Polycopié de P. TEYSSANDIER. - Observatoire de Paris

Master “Sciences de l’Univers et techniques spatiales”
Niveau M1
Introduction aux théories relativistes
et à leurs applications
Rédaction provisoire du cours de l’année 2008-2009
Pierre Teyssandier
Observatoire de Paris,
Département SYRTE/CNRS-UMR 8630

Table des matières
1 Notions préliminaires 4
1.1 Observateurs. Objets. Particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Notion de variété. Variété des événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Fonctions scalaires. Hypersurfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Courbe différentiable sur une variété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Coïncidence d’événements. Ordre temporel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.7 Horloges standard. Temps propre. Ligne d’univers d’une particule . . . . . . . . 10
2 Champs de vecteurs. Champs de tenseurs 12
2.1 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Champs de vecteurs covariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Définition générale des champs de tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Exemples de champs de tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 Addition et multiplication des tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6 Contraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.7 Critères de tensorialité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.8 Tenseurs symétriques et tenseurs antisymétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.9 Composantes covariantes et contravariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Espace-temps de Minkowski 28
3.1 Principes fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Lois de transformation des coordonnées galiléennes . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Mouvement relatif de deux référentiels galiléens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4 Intervalle entre deux points-événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5 Classification des intervalles. Cône isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.6 Lignes d’univers du genre temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.7 Temps propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Cinématique relativiste 47
4.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2 Transformations spéciales de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3 Loi de composition relativiste des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.4 Aberration de la lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.5 Effet Doppler-Fizeau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1

5 Dynamique relativiste (I) 62
5.1 Principe d’équivalence des référentiels galiléens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.2 Quantité de mouvement et énergie cinétique d’une particule isolée . . . . . . . . 63
5.3 Energie d’une particule. Inertie de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.4 Relations entre l’énergie et la quantité de mouvement d’une particule . . . . . . 67
5.5 Particules de masse nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.6 Loi fondamentale de la dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.7 Particule chargée dans un champ électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.8 Un exemple : mouvement d’une charge dans un champ magnétique constant
uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6 Dynamique relativiste (II) 75
6.1 Quadri-vecteur vitesse unitaire d’une particule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.2 Quadrivecteur impulsion-énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.3 Quadrivecteur accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.4 Loi de la dynamique en formalisme quadridimensionnel . . . . . . . . . . . . . . 75
6.5 Dynamique des milieux continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7 Gravitation et relativité 76
7.1 La théorie newtonienne de la gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.2 Analyse critique de la théorie newtonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.3 Introduction des théories métriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.4 Une conséquence de l’approximation newtonienne : l’effet Doppler gravitationnel 86
7.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8 Notion d’approximation postnewtonienne des théories métriques 90
8.1 Notion d’approximation postnewtonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
8.2 Quels termes faut-il retenir à l’approximation postnewtonienne ? . . . . . . . . . 92
8.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
9 Quelques effets classiques prévus par les théories métriques 95
9.1 Temps de propagation d’un rayon lumineux entre deux points . . . . . . . . . . 95
9.2 Équations des géodésiques d’une métrique à symétrie sphérique statique . . . . . 100
9.3 Déviation de la lumière par une masse à symétrie sphérique . . . . . . . . . . . . 102
9.4 Avance séculaire du périhélie d’une planète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.5 Que faire pour aller plus loin ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
10 La relativité générale 112
10.1 Les équations d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
10.2 La métrique de Schwarzschild extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
10.3 Forme isotropique de la métrique de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
10.4 Géodésiques de la métrique de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
10.5 Déviation des rayons lumineux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
10.6 Avance séculaire du périhélie d’une planète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
10.7 Horizon et trou noir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2

