Mémoire Modélisation stochastique et statistique ... - AgroParisTech

Mémoire
Modélisation stochastique et statistique
Tests multiples et FDR
Alain Celisse
Université Paris XI Orsay
avril-juillet 2005
Enseignant responsable : Pascal Massart
Maître de stage : Stéphane Robin

Table des matières
1 Taux de faux positifs 9
1.1 Problème de tests multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Taux d’erreurs de type I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Procédures de contrôle du FWER . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Procédure de Benjamini-Hochberg . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Les diverses approches envisagées . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Information locale et probabilités a posteriori 17
2.1 Modèle de mélange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 pFDR et q-value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1 Caractère global du FDR . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.2 Relation entre FDR et pFDR . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.3 Un analogue a posteriori des probabilités critiques . . 19
2.3 Le FDR local : fdr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.1 Le fdr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.2 Estimation du FDR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Proportion de rejets et processus stochastiques 25
3.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.1 Quelques propriétés fondamentales de R(t) et F P (t) . 25
3.1.2 Estimation de la proportion . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Procédure optimale à contrôle fixé . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.1 Procédures plug-in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.2 Optimalité des procédures plug-in . . . . . . . . . . . 32
3.2.3 Convergence des seuils plug-in et dépendance faible . . 37
3.3 Contrôle à seuil fixé et sous-optimalité de la procédure BH . . 41
3.4 Limites de processus : normalité asymptotique et intervalles
de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4.1 Préliminaires : outils de base pour l’étude des processus 42
3.4.2 Asymptotique des estimateurs de π0 et F , convergence
du FDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.5 Champs aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5.1 Construction d’un super-ensemble . . . . . . . . . . . 54
3

3.5.2 Enveloppes de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5.3 Seuils pour un contrôle donné . . . . . . . . . . . . . . 57
3.6 Bilan intermédiaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4 Minimisation sous contrainte 59
4.1 Approche asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.1.1 Motivation de l’approche . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.1.2 Heuristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2 Risque conditionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3 Erreur de Bayes pondérée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5 FDR et seuillage 63
5.1 Minimaxité asymptotique de l’estimateur FDR . . . . . . . . 64
5.1.1 Cadre mathématique du problème . . . . . . . . . . . 64
5.1.2 Critère pénalisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.1.3 Estimateur FDR et estimateur par critère pénalisé . . 66
5.1.4 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2 Comparaison seuil-FDR et seuils obtenus par critères pénalisés 71
5.2.1 Pénalité de Donoho et Johnstone . . . . . . . . . . . . 72
5.2.2 Approche de Birgé et Massart . . . . . . . . . . . . . . 75
6 Directions de travail 81
6.1 Estimation de π0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.2 Densités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.3 Cas de dépendance connue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.3.1 La propriété de PRDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.3.2 Profils CGH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.4 Motifs exceptionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7 Annexe 87
7.1 Preuve du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.2 Preuves du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.2.1 Preuve du lemme 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.2.2
7.2.3
Preuve du théorème 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . .
Forme des estimateurs π
92
g
7.2.4
0 et FDRλ(t) . . . . . . . . .
Relation entre a et G . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
94
7.2.5 Normalité asymptotique de F DP (t) . . . . . . . . . . 95
4

Introduction
Origine du sujet
Tests multiples
Assez récemment, le développement de technologies fournissant simultanément
un grand nombre de données a été la source de problèmes statistiques
dits ”problèmes de tests multiples”. Ainsi, le repérage d’agrégats
d’étoiles sur une photo de l’espace, l’analyse d’images médicales dont le but
est la recherche d’éventuelle formation tumorale, ou encore la recherche de
gènes différentiellement exprimés sur les puces à ADN sont autant d’exemples
d’applications de tests multiples.
Puces à ADN
Fondées sur la complémentarité des bases A-C-T-G, les biopuces (ou
puces à ADN) permettent de mesurer le niveau d’expression de plusieurs milliers
de gènes simultanément, chacun d’eux ayant été soumis au préalable à
des conditions expérimentales spécifiques. L’objectif du statisticien est alors
la recherche de la liste la plus précise possible des gènes sur- ou sous-exprimés
(et donc différentiellement exprimés), afin de comprendre leur implication
dans un processus biologique.
Équipe Statistique et génome
J’ai effectué mon stage au sein de l’équipe Statistique et génome,
qui regroupe des statisticiens autour du thème de l’analyse des données
de génomique et de post-génomique. C’est donc assez naturellement que
celle-ci est confrontée au problème de détection de gènes différentiellement
exprimés (tests multiples) dans le cadre des biopuces.
Cette équipe fait partie de l’Unité Mixte de Recherche (UMR) 518 EN-
GREF / INA P-G / INRA ”Mathématiques et Informatique Appliquées”
(MIA) dirigée par Stéphane Robin. Cette unité est partie intégrante à la
fois du département OMIP de l’INA P-G (Institut National Agronomique
de Paris-Grignon) dirigé par Jean-Jacques Daudin, et du département MIA
5

de l’INRA dans le cadre du CT1 (Champ Thématique ”Bioinformatique”).
Créé en 1971, l’INA-PG est un établissement public d’enseignement
supérieur placé sous la tutelle des ministères de l’agriculture et de la
pêche, qui regroupe environ 2 000 personnes dont 1 200 étudiants, 150
enseignants-chercheurs et ingénieurs, 130 chercheurs, et 470 techniciens
et administratifs. Réparti sur deux sites, Paris et Grignon, cet institut se
compose de 6 départements et parmi ceux-ci, à Paris, le département OMIP
(http : //compact.jouy.inra.fr/compact/CONSULTER/INTER/externe
/unites/toedit/518).
Notations et définitions
Chapitre 1 – F P (t) = ♯{ gènes H0 déclarés H1 au seuil t}, (la probabilité critique
associée à chaque statistique de test considérée est comparée au seuil
t en vue d’une acceptation ou d’un rejet).
– F N(t) = ♯{ gènes H1 déclarés H0 au seuil t}.
– R(t) = ♯{ gènes rejetés au seuil t}.
– V P (t) = ♯{gènes H1 rejetés au seuil t}.
– V N(t) = ♯{gènes H0 acceptés au seuil t}.
Chapitre 2 – Modèle de mélange :
(i)
déf
π0 = m0/m ·
(ii) (H0(i))i iid ∼ B( 1 − π0 ) , avec H0(i) = 1, si le gène i est H1,
et 0 sinon.
Pi | H0(i) = 0
(ii)
Pi | H0(i) = 1
∼
∼
f0(t) sur [0, 1]
f1(t) sur [0, 1]
, où f0 et f1 sont les
densités des lois respectives. g densité des probabilités critiques.
– U désigne la fonction de répartition des probabilités critiques sous
H0. F désigne celle des probabilités critiques sous H1.
– F0 et F1 désignent ces mêmes fonctions de répartition quand on ne
suppose plus la densité des probabilités critiques sous H0 continue.
– fdr(t) FDR local au seuil t.
Chapitre 3 – Identifiabilité :
Dans le cas d’un modèle de mélange, soit on connaît la loi des probabilités
critiques sous H1, soit on suppose que F appartient à un
ensemble S de fonctions de répartition. Se pose alors le problème
de l’identifiabilité si la classe S est trop grande. On dira que le
problème est non-identifiable si il existe (b, H) ∈ [0, 1) × S tel que
F = bH + (1 − b)U.
6

– Gm(t) = R(t)
m
tiques. Fm(t) =
fonction de répartition empirique des probabilités cri-
F P (t)
m ·
– π0(λ) estimateur de Storey de la proportion π0(λ) = m−R(λ)
(1−λ)m ·
– π0(λ) = 1−G(λ)
1−λ ·
– a(λ) = 1 − π0(λ) .
–
pF DR λ(γ) = F DRλ(γ)
Gm(λ) .
– t m α = t m α (F DRλ) = sup{t ∈ [0, 1]/ F DRλ(t) ≤ α} .
– Tα = t m α (F DRλ=0) .
– β = 1−απ0
α(1−π0) ·
– u∗ unique solution de g(u) = u/α et c∗ seuil optimal.
F P (t)
F N(t)
– F DP (t) = R(t) et F NP (t) = m−R(t) ·
1 2
– ɛm est le réel défini par ɛm = 2m log( α ) ·
– a valeur accessible de la proportion de gènes H1 dans le cas nonidentifiable.
– F ensemble des fonctions de répartitions stochastiquement dominées
par U et concaves.
– a0(t) =
Gm(t)−t
1−t
– G(t) = t ∨ Gm.
+ ·
Chapitre 5 – η = ηm proportion de composantes non nulles de µ.
– Z variable aléatoire de même loi que |Y | (i).
– kF = kF DR , tF = t bkF . µF estimateur FDR .
– Θm boule à laquelle appartient µ.
– R o σm (µ) = E µo σm − µ 2 2 .
– w sous-ensemble de {1, . . . , m} (modèle).
– M ensemble de s modèles w.
– (ϕλ)λ vecteurs de la base canonique de R m .
– µw projection orthogonale de µ sur Sw.
– µw projection orthogonale de Y sur Sw.
– Dw dimension de Sw et Lw poids portant sur le modèle w.
7

Chapitre 1
Taux de faux positifs
Afin de fixer les idées, on se place pour ce qui suit, sauf indication
contraire, dans le cadre des données obtenues à partir des biopuces.
1.1 Problème de tests multiples
La technologie des puces à ADN tire profit de la complémentarité des
brins d’ADN et permet d’évaluer simultanément le niveau d’expression
de plusieurs milliers de gènes d’intérêt, issus d’un individu soumis à
certaines conditions expérimentales. Ainsi, on isole sur l’ADN une séquence
complémentaire d’une partie codant pour un gène dont on veut déterminer
s’il s’exprime ou non dans une condition donnée : cette partie est appelée
sonde tandis que le gène dont elle est en théorie spécifique constitue la
cible. Sur chaque puce à ADN, on dispose m sondes correspondant, par
complémentarité, à m gènes cibles. Puis on évalue le niveau d’expression de
ceux-ci par quantification de leur hybridation avec les sondes. Au final, on
obtient m niveaux d’expression à partir desquels on calcule la valeur de m
statistiques de test : xi, i = 1, . . . , m , réalisations de m variables aléatoires
X1, . . . , Xm, dont on pose que m0 d’entre elles correspondent à des gènes
non différentiellement exprimés. Il est à noter qu’on ne connaît pas m0,
mais qu’il est néanmoins très vraisemblable que parmi tous les gènes testés,
certains puissent ne pas être différentiellement exprimés, le cas le plus
courant étant que la majeure partie de ces gènes soit non différentiellement
exprimés.
Pour chacune de ces variables, on réalise un test de H0(i) : le gène i est non
différentiellement exprimé, contre H1(i) : le gène i est différentiellement
exprimé. On obtient alors m probabilités critiques (pi)i=1,...,m, chacune
d’elles étant définie comme la probabilité qu’une certaine statistique
dépasse un seuil donné, déterminé à partir de la loi de cette statistique sous
l’hypothèse nulle. Une idée naturelle consisterait à tester individuellement
chaque probabilité critique au niveau α. Cependant, prenons m de l’ordre
9

de 10 000, ce qui est assez courant sur les puces à ADN. Dans ces conditions,
tester individuellement chaque gène au niveau α = 5%, donne en moyenne
500 faux positifs parmi les 10 000 gènes testés. On voit donc ainsi la
nécessité de concevoir des ”procédures” capables de détecter les gènes
différentiellement exprimés malgré le grand nombre de gènes testés et
donnant le moins de faux positifs possibles.
Convention :
Dans la suite, on dira d’un gène non différentiellement exprimé qu’il est H0,
tandis qu’un gène différentiellement exprimé sera dit H1.
1.2 Taux d’erreurs de type I
Définition 1.1 (faux positif) On dit qu’un gène est un faux positif si ce
gène est H0 mais rejeté par la procédure, i.e. déclaré H1.
On résume dans le tableau suivant les grandeurs d’intérêt du problème
pour un seuil t donné (Bar-Hen et al.[3]) :
H0 H1 total
rejetés F P (t) V P (t) R(t)
non-rejetés V N(t) F N(t) m − R(t)
total m0 m1 = m − m0
L’objectif annoncé est de déterminer parmi tous les gènes testés, ceux
qui sont H1. Néanmoins, la procédure de test utilisée pour décréter un gène
H0 ou H1 peut engendrer des faux positifs. On souhaite alors pour perdre
le moins possible d’informations, détecter le maximum de gènes H1, tout en
contrôlant le nombre de faux positifs F P (t) afin notamment de minimiser
les coûts (pas ou peu d’expériences inutiles). Pour cela, on définit quatre
quantités dont la majoration nous assure un certain contrôle du nombre de
faux positifs (d’après Dudoit et al. [10]) :
Définition 1.2 (Per Comparison Error Rate)
P CER(t) =
E(F P (t))
,
m
Définition 1.3 (Per Family Error Rate)
P F ER(t) = E(F P (t)),
Définition 1.4 (Family Wise Error Rate)
F W ER(t) = P r(F P (t) ≥ 1),
10

y
3
2.5
2
Vrais Positifs
VP(λ)
1.5
1
0.5
seuil λ
Densité des probabilités critiques
Faux Négatifs FN(λ)
Vrais négatifs VN(λ)
Faux Positifs
FP(λ)
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Probabilités critiques
Fig. 1.1 – Densité des probabilités critiques sous H1 (proches de 0) et sous
H0 (uniformément réparties).
Définition 1.5 (False Discovery Rate)
F P (t)
F DR(t) = E
.
R(t) ∨ 1
Remarque : le terme R(t) ∨ 1 au numérateur du FDR vient de ce que si
R(t) (le nombre de gènes rejetés) vaut 0, ce qui est possible si la procédure
est trop conservative, il faut que le rapport soit défini. Ici, il vaut logiquement
0 puisque dans ce cas, FP(t) (nombre de gènes rejetés à tort) vaut 0.
Historiquement, seules les deux dernières quantités ont suscité
véritablement de l’intérêt. C’est donc seulement à ces deux-ci que nous allons
nous intéresser dans la suite.
1.3 Procédures de contrôle du FWER
D’après la définition 1.4, on voit que contrôler le FWER revient à
contrôler la probabilité d’avoir au moins un faux positif. Utiliser le FWER
11

va donc avoir pour effet de détecter moins, voire beaucoup moins de gènes
H1 que si on s’autorisait quelques faux positifs tout en s’assurant que la
proportion de ceux-ci sur le nombre total de gènes rejetés soit assez petite :
c’est exactement l’interprétation du FDR.
Néanmoins, ces deux types de contrôle ne sont pas forcément à opposer et
peuvent même être complémentaires. Par exemple, tandis qu’on peut autoriser
quelques faux positifs et donc l’usage du FDR pour les contrôler lors
des premières étapes de l’élaboration d’un médicament (expérimentation sur
des souris), le renforcement progressif du contrôle du FDR avec l’exigence
croissante de précision au fil des expérimentations aboutira à une préférence
pour le FWER lors de tests sur des patients humains, où aucun faux positif
n’est toléré (Benjamini et Hochberg [4]).
De nombreuses procédures ont donc été développées pour contrôler le
FWER, comme celles de Sidak, ou de Bonferroni. Ainsi, Sidak montre [10] :
Proposition 1.1 (procédure de Sidak) Si les tests effectués sur les
gènes H0 sont indépendants, alors contrôler chaque probabilité critique au
niveau t donne :
F W ER(t) = P r(∃ un faux positif) = 1 − (1 − t) 1
m 0 ≤ 1 − (1 − t) 1
m ,
où m0 est inconnu.
Remarque : ce point découle de la loi binomiale suivie F P (t) comme nous
le verrons dans les préliminaires 3.1.1.
Quant à lui, Bonferroni ne fait pas l’hypothèse d’indépendance :
Proposition 1.2 (procédure de Bonferroni) Sans hypothèse d’indépendance
sur les tests effectués pour les gènes H0, contrôler chaque probabilité
critique Pi au niveau t donne :
m0
F W ER(t) = P r(∃ un faux positif) ≤ P r(Pi ≤ t m0
) ≤ t ≤ t,
m m
avec m0 inconnu.
Remarques :
– D’abord, ces deux procédures sont dites ”conservatives” en cela
qu’elles offrent un contrôle optimal (cas indépendant) qui n’est pas
réellement accessible puisqu’il dépend de m0, inconnu. Ainsi, le
véritable et seul contrôle exploitable est nettement moins bon. Il faut
avoir recours à l’estimation de m0 pour espérer une amélioration de
ce contrôle.
– Ensuite asymptotiquement (m → ∞), le développement limité de 1 −
(1 − t) 1
m 0 t/m0 pour t < 1 et m0 → ∞, indique que la procédure
de Sidak donne un contrôle du FWER qui s’apparente à celui obtenu
avec Bonferroni, ceci suggérant que le cas de l’indépendance tend à
être le pire pour la majoration du FWER.
12
i=1

1.4 Procédure de Benjamini-Hochberg
De la même manière, lors de l’introduction du FDR en 1995 par Benjamini
et Hochberg [4], ceux-ci ont montré par récurrence et conditionnement
que la procédure dite de ”Benjamini- Hochberg”, que nous désignerons par
la suite par ”procédure BH”, offre un contrôle du FDR au niveau α.
procédure BH :
On considère les m probabilités critiques ordonnées correspondant aux m
tests :
On définit ensuite :
Alors, [4] nous donne :
p (1) ≤ p (2) ≤ . . . ≤ p (m) .
k = max{ i / p (i) ≤ iα
} .
m
Théorème 1.1 (procédure BH) Sous hypothèse d’indépendance des probabilités
critiques sous H0 et d’indépendance de celles-ci par rapport à celles
sous H1, la procédure suivante
– si k n’existe pas, on ne rejette aucune hypothèse,
– si k existe, rejet de H (i) , i = 1, · · · , k .
fournit la relation :
F DR ≤ m0
α ≤ α .
m
Devant la difficulté de la démmonstration de Benjamini et Hochberg [4], nous
avons détaillé en annexe leur preuve pour le théorème 1.1. Il est toutefois
préférable, étant donnée sa complexité et sa longueur, de ne la lire qu’en
seconde lecture. Une autre preuve, plus élégante sera donnée ultérieurement.
On peut formuler plusieurs remarques à ce sujet :
m0
(i) la méconnaissance de m0 et donc du rapport π0 = m rend la
procédure BH d’autant plus conservative que π0 est petit. On peut
donc se dire qu’estimer ce rapport serait un moyen d’obtenir une
procédure plus puissante. En effet, si on veut peu de faux positifs au
regard du nombre de rejets, on souhaite aussi rater le moins possible
de gènes H1, ce qui signifie la meilleure puissance posssible.
(ii) ce contrôle demeure sous certaines hypothèses de dépendance (voir
notamment [6] et [7]). Dans la suite, nous n’aborderons que ponctuellement
ces questions de dépendance avant de détailler, dans la dernière
partie, le cas particulier de la propriété PRDS (Benjamini, Yekutieli
[7]) qui, lorsqu’elle est vérifiée, assure un contrôle du FDR au niveau
souhaité.
13
déf

valeurs des probabillités critiques
x 10
9
−3
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Procédure de Benjamini Hochberg (α=0.05).
y= x*α/m
k FDR
courbe des probabilités
critiques ordonnées
2 4 6 8 10 12 14
rang des probabilités critiques ordonnées
Fig. 1.2 – Principe de la procédure BH. m0 = 100 et π0 = 0.1 . La procédure
BH sélectionne donc l’entier le plus grand kF DR, avant l’instant de dernier
croisement à droite des deux courbes.
1.5 Les diverses approches envisagées
L’étude du FDR jusqu’à présent a été réalisée essentiellement suivant
trois points de vue que sont
1. l’utilisation de lois a posteriori dans une structure de modèle de
mélange,
2. l’emploi du cadre des processus stochastiques pour obtenir des
résultats asymptotiques,
3. la mise en évidence de liens entre le FDR et les techniques de critères
pénalisés.
Nous allons donc, entre autres, présenter dans ce qui suit ces trois aspects.
Dans la partie deux, nous rappelons le caractère global de l’information
apportée par le FDR ou le pFDR, à la différence de celle fournie par le FDR
local. De plus, le modèle de mélange constitue la trame de la deuxième
partie s’avère être un cadre commode en cela qu’il permet l’obtention de
14

formules exactes pour certaines de nos quantités d’intérêt.
La partie trois est dévolue à l’obtention de résultats, la plupart de nature
asymptotique, grâce à une approche basée sur les processus stochastiques.
Ainsi R(t)/m, la proportion de gènes rejetés est vue comme la fonction
de répartition empirique des probabilités critiques G(t). De ce constat
découlent de nombreux résultats concernant l’optimalité des seuils des
procédures envisagées ou encore la normalité asymptotique.
Bien qu’elle soit un peu plus marginale, nous avons choisi dans la quatrième
partie, de rendre compte d’une approche basée sur la minimisation d’une
fonctionnelle sous certaines contraintes , procédé qui a pour but notamment
de fournir une procédure optimale en cela qu’elle maximise la puissance
tout en maintenant un contrôle donné sur le FDR.
À l’occasion de problèmes d’estimation d’une courbe à partir de la donnée
d’un signal discret et perturbé par un bruit gaussien, d’aucun ont vu dans
le FDR la possibilité d’un estimateur adaptatif des coefficients de celle-ci,
décomposée dans une base donnée d’ondelettes. Ainsi, ont été mises à
jours certaines propriétés asymptotiques minimax de l’estimateur FDR,
propriétés déduites par le biais de la minimisation de critères pénalisés.
Dans un second temps, nous présenterons les méthodes d’obtention de deux
pénalités couramment utilisées que sont celle de Donoho et Johnstone et
celle de Birgé et Massart.
Enfin, la dernière partie est consacrée à la description de certaines pistes
à approfondir, ainsi qu’à des exemples de résultats qui sont dores et déjà
accessibles comme c’est le cas pour les profils CGH.
15

