
été adopté pour décrire la position des astres dans le ciel.
Ce système comprend la déclinaison, qui correspond à la latitude terrestre, et l'angle horaire,
qui correspond à la longitude terrestre. Pour les besoins
pratiques de la navigation, la position des étoiles les unes par rapport aux autres est considérée
comme fixe.
Les angles et les distances :
Les angles sont généralement mesurés en Degrés, minutes et secondes. La circonférence d'un
cercle fait 360 Degrés. Un degré est équivalent à 60 minutes.
Les secondes d'arc ne sont pas utilisées pour le point Astro, car le sextant n'est pas assez
précis pour les mesurer. L'unité d'angles la plus petite utilisée
par le navigateur est le dixième de minute.
Le Mille Nautique (=1852 m) est l’unité qui a été choisie pour simplifier les conversions entre
angles et distances. Un mille nautique corresponds à un
arc d'une minute, sur la surface de la terre. Ainsi, les angles et les distances, a la surface de la
terre, sont égaux. Une exception a cette règle: Une
minute de longitude est égale a 1 mille nautique, mais seulement près de l'équateur.
Une autre équivalence importante se retrouve entre le temps et les degrés de longitude.
Puisque la terre fait un tour complet (360°) en 24 heures, chaque
heure correspond à 15° de longitude. C'est à dire 900 Milles Nautiques (MN).
Azimut :
L'angle que fait XZ (droite joignant le Pg de l’astre et le point où se situe le navigateur) avec
le Nord vrai est appelé l'Azimut (RAz) de l' astre. L'azimut est la direction horizontale vers
laquelle se trouve le PG de l' astre.
Cercle de hauteur ou Cercle de position :
En connaissant la distance zénithale et le Pg d’un astre, nous pouvons seulement dire que
notre position se trouve sur un grand cercle, dont le centre
est le Pg et dont le rayon est égal à la distance zénithale. Ce cercle est appelé le Cercle de
Position (ou cercle de hauteur).
Distance zénithale :
La distance XZ, du point X (PG de l' astre) et le point Z du navigateur est appelé la distance
Zénithale. Cette distance, comme nous l'avons vu, peut s'exprimer
en milles ou en degrés, puisque c'est un arc sur la surface de la terre.
25

Droite de hauteur :
Parce que la Position Géographique d'un astre est normalement à des milliers de kilomètres de
notre position, le cercle de position est extrêmement grand
et cette toute petite partie qui nous intéresse - celle près de notre position - peut alors être
considérée comme une droite, orthogonale à l'Azimut de
l'astre. Cette droite est appelée La droite de Hauteur. (Schéma 9).
Ephéméride :
Dans le langage courant, l´éphéméride désigne ce qui se passe journellement ; l´éphéméride
du jour est la liste des événements marquants de ce jour. Par extension, les éphémérides
astronomiques désignent a priori une table journalière de positions de corps célestes mobiles
(ceux du système solaire) ainsi que des phénomènes astronomiques ayant lieu ce jour telles
les éclipses. Les éphémérides de positions sont donc avant tout la représentation d´un
mouvement. Les éphémérides que l´on connaît sous forme de tables de nombres sont les plus
courantes et les plus anciennes, mais ce n´est pas la seule forme possible et, de nos jours, ce
n´est plus la forme la meilleure car il en existe maintenant
d´autres beaucoup plus performantes.
Hauteur d’un astre :
Il est difficile de déterminer la distance Zénithale avec précision, car il est difficile de trouver
la direction verticale exacte sur le pont chahuté d'un
bateau. Il est beaucoup plus facile de mesurer l'angle que fait l'astre avec l'horizon. Cet angle
important pour le navigateur Astro. est appelée la Hauteur
(Ho) de l'astre. La hauteur d'un astre est déterminée avec un sextant sur le plan vertical, en
mesurant l'angle entre l'horizon et l'astre.
Intercept :
La façon de connaître notre position exacte est de dessiner 2 cercles de positions ou plus, pour
2 objets célestes ou plus, et voir ou ils s'interceptent. Mais dessiner
ces cercles demanderais des cartes géantes ! On évite ce problème en estimant notre position.
Peu importe si l'on est complètement perdu, nous pouvons
toujours l'estimer. A partir de cette position estimée, nous pouvons calculer une hauteur pour
un astre observée à une heure donnée, en utilisant les Ephémérides
Nautiques. Cette Hauteur Calculée peut maintenant être comparée avec notre Hauteur
Observée (celle mesurée avec le sextant). La différence entre les deux représente
l'erreur entre notre position estimée et notre position réelle, que l'on appellera l'Intercept.
L'intercept peut se tracer vers l' astre ou au contraire,
à l'écart de l' astre. C’est plus concrètement la différence de rayon entre le cercle de hauteur
vrai et le cercle de hauteur estimé
Latitude et longitude :
La latitude d'un lieu donné est l'angle formé par la verticale de ce lieu avec le plan de
l'équateur. Exprimée en degrés, elle est comptée de 0° à 90° à
partir de l'équateur vers les pôles, positivement vers le nord et négativement vers le sud. La
longitude d'un lieu donné correspond à l'angle formé par le méridien de ce lieu avec le
méridien d'origine (méridien de Greenwich). À partir de cette
origine, elle varie entre 0° et 180°, positivement vers l'ouest et négativement vers l'est.
26