A Espaces affines. Espaces euclidiens 128
A.1 Espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
A.1.1 Définition d’un espace affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
A.1.2 Repère d’un espace affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
A.1.3 Changements de repères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
A.2 Espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
A.2.1 Définition d’un espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
A.2.2 Espace euclidien rapporté à un repère orthonormé . . . . . . . . . . . . . 132
A.3 Espace proprement euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
A.4 Espace-temps de Minkowski de dimension n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
B Analyse tensorielle 135
B.1 Caractère non intrinsèque de la dérivation partielle usuelle . . . . . . . . . . . . 135
B.2 Dérivation covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
B.3 Expression explicite de la dérivée covariante d’un champ de tenseurs arbitraire . 137
B.4 Connexion linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
B.5 Conséquences fondamentales des formules de transformation des coefficients de
connexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
B.6 Dérivée covariante totale le long d’une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
B.7 Transport par parallélisme le long d’une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
B.8 Courbes autoparallèles d’une connexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
C Connexion et courbure sur une variété riemannienne 146
C.1 Connexion riemannienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
C.2 Géodésiques d’une variété riemannienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
C.3 Tenseur de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
C.4 Propriétés du tenseur de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
C.5 Tenseur de Ricci. Scalaire de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
C.6 Opérateurs différentiels sur une variété riemannienne . . . . . . . . . . . . . . . 157
C.7 Quelques relations utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
C.8 Applications à l’espace euclidien à 3 dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
D Quantité de mouvement et énergie cinétique d’une particule isolée 163
D.1 Détermination de la fonction M
m, v2
c2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
D.2 Détermination de la fonction Ec m, v2
c2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Bibliographie sommaire 168
3

Chapitre 1
Notions préliminaires
Nous présentons dans ce chapitre un certain nombre de notions ou d’hypothèses fondamentales
que l’on croit souvent spécifiques des théories relativistes, alors qu’elles sont en réalité
parfaitement applicables aux conceptions galiléennes ou newtoniennes. Il en est ainsi de notions
comme celle de variété des événements ou de temps propre 1 , par exemple.
1.1 Observateurs. Objets. Particules
Observateurs.— Toute science de la nature suppose l’existence d’observateurs. De prime
abord, la notion d’observateur est anthropomorphique : elle correspond bien entendu à l’existence
d’êtres humains capables de percevoir le monde et de communiquer entre eux. Mais pour
les besoins de la physique, on doit élargir cette notion et lui donner une assise plus objective en
considérant comme observateur tout système physique très localisé dans l’espace susceptible de
détecter, de mesurer, d’enregistrer tel ou tel type de phénomènes ou encore d’émettre ou recevoir
des signaux. Un appareil photo, un spectroscope, un détecteur de particules, une antenne radio,
etc. peuvent être regardés comme des observateurs.
Objets.— Les objets sont les entités qui servent de sources communes aux mesures ou aux
observations de plusieurs observateurs. La réunion de tous les objets constitue l’univers objectif.
Particules.— Un grand nombre d’objets étudiés en physique peuvent être considérés comme
composés d’objets plus simples. Tel est le cas d’un noyau atomique, d’une planète, d’une étoile,
etc. Il existe cependant des situations dans lesquelles, au moins pour une certaine classe d’observateurs,
les objets d’étude n’ont pas besoin d’être analysés (ou ne sont pas analysables) en
termes de composants. On dit que de tels objets sont des particules pour cette classe d’observateurs.
On notera qu’un même objet peut être perçu soit comme une particule soit comme un
ensemble de constituants selon la catégorie d’observateurs à laquelle on se réfère dans les
modélisations. Un cosmologiste, par exemple, considère une galaxie comme une particule du
gaz cosmique, alors qu’un astrophysicien voit cette galaxie comme un ensemble constitué de
1 Ce qui ne signifie pas que la définition du temps propre soit la même en relativité et en théorie newtonienne.
4