Chapitre 2
Information locale et
probabilités a posteriori
2.1 Modèle de mélange
Afin d’améliorer la majoration du FDR obtenue dans le théorème 1.1,
on cherche à étudier les variables aléatoires F P (t) et R(t). Pour cela, étant
données nos deux populations de gènes (différentiellement exprimés ou non),
un cadre assez commode est celui du modèle de mélange ([3],[12],[18],[19]
par exemple) qu’on fonde sur les hypothèses que voici :
Hypothèses :
1. on suppose la loi des probabilités critiques sous H0 connue car d’une
part l’inférence sur un modèle où les deux lois sont inconnues semble
difficile (identifiabilité), et d’autre part, le simple fait de supposer la
continuité de la loi des probabilités critiques sous H0 oblige celle-ci à
être l’uniforme sur [0, 1].
2. on se restreint au cas de probabilités critiques sous H1 identiquement
distribuées puisqu’on peut s’y ramener.
Remarque :
Le plus souvent, on fait l’hypothèse de continuité de la loi sous H0, ce qui
donne Pi | H0(i) = 0 ∼ U(0, 1). Aussi dans la suite, on se placera dans ce
cadre, sauf indication contraire.
On aboutit par conséquent à la fonction de répartition des Pi :
G(t) = π0 U(t) + (1 − π0) F (t),
avec F la fonction de répartition des probabilités critiques sous H1 et U =
id [0,1].
17

2.2 pFDR et q-value
2.2.1 Caractère global du FDR
En effet, étant donnée une liste de gènes dont on dispose du niveau
d’expression entre deux conditions données, le FDR et les procédures de
tests multiples comme la procédure BH ont pour vocation de déterminer
ceux des gènes qui sont H1, avec une proportion globale de faux positifs
parmi ceux-ci controlée au niveau α souhaité. Cependant, le FDR ne nous
renseigne pas quant à la probabilité pour un gène donné d’être un faux
négatif, ou un vrai positif par exemple. Le pFDR de Storey tombe également
comme nous allons le voir sous le coup de cette remarque à la différence du
FDR local, noté fdr, que nous introduirons dans la partie suivante.
2.2.2 Relation entre FDR et pFDR
Nous avons vu (définition1.5) que le FDR est défini comme l’espérance du
rapport entre le nombre de faux positifs F P (t), et le nombre de rejets R(t)
au seuil t. Nous avons également justifié l’écriture R(t) ∨ 1 au dénominateur
de ce rapport par un argument d’existence. C’est entre autres ce problème
de définition qui a incité Storey en 2001 [18] à introduire la notion de pFDR
qu’il définit comme suit :
Définition 2.1 (positive False Discovery Rate) Avec les notations de
la définition1.5, et pour un seuil t ∈ [0, 1]
F P (t)
pF DR(t) = E
R(t)
=
F DR(t)
P r(R(t) > 0)
| R(t) > 0
(si P r(R(t) > 0) > 0)·
(2.1)
Remarques :
– Le pFDR comme le FDR prend en compte la loi du couple (F P, R).
– Dans le cas où tous les gènes sont non différentiellement exprimés, le
pFDR vaut 1, ce qui empêche toute possibilité de contrôle de cette
quantité à un niveau α < 1.
– Si P r(R > 0) est connue, alors le pFDR permet un contrôle plus
précis de l’espérance de la proportion de faux positifs.
Storey [18] donne également le théorème suivant qui établit, dans le cadre
des modèles de mélange, le lien entre pFDR et probabilité a posteriori, ce qui
permet une interprétation plus commode du pFDR : il s’agit de la probabilité
pour un gène donné d’être un faux positif, sachant que sa probabilité critique
est inférieure au seuil fixé.
18

Théorème 2.1 (Probabilité a posteriori) Avec les mêmes notations du
cadre des modèles de mélange, soit F P (t) = ♯{i ∈ {1, . . . , m}/H0(i) =
0 et Pi ≤ t}, et R(t) = ♯{i ∈ {1, . . . , m}/Pi ≤ t}. Alors
F P (t)
∀i = 1, . . . , m , pF DR(t) = E
R(t)
| R(t) > 0
= P r(H0(i) = 0 | Pi ≤ t).
Remarque : la preuve est similaire à celle d’un résultat d’estimation du
FDR à partir du fdr, résultat que nous verrons en détails dans la section
Estimation du FDR.
Ce théorème a un corollaire montré par Storey en 2001 [19] et que nous
avons choisi de mentionner sous une forme un peu différente pour illustrer
la simplicité de l’expression obtenue pour le FDR.
Corollaire 2.1 (Rapport des espérances) Sous les hypothèses du
théorème 2.1, il vient pour un seuil t donné
F DR(t) =
E[F P (t)]
P r(R(t) > 0) . (2.2)
E[R(t)]
Cette relation vient des lois binomiales suivies par F P (t) et R(t) (cf. partie
3.1.1).
2.2.3 Un analogue a posteriori des probabilités critiques
Nous allons à présent définir la notion de q-value, introduite par Storey
dès 2001 ([18], [19]) et bâtie à partir du pFDR.
Soit pour tout i, Pi est la probabilité critique associée au gène i et posons
tα = min{ t ∈ [0, 1]/ P r(Pi ≤ t | H0(i) = 0) = α }. Alors, on a la définition
suivante :
Définition 2.2 (q-value) Pour tout t dans [0, 1],
q − value(t) = inf pF DR(tα).
tα/t≤tα
Ceci étant, grâce au théorème 2.1, il vient le
Corollaire 2.2 Sous les hypothèses du théorème 2.1,
q − value(t) = inf P r(H0(i) = 0 | Pi ≤ tα).
tα/t≤tα
Or, on peut définir la probabilité critique pi du gène i par :
pi(t) = inf P r(Pi ≤ tα | H0(i) = 0).
tα/t≤tα
19

y
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
Densités du modèle de mélange : g(t) = π 0 *f 0 (t) + (1−π 0 )*f 1 (t).
f 0 =N(0,2)
densité du mélange
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6
x
f 1 =N(2,2)
p−value(z)
z
q−value(z)
Fig. 2.1 – Comparaison de la probabilité critique à la q-value. Ici, on a pris
π0 = 0.3 pour la proportion du mélange.
On voit ainsi que la q-value est l’analogue a posteriori de la probabilité
critique. D’ailleurs, pour renforcer cette interprétation, on peut regarder la
signification de ces quantités sur un exemple.
Sur la figure 2.1, la probabilité critique au niveau z correspond à l’aire
de la queue de droite pour la densité f0, ici N (0, 2), tandis que la q-value
au niveau z représente l’aire de la queue à droite pour la densité g, c’est-àdire
la somme pondérée par π0 et 1 − π0 des aires des queues à droite pour
respectivement f0 et f1. Ici sur le graphe, π0 = 0.3.
Remarque : l’information que fournit le p-FDR est globale puisqu’il s’agit de
calculer la probabilité pour un gène d’être un faux positif sachant seulement
que sa probabilité critique est inférieure ou égale à un seuil donné, mais sans
prendre en compte la valeur réelle de celle-ci. Le fdr en cela nous donne des
renseignements plus précis. Le p-FDR semble alors peu avantageux par rapport
au FDR puisque le type d’information qu’il apporte est essentiellement
le même que le FDR. Par conséquent, le p-FDR demeure assez marginal.
20

2.3 Le FDR local : fdr
Dans notre cadre de modèle de mélange, nous allons nous intéresser
au calcul d’une quantité nous apportant des informations locales, i.e.
qui nous renseignent sur la probabilité pour que le gène i considéré soit
différentiellement exprimé, ou soit un faux positif par exemple : il s’agit du
FDR local.
2.3.1 Le fdr
Définition
Dans son article de 2001, Efron [11] introduit le FDR local (fdr) comme
une probabilité a posteriori dans un cadre de modèle de mélange :
Définition 2.3 (fdr (probabilité a posteriori)) Avec les notations du
modèle de mélange ci-avant, on a pour tout t dans [0, 1]
f0(t)
fdr(t) = π0
g(t) = P r(H0(i) = 0 | Pi = t), ∀i = 1, . . . , m,
avec g(t) = π0f0(t) + (1 − π0)f1(t), densité de chaque probabilité critique.
Ainsi, le FDR local représente bien la probabilité, pour un gène donné,
d’être un faux positif, i.e. d’être H0 sachant que la probabilité critique du
test correspondant vaut t.
Plus récemment, Bar-Hen, Daudin et Robin [3] ont défini le fdr comme
un taux d’accroissement :
Définition 2.4 On suppose que les densités sous H0 et H1 sont continues,
et on pose p (1), . . . , p (n) sont des probabilités critiques ordonnées. Alors on
a :
fdr(p (i)) = F DR(p (i+1)) − F DR(p (i))
,
p (i+1) − p (i)
où F DR(t) est le FDR calculé en rejetant les probabilités critiques
inférieures au niveau t.
Cette définition a le mérite de mettre en évidence le caractère local du fdr.
Il est à noter que cette définition donne des courbes assez irrégulières qu’il
convient de lisser comme les auteurs le pratiquent dans ([3]).
21

Approximation
Toute une partie du travail de Robin et al.[17] a eu pour objectif l’estimation
du fdr. Pour cela, ils cherchent en réalité à estimer la probabilité a
posteriori P r(H0(i) = 1 | Pi = t) :
P r(H0(i) = 1 | Pi = t) = 1 − fdr(t) (2.3)
=
(1 − π0)f1(t)
·
π0f0(t) + (1 − π0)f1(t)
(2.4)
La relation 2.4 nous conduit alors à penser qu’il faut estimer f1 ainsi que
π0. Pour f1, on prend un estimateur à noyau
∀t ∈ [0, 1], ˆ f1(t) =
m i=1 ωiki(t)
m i=1 ωi
,
1, si Pi ∼ f1
où ∀i = 1, . . . , m, ωi =
, et ki est le noyau choisi. Les
0, sinon
poids ωi étant inconnus, on les remplaces par les probabilités a posteriori
τi(t) que le gène i soit H1, connaissant sa probabilité critique (équation 2.3).
On tombe alors sur une équation au point fixe que doit vérifier l’estimateur
de τi(t) : ˆτi(t) = Ψ(ˆτi(t)). En utilisant un estimateur de π0 et en s’appuyant
sur un théorème de point fixe pour Ψ contractante, on met en oeuvre une
méthode de résolution itérative basée sur le calcul à chaque itération des
valeurs des estimateurs de f1 et π0. Il est à noter que cet algorithme diffère
de l’algorithme EM en cela qu’il ne comporte pas d’étape de maximisation
de la vraisemblance.
Toutefois, l’apparition d’un point fixe dans cette méthode est due au
choix spécifique de l’estimateur de f1 dans lequel nous avons fait intervenir
les τi. De plus, les problèmes concernant la règle d’arrêt et la vitesse de
convergence de ce type d’algorithme sont bien connus. Il paraît alors assez
naturel de chercher à construire un autre estimateur de f1, ”meilleur” en ce
sens qu’il serait adaptatif et qui, par exemple, nous inciterait par sa forme
à adopter une stratégie différente de l’estimation itérative.
2.3.2 Estimation du FDR
Un autre intérêt du calcul du fdr est qu’il nous fournit, comme nous
allons le voir, un nouvel estimateur de la fonction FDR, les lois sous H0 et
H1 étant supposées connues. C’est notamment l’un des résultats exprimés
par Robin, Bar-Hen, Daudin et Pierre [17] :
Théorème 2.2 Soit (p (i))i=1,...,m, réalisations ordonnées des probabilités
critiques (Pi)i=1,...,m, et ∀i = 1, . . . , m, on pose :
fdri
déf
= fdr(p(i))
= P r(H0(j) = 0 | Pj = p (i)) , ∀j .
22

Alors on a pour tout i dans {1, . . . , m}
F DR(p (i))
déf
=
=
F P (p(i))
E
| p1, . . . , pm
R(p (i))
1
fdrk.
i
(2.5)
k/Pk≤p (i)
Nous avons choisi, pour conclure cette partie, de donner une démonstration
de (2.5), qui peut faire l’objet d’erreurs d’interprétation et qui s’appuie sur
des méthodes fréquemment employées.
Preuve :
La preuve repose sur l’hypothèse d’indépendance et de lois identiques
pour les Pi. On note Aj l’événement {Pj1 = p (1), . . . , Pjm = p (m)}, où
j1, . . . , jm représentent une permutation de {1, . . . , m}.
F P (t) = m
k=1 1 {H0(k)=0}1 {Pk≤t}
De plus,
R(t) = m k=1 1 Alors, il vient
{Pk≤t}
.
F DR(p (i)) =
=
F P (p(i))
E
| p1, . . . , pm
R(p (i))
F P (p(i))
E
| Aj P r(Pj1
R(p (i))
j1,...,jm
= p =
(1), . . . , Pjm = p (m) | p1, . . . , pm)
F P (p(i)) 1
E
| Aj
i m! ,
j1,...,jm
(sachant Aj, il y a exactement i probabilités critiques rejetées). Puis :
E F P (p (i)) | Aj
=
=
=
m
k=1
E(1 {Pj k ≤p (i)}1 {H0(jk)=0} | Aj)
i
E(1 {H0(jk)=0} | Aj)
k=1
i
k=1
E(1 {H0(jk)=0} | Pjk
= pjk ) (indépendance).
Enfin, les Pk | H0(k) étant identiquement distribuées, il vient que
F DR(p (i)) = 1
i
i
P r(H0(k) = 0 | Pk = p (k)).
k=1
23

Chapitre 3
Proportion de rejets et
processus stochastiques
Une autre approche du problème consiste à faire intervenir des processus
empiriques dont l’étude de la convergence, quand m → ∞, permet de
déterminer le comportement asymptotique du FDR. En outre, si les résultats
montrés ici sont de nature asymptotique, les quelques milliers, voire dizaines
de milliers de données obtenues avec les biopuces justifient la recherche de
tels résultats et fournissent même, dans une certaine mesure, un cadre d’application
pour ceux-ci.
Une grande partie de ce qui suit est fondé sur le constat suivant :
Gm(t) = 1
m
m
1 {Pi≤t}
i=1
= 1
m R(t)·
Grâce à ceci, nous allons réinterpréter beaucoup des quantités que nous
avons étudiées jusqu’ici en termes de processus. Or ce domaine ayant été
déjà largement étudié, les processus stochastiques constituent une trame
intéressante que nous allons pouvoir exploiter afin de récupérer assez facilement
un certain nombre de résultats.
3.1 Préliminaires
3.1.1 Quelques propriétés fondamentales de R(t) et F P (t)
Loi binomiale
Comme nous l’avons précédemment cité, nous avons d’abord la relation
R(t)
m = Gm(t) , (3.1)
25

où Gm représente la fonction de répartition empirique des probabilités critiques.
Ainsi pour un modèle de mélange, les Pi sont indépendantes et identiquement
distribuées, G. Pour un seuil t donné, R(t) vérifie alors
R(t) ∼ B(m, G(t)) . (3.2)
En effet, R(t) = m
i=1 1 {Pi≤t} où ∀i, 1 {Pi≤t} ∼ B(G(t)).
De la même façon,
F P (t) =
m
i=1
1 {Pi≤t}1 {H0(i)=0}
∼ B(m0, F0(t)) , (3.3)
et
F P (t)
m = F0,m(t) . (3.4)
De plus, on a la propriété suivante prouvée en annexe dans la démonstration
du théorème 3.2 :
F P (t) | F P (s) ∼ B(F P (s), F0(t)), ∀ 0 ≤ t < s ≤ 1. (3.5)
Théorème de Glivenko-Cantelli
On rappelle le résultat de convergence suivant [21] :
Théorème 3.1 (Glivenko-Cantelli) Soit (Xi)N∗, une suite de variables
aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, de fonction de
répartition F . On a alors que
p.s.
Fm − F ∞−−−−→
0 . (3.6)
m→∞
De plus, si F est continue, alors Fm − F ∞ est libre de F .
Ceci a donc pour conséquence que
3.1.2 Estimation de la proportion
F P (t) p.s.
−−−−→
m m→∞ F0(t) (3.7)
R(t) p.s.
−−−−→ G(t).
m m→∞
(3.8)
Comme nous l’avons signalé à l’occasion du théorème1.1, un moyen d’obtenir
des procédures plus puissantes que la procédure BH serait d’estimer
π0. D’ailleurs l’estimation de cette quantité a déjà été nécessaire dans le
26

travail de Robin, Bar-Hen, Daudin et Pierre [17]. Ainsi afin de produire un
tel estimateur, Storey [18] s’appuie sur le fait que les probabilités critiques
sous H1 sont proches de 0 (elles ont tendance à ne pas être significatives),
tandis que celles sous H0 se répartissent à peu près uniformément sur [0,1].
Aussi peut-on penser qu’en s’éloignant suffisamment de 0, les seules probabilités
critiques non rejetées au niveau λ sont H0 (figure1.1). C’est pourquoi
il vient :
π0(λ) =
m − R(λ)
, (3.9)
m(1 − λ)
qui constitue un exemple d’estimateur parmi tant d’autres. La question est
donc dans le cas présent de déterminer le λ optimal pour l’estimation de π0.
Trois idées importantes peuvent être dégagées.
– La première est que cet estimateur repose sur la continuité de la loi
des probabilités critiques sous H0.
– La seconde est que comme fonction de λ, π0(λ) est croissante par
morceaux. En effet, le numérateur est constant par morceaux tandis
que le dénominateur est décroissant.
– Enfin, la troisième est que π0 ≥ π0. Pour voir cela, nous allons
développer succintement quelques arguments heuristiques. Ainsi, on
part du fait que
π0 =
G(t) − F (t)
t − F (t)
Puis, on tient le raisonnement suivant : suffisamment loin de 0, la
fonction de répartition F des probabilités critiques sous H1 vaut 1.
Or, la fonction
x ↦→
est croissante. D’où le fait que
G(t) − x
t − x
π0 =
F (t) − G(t)
F (t) − t
≤
1 − G(t)
1 − F (t)
1 − Gm(t)
1 − F (t)
= π0(t).
·
(3.10)
(3.11)
(3.12)
Ainsi, l’estimateur de Storey π0(t) surestime π0.
En conséquence, la procédure nouvellement obtenue en remplaçant dans la
α
procédure BH le α par bπ0(λ) sera plus puissante mais toujours conservative
(cf.3.11).
27

Remarques :
1. La convergence de π0(λ) −−−−→
m→∞
1−G(λ)
1−λ
donne que 1−G(λ)
1−λ
n’est qu’un
F (t)−G(t)
majorant de F (t)−t = π0, ∀t. Il faut savoir que d’autres estimateurs
de π0 existent, estimateurs qui sont sans biais.
2. Pour ce qui est de la détermination du λ optimal, il faut voir qu’il s’agit
véritablement d’un problème en soi puisque cela revient à déterminer
une zone où l’hypothèse d’uniformité de la loi des probabilités critiques
sous H0 est valide en sachant que près de 0, la contribution des
probabilités critiques sous H1 est importante et que près de 1, l’estimation
de π0 par l’estimateur de Storey est très variable. On peut
noter plusieurs méthodes :
(i) Il est possible de procéder par rééchantillonnage comme le fait
Storey(2002)[18]. Ainsi, on cherche un estimateur bootstrap de λbest
défini par
λbest = argminλ∈[0,1] E [ pF 2
DRλ(γ) − pF DR(γ) ] , ∀γ ∈ [0, 1],
où
pF DRλ(γ) désigne un estimateur du pFDR que nous allons
définir dans ce qui suit.
(ii) Dans leur article de 2004, Benjamini, Krieger et Yekutieli [5]
mentionnent la possibilité d’une procédure en deux temps appelée
ABH (Adaptive Benjamini-Hochberg procedure) : on applique la
procédure BH une première fois afin d’obtenir le ˆ k, puis on calcule
π0(λ) pour λ p ( ˆ k) .
Bien que cela n’ait pas encore été prouvé, il est possible de constater
par simulations que cette procédure fournit un contrôle plus fin du
FDR, et est bien plus puissante que la procédure BH classique.
Cette partie trois est assez longue car elle reflète la grande quantité de
résultats déjà très aboutis qui émanent du cadre commode et déjà rebattu
des processus stochastiques. Nous allons donc dès à présent préciser plus
avant sa structure afin de clarifier notre propos.
L’étude du FDR donne lieu essentiellement à deux stratégies possibles. Soit
on se fixe un niveau de contrôle du FDR et on tente de déterminer le seuil auquel
on va rejeter les probabilités critiques et qui nous fournira la procédure
la plus puissante, soit on fixe le seuil de rejet à t et on cherche à évaluer le
plus précisément possible F DR(t). Ce sont ces deux points de vue que nous
allons aborder dans la suite.
– Conformément à ce qui vient d’être dit, pour un niveau de contrôle
donné, la section suivante sera consacrée à la conception de procédures
28

dites ”plug-in”. Nous étudierons ensuite leurs propriétés d’optimalité
de façon d’une part à obtenir une preuve du contrôle du FDR par
la procédure BH, puis d’autre part à montrer que si cette procédure
n’est pas optimale, même asymptotiquement, elle est néanmoins la
meilleure parmi les procédures de dernier croisement à droite.
– Dans un second temps, en travaillant à un seuil t donné, nous allons
préciser l’ordre de grandeur du F DR(t) jusqu’à en donner un
développement limité au voisinage de m → ∞.
– C’est ensuite à la convergence de processus que nous allons nous
intéresser, ce qui nous fournira d’une part des intervalles de confiance
et enveloppes de confiance respectivement pour π0 et F DP (t), puis les
lois limites vers lesquelles convergent a(λ) et F DP (t) quand m → ∞.
– Enfin, nous mentionnerons des résultats analogues, obtenus pour
des champs aléatoires. Nous signalons immédiatement que cette
généralisation semble, pour ce que nous en avons vu, tout à fait naturelle
en ce sens qu’elle ne fait appel qu’à des techniques préalablement
utilisées pour les processus aléatoires.
3.2 Procédure optimale à contrôle fixé
Il s’agit en fait de la vision qu’ont adoptée Benjamini et Hochberg en
1995 [4] en introduisant le FDR.
3.2.1 Procédures plug-in
Nous allons donner le cheminement qui conduit aux estimateurs ”plugin”.
Nous nous plaçons toujours dans le cas du modèle de mélange.
Obtention d’un seuil plug-in
D’abord, il faut noter que l’estimateur de Storey pour π0 nous fournit
un estimateur du FDR pour t dans [0, 1] :
F DRλ(t) = π0(λ)m t
R(t) ∨ 1
· (3.13)
Cet estimateur représente le rapport entre le nombre de faux positifs jusqu’au
seuil t et le nombre de gènes rejetés au seuil t. Le lecteur pourra se
reporter à l’annexe 7.2.3 où nous donnons l’heuristique de l’obtention de
π0(λ) et F DRλ dans le cas un peu plus général où f0, densité des probabilités
critiques sous H0 n’est pas continue.
Remarque :
29