Méridien :
nom donné à une ligne imaginaire parcourant la surface de la Terre d'un pôle à un autre. Un
méridien correspond à la moitié d'un grand cercle qui passe par les pôles et forme un angle
droit avec l'équateur. Il est midi en n'importe quel point du globe quand les rayons directs du
soleil passent au-dessus du méridien de l'endroit considéré. Quand nous observons
les étoiles et les planètes passer au-dessus du méridien, elles apparaissent directement audessus
de nos têtes. Le méridien est le lieu des points ayant
même longitude. La latitude et la longitude
permettent de déterminer la position d'un point à la surface de la Terre grâce à l'attribution de
coordonnées.
Point géographique d’un astre (Pg) :
imaginons une droite connectant le centre d'une étoile au centre de la terre. Le point où cette
droite touche la surface de la terre est appelé
la Position Géographique de cette étoile (PG). Un observateur se trouvant à la position
géographique d'une étoile se trouvera directement à sa verticale,
et la verra exactement au-dessus de sa tête.
Sphère céleste :
Imaginez que la terre est au centre de l'univers - (y'en a qui ne croient plus a ça aujourd'hui,
mais bon... ) - et qu'autour de la terre se trouve une
plus grande sphère, le centre au même point, dans laquelle la position des astres est fixe,
comme si ils étaient peints sur la surface intérieure de cette
sphère. Cette autre sphère nous l'appelons la Sphère Céleste.
Zénith :
Un autre point important est le Zénith. Le Zénith est le point dans la sphère céleste, à la
verticale, au-dessus du navigateur. La droite qui relie le Zénith
et le centre de la terre transperce la surface de la terre au point exact où se trouve le
navigateur, celui que nous cherchons à déterminer.
.
27

LE SEXTAN
Il a été inventé vers 1730, en même temps en Amérique et en Angleterre, par le
mathématicien anglais John Hadley (1682-1744) et par l'inventeur américain Thomas Godfrey
(1704-1749).
Il comporte :
- une lunette fixée horizontalement sur le cadre,
- plusieurs miroirs mobiles.
Sa construction repose sur les lois de la réflexion de la lumière. Le sextant a la forme d'un
secteur angulaire de 60°.
Cet appareil est destiné à mesurer la hauteur d'un astre (Soleil, Lune, Étoiles ...) au
dessus de l'horizon. Avec l'aide de tables astronomique, on peut en déduire la latitude du lieu
d'observation.
Avant l'apparition de la radiogoniométrie puis du GPS, il permettait avec l'aide d'un
chronomètre (pour la détermination de la longitude) de faire le "point".
Une incertitude d'une minute d'arc sur la latitude correspond à une erreur de position d'un
mille nautique soit 1852 m. Au niveau de l'équateur, une erreur d'une seconde de temps
correspond à une erreur de position d'un quart de mille nautique.
Description :
Le sextant est constitué par un secteur OAB de 60° soit un sixième de cercle d'ou le
nom de l'appareil. Une lunette est fixée sur le bras OA parallèlement à la corde AB. Sur le
bras OB est fixé, parallèlement à OA, un miroir semi transparent M2.
Un miroir M1 solidaire d'une alidade mobile OC est placé en O, centre du secteur. Le secteur
AB est gradué et un vernier permet de déterminer avec précision (1 minute) la valeur de
l'angle ϕ = AOC.
Des filtres atténuateurs doivent être placés avant le miroir M1 quand on pointe le Soleil.
L'alidade sert à opérer la mesure d'angles. Elle consiste en une règle qui porte un
système de visée dit à pinnules. Ce sont deux plaques de cuivre fixées perpendiculairement,
par des charnières, aux extrémités de l'alidade, et percées d'orifices étroits: petit trou, fente
étroite sans fil, fente avec fil médian (dioptre).
On place l'alidade sur une table ou une planchette. Un repérage consiste à mettre en
coïncidence deux orifices avec un point visé au loin. On vise ensuite un second point. Passant
ainsi d'une visée à l'autre, on mesure et on marque sur la table l'angle que font les deux
directions choisies, que l'on peut mesurer
ensuite au rapporteur.
Ici l’alidade est intégrée dans le sextant, et l’angle est mesuré grâce à l’appareil.
28

Utilisation :
Avec la lunette, on vise l'horizon à travers M2. La corde AB est alors parallèle à
l'horizontale locale. En même temps, on déplace l'alidade OC pour que l'image de l'astre
obtenue par double réflexion (sur M1 puis M2) coïncide avec celle de l'horizon.
Quand cette condition est réalisée, l'angle AOC est égal à la moitié de la hauteur (angle SOH)
de l'astre visé.
Rappel : Quand un miroir tourne d'un angle ϕ, le rayon réfléchi tourne d'un angle 2ϕ.
29

Canevas,
aides aux
calcul
de l’intercept
et de
l’azimut :
30

Etudiants :
CARTIER Chloé :
ccartier@etud.insa-toulouse.fr
CARVIN Denis :
dcarvin@etud.insa-toulouse.fr
ABDELHAMID Brahim:
babdelhamid@etud.insa-toulouse.fr
BRAZEILLES Rémi
rbrazeilles@etud.insa-toulouse.fr
professeur responsable : Mr ROUSSEAU
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