milliards d’étoiles. Cette absence d’objectivité de la notion de particule nous rappelle que la notion
d’échelle d’observation et de description est un présupposé indispensable de toute démarche
scientifique et que toute théorie est un schématisation dont la validité est limitée 2 .
1.2 Événements
Événements.— Nos perceptions nous montrent que des changements se produisent dans
l’univers objectif. Lorsque ces changements sont soudains et affectent des objets d’extension spatiale
négligeable, on parle d’événements. Là encore, l’échelle d’observation joue un rôle crucial.
Un cosmologiste peut considérer l’explosion d’une supernova comme un événement, alors qu’un
astrophysicien cherchant à modéliser la vie des étoiles massives voit dans un tel phénomène un
ensemble prodigieusement complexe d’événements nucléaires...
Les changements affectant des particules perçus comme parfaitement soudains peuvent
être regardés comme des événements ponctuels ou points-événements. Cette notion de pointévénement
(ou événement en abrégé) est devenue centrale en physique avec l’avènement des
théories relativistes, et nous y ferons constamment appel dans ce cours.
Selon notre intuition la plus banale, tout événement x peut se voir attribué une coordonnée
“temporelle” ou date t et une localisation au moyen de trois coordonnées “spatiales”. Il est
donc naturel de représenter tout événement par un point d’un espace mathématique à quatre
dimensions que l’on désignera par V4.
La modélisation la plus simple consisterait à poser que cet espace V4 est le produit cartésien
d’une copie de IR représentant un axe de temps absolu par une copie d’un espace euclidien réel à
trois dimensions E3 considéré comme l’espace physique universel, indépendant des observateurs :
V4 = IR×E3. Cependant, cette conception s’est avérée incompatible avec l’expérience et l’observation,
et il a fallu l’abandonner. Aujourd’hui, on formule la physique relativiste sur des espaces
V4 qui ressemblent de manière seulement locale à l’espace ponctuel IR 4 . On bénéficie ainsi d’une
généralité suffisante dans la construction tout en sauvegardant toutes les possibilités de l’analyse
mathématique usuelle (dérivation, intégration, résolution de systèmes d’équations différentielles,
champs de vecteurs, etc.). De tels espaces V4 sont appelés des variétés différentielles réelles de
dimension 4.
1.3 Notion de variété. Variété des événements
Nous ne chercherons pas ici à définir rigoureusement la notion de variété différentielle. Nous
nous contenterons d’énoncer les propriétés d’une variété qu’il est indispensable de connaître
pour comprendre la suite.
La première propriété fondamentale est qu’à chaque point x0 ∈ V4 on peut associer un
voisinage U de x0 qu’on peut “cartographier” sur l’espace IR 4 . On entend par là qu’il existe
une bijection ϕ de U sur IR 4 . Ainsi, on peut attribuer à tout x de U un quadruplet et un
seul de nombres réels ϕ(x) = (x 0 ,x 1 ,x 2 ,x 3 ) et réciproquement, à tout quadruplet de nombres
2 Soulignons que les particules considérées ici comme des objets sans structure discernable par une classe
d’observateurs sont traités comme des objets macroscopiques, et non comme des objets de la microphysique.
5