Il peut être bon de remarquer que l’estimateur du F DR(t) mentionné ciavant
n’est que croissant par morceaux en tant que fonction de t puisque
son numérateur est croissant et son dénominateur, constant par morceaux.
Pourtant, nous aurions plutôt espéré que celui-ci, à l’image du F DR(t), soit
croissant avec t (le nombre des faux positifs croît avec le seuil de rejet).
Ensuite dès 2002, Storey [18] montre, pour cet estimateur, un résultat valable
dans un cadre de modèle de mélange, résultat qu’il généralise en 2004
[20] et que nous donnons dans sa forme générale :
Théorème 3.2 (estimateur conservatif) On suppose les probabilités
critiques sous H0 indépendantes et identiquement distribuées, de densité
continue sur [0, 1]. Alors,
∀λ ∈ [0, 1), E( F DRλ(t)) ≥ F DR(t).
Ainsi en s’appuyant sur ce résultat, trouver un seuil tα pour lequel
F DRλ(tα) ≤ α implique en passant à l’espérance que F DR(tα) ≤ α. Partant
de ce raisonnement et sachant que l’on souhaite une procédure la moins
conservative possible, nous sommes conduits à définir
t m α ( F DRλ) = sup {t ∈ [0, 1]/ F DRλ(t) ≤ α}. (3.14)
À présent si on réécrit en se servant de (3.13) et (3.1), on trouve
t m
α ( F
π0(λ)t
DRλ) = sup t ∈ [0, 1]/
≤ α . (3.15)
Gm(t) ∨ 1/m
Puis, le fait que
bπ0(λ)t
Gm(t)∨(1/m) −−−−→
π0(λ)t
m→∞ G(t)
nous incite à poser :
Définition 3.1 (Procédure plug-in)
tα(π0, G) = sup t ∈ [0, 1]/ π0t
≤ G(t) .
α
Le sens du mot ”plug-in” qui apparaît dans Genovese et Wasserman [13] est
à comprendre comme suit : pour un jeu donné d’estimateurs de π0 et de G,
nous avons immédiatement accès à une procédure pour laquelle le FDR est
contrôlé au niveau α, simplement en remplaçant π0 et G par leur estimateur
respectif dans tα(π0, G), d’où t m α ( F DRλ) par exemple.
Remarque : Pour le cas où on ne dispose pas d’une estimation de π0, on a
évidemment le même type de procédure plug-in dans laquelle π0 n’apparaît
pas.
Contrôle du FDR par la procédure BH
En profitant de cette trame de travail, Storey, Taylor et Siegmund [20]
ont obtenu une nouvelle preuve du contrôle du FDR par la procédure BH,
30

tout en mettant en évidence que cette dernière est la plus conservative des
procédures plug-in faisant intervenir l’estimation de π0. Ce dernier point
découle ainsi du
Lemme 3.1 (Équivalence procédures plug-in et BH) Pour λ dans
[0, 1], la procédure plug-in tα( F DRλ) est équivalente à la procédure BH où
on a remplacé m par π0(λ)m.
Ici, la notion d’équivalence signifie que les procédures rejettent le même
nombre de gènes. Ainsi, le lemme 3.1 établit l’équivalence entre la procédure
plug-in dans le cas λ = 0 et la procédure BH classique.
Nous énonçons donc le théorème qui assure le contrôle du FDR par
la procédure BH. Nous avons choisi d’en donner, en annexe, la preuve
détaillée. Certaines parties de celle-ci étaient succintement décrites notamment
dans [20]. Cette preuve présente un intérêt double en cela qu’elle repose
sur des arguments simples de loi binomiale pour une somme de Bernoulli
indépendantes et qu’à la suite de la démonstration de Benjamini et Hochberg
[4], elle constitue une preuve assez élégante, bâtie sur des arguments
de martingale inverse.
Théorème 3.3 (procédure BH (1995), plug-in) Si les probabilités critiques
sous H0 sont indépendantes entre elles, et indépendantes de celles sous
H1, alors
Celui-ci s’appuie sur le
F DR tα( F DRλ=0)
= π0α ≤ α.
Lemme 3.2 (Martingale inverse) On suppose les probabilités critiques
sous H0 indépendantes et indépendantes de celles sous H1. Pour 0 ≤ t < 1,
déf
Ft = σ({1{pi≤s}/ t ≤ s ≤ 1, i = 1, . . . , m}) est une filtration inverse.
De plus, pour t ≤ s,
F P (t)
E | Fs =
t
F P (s)
·
s
Remarques :
– Comme nous le verrons dans la preuve en annexe, la propriété de martingale
repose sur le simple constat que pour t < s, F P (t) | F P (s) ∼
B(F P (s), t
s ).
– Il est à noter que le même type d’argument utilisant les lois binomiales
constitue la base du théorème 3.2(cf. préliminaires 3.1.1).
31

3.2.2 Optimalité des procédures plug-in
Les procédures plug-in définies précédemment sont certes plus puissantes
que la procédure BH (lemme 3.1), mais on peut se demander si elles sont
optimales, du moins asymptotiquement : il se trouve que le point de vue des
processus stochastiques fournit un cadre idéal pour de tels résultats.
Dans ce qui suit, nous allons procéder en deux temps. D’abord nous nous
intéresserons à la limite des seuils plug-in exhibés ci-avant, puis nous aborderons
le problème de l’optimalité de ces seuils.
Mais avant toute chose, une remarque : comme nous l’avons vu au cours de
la preuve du théorème 3.3, F DRλ=0(Tα) = α. Il est alors possible de définir
la procédure plug-in par le seuil tα tel que :
tα(π0, G) = sup {t ∈ [0, 1]/ π0t
α
= G(t)}. (3.16)
Convergence du seuil de la procédure BH
À partir de cette remarque, Genovese et Wasserman [12] ont montré en
2002 que
– d’une part, le seuil de la procédure BH converge en probabilité, quand
m → ∞, vers un seuil asymptotique u∗ qui est l’unique solution de
l’équation au point fixe : G(u) = u
α , sous certaines hypothèses portant
sur G, la fonction de répartition des probabilités critiques.
– d’autre part, ce même seuil est indépendant de la répartition des probabilités
critiques au sein des deux familles qui composent le modèle
de mélange considéré et se comporte asymptotiquement de façon intermédiaire
entre la procédure naïve de rejet au niveau α et celle de
Bonferroni. Il est important de se convaincre que ceci ne constitue pas
un résultat fondamental en cela qu’il paraît clair que la procédure BH,
prenant en compte l’ensemble des probabilités critiques est meilleure
que la procédure naîve, tout en étant moins contraignante ou conservative
que Bonferroni.
Ainsi, on a le résultat suivant démontré par Genovese et Wasserman(2002)
qui est vrai dans un cadre plus général que le modèle de mélange :
Théorème 3.4 (Estimateur consistant du seuil asymptotique) Soit
F la fonction de répartition des probabilités critiques sous H1.
On suppose
(i) π0 est constant par rapport à m,
(ii) F est strictement concave,
(iii) F est dérivable en 0 et F ′ (0) > β, où β = 1−απ0
α(1−π0) ,
(iv) 1 − π0 > 0.
32

Soit u ∗ l’unique solution dans (0, 1] de F (u) = βu, et ˆ k l’entier de la
procédure BH.
Alors
α ˆ k
m
P
−−−−→
m→∞ u∗ . (3.17)
Remarques :
– le u∗ du théorème coïncide avec l’unique solution de l’équation G(u) =
u
α , dont F (u) = βu n’est qu’une simple réécriture.
– u∗ dépend à la fois de F , α et π0.
– pour m assez grand α
m ≤ u∗ ≤ α, car ∀m, α ˆ k
m ≤ α.
– l’hypothèse (iii) du théorème sur la dérivée a pour vocation d’assurer
que l’équation F (u) − βu = 0 ait au moins une solution. Cependant,
le fait que β > 1 semble assez restrictif comme on peut le voir sur la
figure 3.1 en considérant le cas de l’exponentiel de paramètre λ < β
qui ne vérifierait pas le critère.
– il est également possible d’affaiblir les conditions sur F. Ainsi, on a les
deux hypothèses suivantes :
(a) u ∗ est solution de l’équation F (u) = βu,
(b) F ′ (u ∗ ) = β.
– on peut avoir un résultat de convergence analogue avec F = Fθ qui
appartient à une famille paramétrique donnée dont le paramètre θ a
une certaine dépendance en m, par exemple une famille exponentielle.
À défaut de la preuve du théorème 3.2 fournie par Genovese et Wasserman
[12], nous allons donner une nouvelle démonstration de ce résultat, à
l’aide de Z-estimateurs, car ceux-ci constituent un cadre plus général que
celui d’origine, cadre dans lequel il peut être intéressant de voir les choses.
D’ailleurs, nous allons démontrer un résultat plus général que celui annoncé
par Genovese et Wasserman.
Mais d’abord nous mettons en évidence le point suivant pour lequel on
se base sur le lemme 3.1. Ainsi, l’équivalence des procédures indique que
montrer un résultat sur le seuil de l’une signifie que le seuil asymptotique
de l’autre a un comportement analogue.
On commence par un rappel sur les Z-estimateurs.
Définition 3.2 (Z-estimateur) Soit X1, . . . , Xm, . . . des variables
aléatoires. Soit θ ∈ Θ ⊂ Rd , un paramètre et (ψθ,m)m, une suite de
fonctions vectorielles connues.
On pose ψm(θ) = 1 m m i=1 ψθ,m(Xi) et Ψ(θ) = Eψm(θ).
Soit θ0 ∈ Θ un paramètre à estimer. On appelle Z-estimateur toute suite
( θm)m d’estimateurs de θ0 telle que
∀m, ψm( θm) = 0
33

Valeurs de β
1200
1000
800
600
400
200
α=0.05
α=0.1
Tracé de β pour 2 valeurs de α en fonction de π 0
0
0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1
Valeurs de la proportion π
0
Fig. 3.1 – Tracé de β en fonction de différentes valeurs de la proportion π0,
pour deux valeurs de α : 0.1 et 0.05.
et
Ψ(θ0) = 0.
Puis Van der Vaart nous donne le résultat suivant.
Théorème 3.5 (Consistance des Z-estimateurs) Avec les notations
ci-avant, si ∀ ɛ > 0,
1. ψm − Ψ ∞,Θ P
−−−−→
m→∞ 0,
2. inf d(θ,θ0)≥ ɛ Ψ(θ) > 0,
alors
3. ψm( θm) = op(1),
θm
P
−−−−→
m→∞ θ0.
Ceci étant, Genovese et Wasserman [12] montrent la consistance de α b k
m
vers un seuil u ∗ , ce qui revient, d’après le lemme 3.1, à la consistance de
34

tm α (F DRλ=0) vers u∗ = u∗ λ=0 . Pour notre part, le cadre des Z-estimateurs
nous permet une généralisation à la consistance, pour λ quelconque, de
tm α (F DRλ) vers u∗ λ .
Preuve du théorème 3.4 : Dans un premier temps, soit
tm α = tm α ( F DRλ=0),
∀m ∈ N∗ . Comme nous l’avons vu dans la preuve du
théorème 3.3, t m α annule la fonction ψm = Fm(u) − βu. Or u ∗ est solution
de l’équation Ψ(u) = 0, où Ψ(u) = F (u) − βu = E(Fm(u) − βu). Il apparaît
ainsi d’une part que Glivenko-Cantelli donne la première hypothèse du
théorème sur la consistance des Z-estimateurs, d’autre part que l’unicité de
u ∗ donne la deuxième hypothèse et que la dernière vient par construction de
t m α . Alors, t m α est un Z-estimateur de u ∗ , d’où la convergence en probabilité.
À présent, on va considérer t m α (F DRλ) pour λ = 0. On pose ˜ β = π0(λ)(1−α)
α(1−π0) ,
où π0 ≤ π0(λ) = E(π0(λ)) ≤ 1. Alors les mêmes arguments restent valables
pour Ψ(u) = F (u) − ˜ βu = E(Fm(u) − ˜ βu) et ψm = Fm(u) − ˜ βu. Nous
obtenont ainsi la preuve dans le cas général pour t m α (λ) = t m α (F DRλ).
Remarques : Étant donné ce qui vient d’être dit, il semble possible d’affaiblir
les hypothèses du théorème 3.4.
Ainsi, il paraît possible de ne supposer que l’existence d’une solution
la plus à droite isolée (la dérivée en ce point est différente de β). Dans ces
conditions, le théorème reste applicable et t m α converge en probabilité vers
la solution la plus à droite (maximisation de la puissance) de l’équation
au point fixe, à condition de restreindre t m α à un voisinage Θ suffisamment
petit de u ∗ . t m α,Θ (λ) = sup {t ∈ Θ/ F DRλ(t) = α}.
Procédure BH : sous optimalité asymptotique et dernier croisement
à droite
Comme nous l’avons vu précédemment, le seuil de la procédure BH
converge en probabilité quand m → ∞ vers u ∗ , qui vérifie [12], dans le
cadre assez commode de modèle de mélange, la relation
u∗ G(u∗ π0u∗ = α ⇔
) G(u∗ ) = π0α ≤ α. (3.18)
Nous voyons là un point central qui est que cette procédure n’est pas, même
asymptotiquement, optimale parmi toutes les procédures possibles. En effet,
le seuil c ∗ d’une procédure optimale devrait vérifier d’après la relation oracle
(3.16) :
π0c∗ G(c∗ = α · (3.19)
)
D’une certaine façon, on peut voir ce fait comme la contrepartie de
l’insensibilité de la procédure BH à la façon dont les probabilités critiques
35

sont réparties entre les deux populations. Nous reverrons ce point plus en
détails dans la partie suivante en quantifiant notamment l’écart entre les
deux seuils asymptotiques.
Pour le moment, nous pouvons dores et déjà donner un résultat qui
apparaît chez Genovese et Wasserman [12], résultat qui établit que bien que
non asymptotiquement optimale parmi toutes les procédures de contrôle,
la procédure BH est pourtant la meilleure parmi les procédures dites de
”dernier croisement le plus à droite” (last right crossing). Nous allons à
présent aborder ce point pour lequel nous mentionnons partiellement un
résultat que nous reverrons dans sa version complète à l’occasion de la partie
3.3.
Théorème 3.6 (Développement limité de F DR(t)) Sous
hypothèses que le théorème 3.4, il vient
les mêmes
π0t
1
∀t ∈ [0, 1], F DR(t) =
+ O √m ·
π0t + (1 − π0)F (t)
(3.20)
Dans un premier temps, on observe que la procédure BH établit son seuil
(de rejet) au lieu du plus grand entier avant le point de dernier croisement
à droite entre une courbe sur laquelle se situent les probabilités critiques
représentée en fonction de leur indice et la droite l(t) = tα
m (figure1.2). En
effet, la forme de l(t) = tα/m vient de l’écriture de la procédure BH.
kF DR = max{i/ p (i) ≤ l(i)}.
De même pour la procédure de Bonferroni, on a l(t) = α/m puisque pour
tout i, on rejette si pi ≤ l(t) = a/m.
Il faut noter que seule la forme de cette fonction t ↦→ l(t) est ici caractéristique
de la procédure BH (ici une droite).
Afin de montrer l’optimalité de la procédure BH parmi les procédures
de dernier croisement à droite, on décide donc de représenter l’ensemble des
procédures de dernier croisement à droite de façon générique par l(t). Pour
chacune d’elles, on définit l’indice de la dernière probabilité critique à partir
de laquelle on rejette par
kl = max{i / p (i) ≤ l(i)}, (3.21)
de façon tout à fait analogue à la procédure BH. Il est ainsi possible d’obtenir
le même résultat que le théorème 3.4, mais dans une version plus
générale avec l(t) au lieu de αt
m (figure 3.2). On obtient ainsi un u∗ qui
vérifie l’équation
F (u ∗ )
u ∗
m t/l(t) − π0
= β = , (3.22)
1 − π0
36

avec t vérifiant π0s(t) + (1 − π0)F (s(t)) = t/m (∗), où s est une courbe sur
laquelle se trouvent les probabilités critiques tracées en fonction de leurs indices.
Cette relation (∗) a lieu en un point t où s(t) = l(t) et est enfin justifiée
par le fait que le rapport l(t)/t remplace α dans l’équation G(u ∗ ) = u ∗ t/l(t).
Puis, conformément au théorème 3.6, la condition F DR ≤ α implique que
F (u ∗ )
u ∗
1 − α π0
≥ . (3.23)
α 1 − π0
En effet, on néglige le terme en O( 1
√ m ) car le résultat qui nous intéresse est
de nature asymptotique, i.e. à la limite, quand ce terme est nul. En associant
à présent (3.22) et (3.23), il vient donc
ce qui vaut si
m t/l(t) − π0
1 − π0
≥
1 − α
α
π0
,
1 − π0
l(t) ≤ αt
. (3.24)
m
Remarque : La relation que doit vérifier t dans (3.22) implique que t dépend
implicitement de F notamment.
La conséquence de cette étude exposée dans [12] est la suivante. On veut
une procédure parmi celles de dernier croisement à droite qui contrôle le
FDR à un seuil fixé α (condition (3.23)), tout en détectant le maximum de
gènes différentiellement exprimés, c’est-à-dire en prenant kl le plus grand
possible (rejeter un grand nombre de gènes tout en maintenant un contrôle
du FDR au niveau α accroît la puissance). Comme le montre sa définition
(3.21), cela sous-entend de prendre pour chaque t, l(t) la plus grande possible
(figure 3.2), puisque les probabilités critiques sont sous la courbe l(t) jusqu’à
kl. Ainsi, on constate que la procédure de dernier croisement à droite qui
réalise le mieux cette condition est la procédure BH qui atteint la borne :
l(t) = αt/m (relation (3.24)).
En ce sens, la procédure BH est la meilleure parmi les procédures de dernier
croisement à droite.
3.2.3 Convergence des seuils plug-in et dépendance faible
Il reste à noter que pour la majorité des résultats exposés jusque là,
nous avons presque toujours requis l’indépendance des probabilités critiques
associées aux gènes testés. Cependant, Storey et al.[20] ont montré que certaines
de ces propriétés sont conservées dans un cadre de dépendance dite
”faible”. Nous allons d’abord aborder cet aspect.
Ainsi dans leur article de 2004 Storey, Taylor et Siegmund font plusieurs
hypothèses afin d’étudier l’asymptotique du FDP.
37

valeurs des probabilités critiques
6
5
4
3
2
1
x 10 −3
y=α*x/m
Procédure de dernier croisement à droite
l(x)
courbe des p−valeurs
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
rang des probabilités critiques ordonnées
Fig. 3.2 – Tracé de la courbe de t ↦→ l(t), correspondant à une procédure de
dernier croisement à droite vérifiant la relation l(t) ≤ αt/m, les probabilités
critiques étant ordonnées.
Hypothèses : (∆)
1. ∀t
⎧
∈ (0, 1], on a presque sûrement
déf
⎨
F P (t)
F0,m(t) = m0
⎩
−−−−→
m→∞ F0(t),
déf R(t)−F P (t)
F1,m(t) = m−m0
−−−−→
m→∞ F1(t),
où F0,m et F1,m sont les
fonctions de répartition empiriques des gènes sous H0, respectivement
sous H1, et F0 et F1 sont continues.
2. 0 < F0(t) ≤ t, ∀t ∈ (0, 1].
3. π0 = π0,m admet une limite : π∞, quand m → ∞.
Remarque :
L’hypothèse de continuité qui est faite pour F0 notamment garantit
l’applicabilité des résultats qui suivent au cas où f0, densité connue des
probabilités critiques sous H0, ne serait que continue par morceaux.
À partir de là, on peut définir la ”dépendance faible”
38

Définition 3.3 (Dépendance faible) On appelle dépendance faible tout
type de dépendance entre variables aléatoires pour laquelle l’hypothèse (1)
de (∆)est réalisée.
Des exemples de tels types de dépendance sont à chercher parmi l’ergodicité
(théorème de Birkhoff-Khintchin), la dépendance par bloc fini (au-delà
d’une certaine distance, une variable aléatoire n’est plus influencée par ses
voisines), certaines lois de mélange.
Dans ce cadre de travail, il est possible d’avoir une généralisation du
théorème 3.4 obtenu par Genovese et Wasserman [12].
Remarque : Il n’a pas été supposé que la densité des probabilités critiques
sous H0 est continue (on a juste la continuité des limites des fonction de
répartition empiriques). L’approximation que fait Storey pour obtenir son
estimateur de π0 est toujours valable, à ceci près que F0(t) n’est plus égale
à t et que l’estimateur de Storey change d’expression (cf. Annexe). Alors,
d’une part on a l’estimateur généralisé
π g m − R(λ) 1 − Gm(λ)
0 (λ) = = , (3.25)
m(1 − F0(λ)) (1 − F0(λ))
d’autre part l’estimateur du F DR(t) qui en découle vaut
F DRλ(t) = πg 0 (λ) m F0(t)
R(t) ∨ 1
πg 0 (λ) F0(t)
= · (3.26)
Gm(t) ∨ (1/m)
L’idée du théorème est la même que celle qui conduit aux Z-estimateurs
précédemment utilisés : ψm converge vers Ψ = E(ψm) avec m → ∞, alors
on espère que le sup des valeurs tm d’annulation de ψm va converger vers
la plus grande valeur d’annulation t∞ de Ψ, d’où la définition suivante : on
pose
∞
F DRλ (t) =
F0(t) (1 − F0(λ))π0
π0F0(t) + (1 − π0)F1(t)
1 − F0(λ) + (1 − F1(λ))(1
− π0)
,
1 − F0(λ)
= limm→∞bπ g
0 (λ)
qui est la quantité limite de F DRλ(t).
Remarque : Nous avons choisi de donner la justification de ces trois dernières
quantités puisqu’il semble qu’il y ait discordance entre le F DR ∞
λ attendu et
celui proposé par Storey et al.[20].
Il faut voir à présent que le résultat qui vient est plus fort que ceux obtenus
auparavant pour les seuils plug-in en cela qu’apparaît la convergence
presque-sûre qui n’est pas donnée par les Z-estimateurs. Cependant en se
restreignant à la convergence en probabilité, nous pouvons appliquer les
mêmes arguments de Z-estimateurs que dans le cas indépendant uniforme.
Voici donc le
39