éels (x 0 ,x 1 ,x 2 ,x 3 ) correspond un et un seul point x de U, de sorte qu’on peut poser x =
ϕ −1 (x 0 ,x 1 ,x 2 ,x 3 ). Le doublet (U,ϕ) constitué par le voisinage U et la bijection ϕ s’appelle une
carte locale ou encore un système de coordonnées locales. U est appelé le domaine de la carte
locale et les quatre nombres réels (x 0 ,x 1 ,x 2 ,x 3 ) sont les coordonnées locales du point x ∈ U.
Pour abréger, on désignera désormais le quadruplet (x 0 ,x 1 ,x 2 ,x 3 ) par (x α ) (ou (x β ), ..., (x µ ),
...), les indices grecs α, β, ..., µ, ... pouvant prendre les valeurs 0, 1, 2, 3.
Voyons maintenant la seconde propriété fondamentale. Supposons que le point x considéré
ci-dessus appartienne également au domaine U ′ d’une autre carte locale (U ′ ,ϕ ′ ). Dans cette
autre carte locale, x admet des coordonnées locale ϕ ′ (x) = (x0′ ,x1′ ,x2′ ,x3′ ) = (xρ′ ) . Puisqu’il
y a correspondance biunivoque entre un point et ses coordonnées locales dans une cartographie
donnée, les coordonnées xρ′ sont des fonctions des coordonnées x µ et réciproquement les
coordonnées x µ sont des fonctions des coordonnées xρ′ . On peut donc écrire
et
x ρ′
= F ρ′
(x 0 ,x 1 ,x 2 ,x 3 ) = F ρ′
(x α ) (1.1)
x µ = F µ (x 0′
,x 1′
,x 2′
,x 3′
) = F µ (x β′
). (1.2)
Les fonctions F ρ′ et F µ définissent ce qu’on appelle des formules de transformation des
coordonnées locales.
L’espace V4 est muni d’une structure de variété différentielle lorsque les fonctions F ρ′ (xα ) et
F µ (xβ′ ) admettent des dérivées partielles continues de n’importe quel ordre3 quelles que soient
les cartes locales dont les domaines U et U ′ ont une intersection non vide.
Il faut noter que le caractère inversible des fonctions F ρ′ et F µ nécessite en outre que
les déterminants des matrices jacobiennes ∂F ρ′ /∂x µ et ∂F µ /∂xρ′ soient = 0 en tout point de
l’intersection U ∩ U ′ . On supposera donc qu’en chaque point x ∈ U ∩ U ′
ce qui équivaut à supposer
dét
dét
ρ ∂F ′
∂x µ
µ ∂F
∂x σ′
x
x
= 0, (1.3)
= 0. (1.4)
Désormais, nous supprimerons systématiquement le recours aux fonctions F µ et F ρ′ et nous
écrirons les formules de transformation (1.1) et (1.2) sous la forme
et
Nous poserons en outre
x ρ′
∂xρ′ ρ′ ∂F
= ,
∂x µ ∂x µ
= x ρ′
(x µ ) (1.5)
x µ = x µ (x ρ′
). (1.6)
∂x µ
∂x σ′ =
∂F µ
∂x σ′ , (1.7)
3 On dit que ces fonctions sont indéfiniment différentiables ou encore de classe C ∞ ). C’est pourquoi les
variétés différentielles introduites ici devraient être dites de classe C ∞ , mais nous omettrons systématiquement
cette précision pour abréger.
6

de sorte que les conditions (1.3) et (1.4) s’écrivent respectivement
et
dét
dét
ρ ∂x ′
∂x µ
µ ∂x
∂x σ′
x
x
= 0 (1.8)
= 0. (1.9)
Les transformations de coordonnées indéfiniment différentiables vérifiant les conditions (1.3)-
(1.4) ou (1.8)-(1.9) sont dites admissibles.
La variété de dimension 4 la plus simple est évidemment l’espace IR 4 muni de la carte
locale (U,ϕ) dont le domaine U est IR 4 lui-même et ϕ est l’identité. On parle toujours de cette
structure lorsqu’on mentionne la variété IR 4 sans autre précision.
Lorsque nous parlerons d’une variété V4 pour représenter l’espace des points-événements,
nous appellerons V4 une variété des événements ou encore une variété fondamentale. L’espacetemps
d’une théorie sera constitué par une telle variété munie d’une structure mathématique
spécifique de la théorie considérée. Par exemple, l’espace-temps de la relativité restreinte est
la variété IR 4 munie de la métrique de Minkowski. L’espace-temps générique de la relativité
générale sera une variété V4 munie d’une métrique g dynamiquement liée au contenu énergétique
de l’univers par les équations d’Einstein.
1.4 Fonctions scalaires. Hypersurfaces
En physique, il est indispensable de pouvoir utiliser des fonctions. La définition et la manipulation
des fonctions sur une variété différentielle ne sont pas plus compliquées que sur l’espace
géométrique usuel. Il faut simplement se souvenir que l’on procède maintenant sur des domaines
de cartes locales, au lieu de l’espace tout entier. Cette remarque vaut pour toutes les notions
que nous allons être amenés à définir ci-dessous.
Fonction scalaire.— Une fonction scalaire à valeurs réelles sur une variété différentielle
V4 est une application f : V4 → IR. Très souvent, on se contentera d’appeler f une fonction
(sur V4).
Nous avons vu dans la section précédente qu’étant donné un point x arbitraire dans V4, il
existe au moins une carte locale (U,ϕ) telle que x ∈ U. Soient (x 0 ,x 1 ,x 2 ,x 3 ) les coordonnées
locales de x dans cette carte. Du fait que x = ϕ −1 (x 0 ,x 1 ,x 2 ,x 3 ), nous pouvons poser
f(x) = f(ϕ −1 (x 0 ,x 1 ,x 2 ,x 3 )) = ¯ f(x α ). (1.10)
L’étude des propriétés locales de la fonction f se ramène donc à l’étude des propriétés de la
fonction de quatre variables réelles ¯ f(x α ). La fonction ¯ f est l’expression de f en coordonnées
locales (x α ) 4 .
4 Dans le langage de la théorie des applications, on a ¯ f = f ◦ ϕ −1 .
7

Bien entendu, si x appartient également au domaine U ′ d’une autre carte locale (U ′ ,ϕ ′ ), on
pourra écrire aussi
les x β′
f(x) = ˆ f(x β′
), (1.11)
étant les coordonnées locales de x dans la carte locale (U ′ ,ϕ ′ ), et on aura bien entendu
¯f(x α ) = ˆ f(x β′
).
Fonction différentiable.— Une fonction scalaire f est dite différentiable au point x de
coordonnées locales xα si son expression ¯ f(xα ) admet en x des dérivées partielles par rapport
à chacune des variables xα .
La fonction f est dite différentiable sur la variété V4 si elle est différentiable en chaque point
x de V4. La règle de dérivation des fonctions composées montre immédiatement que le caractère
différentiable de f en chaque point x ne dépend pas du choix de carte locale.
Pour ne pas nous encombrer de lettres surlignées ou surmontées d’un chapeau, nous poserons
désormais
∂f
∂xα
=
x
¯ f,xα(xµ ) (1.12)
où ¯ f,x α est la dérivée partielle de ¯ f par rapport à x α . Bien entendu, on écrira aussi bien
∂f
∂x β′
x
= ˆ f ,xβ ′(xν′ ) (1.13)
Le théorème de dérivation des fonctions composées fournit immédiatement les relations
∂f
∂x β′
qui peuvent bien entendu s’inverser :
∂f
∂x α
x
x
=
=
3
α ∂x
α=0
∂x β′
3
β ∂x ′
β ′ =0
∂x α
x
x
∂f
∂x α
∂f
∂x β′
x
(1.14)
. (1.15)
x
Hypersurface de V4.— Dans l’espace tridimensionnel usuel, on définit une surface par une
équation du type
f(x,y,z) = K,
où K est une constante réelle. La généralisation de cette notion s’effectue sans difficulté.
On appellera hypersurface de V4 l’ensemble des points x tels que f(x) = K, f étant une
fonction scalaire sur V4 et K une constante. En coordonnées locales x α , l’équation implicite de
l’hypersurface s’écrit
¯f(x α ) = K. (1.16)
L’hypersurface sera dite différentiable si f est différentiable.
Le préfixe hyper traduit simplement le fait que l’ensemble des points de V4 vérifiant la
relation (1.16) est un espace de points tridimensionnel, au lieu d’être un espace bidimensionnel
comme l’est une surface de l’espace usuel.
8