Théorème 3.7 (Seuil asymptotique) On suppose que les hypothèses
∞
(∆) sont vérifiées. Si pour tout λ ∈ [0, 1], t ↦→ F DRλ (t) a une dérivée
∞
non-nulle en tα( F DRλ ) ∈ (0, 1), alors presque sûrement
lim
m→∞ [tα(
∞
F DRλ)] = tα( F DRλ ).
De cet énoncé, Storey tire notamment le corollaire
Corollaire 3.1 (Comparaison des seuils asymptotiques) Si les hypothèses
(∆) sont vérifiées, en supposant de plus que ∀t ∈ (0, 1), F0(t) <
F1(t), alors pour tout λ ∈ (0, 1), presque sûrement on a
lim
m→∞ [tα( F DRλ=0)]
< lim
m→∞ [tα( F DRλ)] < lim
m→∞ [tα(F DR)],
Il va de soi que tα(F DR) est par définition le seuil optimal attendu pour un
contrôle de niveau α. Ce théorème confirme bien la comparaison déjà établie
dans un cadre d’indépendance.
Enfin, Storey et al.[20] obtiennent même sous ces hypothèses de dépendance
faible un résultat de convergence uniforme sur les seuils des procédures :
une certaine relation de comparaison asymptotique est vraie avec grande
probabilité et ce, pour tous les seuils en même temps, pourvu que ceux-ci
soient assez grands.
Théorème 3.8 (Comparaison asymptotique uniforme) Sous les hypothèses
(∆), ∀δ > 0
lim
m→∞ inft≥δ[ F DRλ(t) − F DP (t)] ≥ 0 ,
lim
m→∞ inft≥δ[ F DRλ(t) − F DR(t)] ≥ 0 , avec probabilité 1.
Remarques :
– La preuve de ce théorème repose sur deux aspects, une adaptation de
la démonstration de Glivenko-Cantelli, et la convergence ponctuelle de
F DP vers une fonction continue, où
F DP (t) =
F P (t)
R(t) ∨ 1 .
– Il est donc possible d’utiliser l’estimateur ponctuel de Storey pour approcher
à l’infini le FDR, uniformément sur tous les seuils. On peut
voir ceci aussi comme l’opportunité de contrôler le FDR de façon
conservative à tous les niveaux, simultanément.
40

3.3 Contrôle à seuil fixé et sous-optimalité de la
procédure BH
Nous allons donc aborder l’autre point de vue sur l’étude du FDR, celui
de l’étude du niveau du FDR à un seuil fixé. Cette optique est celle adoptée
par Storey en 2001 [19], puis prolongée par d’autres tels Genovese et Wasserman
[12]. Toutefois, il est bon de réaliser que ces deux approches ne sont
pas indépendantes et qu’elles sont même complémentaires comme le montre
le théorème 3.6 sur lequel repose la preuve de l’optimalité en un certain sens
de la procédure BH à un seuil fixé.
Nous allons quantifier à présent l’écart entre le seuil asymptotique de la
procédure BH et le seuil asymptotique optimal. Pour cela, on se place dans
un cadre plus général que celui des modèles de mélange et conformément
à [12], on isole le FDP (False discovery Proportion) et le FNP (False Nondiscovery
Proportion) que nous allons étudier.
Définition 3.4 (FDP / FNP) Soit Sj, j ∈ {0, 1}, l’ensemble des indices
i pour lesquels le gène correspondant est Hj. Alors ∀t ∈ [0, 1], on a
F DP (t) =
F NP (t) =
i∈S0 1 {Pi≤t}
i∈S0 1 {Pi≤t} +
i∈S1 1 {Pi≤t}
m − (
i∈S1 1 {Pi≤t}
i∈S0 1 {Pi≤t} +
i∈S1 1 {Pi≤t})
, (3.27)
· (3.28)
Remarques :
– Ces deux quantités sont des processus stochastiques représentant respectivement
le taux de faux positifs et le taux de faux négatifs. Ce
dernier est en lien avec la puissance d’une procédure, i.e. sa capacité
à reconnaître les gènes différentiellement exprimés. Plus la proportion
de faux négatifs est faible, plus la puissance est grande.
– De façon analogue au FDR, on définit le FNR par
F NR(t) = E[ F NP (t) ]. (3.29)
Conformément à la remarque précédente, cette quantité va décroître
avec la croissance de la puissance.
Ceci étant, on peut donner à présent dans sa totalité l’énoncé du
théorème suivant [12] qu’on n’avait que partiellement cité dans la section
précédente.
Théorème 3.9 (Développement asymptotique) sous les mêmes hypothèses
que le théorème 3.4, ∀t ∈ [0, 1],
π0t
1
F DR(t) =
+ O √m , (3.30)
π0t + (1 − π0)F (t)
(1 − π0)(1 − F (t))
1
F NR(t) =
+ O √m · (3.31)
(1 − π0)(1 − F (t)) + (π0)(1 − t)
41

Éléments de preuve :
La preuve [12] de ces résultats repose essentiellement sur deux points dont
le premier a déjà été rencontré dans la preuve du contrôle du FDR par la
procédure BH (preuve du théorème 3.3 en annexe).
1.
i∈S0 1 {Pi≤t} ∼ B(m0, t) et
i∈S1 1 {Pi≤t} ∼ B(m − m0, F (t)) ,
(cf. préliminaire 3.1.1)
2. F DR(t)
E[F P (t)]
E[R(t)] ·
Comme dans la partie précédente, (3.30) et la condition E[F DR(t)] ≤ α
F (t) 1−α π0
1
impliquent que quand m → ∞, t ≥ α = β − 1−π0 α ·
D’où en appliquant à c∗ , le seuil optimal, il vient que
F (u ∗ )
u ∗
− F (c∗ )
c ∗
1
= · (3.32)
α
F (t)
Remarque : Avec une hypothèse de concavité sur F, on a que t ↦→ t est
décroissante, d’où u∗ < c∗ . D’ailleurs, plus α va être petit, plus l’écart entre
u∗ et c∗ va croître : la conservativité de la procédure BH est d’autant plus
limitante que α est petit.
Dans la partie 3.3, nous avons défini les processus aléatoires FDP
et le FNP dont nous avons tiré des renseignements en étudiant leur
comportement à t fixé. L’étude quand m → ∞ de ces quantités en tant
que processus nous fournit d’autres informations, à caractère plus global,
quant à la qualité du contrôle exercé sur le FDR : il est possible d’obtenir
les lois limites de ces processus, puis de déduire de celles-ci des intervalles
ou domaines de confiance.
3.4 Limites de processus : normalité asymptotique
et intervalles de confiance
Nous revenons à présent à la structure classique d’indépendance entre les
probabilités critiques. Dans un premier temps, nous allons aborder la convergence
de processus empiriques déjà mentionnés tels que (F DP (t)) t∈[0,1], vers
des processus gaussiens.
3.4.1 Préliminaires : outils de base pour l’étude des processus
Dans la suite, nous allons nous placer dans le cas d’un modèle de mélange
avec les notations de la partie 2.1.
Remarque : Il est également possible tout en conservant les résultats énoncés
42

ultérieurement, de travailler avec un modèle hiérarchique qui constitue un
raffinement dont nous avons choisi de ne pas parler ici.
De nombreux résultats de cette partie, centrée sur l’étude de la convergence
de processus, s’appuient essentiellement sur deux choses :
(a) l’inégalité de Dvoretzky, Kiefer, Wolfowitz et Massart (appelée
inégalité DKWM dans ce qui suit),
(b) les ”approximations fortes”.
Nous allons faire un rappel de ces deux points maintenant.
D’abord, l’inégalité DKWM nous renseigne quant à la vitesse de convergence
de la fonction de répartition empirique associée à des variables i.i.d.
vers la fonction de répartition de ces variables.
Théorème 3.10 (Inégalité DKWM) Soit X1, . . . , Xn, . . . des variables
aléatoires sur un espace de probabilités, indépendantes et identiquement distribuées,
de fonction de répartition F .
Soit Fn, la fonction de répartition empirique de ces variables.
Alors
∀x ∈ [0, 1], P r( Fn − F ∞> x) ≤ 2e −2x2
. (3.33)
Remarque : On récupère ainsi le théorème de Glivenko-Cantelli grâce à ce
résultat qui est beaucoup plus précis puisqu’il quantifie la probabilité de
convergence à une vitesse donnée.
Ensuite, on donne un résultat ”d’approximation forte”. Il s’agit d’un
type d’approximation reliant processus empirique et processus gaussien. On
rappelle juste avant la
Définition 3.5 (Pont brownien et F-pont brownien) Un pont brownien
est un processus gaussien (Bt)t = (B(t))t centré, défini sur [0, 1], de
fonction de covariance
∀(s, t), Γ(s, t) = cov(Bs, Bt) = s ∧ t − st.
Pour F, fonction de répartition, le F-pont brownien BF est défini par
BF (t) = B ◦ F (t),
d’où une fonction de répartition associée
On a donc le
∀(s, t), Γ(s, t) = cov(BF (s), BF (t)) = F (s) ∧ F (t) − F (s)F (t).
Théorème 3.11 (Approximation forte) Soit F, une fonction de
répartition. Alors,
43

– il existe un espace de probabilités et des variables aléatoires i.i.d.
X1, . . . , Xn, . . . ∼ F sur cet espace,
– il existe une suite de F-ponts browniens Bn tels que
lim sup
n→∞
√ n
(log n) 2 √ n(Fn − F ) − Bn ∞< ∞ p.s. . (3.34)
Au passage, tous les éléments de la suite (Bn)n ayant même loi, ce théorème
implique la convergence en loi de √ n(Fn − F ) vers un F-pont brownien
(théorème de Donsker) et donne une idée de la vitesse de convergence
O (log n) 2 / √ n . Nous attirons l’attention du lecteur sur le fait qu’il n’y
a pas indépendance entre la suite de F-ponts browniens exhibée et les variables
aléatoires (Xi) à partir desquelles ils sont construits.
3.4.2 Asymptotique des estimateurs de π0 et F , convergence
du FDP
Identifiabilité du modèle Dans le cadre habituel de modèle de mélange,
on a supposé connue F0 = U (fonction de répartition de la loi uniforme),
tandis que F1 = F reste à estimer. Deux options sont alors possibles :
soit on choisit une version paramétrique du modèle de mélange où F1
est supposée appartenir à une ou plusieurs familles paramétriques, soit
on décide d’estimer F1 de façon non-paramétrique (estimateur à noyau).
Dans ce qui suit, nous allons considérer le cas non-paramétrique. Ainsi,
F ∈ F, où F représente une famille donnée de fonctions de répartition :
F = {H/H ≥ U, H concave}. Afin de rester assez général dans notre
propos, nous allons aborder le problème de l’identifiabilité du modèle qui se
pose ici dès que notamment F est trop riche.
Enfin, tout ce qui suit concernant les processus est basé sur l’article de
Genovese et Wasserman [13].
Hypothèses et notations :
On pose
(i) F ∈ F,
(ii) OF
déf
= { (b, H) ∈ [0, 1]×F/ F = (1−b)U +bH }. F est par définition
”identifiable” si OF = {(1, F )}.
(iii) ζ = inf{b / (b, H) ∈ OF },
(iv)
(v)
F −(1−ζ)U
F = ζ ,
a = aζ où a = 1 − π0.
Remarques :
– (ii) indique que H dépend de b.
– ζ quantifie en quelques sortes l’écart entre F et H. Si ζ = 1, H = F.
44

– le passage de π0 à a permet de localiser le problème sur le coefficient
de la fonction de répartition associée à H1. De plus, a sous-estime a
(ζ ≤ 1).
– F est la fonction de répartition ”visible” (à laquelle on a accès) dans
le cas non-identifiable, lorsqu’on ne connaît pas la proportion du
mélange. En effet dans ce cas, Genovese et Wasserman en 2004 [13]
ont montré qu’on ne peut espérer mieux que d’estimer le minorant a
de la proportion de gène H1.
Les derniers points sont, du moins partiellement, justifiés par les égalités
suivantes :
G = (1 − a)U + aF ,
= (1 − aζ)U + aζF ,
= (1 − a)U + a F .
Il est bon de remarquer pour la suite de l’exposé que nous avons également :
⇒
G = (1 − a)U + a F
G(t) − t G(t) − t
a = ≥ ·
F (t) − t 1 − t
(3.35)
D’ailleurs, il est possible d’exprimer a en fonction de G uniquement [13].
Nous avons rédigé une preuve de ce résultat en annexe.
Proposition 3.1 (Grandeurs accessibles) Si la loi des probabilités critiques
sous H1 est absolument continue et si F ≥ U, alors
ζ = 1 − inf
t F ′ (t) et a = 1 − inf
t G′ (t).
Remarques :
– Pour justifier l’hypothèse F ≥ U, on peut remarquer que les probabilités
critiques des gènes sous H1 sont proches de 0 lors du test de
H0 contre H1. Ainsi, la contribution de ces probabilités critiques est
la plus forte au voisinage de 0, tandis qu’elle est quasi-nulle loin de
0. La fonction de répartition G vérifie G(1) = 1 et la pente de la
droite vers laquelle elle tend près de 1 est π0 ≤ 1, puisque loin de 0
G(t) π0t + (1 − π0). C’est pourquoi, il paraît raisonnable de poser
pour G : G ≥ U = Id. Ainsi, G étant combinaison convexe de U et F,
on a de même F ≥ U = Id.
– On pourrait néanmoins imaginer des fonctions de répartition F pour
lesqelles la condition F ≥ U ne serait pas vérifiée.
– De plus, on voit bien que le lieu de pente la plus faible pour la fonction
de répartition G n’est certainement pas situé au voisinage de 0.
45

Intervalle de confiance pour la proportion
Nous pouvons ensuite donner un intervalle de confiance pour a tout en
sachant que a = a dans le cas identifiable.
Théorème 3.12 Soit ˆ G(t) = (Gm(t) ∨ t), ɛm > 0 et
Alors,
De plus,
a ∗ = max
t
∀(a, F ), P ra,F ( a ∈ [a ∗ , 1] ) ≤ 1 − α + 2
ˆG(t) − t − ɛm
1 − t
inf
a,F P ra,F ( a ∈ [a ∗ , 1] ) ≥ 1 − α. (3.36)
∞
j=1
·
(−1) j+1 ( α
2 )j2
+ O
(log m) 2
√
m
(3.37)
Remarques :
– le terme de reste peut dépendre de a et F .
– cet intervalle de confiance reste valable pour a même dans le cas nonidentifiable
puisque a ≤ a.
– la relation (3.36) donne un résultat d’uniformité : avec grande probabilité,
a appartient à un certain intervalle de confiance, et ce, pour
tout couple (a, F ).
– Quant à (3.37), nous attirons l’attention du lecteur sur le fait que cette
majoration n’est pas informative contre toute apparence. En effet, il ne
faut pas se laisser prendre par l’écriture trompeuse adoptée par Genovese
et Wasserman car le premier terme pour j = 1 de la somme provenant
de la statistique de Kolmogorov-Smirnov vaut α et compense
donc strictement le −α qui le précède. De plus, la série étant une série
alternée à décroissance rapide, seuls ses premiers termes comptent.
Ainsi, on obtient finalement une borne en 1 − α 4 /8, ce qui vaut quasiment
1 (pour un niveau de contrôle de 10 −2 , on a une majoration en
1 − 10 −8 /8) !
– la forme de l’estimateur G est due à la remarque de la proposition
précédente de laquelle on tire que G ≥ U. Il va alors de soi qu’une
amélioration de l’estimateur Gm est possible en adoptant la forme de
G requise.
Preuve partielle :
La preuve découle de l’inégalité DKWM pour la première relation et,
pour la deuxième, à la fois du théorème 3.11 (approximation forte), et de
46

la distribution asymptotique de la statistique de Kolmogorov-Smirnov que
nous rappelons ci-après :
∀x > 0, P r( B ∞ > x) = 2
∞
(−1) j+1 e −2j2x2 ,
i=1
où B représente un pont brownien standard.
Ainsi pour ce qui est de la minoration uniforme, on a
a < a ∗ ⇒ a √ √ Gm(t) − G(t)
m < sup m +
t 1 − t
√ √
G(t) − t ɛm m
m −
1 − t 1 − t
⇒ a √ √ Gm(t) − G(t)
m < sup m +
t 1 − t
√ ma − ɛm
√
m
(approximation de Storey)
1 − t
⇒ √ √
m(Gm − G) ∞> ɛm m.
Remarque : La seconde implication découle de la relation (3.35).
Alors, il vient
P ra,F (a ≥ a ∗ ) ≥ 1−P ra,F ( √ m(Gm −G) ∞> ɛm
par définition de ɛm et inégalité DKWM.
Loi limite l’estimateur de Storey de la proportion
√ m) ≥ 1−2e −2mɛ 2 m = α,
Par ailleurs, il est possible d’obtenir un résultat de normalité asymptotique
pour a0(λ) = 1 − π0(λ), ∀λ, où π0(λ) est l’estimateur de Storey de la
proportion de gènes H0.
Théorème 3.13 (Normalité asymptotique de a0(λ)) Soit λ ∈ (0, 1),
et
Gm(λ) − λ
a0(λ) =
1 − λ
·
Si G(λ) > λ , alors
a0(λ)
√ G(λ) − λ
m a0(λ) − (
1 − λ )
Si G(λ) = λ, on a
avec N + une normale tronquée.
P
−−−−→
m→∞
N
+
G(λ) − λ
≤ a ,
1
− λ
G(λ)(1 − G(λ))
0,
(1 − λ) 2
·
√
m a0(λ) 1
2 δ0 + 1
+
N 0,
2 λ
,
1 − λ
47

Remarques : D’abord, la troncature de a0(λ) a pour but d’empêcher π0(λ)
de dépasser 1 (proportion). Ensuite, on déduit d’une part que π0(λ) converge
en probabilité vers un majorant de π0, et d’autre part nous avons des informations
quant à la vitesse de convergence de π0(λ), ainsi que sur l’erreur
commise en fonction de λ (terme de variance).
Enfin, on peut obtenir des résultats analogues de convergence avec d’autres
estimateurs de π0 à condition de renforcer les hypothèses de régularité de
g, densité des probabilités critiques dans le modèle de mélange. Il faut
également préciser que ces estimateurs (de Hengartner et Stark ou Swaenpoel)
[13], sont consistants pour estimer a (donc a dans le cas identifiable),
et non un simple minorant de a comme c’est le cas pour l’estimateur de
Storey.
Asymptotique de l’estimateur de F
Il est très souvent utile de pouvoir estimer la fonction de répartition des
probabilités critiques sous H1 : F. En effet, nous avons vu que l’estimation de
F intervient notamment lors de l’obtention d’estimateurs plug-in. De plus,
outre le fait que F constitue une quantité plus facile d’accès que la densité
correspondante, il peut être utile d’obtenir une estimation assez fine de F
afin de déterminer le seuil λ à partir duquel F (x) = 1, ∀x ≥ λ. Enfin comme
nous le verrons dans la suite, les variances dépendant de F inconnue, il peut
être de bon de disposer d’un estimateur de F afin d’estimer l’erreur commise
lors d’approximations asymptotiques.
Pour cela, il existe diverses possibilités telles que les estimateurs à noyau,
ou encore les fonctions de répartition empiriques. . . Nous avons choisi de
présenter là un autre exemple d’estimateur de F fourni par Genovese et
Wasserman 2004 [13].
Définition 3.6 (Estimateur par projection) Soit π0, un estimateur de
π0. Soit G défini dans le théorème 3.12. Alors on définit
F = argminH∈F G − (π0U − (1 − π0)H) ∞ .
Il s’agit là de l’élément de F qui réalise le minimum de distance entre le
convexe engendré par U et H, et l’estimateur de G.
Nous obtenons alors le résultat de convergence suivant : pour tout estimateur
a, consistant de a = 1 − π0, F converge en probabilités vers F.
Théorème 3.14 (Consistance de F ) Soit a tel que a
vient
F − F ∞ ≤ G − G ∞ +| a − a |
a
P
−−−−→ 0 .
m→∞
P
−−−−→ a. Alors, il
m→∞
Remarque : Il n’est donc pas possible dans ce cas d’utiliser l’estimateur de
Storey π0(λ) puisqu’il ne converge que vers un majorant de π0.
48

Normalité asymptotique et FDP
On dispose également de résultats sur la loi limite des processus F DP et
F NP , ce qui nous permet d’obtenir entre autres des intervalles de confiance
pour le F DR.
Pour commencer, dans le cadre du modèle de mélange, une conséquence
directe du théorème 2.1 est le lemme suivant énoncé par Genovese et Wasserman
en 2004 [13], lemme qui va nous servir par la suite.
Lemme 3.3 (Valeur du FDR(t)) On se place dans les hypothèses du
modèle de mélange. On pose
Alors, il vient
Q(t) = π0t
G(t) ,
˜Q(t) = (1 − π0)(1 − F (t))
1 − G(t)
F DR(t) = Q(t)(1 − (1 − Q(t)) m ) , (3.38)
F NR(t) = ˜ Q(t)(1 − G(t) m ) · (3.39)
Il est à noter que ce point découle directement du corollaire 2.1.
Ceci étant dit, on donne à présent le
Théorème 3.15 (Distribution limite du FDP) Soit Z un processus
gaussien sur (0, 1] centré et de fonction de covariance Γ telle que
(1 − a)stF (s ∧ t) + aF (s)F (t)(s ∧ t)
∀t, s ∈ (0, 1], Γ(s, t) = a(1 − a)
G2 (s)G2 ·
(t)
Alors, on a
√ m (F DP (t) − Q(t)) Z , ∀t ∈ [δ, 1]. (3.40)
Remarques :
– On isole le cas t = 0 car Γ n’y est pas définie.
– 1 − (1 − G(t)) m −−−−→ 1, d’où F DR(t) −−−−→ Q(t). Une conséquence
m→∞
m→∞
du lemme 3.3 est que le théorème indique alors que F DP (t)
converge en loi vers un processus gaussien de moyenne F DR∞(t) =
limm→∞F DR(t).
– On constate que la variance du processus limite dépend de F qui est
inconnue et qu’il faut donc estimer si on veut une idée de l’erreur
commise à la limite, en fonction de t. Cela constitue une nouvelle
justification de la recherche d’un estimateur de F.
– Le même type de résultat peut être obtenu avec F NP (t) et ˜ Q.
49
·

Nous donnons en annexe une preuve détaillée de ce résultat, preuve dont
les grandes lignes apparaissent dans [13]. Ce théorème nous semble très
important en cela qu’il décrit en l’infini le comportement du F DP (t) en
donnant de surcroît la vitesse de convergence. Il sera donc possible, dans
les cas où m est grand, de procéder à une approximation du F DP (t) par
sa limite.
Nous signalons que la preuve de ce résultat est basée sur les notions de
méthode-δ et de Fréchet-différentiabilité. Nous rappelons cette dernière :
Définition 3.7 (Fréchet différentiabilité) Soit D et E, des espaces vectoriels
normés. On pose Φ, une application telle que Φ : D → E. Soit θ ∈ D
un paramètre et DΦ un sous-espace de D contenant θ. Alors, l’application
Φ est dite Fréchet différentiable si ∃Φ ′ θ (h)
vérifiant
: D → E, linéaire et continue
( Φ(θ + h) − Φ(θ) ) − Φ ′ θ E= o( h ), ∀h ↓ 0. (3.41)
Un autre estimateur naturel dans le cas du modèle de mélange est Q(t) =
π0(λ)t/Gm(t), où π0(λ) est l’estimateur de Storey [13]. On dispose également
pour cet estimateur d’un résultat de normalité asymptotique.
Théorème 3.16 Soit W un processus gaussien centré de fonction de covariance
définie par : ∀s, t ∈ (0, 1] et λ ∈ [0, 1],
Alors,
t
K(s, t) =
2
(1 − λ) 2G(s) 2G(t) 2
G(s)G(t)λ(1 − λ)
+ G(t)[1 − G(λ)](s ∧ λ − sλ) + G(s)[1 − G(λ)](t ∧ λ − tλ)
+ [1 − G(λ)] 2
(s ∧ t − st) .
où G(t) = Gm(t) ∨ t .
√
π0(λ)t
m − Q(t) W , (3.42)
G(t)
Ceci confirme la possibilité d’utiliser l’estimateur de Storey F DRλ(t), pour
approcher le FDR asymptotiquement et obtenir par exemple des enveloppes
de confiance pour celui-ci. Nous fournirons des résultats su ces enveloppes
dans la partie suivante, dans le cadre des champs aléatoires.
Remarque :
Il existe deux méthodes qui fournissent des enveloppes de confiance pour
le processus FDP. Ces méthodes sont décrites par Genovese et al.[13]. Au
50

passage, précisons que le terme d’”enveloppe” est justifié par la nature même
de processus du FDP. En effet à ω fixé, celui-ci représente une fonction définie
sur [0, 1], et c’est le graphe de cette fonction que nous devons circonscrire.
Il faut voir que le contrôle du FDR n’assure pas pour autant celui du FDP.
Un tel contrôle est fourni par une enveloppe de confiance qui quantifie la
taille de la queue de répartition de la loi du FDP.
3.5 Champs aléatoires
Jusqu’ici, nous avons rencontré le cas de processus indexés par t ∈ [0, 1]
et à valeur dans R. Dans un article de 2004, Pacifico, Genovese, Verdinelli
et Wasserman [15] ont étendu le cadre d’étude à des processus indexés
par s ∈ S, où S est un ensemble donné, ces processus étant à valeurs
dans R 2 . Précisons immédiatement que les champs aléatoires constitue une
extension assez naturelle du cadre précédent mais qu’en aucun cas, ceux-ci
ne constituent une réelle innovation. Nous appliquerons pour ainsi dire les
mêmes techniques qu’auparavant afin d’obtenir les relations souhaitées.
Cependant, les champs aléatoires semblent être un domaine de recherche
incontournable par leurs nombreuses applications en médecine (imagerie)
et en astrophysique notamment.
Il est également possible, dans le cas où S ⊂ R, d’appliquer les résultats
obtenus ci-après pour S, un sous-ensemble d’un ensemble donné de probabilités
critiques au sein duquel on cherche à contrôler les faux positifs.
Modèle :
Soit donc X = {X(s)/s ∈ S}, un champ aléatoire tel que
∀s, E(X(s)) = µ(s) ≥ 0.
Problème :
∀s ∈ S, on pratique le test unilatéral de l’hypothèse H0 : µ(s) = 0 contre
H1 : µ(s) > 0.
Soit S0 = {s/µ(s) = 0} et S1 = {s/µ(s) > 0}. L’objectif étant de détecter
S1, on cherche à déterminer un seuil adaptatif T (X) qui fournisse un
ensemble de rejet RT = {s ∈ S/ X(s) ≥ T (X)}, en vue d’estimer S1.
Remarques :
– L’idée est donc de déclarer H1 les points s tels que X(s) dépasse un
seuil à déterminer. En plus de remplir cette fonction, un seuil adaptatif
a la propriété de prendre en compte les données et donc de mieux
s’adapter au cas particulier de chaque jeu de données.
– Il est possible de s’affranchir de l’hypothèse de moyenne positive de
même que de pratiquer un test bilatéral tout en conservant les résultats
qui vont être énoncés.
51

Par analogie avec le cadre habituel présenté jusqu’ici, on définit le FDP
comme suit.
Définition 3.8 (FDP pour un champ aléatoire)
F DP (t) = λ(S0 ∩ Rt)
,
λ(Rt)
où λ(.) désigne la mesure de comptage dans le cas où S est discret et celle
de Lebesgue sinon.
Remarques :
– t représente ici et dans ce qui suit le seuil T (X) = t = cste.
– dans cette définition, le F DP (t) quantifie la proportion de la surface
rejetée qui est H0.
Une alternative possible dans le cas d’un champ est le repérage des zones de
rejet en faisant intervenir des clusters.
Définition 3.9 (Cluster négatif au niveau τ) Un cluster C ⊂ S est dit
négatif au niveau 0 ≤ τ ≤ 1 si
λ(S0 ∩ C)
λ(C)
> τ .
Typiquement, ce cas de figure va apparaître si S0 ⊂ C. Ainsi, C sera un
cluster négatif au niveau τ si l’intersection entre C et S0 est trop grande :
c’est une partie qui a peu de chances d’être H1. Cette définition donne lieu
à l’introduction de nouvelles quantités : le F CPτ et le F CRτ .
Remarque : de façon générique, on désigne par T une procédure de seuillage.
Définition 3.10 (F CPτ et F CRτ ) Avec les mêmes notations que celles
définies précédemment, on décompose RT en ses composantes connexes
C1, . . . , CmT . Alors
F CPτ (T ) = ♯{1 ≤ k ≤ mT / λ(S0∩Ck)
λ(Ck)
F CRτ (T ) = E(F CPτ (T )) .
mT
> τ}
,
Il faut noter que le nombre de composantes connexes de RT dépend de T
puisque c’est le cas de RT . Ainsi, le F CPτ (T ) est un processus aléatoire
qui représente la proportion de composantes connexes de RT qui sont des
clusters négatifs au niveau τ. On peut voir le F CRτ comme un analogue du
F DR, analogue pour lequel on raisonne non plus sur un nombre de gènes
52

H0 ou H1, mais sur le nombre de composantes connexes de RT qui sont des
clusters négatifs ou non. Typiquement en imagerie médicale, on cherche à
déterminer des taches ou des zones (connexes) lumineuses en astrophysique.
D’autre part, le problème paraît plus compliqué pour le F CRτ (T ) en cela
qu’il dépend de deux seuils là où le F DR(T ) ne dépend que de T.
53

Stratégie :
1. Dans un premier temps, on cherche à produire un ensemble de
confiance pour S0 : U, tel que
pour un α donné.
P r(S0 ⊂ U) ≥ 1 − α,
2. Ensuite, on exhibe une enveloppe de confiance pour les champs
aléatoires F DP et F CPτ qui sont inaccessibles : F DP et F CPτ .
3. Enfin de ces enveloppes de confiance, on tire une procédure (un seuil)
qui garantit un certain contrôle pour la ou les quantités d’intérêt.
3.5.1 Construction d’un super-ensemble
On appellera super-ensemble, le 1 − α-ensemble de confiance U, mentionné
ci-avant. Nous allons maintenant préciser la statistique de test
utilisée, de même que la construction de ce super-ensemble.
Pour tout ensemble A ⊂ S, on désire tester au niveau α
Pour cela, on utilise la statistique
H0 : A ⊂ S0 contre H1 : A ⊂ S0.
X(A) = sup X(s).
s∈ A
Un ensemble a une chance d’être inclus dans S0 si la plus grande valeur
prise sur cet ensemble par le champ étudié n’est pas trop grande.
Soit
C = {A ⊂ S/A n ′ est pas rejeté}
= {A ∈ S/P r(X(A) ≥ x(A)) ≥ α},
où x(A) est la réalisation de X(A). Une première idée consiste alors à prendre
U =
A
A∈ C
qui se trouve bien être un 1 − α-ensemble de confiance d’après le
Théorème 3.17 (Super-ensemble de confiance pour S0) Soit U =
A∈ C A. Alors, U est un 1 − α-super-ensemble de confiance pour S0 :
P r(S0 ⊂ U) ≥ 1 − α.
54

Toutefois, la détermination effective de U nécessitant le parcours de tous
les sous-ensembles de S, cette approche ne soit pas réalisable dès que S est
assez grand et a fortiori pour S infini.
On a donc recours à l’algorithme suivant, calculable en un temps raisonnable.
Dans un premier temps, on s’intéresse à ce qui se passe pour une partition
donnée de S, avant de généraliser au cas d’un suite de partitions vérifiant une
certaine propriété. Soit S1, . . . , SN, une partition de S. Aucune hypothèse
sur la dépendance des statistiques n’est faite, la seule exigence étant que les
sup j∈J X(Sj) sous H0 soient calculables pour tout J ⊂ {1, . . . , N}.
Algorithme :
1. on calcule les réalisations des x(Sj), j = 1, . . . , N.
2. on les ordonne par ordre décroissant les x (1) ≥ . . . ≥ x (N) qui correspondent
aux S (1), . . . , S (N).
3. pour k = 1, . . . , N,
(a) on pose Vk = N j=k S ((j)).
(b) on calcule les P r(X(Vk) ≥ x (k)).
(c) si P r(X(Vk) ≥ x (k)) ≥ α, on pose V ∗ = Vk, sinon, on passe à
k + 1.
Remarques :
– Le super-ensemble V ∗ obtenu est associé à la partition initiale de S.
– Les étapes (3.b) et (3.c) coîncident dans l’approche adoptée avec celle
de la BH-procédure.
– Les S (i) formant une partition de S, on a
P r(X(Vk) ≥ x (k)) = P r( max
i≥k X(S (i)) ≥ x (k) )
= P r(X(S (k)) ≥ x (k)) (par définition des S (i)).
Justifications de l’algorithme :
Il faut d’abord se rappeler qu’on cherche le plus petit 1 − α-ensemble de
confiance pour S0 à partir de la partition adoptée. On remarque ensuite que
le cas k = 1 donne que V ∗ = S, qui est le plus grand 1 − α-ensemble de
confiance accessible. Puis à l’étape suivante si celle-ci est possible, il paraît
raisonnable de retirer S (2), l’élément de la partition pour lequel la statistique
de test est la plus grande et donc celui pour lequel il est le moins
vraisemblable qu’il soit contenu dans S0 etc. . ., d’où l’étude des ensembles
(
i≥k S (i)) k∈{1,...,N}. Au passage, cette idée justifie l’utilisation des statistiques
d’ordre plutôt que celle de n’importe quelle autre permutation. Enfin,
les relations (3.43) impliquent que pour V ∗ = V (k),
{S0 ⊂ V ∗ } = {P r(X(V ∗ ) ≥ x(V ∗ ))} = {P r(X(S (k)) ≥ x (k))},
55

d’où le sens de l’étape (3.c).
On considère à présent une suite de partitions (Sn)n∈N ∗ = ( (Sn i )i )n∈N ∗.
Sous certaines conditions que nous allons définir à présent, on obtient un
super-ensemble de confiance de niveau 1 − α.
Définition 3.11 (Suite dégénérée de partitions) ∀s ∈ S, Sn,s est
l’élément de la partition (Sn i )i contenant s. on dit que la suite de partitions
(Sn)n∈N∗ est dégénérée si
∀s ∈ S, et ∀ Osvoisinage de s, ∃ n/ Sn,s ⊂ Os.
On choisit donc une suite décroissante de partitions au sens de l’inclusion.
À tout n correspond alors une partition Sn ainsi qu’un super-ensemble de
confiance Un, déterminé par l’algorithme précédent. On pose alors successivement
Cn = A =
/ P r(X(A) ≥ x(A)) ≥ α ,
et Un =
A∈ Cn
Sj∈ Sn
A .
Alors, Pacifico, Genovese, Verdinelli et Wasserman [15] ont obtenu le
Théorème 3.18 (Super-ensemble pour ◦
S0) Soit une suite décroissante
dégénérée de partitions (Sn)n. Alors limn→∞ Un existe et
et
P r( ◦
S0 ⊂ lim
n→∞ Un) ≥ 1 − α ,
P r(S0 ⊂ U) ≥ 1 − α ,
avec U est l’adhérence de limn→∞ Un.
3.5.2 Enveloppes de confiance
Ayant exhibé notre super-ensemble U, on définit F DP et F CPτ :
Définition 3.12 (F DP et F CPτ ) Pour tout seuil T, on a
F DP (T ) = λ(U ∩ RT )
λ(RT )
F CPτ (T ) = ♯{1 ≤ k ≤ mT / λ(U∩Ck)
λ(Ck)
mT
où les Ck sont les composantes connexes de RT .
56
> τ}
,

Remarque : Il faut noter que ces deux quantités sont les analogues des F DP
et F CP , dans lesquels on a remplacé le S0 inconnu par le super-ensemble
de confiance U. Ceci a alors pour effet de fournir des ”bornes calculables”
pour ces deux variables aléatoires.
3.5.3 Seuils pour un contrôle donné
Il vient alors finalement les résultat suivant qui fournissent un contrôle
des deux grandeurs d’intérêt du problème ainsi posé.
Théorème 3.19 (Procédure de seuillage) Avec les mêmes notations
que ce qui précède, on prend 0 < α, τ < 1. alors
1. ∀c ∈ (0, α), et pour γ = (α − c)/(1 − c), soit
Alors Tc satisfait
Tc = inf{t / F DP (T ) ≤ c}.
F DR(Tc) ≤ α.
2. Avec Tτ,c = inf{t/ F CP τ (t) ≤ c}, il vient
3.6 Bilan intermédiaire
F CRτ (Tτ,c) ≤ α.
La taille de cette partie est due à la grande quantités des résultats obtenus
dans le cadre très commode des processus stochastiques : il s’agit là
incontestablement de la partie la plus aboutie. Nous avons ainsi pu exploiter
les théorèmes déjà existant pour ces structures afin d’obtenir des résultats
intéressants pour le FDR. Malgré cette longueur, nous pouvons dégager plusieurs
idées fortes.
1. avec le modèle de mélange, l’utilisation de la loi binomiale suivie par
certaines variables aléatoires élémentaires a permis à de nombreuses
reprises d’obtenir de façon simple des résultats non triviaux (preuve
du contrôle du FDR par la procédure BH,. . .).
2. la cas non identifiable du modèle de mélange est à prendre en compte,
mais on se place le plus souvent dans le cas plus commode de l’identifiabilité,
quitte à restreindre l’ensemble F sur lequel on travaille.
3. l’estimateur de Storey de la proportion π0(λ) est un estimateur croissant
par morceaux, et biaisé de π0. Néanmoins, on dispose de nombreux
résultats le concernant, notamment dus à sa forme qui fait intervenir
les différentes fonctions de répartition empiriques des probabilités critiques.
57

4. l’approximation du FDR qui constitue la base d’un grand nombre de
résultats est que le FDR est de l’ordre de grandeur du rapport des
espérances de F P et R.
5. il est possible et utile de déterminer les lois limites des processus
d’intérêt (approximation).
6. enfin, une stratégie couramment exploitée consiste à trouver dans un
premier temps un majorant ou une enveloppe de confiance afin de
déterminer dans un second temps un seuil assurant un contrôle au
niveau souhaité.
Cependant, même si ces problèmes ont été déjà bien rebattus, il demeure
des points à approfondir :
– Certains estimateurs de π0 ont des propriétés de convergence mal ou
pas connues. La qualité de l’estimation de π0 fait encore défaut bien
que ce soit le véritable enjeu de notre problème.
– Il est peut-être possible d’exploiter l’estimation de F de façon à
déterminer la zone de validité pour l’approximation de Storey.
– les cas où f0 n’est pas continue ou les cas de dépendance sont encore
mal connus.
– quantification de l’écart entre procédure plug-in générale (λ = 0) et
seuil optimal.
58

Chapitre 4
Minimisation sous contrainte
Dès l’article fondateur du FDR de Benjamini et Hochberg en 1995 [4],
ceux-ci expliquent que leur objectif est de concevoir une procédure qui, tout
en contrôlant le FDR au niveau α, va maximiser le nombre de gènes rejetés,
cela correspondant à la volonté d’obtenir une procédure qui soit la plus
puissante possible. Ce point fait d’ailleurs l’objet de leur second théorème
où ils expliquent que la BH-procédure est solution d’un certain problème
d’optimisation :
Théorème 4.1 (BH-procédure et optimisation) La BH-procédure est
solution du problème de maximisation sous contrainte : choisir t de façon à
maximiser le nombre de rejets R(t) sous la contrainte ≤ α.
m t
R(t)
Nous allons à présent présenter certains résultats démontrés en adoptant
cette vision du problème. De plus, celle-ci est intimement liée dans ce qui
va suivre à la classification non-supervisée pour divers risques que nous
préciserons au fil de l’exposé.
La présentation de cette approche est assez succinte car ce point de vue
reste quelque peu marginal en ce sens qu’il n’a pas fourni, jusqu’à présent,
de résultat majeur. Nous ne ferons que mentionner ou ne rendrons compte
que de cetains résultats ou approches rencontrés.
4.1 Approche asymptotique
4.1.1 Motivation de l’approche
Nous avons expliqué dès le début que m0 est inconnu. Ce fait donne lieu à
des procédures trop conservatives telles que la procédure BH et est à l’origine
de l’estimation de π0. Cette trop grande conservativité des procédures donne
lieu à une perte de puissance. Vient alors l’idée de maximiser la puissance
de la procédure tout en conservant un contrôle du FDR au niveau α pour
s’assurer d’un contrôle des faux positifs. Remarque :
59

Une grande puissance revient à se tromper peu pour les gènes H1, i.e.
en espérance, la proportion
♯{gènes H1 non-rejetés}
♯{ gènes non-rejetés}
doit être petite.
D’où la nécessité de minimiser le False Non-discovery Rate :
déjà défini auparavant.
4.1.2 Heuristique
T (t)
F NR(t) = E(
| m0),
(m − R(t)) ∨ 1
Tout d’abord dans le papier de Genovese et Wasserman de 2002, nous
avons obtenu des développements limités au voisinage de l’infini pour m du
FDR et du FNR à un seuil c donné dans le théorème 3.9. A partir de ces
résultats, on peut faire le raisonnement suivant.
Puisque seulce qui se passe à l’infini nous intéresse, on peut négliger les
1
termes en O √m . Puis la relation (3.31) montre que la partie principale
du développement limité, qui correspond à ce que nous noterons F NR∞(c)
est une fonction décroissante de c. Ainsi, chercher à minimiser en t F NR(t)
sous la contrainte que F DR(t) ≤ α où α est un niveau de contrôle prédéfini
revient à choisir le seuil t maximum tel que F DR(t) ≤ α, voire tel que
F DR(t) = α. Ceci nous ramène à la relation que doit vérifier le seuil optimal
c ∗ , relation déjà mentionnée (3.32) :
F (c ∗ )
c ∗
4.2 Risque conditionnel
1
= β −
α ·
Une autre modélisation du problème consiste à minimiser un certain
risque faisant intervenir les FNR et FDR, tout en conservant un contrôle
donné sur le FDR. Cet aspect est à rapprocher de méthodes de classification
non-supervisée. En effet, on dispose de la donnée d’expression d’un certain
nombre de gènes qu’on souhaite répartir dans deux populations distinctes,
sans disposer dans le cas général pour certains d’entre-eux de données a
priori qui nous permettraient de faire de la classification supervisée.
Dans ces conditions, on choisit une fonction de perte de la forme
Lλ(H0, p, r) = F NP (H0, p, r) + λF DP (H0, p, r),
avec H0 qui représente le vecteur des H0(i), i = 1, . . . , m, et p, celui des
probabilités critiques ordonnées. λ > 0 peut être soit spécifié par l’utilisateur,
soit déterminé par des méthodes basées sur les données. On imagine
60

ici que λ est ici fixé par l’utilisateur. Quant à r, il s’agit de la procédure qui
va permettre de classer les gènes étudiés. Le risque qui découle s’écrit alors
Rλ(r) = ErLλ(H0, p, r)
= F NR(r) + λF DR(r),
où Er désigne l’espérance prise pour la procédure r considérée. L’objectif
est ici de trouver la procédure r qui va minimiser ce risque.
Remarque : La forme de ce risque vient du besoin de résoudre le problème
de minimisation du FNR sous la contrainte F DR(r) ≤ α. Dans ce cadre, λ
peut être vu comme un multiplicateur de Lagrange.
Partant de ceci, la stratégie de Genovese et Wasserman en 2002 est la suivante.
Ils choisissent de considérer dans un premier temps un risque conditionnel
:
Rλ(r | p) = Er[ Lλ(H0, p, r) | p ].
À partir de là, trouver une procédure optimale r∗ pour le risque conditionnel
ci-avant nous fournit, en intégrant par rapport à p une procédure optimale
pour le risque Rλ. Remarque :
Pour ce qui est de la détermination de λ, il est également possible de le
choisir de façon que Er[ F DP (r) | p ] soit aussi proche que possible de α.
Par contre, faire de même pour ErF DP (r) n’est pas du tout trivial puisque
ceci est plus ou moins équivalent à connaître précisément la valeur du F DR,
chose qu’on cherche à faire.
4.3 Erreur de Bayes pondérée
On se place dans le cadre du modèle de mélange pour lequel ∀i ∈
{1, . . . , m}, H0(i) ∼ B(1 − π0). Soit
∀i, φλ(i) = (1 − λ)1 {H0(i)=0} + λ1 {H0(i)=1}.
Définition 4.1 (Risque de Bayes pondéré) Avec les notations précédentes,
le risque de Bayes pondéré au seuil t vaut pour le gène i :
γλ(t) = E[ φλ(i)1 {gt(Pi)=H0(i)} ],
où gt(Pi) = 1 {Pi≤t} est le prédicteur de la classe du gène i.
Comme on peut le constater, il s’agit du risque associé à un fonction de
perte qui pénalise par λ ou 1 − λ les erreurs de classification suivant qu’il
s’agisse respectivement d’un faux négatif ou d’un faux positif. Ce point est
d’ailleurs explicité dans la proposition suivante.
Proposition 4.1 (Pondération suivant le type d’erreur) Aussitôt, il
vient que pour tout t dans [0, 1],
∀i = 1, . . . , m, γλ(t) = (1−λ)P r(Pi ≤ t, H0(i) = 0)+λP r(Pi > t, H0(i) = 1).
61