1.5 Courbe différentiable sur une variété
On appelle courbe paramétrée sur la variété V4 une application C : λ → C(λ) de IR dans V4.
En coordonnées locales x µ , un point C(λ) est représenté par quatre nombres (C µ (λ)). On dit
que les quatre équations
x µ = C µ (λ) (1.17)
constituent les équations paramétriques locales de la courbe C.
La courbe C est dite différentiable si les fonctions C µ (λ) sont des fonctions différentiables
de λ.
1.6 Coïncidence d’événements. Ordre temporel
Après cet intermède mathématique, revenons à la physique.
Coïncidence d’événements.— Nous considérons comme primitive la notion de coïncidence
de deux événements : deux événements a et b seront dits coïncider s’ils surviennent à la
même place et au même moment. La notion de simultanéité impliquée dans cette définition est
objective parce que a et b surviennent au même endroit. En revanche, il est impossible d’affirmer
que deux événements a et b se produisant en deux lieux différents sont simultanés sans
convention préalable.
Ordre temporel.— Les notions de particules et de coïncidence d’événements permettent
de définir indépendamment d’une convention ce que l’on doit entendre par l’affirmation “a
précède b 5 . Pour cela, adoptons comme axiome que les seuls événements susceptibles d’affecter
une particule sont soit l’apparition de cette particule, soit sa disparition 6 . Cet axiome s’accorde
bien avec la notion de particule considérée comme une entité sans structure par une certaine
classe d’observateurs.
Nous pouvons maintenant définir la relation “a précède b” comme signifiant qu’il existe une
séquence de particules P1, P2, ..., Pn telle que a coïncide avec l’apparition de P1, la disparition
de P1 coïncide avec l’apparition de P2, ..., la disparition de Pn coïncide avec b. Autrement dit, a
précède b si et seulement si b est la disparition d’une chaîne ininterrompue de particules apparaissant
en a (fig. 1.1). Cette définition implique évidemment que l’apparition d’une particule
précède toujours sa disparition. Elle entraîne également de manière immédiate que la relation
a précède b est transitive : si a précède b et b précède c, alors a précède c. La relation a précède
b est donc une relation d’ordre, que nous noterons :
a b ⇐⇒ a précède b. (1.18)
On peut bien entendu définir la relation “a précède b au sens strict”, soit a ≺ b, par
a ≺ b ⇐⇒ a b et a = b. (1.19)
5 Voir par ex. S. A. Basri, A Deductive Theory of Space and Time (North-Holland, Amsterdam, 1966).
6 Nous préférons les termes d’apparition et disparition plutôt que création et annihilation pour rester cohérents
avec la vision essentiellement macroscopique adoptée ici.
9

a
P
2
P 1
P
3
Fig. 1.1 – L’événement a précède l’événement b.
En nous inspirant d’une terminologie couramment employée en relativité, nous dirons qu’il
existe une séparation du genre temps (ou encore temporelle) entre deux points-événements a et b
si a précède b ou si b précède a. Plus généralement, nous dirons qu’une courbe de l’espace-temps
est du genre temps si quels que soient les points x et y de cette courbe infiniment voisins, x et
y ont une séparation du genre temps.
1.7 Horloges standard. Temps propre. Ligne d’univers
d’une particule
Horloges standard.— Du point de vue intuitif, une horloge est un système physique
susceptible de délivrer localement un signal regardé comme rigoureusement périodique et de
compter les périodes. Une horloge permet donc non seulement de déterminer des intervalles
de temps, mais aussi d’assigner des dates à des événements survenant à l’horloge elle-même, à
condition bien entendu de prendre un événement de l’histoire de l’horloge comme origine du
comptage des périodes.
Pour être plus précis et faire le lien avec ce qui a été exposé plus haut, nous posons qu’une
horloge H est un système physique très localisé qui génère et compte une séquence d’événements
a1, a2, ..., an, ... ordonnés par la relation d’ordre ≺ : a1 ≺ a2 ≺ ... ≺ an ≺ .... Les horloges
considérées ici sont des idéalisations d’horloges réelles, dont l’exactitude et la stabilité seraient
tenues pour parfaites. De plus, nous supposons qu’elles sont toutes rigoureusement de même
construction, et fondées sur le même type d’atomes s’il s’agit d’horloges atomiques, par exemple.
Nous dirons que ces horloges sont des horloges standards, dont l’ensemble sera noté Hs.
Les intervalles de temps séparant deux événements consécutifs ai, ai+1 sont alors regardés
comme égaux par définition. On appelle période propre de l’horloge H la durée de ces intervalles
de temps égaux. On définit une unité de temps propre comme la durée d’un nombre entier N
10
b
P
4
P
5