Remarque :
Si on écrit γλ(t) en faisant intervenir des régions de rejet bâties non plus à
partir probabilités critiques, mais plutôt à partir des statistiques de test, on
obtient le fait suivant énoncé par Storey en 2002 : ∀λ ∈ [0, 1], la quantité
γλ(Γ) = (1 − λ)P r(T ∈ Γ, H0(i) = 0) + λP r(T ∈ Γ, H0(i) = 1),
où Gamma est une région de rejet et T est la statistique de test, est minimisée
en Γ par
Bλ = { t/fdr(t) ≤ λ } ,
où fdr désigne comme dans le chapitre 2 le FDR local.
62

Chapitre 5
FDR et seuillage
Nous avons déjà vu que l’étude du FDR pouvait être menée sous
différents points de vues dont chacun fournit un certain type de renseignements.
Notamment, le cadre originel est de déterminer la procédure optimale
qui fournit un contrôle du FDR, quelle que soit la répartition des gènes
entre les deux classes H0 et H1, (différentiellement ou non-différentiellement
exprimés). Notamment, en considérant les probabilités critiques associées
au test pratiqué, la région de rejet obtenue est classiquement de la forme
{Pi ≤ t}, où t appartient à [0, 1]. Ainsi dans ce cas, déterminer la procédure
optimale revient à la recherche d’un seuil optimal. Le problème peut alors
être reformulé de la sorte : étant données un ensemble de m probabilités
critiques, déterminer le seuil au-dessous duquel on peut rejeter l’hypothèse
H0. On peut y voir et notamment Abramovich et Benjamini en 1995 [1] y
ont vu des analogies avec les méthodes de seuillage employées entre autres
pour l’analyse des ondelettes.
Dans ce chapitre, nous allons successivement présenter un résultat de minimaxité
asymptotique uniforme concernant l’estimateur FDR que nous
définirons plus tard, puis comparer brièvement les performances de cet estimateur
avec celles d’estimateurs obtenus à partir de minimisation de critères
pénalisés.
L’objectif que nous nous sommes fixé ici est de présenter certains résultats
issus du rapprochement entre F DR et critères pénalisés. Cette approche est
relativement récente (cf.[1],[2]) et n’a pas été encore très développée. Cependant,
nous avons jugé profitable de présenter, sans trop de technicité,
l’origine des critères pénalisés utilisés en sélection de modèle de façon à être
en mesure d’expliquer les performances de ceux-ci, face à celles du FDR.
63

5.1 Minimaxité asymptotique de l’estimateur
FDR
5.1.1 Cadre mathématique du problème
On dispose des réalisations y d’un vecteur aléatoire Y ∈ R m , tel que :
∀i = 1, . . . , m , Yi = µi + σmɛi,
⎧
⎨ ɛi ∼ N (0, 1) iid
avec σm connu .
⎩
µi ∈ R
De plus, on sait que le vecteur µ ∈ Rm possède m0 > 0 composantes nulles
parmi m, sans pour autant connaître la localisation de celles-ci ou même
m0.
L’objectif par conséquent est donc d’estimer µ tout en déterminant la localisation
de ses composantes nulles.
Remarque : Dans leur article de 2000, Abramovich, Benjamini, Donoho
et Johnstone ont étendu le champ d’application de ce qui va suivre en
définissant une notion d’évanescence vérifiée par le vecteur µ.
Définition 5.1 (Evanescence) Avec les notations de ce qui précède, nous
dirons qu’un vecteur µ est évanescent dans les trois cas suivant :
1. La plupart des coefficients de µ sont nuls. On définit alors µ 0=
♯{i/ µi = 0}, ainsi que
ℓ0[η] = {µ ∈ R m / µ 0≤ ηm}, (5.1)
où η représente la proportion de composantes non nulles.
2. Il y a une très faible proportion de composantes significativement
différentes de zéro η. Typiquement, on s’intéresse à des boules mp[η] =
{µ ∈ R m /|µ| (k) ≤ C · k
− 1
3. µ appartient à des boules ℓp :
avec un η petit.
p , k = 1, . . . , m},
ℓp[η] = {µ ∈ R m / 1
m
m
|µi| p ≤ η p },
Dans la suite, on ne s’intéressera essentiellement qu’au premier cas
d’évanescence.
Une première idée pour estimer µ serait de prendre y. Par ailleurs, l’intuition
est de décréter une composante µi nulle si |µi| ≤ t, où t est un
seuil à déterminer. On associe alors ces deux idées dans les méthodes de
64
i=1

seuillage sous la forme du seuillage doux et du seuillage fort (soft et hard
thresholding). Le seuillage doux (”soft thresholding”) consiste à prendre
µ s i,t(y) = sign(yi) (|yi| − t) + , ∀i ∈ {1, . . . , m},
tandis que le seuillage dur (hard thresholding) impose un estimateur de µ
de la forme
∀i = 1, . . . , m, µ h i,t(y) = yi 1 {|yi|≥t}. (5.2)
On constate que la contribution de la composante yi à l’estimation µi est
atténuée pour le seuillage doux tandis que yi contribue pleinement dans
le seuillage dur. Ceci a pour effet d’atténuer les écarts entre composantes
nulles et celles qui ne le sont pas. Par ailleurs, µ s i,t est continue tandis que
µ h i,t ne l’est pas. Nous verrons dans les dernières parties de ce chapitre que
ces deux types d’estimateurs par seuillage conduisent à des propriétés et
ont des comportements asymptotiques analogues. En conséquence, nous
nous intéresserons pour ce qui suit au seuillage dur pour lequel les résultats
souhaités ont été démontrés.
L’objectif dans ce qui suit est de bâtir un estimateur appelé estimateur
FDR construit sur le modèle de la BH-procédure, et de montrer que celui-ci
a un comportement assez proche de celui d’un estimateur de type seuillage
dur obtenu à partir d’un certain critère pénalisé.
5.1.2 Critère pénalisé
Dans un premier temps, on ordonne les réalisations yi par ordre
décroissant :
y (1) ≥ y (2) ≥ . . . ≥ y (m).
Nous reviendrons plus tard sur ce point.
L’objectif est de trouver un critère qui fixe le rang à partir duquel les y (i)
sont trop petites pour être non nulles. Par exemple, on peut regarder ce qui
se passe pour le contraste empirique classique
=
m
y(i) − µ (i),t(y) 2 k=1
i/|y (i)|≥t
= 0 +
=
i≥k
y(i) − µ (i),t(y) 2 +
i/|y (i)|

où k est le plus grand entier tel que y (k) ≥ t.
L’objectif habituel et de chercher à minimiser ce contraste en t, i.e. puisqu’on
travaille avec des entiers, trouver l’entier qui le minimise. On voit bien que
ce raisonnement appliqué à (5.3) conduit immédiatement à choisir k = m,
ce qui correspond classiquement à un cas d’over-fitting ou sur-ajustement
aux données. En effet, on choisirait l’estimateur qui vaut y. Il s’agit donc de
pénaliser notre critère à minimiser pour parer ce problème.
D’où le critère suivant à minimiser en k :
m
critm(k) = |y (i)| 2 + pen(k). (5.4)
i=k+1
Le sens de cette expression est que le terme de pénalisation pen(k) compense
la tendance à choisir un k grand. Ce terme doit être calibré de façon à
ce que minimiser ce critère permette de trouver un compromis entre un
estimateur très proche des données et en même temps suffisamment général
pour s’adapter à d’autres réalisations. La minimisation nous fournit un
entier k.
Il reste donc à préciser ce terme de pénalisation. Nous discuterons ce
point ultérieurement. Néanmoins, nous pouvons dores et déjà préciser que
c’est l’origine de l’estimateur FDR que nous allons construire à présent qui
va déterminer la forme de notre pénalité.
5.1.3 Estimateur FDR et estimateur par critère pénalisé
Seuil FDR
D’abord, dans le cadre de la procédure BH, nous considérions les probabilités
critiques ordonnées par ordre croissant p (1) ≤ . . . ≤ p (m). La définition
de la probabilité critique : soit Z un e variable aléatoire de même loi que Yi,
alors pi = P r(|Z| ≥ |yi|) donne alors immédiatement que les |yi| sont rangées
dans l’ordre décroissant, d’où l’ordonnancement dans la section précédente.
Puis, nous devons nous souvenir que d’une part pour notre problème, les
Yi ∼ N (µi, σ 2 m) et que d’autre part, nous définissions kF DR par
Alors, ∀i = 1, . . . , m, il vient
kF DR = max{i/ p (i) ≤ iα
m }.
p (i) ≤ iα
m
⇔ P r(|Z| ≥ |y| (i)) ≤ iα
m
⇔ P r(Z ≥ |y| (i)) ≤ iα
2m
66
(symétrie de la loi de Z). (5.5)

Puis, on définit ti par la relation
∀i = 1, . . . , m, P r(Z ≥ ti) = 1 − Φ( ti
σm
) déf
= iα
, (5.6)
2m
où Φ représente la fonction de répartition d’une normale centrée réduite. ti
est donc le quantile de niveau 1 − αi
2 m .
La relation (5.5) devient donc équivalente à
ce qui donne pour kF DR :
P r(Z ≥ |y| (i)) ≤ 1 − Φ( ti
σm
) = P r(Z ≥ ti),
kF DR = max{i/ |y| (i) ≥ ti}. (5.7)
Tout comme dans la procédure BH, on rejette dès que la i-ième probabilité
critique est inférieure au quantile de niveau iα/m, on décide ici de rejeter
dès que la i-ème statistique |y| (i) dépasse ti.
Dans la suite, nous noterons kF pour kF DR. Ceci donne lieu à la définition
suivante :
Définition 5.2 (Seuil FDR) Avec les notations de ce qui précède, on appelle
seuil FDR la quantité notée tF définie par
tF = tbkF = σm Φ −1
1 −
kF α
. (5.8)
2m
La motivation d’une telle construction est que le FDR étant adaptatif par
nature, le seuil FDR va lui même s’adapter aux données, d’où une bonne
confiance dans les seuils obtenus.
Par conséquent, il est possible de définir l’estimateur FDR à partir du
seuillage dur, estimateur qui hérite des propriétés d’adaptivité du seuil FDR.
Définition 5.3 (Estimateur FDR) Nous appellerons estimateur FDR,
l’estimateur noté µF défini par
Détermination de la pénalité
∀i = 1, . . . , m, µF,i = yi1 {|yi|≥btF } .
Nous avions précédemment laissé de côté le choix de la pénalité. C’est
ce dont nous allons nous occuper à présent de façon à exhiber l’estimateur
par critère pénalisé.
Cette pénalité doit faire intervenir des quantités positives pour compenser
67

la tendance à choisir de grands k, de même que ces quantités doivent être
de taille comparable à celle des k
i=1 (yi) 2 . L’un des objectifs de Abrmovich
et al.[2] étant d’établir un parallèle entre le seuil FDR et les seuils obtenus
par critère pénalisé, ils proposent d’écrire le terme de pénalité sous la forme
pen(k) =
k
i=1
t 2 i , (5.9)
puisque les ti sont comparables en taille aux y (i) et sont déterminés par la
relation (5.6) qui donne :
∀i, ti = σmΦ −1 (1 − iα
). (5.10)
2m
À partir des ti définis ci-avant (5.10) et de la pénalité (5.9), on obtient
explicitement le critère pénalisé à minimiser en k :
critm(k) = y − µk 2 2 +pen(k) (5.11)
=
m
y 2 (i) +
k
t 2 i .
i=k+1
L’interprétation du rôle de la pénalité, qui sert de justification à la forme
de celle-ci, est la suivante. Pour i grand (voisin de m), |y| (i) ≤ ti. La
conséquence est qu’on fait décroître le critère en remplaçant le plus
grand ti de la somme par le |y| (i) correspondant. Pareillement quand i
est petit, |y| (i) ≥ ti : le critère diminue en remplaçant |y| (i) par ti. Le
critère va donc privilégier les k intermédiaires, et même l’entier k pour
lequel on ne gagnera plus rien en changeant et un ti en |y| (i), et un |y| (i) en ti.
La minimisation de ce critère donne lieu à un k2, lieu du minimum (absolu).
De façon analogue au cas de l’estimateur FDR, on définit à présent l’estimateur
suivant.
Définition 5.4 (Estimateur par critère pénalisé) On définit l’estimateur
par critère pénalisé associé à critm par
i=1
∀i = 1, . . . , m, µ2,i = yi1 {|yi|>bt2} . (5.12)
Remarque :
L’indice 2 de la notation fait référence à l’exposant qui intervient dans les
sommes du critère pénalisé. En fait, on le reverra plus tard, mais le résultat
principal de minimaxité qui va suivre a notamment l’intérêt d’être valable
pour une large gamme d’exposants r.
68

5.1.4 Résultats
La construction qui précède ayant été réalisée en partie dans l’article de
Abramovich et Benjamini de 1995 [1], celle-ci a été poursuivie et complétée
dans le travail de Abramovich, Benjamini, Donoho et Johnstone en 2000
[2], publication dans laquelle apparaissent divers résultats que nous allons
voir ci-après.
Minimum local
Tout d’abord, on cherche à établir un lien entre l’estimateur FDR, µF et
l’estimateur par critère pénalisé µ2. L’objectif est de montrer que ces deux
estimateurs sont proches voire égaux dans beaucoup de cas.
On arrive alors à donner la
Proposition 5.1 (Minimum local le plus à droite) Conformément
aux notations adoptées jusqu’ici,
(i) kF est le lieu du minimum local le plus à droite de k ↦→ critm(k),
(ii) k2 est le lieu du minimum absolu pour critm(.).
Preuve :
On note par commodité k pour kF .
Soit k ′ > k.
Alors ∃ i ∈ N/k ′ = k + i.
Il vient que
critm(k ′ ) = critm(k + i)
= critm(k) +
k+i
l=k+1
t 2 l −
k+i
l=k+1
y 2 (l)
>0
puisque par définition de k, ∀k ′′ > k, |y| (k ′′ ) < tk ′′.
Alors
∀k ′ > k, critm(k ′ ) > critm(k).
Enfin, si k ′ = k − 1 est un minimum local, il vient que
critm(k − 1) ≤ critm(k),
ce qui implique par définition de k que |y (k)| = tk.
Alors,
critm(k ′ m
) = y 2 (l) +
k−1
= critm(k).
l=k+1
69
l=1
t 2 l + t2 k
,

Donc k = kF est bien le minimum local le plus à droite de critm.
Remarques :
– En règle général, k2 et kF sont égaux. Cependant, un exemple de cas
où cette égalité n’a pas lieu est le cas où on dispose d’ex aequo à
l’occasion d’un rééchantillonage par exemple.
– Le raisonnement mené pour la . 2 peut être mené pour toute . r,
avec r ∈ (0, 2], en ayant soin de changer la pénalité en conséquence.
Uniforme minimaxité asymptotique
On en arrive à présent au résultat très technique qui a motivé tout la
partie qui précède. Pour cela, nous donnons au préalable quelques notations.
Soit Θm, l’un quelconque des trois types de boules auxquelles peut appartenir
le vecteur µ dans la définition de l’évanescence (5.1).
On définit le pire risque sur Θm par
ρ(µ, Θm) = sup Eµ µ − µ
µ∈Θm
r r .
Enfin, on donne le plus petit, sur tous les µ, des pires risques : le risque
minimax
Rm(Θm) = inf
bµ ρ(µ, Θm).
Alors Abramovich, Benjamini, Donoho et Johnstone en 2000 [2] montrent le
Théorème 5.1 (Uniforme minimaxité asymptotique) Avec les notations
précédentes, soit αm le niveau de contrôle du FDR. Alors pour 0 ≤
p < r ≤ 2 et ηm ∈ [ log5 (m)
m , m−δ ], δ > 0, il vient
Rm(Θm) ≤ ρ(µF , Θm) ≤ Rm(Θm) 1 + (r − p) αm
+ om→∞(1) . (5.13)
1 − αm
On constate que pour un contrôle qui se renforce lorsque m tend vers l’infini
(αm −−−−→
m→∞ 0),
ρ(µF , Θm) ∼m→∞ Rm(Θm).
De plus, non seulement ce résultat prouve la minimaxité asymptotique
pour l’estimateur FDR (il est le meilleur asymptotiquement), mais il donne
également l’uniformité de ce résultat en ce sens que ce résultat demeure
pour tous les r ∈ (0, 2] en même temps et diverses vitesses de décroissance
de l’évanescence ηm. Il faut noter qu’ici, ”meilleur” est à comprendre dans le
sens suivant : cet estimateur fait aussi bien asymptotiquement que l’oracle
Rm(Θ) lorsque αm → 0.
Enfin, comme nous l’avons mentionné, ce théorème repose sur le résultat
suivant :
70

Théorème 5.2 (Uniformité) Avec les notations du théorème précédent,
on a
sup |ρ(µF , µ) − ρ(µ2, µ)| = om→∞ (Rm(Θm)) . (5.14)
µ∈Θm
Ainsi, c’est la minimaxité asymptotique de µ2 qui donne celle de µF .
5.2 Comparaison seuil-FDR et seuils obtenus par
critères pénalisés
Au cours de la section ci-avant, nous avons choisi d’écrire la pénalité sous
la forme
k
pen(k) = t 2 i .
Dans ce cas précis, on dispose d’une relation permettant soit de passer d’une
famille de (ti) à une pénalité, c’est ce que nous avons fait pour définir notre
critère pénalisé, soit de déterminer la forme des ti à partir d’une pénalité
fixée. Cette relation est la suivante :
i=1
ti = pen(i) − pen(i − 1). (5.15)
Celle-ci s’avère centrale dans ce qui suit puisqu’elle nous permet de
comparer les résultats d’estimateurs obtenus à partir de certains critères
pénalisés avec ceux de l’estimateur FDR. Ainsi, la justification de cette
comparaison vient notamment du papier de 2000 dans lequel Abramovich
et al.[2] nous montrent à quel point l’utilisation d’un seuil qui s’ajuste mal
aux données peut être dramatique. C’est pourquoi nous allons comparer
brièvement les performances de l’estimateur FDR, adaptatif par nature,
avec celles d’estimateurs obtenus à partir de critères pénalisés. Notamment
dans le cadre de travail que nous nous sommes donné, nous disposons de
divers critères, chacun correspondant à un type de pénalité donnée. On
s’intéresse plus particulièrement à la pénalité de Donoho et Johnstone
penDJ(k) = 2kσ2 m log(m), ainsi qu’à celle de Birgé et Massart de type
penBM(k) = kσ2
m
m 1 + 2 log( k ) .
Nous allons dans la suite nous attarder quelque peu sur la façon d’obtenir
ces deux types de pénalités ainsi que sur les résultats qui en découlent, ce
qui pourra nous renseigner quant à l’adaptativité des seuils qui leur sont
associés.
Remarque :
Dans la suite, on se placera exactement dans le cadre décrit précédemment :
on observe des réalisations (yi)i=1,...,m, de variables aléatoires (Yi) définies
par
71

∀i = 1, . . . , m , Yi = µi + σmɛi,
⎧
⎨ ɛi ∼ N (0, 1) iid
avec σm
⎩
µi
connu
∈ R
.
5.2.1 Pénalité de Donoho et Johnstone
C’est dans un rapport technique de Donoho et Johnstone daté de 1992
[9] que la pénalité souhaitée penDJ = 2σmk log(n) trouve son origine. Ce
papier a en fait pour objet l’amélioration des résultats classiques obtenus
par projection sur des espaces de polynômes associés à une partition etc. . .,
dans la reconstruction d’une fonction d’origine à partir d’un signal bruité
en utilisant des bases d’ondelettes. Dans la perspective des auteurs, ces
améliorations notables sont rendues possibles par la production de résultats
minimax, i.e. d’inégalités oracles qui montrent que les estimateurs de type
seuillage dur sont en un certain sens les meilleurs dans l’estimation du
vecteur µ.
Forme de l’estimateur et risque idéal
Seuillage dur D’abord, il paraît nécessaire de rappeler que nous nous
trouvons dans le cas où un certain nombre de composantes de µ sont nulles
ou suffisamment petites en module pour être négligeables. Ceci constitue la
justification du souhait de projeter µ sur un sous-espace de façon, à ne garder
idéalement que les composantes significatives. Cette procédure de projection
doit être valable pour tout µ ∈ R m . On en arrive alors à la conclusion
que le choix des composantes à conserver dépend de l’ordre de celles-ci. En
considérant que si une composante a un niveau de signal inférieur au bruit
σm, on peut la considérer comme nulle (seuil possible parmi d’autres), on ne
conservera que les composantes de module supérieur au niveau σm du bruit
qui parasite l’information. D’où l’”oracle” (procédure d’estimation idéale)
suivant
∀i = 1, . . . , m, µ o σm,i = yi1 {|µi|>σm}. (5.16)
Remarque : L’indice ”o” a pour vocation de signifier qu’il s’agit d’un Oracle.
À partir de l’estimateur µ = y, le raisonnement précédent bâtit un estimateur
µ o σm qui ne conserve la composante de y que si la composante correspondante
de µ, à laquelle nous n’avons pas accès, est suffisamment grande.
L’oracle nous sert donc, au sein d’une famille de procédures possibles, à fabriquer
celle qui sera la plus adaptée à la vraie valeur du paramètre à estimer
sans pour autant avoir accès à celui-ci.
Dans un second temps, nous allons chercher à mimer l’oracle précédemment
obtenu de façon que l’écart entre µ et le nouvel estimateur soit voisin de
72

celui entre µ et l’oracle (qui estime le mieux µ). Or, le seul paramètre inconnu
dans l’expression de l’oracle est µi. On le remplace donc naturellement
par yi, seule valeur dont nous disposions, ce qui nous donne l’estimateur de
seuillage dur suivant pour lequel le seuil est à fixer de façon optimale selon
le critère adopté
∀i = 1, . . . , m, ∀t ∈ (0, 1), µ h t,i(y) = yi1 {|yi|>t}. (5.17)
Remarque :
Au passage, on peut mentionner que le choix de y pour estimer µ n’est pas
anodin. En effet Wolfowitz en 1950 a établi que Y est minimax pour estimer
µ avec Y ∼ N (µ, σ 2 ).
Risque idéal Pour ce qui nous intéresse, nous considérerons la perte quadratique
classique. Un estimateur µ quelconque aura donc un risque associé
Par conséquent, on a la
R(µ, µ) = E µ − µ 2 2 . (5.18)
Définition 5.5 (Risque idéal) en conservant les mêmes notations, nous
appellerons risque idéal le risque calculé pour l’oracle
R o σm (µ) = E µo σm − µ 22 =
m
(µ 2 i ∧ σ 2 m). (5.19)
i=1
Dans la suite, on notera Ro σm (µ) = Rσm(µ).
Inégalité oracle et pénalité
A l’origine, Donoho et Johnstone en 1992 ont obtenu des résultats minimax
pour des estimateurs de type seuillage doux, puis ont établi un théorème
donnant l’extension des propriétés précédentes pour le seuillage dur.
Soit d’abord l’estimateur de type seuillage doux
Il vient alors le théorème suivant
µ s t,i(y) = sign(yi)(|yi| − t) + .
Théorème 5.3 (Inégalité oracle) En conservant les notations
précédentes, pour le seuil t de µ s t(y), on pose
t = tm = σm 2 log m.
Alors, on obtient l’inégalité oracle
sup
µ∈R m
E µ s tm (y) − µ 2 2
Rσm(µ) + σ 2 m
≤ 2 log(m) (1 + om→∞(1)) . (5.20)
73

Ainsi à un facteur 2 log(m) près, l’estimateur par seuillage doux µ s t se
comporte, en termes de risque, aussi bien que l’oracle plus le terme de
variance et ce, uniformément sur R m .
À partir de ce résultat, il paraît légitime de se demander si la borne
en 2 log(m) est améliorable. Le théorème suivant répond alors à cette
question.
Théorème 5.4 (Optimalité de la borne)
inf
bµ
sup
µ∈R m
E µ − µ 2 2
Rσm(µ) + σ 2 m
∼ 2 log(m) . (5.21)
Combiné avec la relation (5.20), ce résultat indique que tout amélioration de
la borne en (2−ɛ) log(m), ɛ > 0 est impossible. Il ressort donc que parmi les
types d’estimateurs décrits au début de la partie 5.2.1, µ s tm est le meilleur,
au sens de celui qui mimer le mieux l’oracle.
Enfin, la raison pour laquelle Donoho et Johnstone ont produit ces résultats
pour le seuillage doux est que Bickel dans des travaux antérieurs en 1983
avait étudié ce type d’estimateur. Cependant comme nous l’avons déjà dit,
seuillage doux et dur se comportent à peu près de ma même façon, du moins
en termes d’inégalités oracle et nous obtenons donc le résultat suivant :
Théorème 5.5 (Inégalité oracle et seuillage dur) Avec les mêmes notations
et pour un seuil λm voisin de σm 2 log(m), on a
où Lm ∼ 2 log m et
pour γ > 0.
sup
µ∈R m
E µ h λm (y) − µ 22 Rσm(µ) + σ2 m
(1 − γ) log(log m) ≤ λ 2 m − 2 log m ≤ o(log m),
≤ Lm , (5.22)
En somme, les travaux de Donoho et Johnstone ont abouti à déterminer le
seuil optimal pour lequel µ h √
est le meilleur : σm 2 log m. C’est là essentiellement
le sens des travaux de Donoho et Johnstone. Pour ce qui nous
concerne, la pénalité recherchée va découler de ce seuil, mais n’est qu’artificielle
puisqu’elle ne contribue pas au seuillage, mais est plutôt à appréhender
comme un élément a posteriori qui permet une comparaison avec d’autres
critères pénalisés basés eux sur des pénalités. Ainsi en utilisant la même
démarche que lors de la détermination du seuil FDR, on dispose d’un ensemble
de seuils possibles : les ti. Puisqu’on désire que pour tout i, le seuil
74

√
soit optimal, on fixe alors tous les ti à σm 2 log m et on arrive ainsi à la
pénalité souhaitée : ∀k ∈ {1, . . . , m},
Remarques :
penDJ(k) =
k
i=1
t 2 i
= 2kσm log m.
– C’est donc le calcul du seuil optimal qui détermine la pénalité.
– Il semble néanmoins que cette façon de présenter les choses soit un
peu artificielle puisque l’essentiel réside dans la détermination du seuil
adéquat. L’intervention de la pénalité a plus pour vocation de fournir
un moyen de comparaison entre les différentes approches par inégalités
oracles.
– Enfin, on remarque que le rang à partir duquel on ne considère plus
les µi comme significatives n’intervient pas dans le seuil. Cela laisse
penser que l’estimateur qui découle aura moins un caractère adaptatif
que l’estimateur FDR par exemple.
A présent, nous allons nous attacher à présenter le point de vue de Birgé
et Massart qui déterminent d’abord, à la différence de Donoho et Johnstone,
une pénalité dont on peut déduire ensuite un seuil optimal.
5.2.2 Approche de Birgé et Massart
Afin de présenter le point de vue de Birgé et Massart, nous allons
pour un moment travailler dans un cadre un peu plus général qui
est celui de la sélection de modèle. On adopte la présentation de Birgé
et Massart, dans leur article de 1999 [8] ainsi que dans les notes de St Flour .
Sélection de modèle
Partant de notre problème d’estimation de µ ∈ R m , on pose M, une collection
de sous-ensembles de {1, . . . , m}. Soit ensuite pour tout w ∈ M, Sw
le sous-espace de R m engendré par les (ϕλ)λ∈w, où les ϕλ sont les vecteurs de
la base canonique. À chaque Sw correspond l’entier Dw = |w| sa dimension,
avec la convention que dans le cas w = ∅, Sw = {0} et Dw = 0.
On donne ensuite la
Définition 5.6 (Risque minimax) On définit le risque minimax de l’estimation
de µ sur Sw par
R(Sw, σ) = inf
bµ
sup
µ∈Sw
75
Eµ µ − µ 2 ,

où . désigne la norme euclidienne.
Remarque : la dépendance en σ vient du fait que tout µ est, par définition,
fonction de Y qui dépend de σ.
Stratégie :
La raison d’être de notre collection de modèles M est la suivante. En
pratique, il est parfois difficile de choisir entre différents types de modèles
paramétriques que seraient censées suivre les variables d’intérêt. La sélection
de modèle nous permet de produire une procédure qui va choisir au sein
d’une liste de modèles jugés vraisemblables, celui qui correspond le mieux
au problème posé. On procède donc en deux étapes :
1. pour chaque modèle w, on détermine le meilleur estimateur µw ∈ Sw
dont le comportement va traduire la qualité d’approximation du
modèle.
2. on compare ensuite selon un critère donné la qualité des estimateurs
pour chaque modèle de façon à déterminer ( w, µ bw) où w représente le
modèle correspondant au meilleur estimateur.
Choix du meilleur représentant pour Sw
Dans ce qui suit, on note µw, la projection orthogonale de µ sur Sw.
Dans la base des ϕλ, on a
µw =
〈µ, ϕλ〉.
λ∈ w
Cependant µ n’étant pas accessible, on remplace µ inconnue par Y de façon
à obtenir une projection empirique de µ sur Sw :
µw =
〈Y, ϕλ〉. (5.23)
λ∈ w
Birgé et Massart montrent alors que cet estimateur est optimal du point de
vue minimax et obtiennent
Eµ µw − µ 2 = µw − µ 2
+ σ
(1)
2 Dw ,
(5.24)
(2)
qu’il s’agit donc de minimiser en w conformément à notre objectif.
Remarque : Le premier terme est un terme de biais qui traduit la capacité
du modèle w à approcher la vraie valeur µ. Le deuxième terme traduit la
richesse du modèle : un modèle comportant par exemple un grand nombre
de variables sera riche, mais fera croître la dimension Dw. Ainsi, on voit le
compromis à trouver dans la recherche du meilleur modèle.
76

Idée fondatrice : heuristique de Mallows
Nous sommes cependant obligés de constater que µ étant inconnue, µw
n’est pas non plus accessible. Mallows en 1964 a eu alors l’idée de réécrire
(5.24) sous la forme
µw − µ 2 + σ 2 Dw− µ 2 = − µw 2 + σ 2 Dw. (5.25)
Bien que µw soit toujours autant inconnue, on dispose d’un estimateur sans
biais de sa norme au carré :
µw 2 − σ 2 Dw. (5.26)
Ainsi au lieu de minimiser Eµ µw − µ 2 en m, on va chercher à minimiser
le critère empirique suivant
critσ(w) = crit(w) = − µw 2 +2 σ 2 Dw, (5.27)
en ayant l’espoir que le w qui découle se rapproche du w(µ) idéal, calculé à
partir de µ inconnue. Le critère qui va garantir cette proximité est alors une
inégalité oracle dans laquelle va intervenir le membre de droite de la relation
(5.24). Dans la terminologie de Birgé et Massart, on a
Définition 5.7 (Oracle) on notera ao(µ, σ) l’oracle défini par
µw − µ 2 + σ 2
Dw . (5.28)
ao(µ, σ) = inf
w∈ M
Il s’agit là de la meilleure valeur que peut prendre le risque considéré en prenant
en compte la vraie valeur de µ, pour la collection de modèles choisis.
Cependant comme le précisent les auteurs, ce critère de Mallows ne fonctionne
bien que pour des collections de modèles pas trop grosses (|M| pas
trop grand). Par conséquent, on va reprendre la forme générale à laquelle
on avait abouti (5.27), en voyant le terme 2σ 2 Dw comme un terme correctif
(pénalité) qu’il suffit de modifier pour obtenir des résultats convenables
indépendant du nombre de modèles. On adopte donc une forme plus générale
pour cette expression :
crit(w) = − µw 2 +penBM(w), (5.29)
où penBM(w) reste à déterminer.
Remarque :
La minimisation de ce critère, pour ce qui nous intéresse, va fournir un
minimiseur de
µ − µw 2 +penBM(w),
qui est analogue au critère pénalisé (5.11). On pourra alors y appliquer la
pénalité que nous allons calculer.
77

Choix d’une stratégie
Birgé et Massart sont parvenu à montrer dans le cadre gaussien le résultat
suivant qui explicite une contrainte que doit satisfaire la pénalité, afin d’obtenir
un résultat minimax qui non asymptotique à la différence de certains
résultats de Donoho et Johnstone.
Théorème 5.6 (Minimaxité dans le cas gaussien) Avec les notations
adoptées, on pose (Lw)w∈ M ∈ R + , une famille de poids vérifiant
Σ =
w/ Dw>0
exp(−DwLw) < +∞ . (5.30)
Pour tout w ∈ M, et une constante K > 1, on suppose que
pen(w) ≥ Kσ 2 Dw(1 + 2Lw) 2 . (5.31)
Alors, il existe presque sûrement un estimateur pénalisé ˜µ = µ bw, où w est
un minimiseur de (5.29), tel que ˜µ est unique.
De plus, il existe des constantes c1 et c2 dépendant de K telles que
2
Eµ ˜µ − µ
≤ c1 ao(µ, σ) + c2σ 2 Σ , (5.32)
où a0(µ, σ) = infw∈ M µw − µ 2 + pen(w) .
Plusieurs choses :
– la condition K > 1 est incontournable, sous peine de bornes non informatives.
– on obtient une première condition sur la forme de la pénalité.
– les poids Lw sont censés permettre de pondérer les modèles par
exemple pour privilégier les petites dimensions pour Sw. En fait de
la même façon que dans un cadre bayésien on utilise las informations
a priori dans le modèle, il est possible de privilégier les modèles pour
lesquels on pense que l’approximation est la meilleure.
Choix des poids D’abord, on donne la
Définition 5.8 (Stratégie) Avec les notations de ce qui précède, une
stratégie est une famille au plus dénombrable (Sw, Lw)w∈ M, où Lw ≥ 0, ∀ w
et telle que
Σ =
exp(−DwLw) < +∞
w/ Dw>0
Une stratégie caractérise donc la façon dont on modélise et solutionne le
problème. Encore une fois, tout comme dans le cas bayésien on a le choix
entre une loi non informative et une loi qui exploite une information a
priori, on peut opter dans notre cas pour des poids constants, indépendants
78

de w, ou des poids variables. Il est à noter que le cas des poids constants
nous ramène aux estimateurs de type seuillage dur qui apparaissent
naturellement comme solutions d’un problème d’optimisation de même
qu’on récupère les résultats de Donoho et Johnstone [9].
Nous allons regarder à présent ce que donne le cas de poids variables.
Remarque : Il paraît raisonnable que l’apport d’une information
supplémentaire (choix des poids) contribue à un critère pénalisé meilleur en
cela qu’il donne un seuil plus souple que celui de Donoho et Johnstone.
Le choix de poids variables Lw = L(|w|) (le poids dépend de la dimension)
nous conduit à l’inégalité ci-après
Σ =
≤
m
k=1
m
k=1
m
exp[−kL(k)]
k
exp
−k[ L(k) − 1 − log( m
k
) ] . (5.33)
Remarque : le terme m
k vient du fait qu’on compte le nombre de modèles
de taille k parmi tous les
modèles possibles de dimension au plus m. Plus
sous-espaces vectoriels de dimension k dans Rm .
particulièrement, on a m
k
À présent en choisissant L(k) = 1 + log( m
k ) + log 2, on arrive à Σ ≤ 1.
Puis, on va choisir une pénalité vérifiant
pen(w) ≥ Kσ 2 Dw(1 + 2Lw) 2 ).
Il vient après calculs
a0(µ, σ) ≤ inf µ − µw
w∈ M
2 +σ 2
Dw
inf
w∈ M
1 + log( 2m
Dw
) . (5.34)
Enfin, on associe (5.32) et (5.34) pour aboutir à la forme souhaitée :
2
Eµ ˜µ − µ
≤ C1 µ − µw 2 +σ 2
Dw 1 + 2 log( m
) + C2σ 2
,
où C1 et C2 sont des constantes dépendant de K.
Remarques :
– Il est donc possible de prendre un terme de pénalité de la forme
penBM(w) = σ 2
Dw 1 + 2 log( m
) ,
d’où on déduit un seuil t bw.
79
Dw
Dw
(5.35)

– Avec le terme en log( m ) au lieu de log(m) dans le cas de Donoho et
Dw
Johnstone (poids constants), la borne que nous venons d’obtenir est
une amélioration notable.
– il faut enfin voir que la pénalité sous sa forme pen(w) = kσ2 (1 +
2 log( m )) est issue de majorations assez grossières. Aussi dans la pra-
Dw
tique, il est plus intéressant de l’écrire de la façon suivante
pen(w) = kσ 2
κ1 + κ2 log( m
) , (5.36)
Dw
où κ1 et κ2 sont des constantes à calibrer par simulation.
Conclusion partielle À la lumière de leur construction, les seuils de Donoho
et Johnstone ainsi que de Birgé et Massart ne sont pas à proprement
parlé ”adaptatifs” puisqu’ils ne tiennent pas compte des données : en cela,
le FDR leur est préférable. Cependant, le seuil de Birgé et Massart découle
d’un modèle qui est plus ”souple” en cela qu’il prend en compte davantage de
paramètres que celui de Donoho et Johnstone. Il s’adaptera donc mieux aux
différents cas de figure rencontrés, qu’un seuil invariable ne tenant compte
que de la dimension du paramètre à estimer. D’ailleurs, la plus grande flexibilité
du modèle de Birgé et Massart est confirmée par l’étude théorique de
la provenance de ces critères, étude qui montre que le seuil de Donoho et
Johnstone n’est qu’un cas particulier de celui de Birgé et Massart (poids
constants).
Des simulations dont nous n’avons pas pu rendre compte ici confirment cela
et indiquent que le seuil de Donoho et Johnstone est plus conservatif que
les deux autres, tandis que le seuil de Birgé et Massart a tendance à surestimer
le seuil réel. C’est finalement le FDR qui fournit en règle générale
les meilleurs résultats.
80

Chapitre 6
Directions de travail
6.1 Estimation de π0
Comme nous l’avons vu assez souvent dans ce qui précède, le fait que π0
soit inconnu est à l’origine d’une perte de puissance lors du contrôle du FDR.
L’estimation de cette proportion semble donc un enjeu important dans la
suite. On peut par exemple mentionner comme estimateur possible de π0 la
pente de la droite obtenue par régression sur t ↦→ G(t) quand t ”proche de
1”, estimateur aux prorpiétés mal ou pas connues.
Néanmoins, l’amélioration dans ce domaine ne réside pas forcément dans la
production d’un n-ième estimateur de π0, mais plutôt dans la localisation
d’un segment de [0, 1] dans lequel les probabilités critiques suivent dans leur
immense majorité une loi uniforme. En disposant d’une telle zone d’uniformité,
nous avons alors accès à une meilleure estimation de π0. Pour cela,
nous pouvons procéder par simulations afin de bâtir un critère basé sur l’estimateur
de Storey et qui a pour but la détection de cette zone d’uniformité
dans [0, 1].
On peut envisager de se servir de l’estimation de F afin de déterminer à
partir de quel seuil l’approximation de Storey nous donnant π0λ est valable
(moins λ est optimal, plus le biais de l’estimateur est grand).
Il est peut-être possible d’obtenir des renseignements sur π0 à partir des
équations au point fixe des procédures plug-in en utilisant les estimateurs
de G et F.
6.2 Densités
La densité des probabilités critiques sous H1 constitue également une
quantité de grand intérêt comme nous avons pu le voir notamment lors de
la partie deux. Cela représente de plus une autre possibilité d’approche pour
l’estimation de π0. Pour cela, on peut penser que l’estimation par noyaux
pondérés à poids adaptatifs pourrait fournir une estimation plus fine de f1.
81

il faut noter que pourtant, ce sujet a été peu ou pas abordé jusqu’à présent.
Nous pouvons aussi envisager le cas où f0 n’est pas continue et voir les
résultats qu’il est alors possible d’obtenir. Il faut se rappeler que Storey et
al. [20] ont déjà obtenu quelques résultats à ce sujet.
6.3 Cas de dépendance connue
Il est également envisageable de traiter des cas particuliers où la structure
de dépendance est connue. Ainsi, c’est ce qui est fait par Benjamini et al.
[7] où est définie la propriété PRDS que nous allons à présent définir avant
d’en présenter une application aux profils CGH pour un premier résultat.
6.3.1 La propriété de PRDS
Cette propriété de Positive Regression Dependence on Subset (PRDS) a
été notamment étudiée par Benjamini et Yekutieli dans leur article de 2001
[7]. Pour l’introduire, on donne d’abord la définition suivante.
Définition 6.1 (Ensemble croissant) Soit D ⊂ R, x, y ∈ R. Alors D est
dit croissant si
Puis :
x ∈ D et y ≥ x ⇒ y ∈ D.
Définition 6.2 (PRDS sur un ensemble d’indices) Soit X, un vecteur
aléatoire de R n , I ⊂ {1, . . . , n}, et D un ensemble croissant de R n . Alors on
dit que X vérifie la propriété de PRDS sur I si
∀i ∈ I, x ↦−→ P r(X ∈ D|Xi = x) est croisante.
Il se trouve que bien que ce type de dépendance paraisse abstrait au premier
abord, Benjamini et Yekutieli (2001) ont montré que si X est un vecteur
aléatoire gaussien multivarié tel que :
∀i ∈ {1, . . . , n}, µi ≥ 0,
où µ est le vecteur de moyenne de X, et si sa matrice de covariance a par
exemple tous ses termes positifs, alors X vérifie le PRDS sur {1, . . . , n}.
Remarque : on peut utiliser des résultats analogues pour contrôler le FDR
dans le cadre de modèles MA(2) par exemple, comme nous le verrons en
application aux profils CGH.
82

Motivation de l’étude du PRDS En 2001, Benjamini et al.[7] donnent
le théorème suivant qui met en évidence que dans un certain cas de
dépendance connue, le contrôle du FDR par la procédure BH demeure.
Théorème 6.1 (Procédure BH et PRDS) Si la loi jointe des statistiques
de test est PRDS sur le sous ensemble des statistiques de test sous
H0, alors le FDR est contrôlé par la procédure BH au niveau α m0
m ·
La conséquence est évidente : il suffit de déterminer les cas pour lesquels la
propriété de PRDS est vérifiée afin de pouvoir contrôler le FDR au niveau
souhaité.
Normale multivariée Benjamini et Yekutieli étudient ensuite quelques
cas de lois classiques pour lesquelles ils parviennent à montrer que la propriété
de PRDS est vérifiée. Ainsi, il vient la
Proposition 6.1 (Test unilatéral et normale multivariée) Soit Y ∼
N (µ, Σ) où µ ∈ (R∗ +) m et Σ ∈ S ++
m (R). On teste pour tout i ∈ {1, . . . , m},
H0 : µi = 0 contre H1 : µi > 0.
Soit I0 l’ensemble des indices des composantes de µ correspondant à l’hypothèse
nulle.
On suppose de plus que
Alors, Y est PRDS sur I0.
∀i ∈ I0 et ∀j = i, Σi,j ≥ 0.
Remarque : Nous attirons l’attention du lecteur sur le fait qu’on a supposé
les composantes de µ positives.
Nous allons à présent exploiter les résultats ci-avant démontrés dans ??.
6.3.2 Profils CGH
Le problème est le suivant. Dans le cas de cellules cancéreuses par
exemple, on désire savoir si la maladie a un effet sur cetaines parties de
chromosomes, i.e. si certaines de ces parties sont délétées ou amplifiées par
la maladie (cf.figure 6.1).
Souvent, on suppose l’indépendance des BACs (Bacterial Artificial
Chromosomes) dans le modèle que l’on pose. Pour ce qui nous concerne,
l’objectif est de déterminer en fonction des log-ratios des niveaux d’expression
de chaque BAC, quelles sont les parties de chromosomes qui sont
délétées ou amplifiées et ce, en introduisant de la dépendance spatiale entre
les BACs. En effet, si deux BACs sont géographiquement voisins et même
très proches, si l’un est délété, il y a davantage de chances que son voisin le
soit aussi plutôt qu’un BAC qui en est très éloigné.
83

log 2 rat
3
2
1
0
−1
−2
Deleted segment
Amplified segments
Unaltered segment
1.57 1.58 1.59 1.6 1.61 1.62 1.63 1.64 1.65 1.66 1.67
x 10 6
−3
genomic position
Fig. 6.1 – Exemple de profil CGH : on a représenté les log-ratios des niveaux
d’expression en fonction de la position géographique des bouts de chromosomes,
appelés par abus de lagage BAC (Bacterial Artificial Chromosome).
Nous posons un modèle de type MA(2) qui introduit, au niveau de
ce qui ce passe en un point, de la dépendance vis-à-vis de ce qui se passe
pour ses deux plus proches voisins. Nous attirons immédiatement l’attention
du lecteur sur le fait que dans le modèle MA(2), la dépendance a lieu sur
les erreurs et non sur les observées.
Soit t1, . . . , tm les abscisses des m BACs correspondants. Pour chaque
i ∈ {1, . . . , m}, Yti
i.
On a alors
représente le log-ratio des niveaux d’expression du BAC
∀i ∈ {1, . . . , m}, Yti = µti + ɛti + f(|ti − ti−1|) ɛti−1 + g(|ti − ti + 1|) ɛti+1 ,
(6.1)
où (ɛti ) i.i.d. ∼ N (0, 1) et où f et g sont deux fonctions positives.
Dans ces conditions, la matrice de covariance a pour expression
⎛
⎞
⎜
Σ = ⎜
⎝
1 + f 2 + g 2 f + g fg 0 . . . 0
f + g
fg
0
.
. ..
. ..
. ..
. ..
. ..
. ..
. ..
. ..
. ..
. ..
. ..
. ..
. ..
. ..
. ..
. ..
. ..
. ..
. ..
. ..
.
. .. 0
. .. fg
. .. f + g
0 . . . 0 fg f + g 1 + f 2 + g 2
⎟ . (6.2)
⎟
⎠
Ainsi, à la fois l’hypothèse d’indépendance et le fait que f et g soient positives
84

assurent la propriété PRDS pour le vecteur Y + , composé des coordonnées
de Y pour lesquelles µi ≥ 0 de même que pour son analogue Y − . On peut
alors détecter au niveau α souhaité les gènes différentiellement exprimés.
Remarque : La positivité de f et g trouve sa justification notamment dans
l’examen de données réelles observées.
6.4 Motifs exceptionnels
Enfin, Pacifico et al.[15] achève leur article de 2004 en mentionnant une
application du FDR qui nous semble intéressante. Il s’agit de ce qu’ils appellent
”scan clustering”. Le cadre est le suivant. En astronomie notamment,
l’une des questions d’intérêt en présence d’une image de l’espace est d’y
repérer les clusters (amas) de galaxies. Ainsi, on modélise communément
les galaxies comme les occurences d’un processus ponctuel (imagnons un
processus de Poisson) et on cherche à détecter de telles zones à partir du
comptage du nombre d’occurences de ce processus dans une fenêtre de taille
fixée que l’on déplace sur l’image. Pacifico et al. nous expliquent alors qu’en
pareille situation, on procède au test de H0 : il n’y a aucun cluster contre
H1 : il y a des clusters.
Plus formellement, (Yi)i=1,...,m les occurences d’un processus ponctuel sur
S = [0, 1] 2 , d’intensité
ν : S −→ R+ .
s ↦→ ν(s)
Soit S0 la zone de S où il n’y a aucun cluster. Sur cette zone, ν(s) = ν0. Mais
si s ∈ S0, alors ν(s) > ν0. Pour tout point s ∈ S, on teste alors H0,s : s ∈ S0
contre H1,s : s ∈ S0. les auteurs proposent alors un chap aléatoire de la
forme
X(s) = 1
n
n
Kh(s − Yk),
k=1
où Kh désigne par exemple un noyau gaussien sur [0, 1] 2 et h représente les
paramètres de la fenêtre :
h2 h = 1 0
.
0 h 2 2
Il est alors possible d’appliquer les techniques et résultats vus sur les
champs aléatoires afin d’obtenir un contrôle des faux clusters détectés par
la procédure.
Remarques :
– il y a tout un travail portant sur les critères de choix des statistiques
utilisées, sur les noyaux et les types de fenêtres employés, travail qui
n’a été que partiellement voire pas du tout effectué (choix de la fenêtre
de façon à minimiser le FNR par exemple).
85

– on pourrait peut-être tenter d’appliquer ces méthodes à la dimension
un, dans l’optique de détecter des motifs exceptionnels au sein d’une
séquence, d’autant que ceux-ci ont le bon goût d’être peu nombreux
par rapport à la longueur de la séquence prise en compte.
86

Chapitre 7
Annexe
7.1 Preuve du chapitre 1
Preuve du théorème 1.1 La preuve de Benjamini et al. repose sur le
Lemme 7.1 La procédure BH implique l’inégalité suivante
F P
E
R ∨ 1 | Pm0+1
= p1, . . . , Pm = pm1 ≤ m0
α , (7.1)
m
où m1 = m−m0, Pm0+1, . . . , Pm désignent les m1 probabilités critiques sous
H1 ordonnées, p1, . . . , pm étant leurs réalisations.
En effet, il suffit clairement de prendre l’espérance pour aboutir au résultat.
Preuve du lemme :
F P
Nous allons procéder par récurrence sur m. On pose Q = R ·
1. Si m = 1, (0 ≤ m0 ≤ m)
soit m0 = 0 Q = 0.
soit m0 = 1 E(Q | m0 = m) = P r(P ≤ α | m0 = m) = α
(application de la procédure BH et sous H0, P ∼ U(0, 1)).
d’où le résultat pour m = 1.
2. On suppose le résultat vrai pour tout m ′ ≤ m.
3. Montrons la propriété au rang m + 1.
Hypothèses et notations :
– P ′ 1 , . . . , P ′ m probabilités critiques sous H0.
– les (P ′
)i=1,...,m0 i sont indépendantes.
– on rappelle p1 ≤ p2 ≤ . . . ≤ pm1 .
– soit (∆) j0 = max{1 ≤ j ≤ m1/pj ≤ m0+j
m+1 α} si il existe et 0 sinon.
– soit () p ′′ = m0+j0
m+1 α.
87

1 er cas : m0 = 0
2 e cas : m0 > 0
Q = 0, d’où le résultat.
D’abord, les (P ′
i )i≤m0 sont i.i.d. ∼ U(0, 1). D’où (P ′ (1) , . . . , P ′ (m0) ) ∼
m0! 1 {0≤p ′ (1) ≤...≤p ′ (m 0 ) ≤1} et P ′ (m0)
L’idée va être de conditionner par P ′ (m0)
p ′′
=
+
0
1
p ′′
∼ m0p m0−1 déf
= f(p).
= p :
E (Q | Pm0+1 = p1, . . . , Pm = pm1 )
E Q | P ′ (m0) = p, Pm0+1
= p1, . . . , Pm = pm1 f(p)dp (7.2)
E Q | P ′ (m0) = p, Pm0+1
= p1, . . . , Pm = pm1 f(p)dp (7.3)
Cette décomposition étant écrite, on procède en deux temps, en étudiant
d’abord (7.2) puis (7.3).
– pour (7.2) p ≤ p ′′ :
1. si j0 = 0
p ≤ p ′′ ⇒ P ′ (m0)
2. si j0 ∈ {1, . . . , m1}
m0α
≤
m + 1 < (m0 + 1)α
m + 1 < p1 < . . .
⇒ rejet de m0 + j0 = m0 p − valeurs
D’où 2 cas de figures :
– soit P ′ (m0+j0)α
(m0) ≤ pj0 ≤ m+1 ·
– soit pj0 ≤ P ′ (m0)
p ≤ p”” ⇒ P ′ (m0) ≤ (m0 + j0)α
m + 1
≤ (m0+j0)α
m+1
·
Dans le premier cas, m0 + j0 − 1 p-valeurs précèdent pj0 qui
est alors la m0 + j0-ième p-valeur. On rejette alors m0 + j0 − 1
p-valeurs.
Dans le second cas, P ′ (m0) est précédé de m0 + j0 − 1 p-valeurs
sinon, j0 + 1 vérifierait (∆) ce qui est exclu. Donc, on rejette
m0 + j0 hypothèses.
88

Conséquence :
p ≤ p ′′ implique le rejet de m0 + j0 hypothèses, dont dans tous les cas,
les m0 hypothèses H0 incluses. Donc
Conclusion partielle :
Q = m0
·
m0 + j0
(7.2) = m0
p
m0 + j0
′′ m0
m0
≤
m0 + 1 α p′′ m0−1
·
Remarque : si j0 = 0, m0 > 0 assure la cohérence (m0 + j0 > 0).
– pour (7.3) p > p ′′ :
1. j0 = 0
Alors
m0
m + 1 α < p = P ′ (m0) et m0 + 1
m + 1
α < p1
donnent que P ′ (m0) est la m0-ième p-valeur de l’ensemble des probabilités
critiques.
Conséquence :
impossible de trancher quant à un éventuel rejet car cela dépend
des m0 − 1-ièmes p-valeurs précédentes qu’on ne connaît pas.
2. j0 ∈ {1, . . . , m}
Alors p > p ′′ ⇒ P ′ (m0)
D’où deux possibilités :
– soit pj0
– soit pj0
> m0+j0
m+1 α.
m0+j0 ≤ m+1 α < P ′ (m0) ≤ pj0+1 ,
m0+j0 ≤ m+1 α < pj0+1 < P ′ (m0)
= p ·
Conséquence :
dans les deux cas (y compris si j0 = 0), on ne peut conclure quant au
rejet éventuel d’un gène.
Conclusion partielle :
Pour qu’il y ait un k vérifiant la relation de la procédure BH, il faut que
k ≤ m0 + j0 − 1.
Donc pour (7.3), si les p-valeurs sont notées cette fois p (1) ≤ . . . ≤ p (m+1),
l’hypothèse H0,i ne pourra être rejetée que si
qui équivaut à
∃ i ≤ k ≤ m0 + j0 − 1/ p (k) ≤ k
m + 1 α,
p (k)
p ≤
k
m0 + j0 − 1
89
m0 + j0 − 1
p(m + 1)
α · (7.4)

On cherche à présent à réduire la dimension du problème de façon à
appliquer l’hypothèse de récurrence.
On rappelle d’abord que ∀i ∈ {1, . . . , m0 − 1}, L P ′
i /p | P ′
(m0) = p =
U(0, 1), puis que ∀j ∈ {1, . . . , j0} (j0 > 0), pj/p correspond à des gènes H1.
Remarque : les pj/p pour j ≤ j0 sont dans [0, 1]. En effet,
∀j ∈ {1, . . . , j0}, 0 < m0 + j pj
α <
p(m + 1) p ≤ m0 + j0 α p′′
=
m + 1 p p
– si j0 ∈ {1, . . . , m1} :
En posant
< 1 .
α ∗ = m0 + j0 − 1
α, (7.5)
p(m + 1)
on s’aperçoit qu’appliquer la relation de la procédure BH aux m0 +
j0 − 1 premiers gènes revient à rejeter Hi si
∃ k ∈ {i, . . . , m0 + j0 − 1}/ p (k)
p ≤
k
m0 + j0 − 1 α∗ .
on dispose donc de m0 − 1 vraies hypothèses nulles et j0 fausses. La
relation (7.5) définit ainsi une procédure BH appliquée à m0 +j0 −1 <
m + 1 hypothèses au niveau α ∗ . on peut alors appliquer l’hypothèse
de récurrence.
On obtient alors que
E Q | P ′ (m0) = p, Pm0+1
= p1, . . . , Pm0+j0 = pj0 ≤ m0 − 1
m0 + j0 − 1 α∗ ≤ m0 − 1 α
m + 1 p ,
et donc
E Q | P ′ (m0) = p, . . . , Pm+1
= pm1
≤ m0 − 1 α
· (7.6)
m + 1 p
En effet,
1. E Q | P ′ (m0) = p, Pm0+1
= p1, . . . , Pm0+j0 = pj0
= E Q | P ′ (m0) = p, ˜ Pm0+1 = p1/p, . . . , ˜
Pm0+j0 = pj0 /p .
2. ∀j > j0,
Pj ne joue aucun rôle dans le rejet éventuel de H0,i.
D’où E Q | P ′ (m0) = p, Pm0+1
= p1, . . . , Pm0+j0 = pj0
= E Q | P ′ (m0) = p, . . . , Pm+1
= pm1 .
90

Pour finir,
(7.3) =
1
p ′′
E Q | P ′ (m0) = p, . . . , Pm+1
= pm1 f(p)dp ≤ m0
m + 1 α(1−p′′ ) m0−1
.
Ainsi en réunissant (7.2) et (7.3), on aboutit à
m0
E (Q | . . . , Pm+1 = pm1 ) ≤
m + 1 α (p′′ (1 − p ′′ )) m0−1 m0
≤ α ·
m + 1
– si j0 = 0
on n’a aucune fausse hypothèse nulle. l’hypothèse de récurrence s’ap-
plique encore et il vient
E
Q | P ′
(m0) = p
≤ m0 − 1 α
m + 1 p ·
le résultat découle de la même façon que précédemment.
7.2 Preuves du chapitre 3
7.2.1 Preuve du lemme 3.2
Preuve :
Pour ce qui est de la filtration, on vérifie aisément que pour t < s, Fs ⊂ Ft.
Puis pour déterminer la loi de F P (t) | F P (s), on va calculer
P r(F P (t) = k | F P (s) = n), k ∈ {0, . . . , n}.
D’abord, on a F P (s) = m
i=1 1 {Pi≤s}1 {H0(i)=0}.
D’où,
P r(F P (t) = k | F P (s) = n) =
=
1
P r(F P (s) = n)
1
P r(F P (s) = n)
j1,...,jm
j1,...,jm
P r
P r ⎝
Puis sachant l’événement B = {Pj1 ≤ s, . . . , Pjn ≤ s, H0(j1) =
0, . . . , H0(jn) = 0}, les Pji , i = 1, . . . , n sont n variables aléatoires
indépendantes de loi U(0, s). En effet, on a d’abord que
P r(Pji ≤ t | B) = P r(Pji ≤ t | Pji ≤ s, H0(ji) = 0) (indépendance)
= P r( Pji
s
= t
s ,
≤ t
s | Pji ≤ s, H0(ji) = 0)
91
n
i=1 1 {Pj i ≤s}1 {H0(ji)=0} = k,
n
i=1 1 {Pj i ≤s}1 {H0(ji)=0} = n
⎛
n
i=1 1 {Pj i ≤s}1 {H0(ji)=0} = k,
Pj1 ≤ s, . . . , Pjn ≤ s,
H0(j1) = 0, . . . , H0(jn) = 0
⎞
⎠ ·

puis que si i = k, P r(Pji ≤ t, Pjk ≤ s | B) = P r(Pji ≤ t | B)P r(Pjk ≤ s |
B), également par indépendance des Pj.
D’où il vient naturellement que F P (t) | F P (s) ∼ B(F P (s), t/s), ∀t < s.
Enfin ∀t < s, on a
F P (t)
E | F P (s)
t
7.2.2 Preuve du théorème 3.3
Preuve :
On étudie donc avec Tα = tα(
= 1
E (F P (t) | F P (s))
t
= 1
s F P (s) espérance d′ une binomiale.
F DRλ=0),
F P (Tα)
F DR(Tα) = E
·
(R(Tα) ∨ 1)
Or, R(Tα) = Tαm
α .
En effet,
– si Tα = Pi, alors l’égalité est évidente.
– si par contre, Tα = Pi, alors pour t assez proche de Tα par valeurs
inférieures, on a
F DRλ=0(Tα)
= Tα m t m
≤ ≤ α.
R(Tα) R(t)
Enfin, si
F DRλ=0(Tα) < α, t ↦→
t m
R(t)
par morceaux, il existe t ′ > Tα tel que t′ m
R(t ′ )
(R(t ′ ) = R(Tα)).
Ainsi donc,
F P (Tα) α F P (Tα)
= ·
(R(Tα) ∨ 1) m Tα
F P (t)
étant croissante et continue
≤ α, ce qui est exclu
De plus, nous avons vu que t est une martingale inverse. Si on considère
la martingale associée arrêtée en Tα, temps d’arrêt, celle-ci est bornée par
m/α. En effet,
mt
– si t > Tα, on obtient d’abord R(Tα)∨1 > α, puis
∀t > Tα,
F P (t)
t
92
≤
F P (t)m m
≤ · (7.7)
α(R(t) ∨ 1) α

– si t = Tα, il vient
F P (Tα)
= F P (Tα)m
Alors le théorème d’arrêt implique finalement que
Tα
m
≤ · (7.8)
α(R(Tα) ∨ 1) α
F DR(Tα) = α F P (Tα)
=
m Tα
α
m E[F P (1)] = π0α . (7.9)
Il reste donc juste à voir que Tα est bien un temps d’arrêt pour la filtration
inverse (Fs) s∈[0,1], ce qui découle du fait que ∀t ∈ [0, 1],
{Tα ≥ t} =
Enfin,
s > t,
s = p (i),
i = 1, . . . , m
d’où le résultat.
s>t
=
s > t,
s = p (i),
i = 1, . . . , m
{ F DRλ=0(s)
≤ α} ∪ { F DRλ=0(t)
≤ α}
{ F DRλ=0(s)
≤ α} ∪
∪ {
F DRλ=0(t) ≤ α} .
{ F DRλ=0(s)
≤ α} =
i=1,...,m
s > t,
s = p (i),
i = 1, . . . , m,
s ∈ Q+
7.2.3 Forme des estimateurs π g
0 et F DRλ(t)
Heuristique de π0(λ)
Au seuil λ fixé, la proportion de gènes rejetés est
m − R(t)
m
= 1 − Gm(λ)
= Gm(1) − Gm(λ)
G(1) − G(λ).
{ F DRλ=0(p
(i)) ≤ α}
{ F DRλ=0(s)
≤ α},
Or, on fait l’hypothèse que les gènes H1 ont des probabilités critiques proches
de 0. Donc pour λ assez grand, on peut considérer qu’il n’y a plus de probabilité
critique H1, d’où f1 | [λ,1] = 0 et F1(λ) = 1. Ainsi pour un tel λ,
G(λ) = π0λ + (1 − π0), ce qui conduit à la relation
dont on déduit π g
0 (λ).
1 − Gm(λ) = π g
0 (λ)(1 − U(λ)), (7.10)
93

Limite de F DRλ(t)
Il est désormais clair que pour t et λ dans [0, 1], F DRλ(t) s’écrit
F DRλ(t) =
Or dans le cas uniforme, on avait
F P (t)
R(t)
F P (t) = ♯{i/Pi ≤ t, H0(i) = 0}
F DR(t). (7.11)
= m0 ♯{i/Pi ≤ t, H0(i) = 0}/m0
m π0(λ) P r(Pi ≤ t|H0(i) = 0)
= m π0(λ) t .
De la même façon, si F0 = Id désigne la fonction de répartition des probabilités
critiques sous H0, on a :
F P (t) = m π g
0 (λ) F0(t) . (7.12)
Il arrive donc l’estimateur de Storey [20] suivant :
Ainsi d’après 7.10, quand m → ∞
et donc
π0(λ) g −−−−→
m→∞
F DRλ(t) −−−−→
m→∞
=
F DRλ(t) =
m πg 0 (λ) F0(t)
R(t)
= πg 0 (λ) F0(t)
·
Gm(t)
F0(t)
G(t)
7.2.4 Relation entre a et G
1 − G(λ)
1 − F0(λ)
(1 − F0(λ))π0
1 − F0(λ) + (1 − F1(λ))(1 − π0)
·
1 − F0(λ)
(1 − F0(λ))π0
1 − F0(λ) + (1 − F1(λ))(1
− π0)
· (7.13)
1 − F0(λ)
Preuve de la proposition 3.1 :
Soit ΓF = { b/(b, Hb) ∈ OF }.
Remarque :
– Comme la notation l’indique, on a choisit d’accentuer la dépendance
de H par rapport à b.
94

– Dans ce qui suit, les notations ”F ′ ” sont à prendre au sens de l’existence
d’une dérivée de Radon-Nikodym. À aucun moment, on ne suppose
que la densité sous H1 est continue.
D’abord, ∀b ∈ ΓF et ∀t ∈ [0, 1], F ′ (t) = (1 − b) + bH ′ b (t), ce qui implique
que
b ≤ sup{
t
F ′ (t) − 1
},
− 1
d’où
Ensuite,
Or,
ce qui permet de conclure.
H ′ b
ζ ≤ b ≤ 1 − inf
t F ′ (t), (H ′ b ≥ 0).
1 − inf
t F ′ (t) = b[1 − inf
t H′ b (t)].
F (t) ≥ t, ∀t ⇒ ∃t/ H ′ b (t) ≤ 1
⇒ inf
t H′ b (t) ≤ 1
⇒ 1 − inf
t F ′ (t) ≤ ζ,
7.2.5 Normalité asymptotique de F DP (t)
Preuve du théorème 3.15 :
D’abord, on considère l ∞ , l’ensemble des fonctions bornées sur (δ, 1]
muni de la norme infinie, puis
r : l ∞ × l ∞ → l ∞
(f, g) ↦→ f
f + g .
Alors en Θ = ((1 − a)U + aF ), r est Fréchet différentiable avec
Puis l’étude du couple (
√
m ( F P (t)
r ′ ((1−a)U+aF ) (V1, V2) = aF V1 − (1 − a)UV2
G 2
m
F P (t)
m
V P (t)
, m ) montre que
V P (t)
, ) − ((1 − a)t, aF (t)) (W1, W2),
m
95

où (W1, W2) processus
gaussien bi-dimensionnel centré de matrice de cova-
(1 − a)(s ∧ t) − (1 − a) 2st −(1 − a)saF (t)
riance Γ(s, t) =
−(1 − a)taF (s) aF (s ∧ t) − a2
.
F (s)F (t)
D’où l’application de la méthode delta donne que
√
m r[(
F P (t)
m
d’où le résultat.
V P (t)
, )] − r[((1 − a)t, aF (t))] r
m ′ (1−a)F0+aF [(W1, W2)],
96

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