fixé de périodes consécutives. L’entier N est appelé la fréquence propre de l’horloge. Mesurée
avec l’unité de temps choisie, la valeur commune de toutes les périodes est le nombre T donné
par
T = 1
. (1.20)
N
Temps propre.— On admet comme un axiome qu’à toute particule P on peut associer une
horloge standard HP ∈ H coïncidant avec P à tout instant : on dit que P et HP sont comouvantes.
Nous dirons que le temps τ généré par HP depuis un événement origine a0 constitue
par définition le temps propre de la particule P écoulé depuis l’événement a0 appartenant à
l’histoire de la particule (fig. 3). En principe, il faudrait préciser que le temps propre ainsi
défini est relatif à la classe d’horloges standards Hs, mais on admettra ici que toutes les classes
d’horloges standards réalisent le même temps propre, à un changement d’unité près bien entendu.
Il faut toutefois noter que cette unicité de la réalisation du temps propre ne va pas de
soi et fait actuellement l’objet de nombreuses recherches tant théoriques qu’expérimentales.
Lignes d’univers.— Les notions de variété des événements et de temps propre introduites
ci-dessus permettent de définir ce qu’on appelle la ligne d’univers d’une particule.
Définition 1.7.1 Soit P une particule. On appelle ligne d’univers de cette particule la courbe
CP de la variété fondamentale V4 qui au temps propre τ de la particule fait correspondre le
point-événement occupé par la particule à l’instant τ.
La ligne d’univers d’une particule est donc une courbe paramétrée par le temps propre de
la particule 7 . Il résulte de ce qui a été dit plus haut que la ligne d’univers d’une particule
quelconque est toujours une courbe du genre temps. On appelle aussi cette ligne l’histoire de
la particule.
Il est évident que quels que soient les points-événements a et b sur CP on a soit (i) a coïncide
avec b, soit (ii) a précède b, soit (iii) b précède a. Il est dès lors clair que la relation a précède b
est une relation d’ordre sur la ligne d’univers de chaque particule.
Bien entendu, la notion de ligne d’univers s’étend sans difficulté aux observateurs, dans
la mesure où on peut les assimiler à des objets d’extension spatiale négligeable, donc à des
particules.
7 En fait, on prend souvent comme paramètre le temps propre multiplié par une constante bien choisie.
En relativité, par exemple, on prend généralement comme paramètre la quantité s = cτ, où c est la vitesse
invariante.
11

Chapitre 2
Champs de vecteurs. Champs de
tenseurs
La description des interactions physiques nécessite l’emploi de champs de vecteurs et de
champs de tenseurs sur la variété des événements. Le but de ce chapitre est de dégager les
définitions et les règles de calcul algébrique de ces champs. Ici encore, nous nous contenterons
de développer une approche intuitive.
2.1 Champs de vecteurs
Considérons deux points-événements infiniment voisins situés dans un même domaine de
carte locale U. Pour faire court, nous désignerons ces points respectivement par x et x + dx.
Ces points ont pour coordonnées locales respectives x µ et x µ +dx µ . Admettons comme point de
départ intuitif que les accroissements infiniment petits dx µ peuvent être considérés comme les
composantes d’un vecteur infinitésimal. Effectuons une transformation de coordonnées locales
admissibles telle que (1.5). En différenciant, on obtient les relations
dx ρ′
3
ρ ∂x
=
µ=0
′
∂x µ
dx
x
µ , (2.1)
qui peuvent être lues comme une loi de transformation des composantes d’un vecteur.
Dans ce qui suit, toutes les opérations sont effectuées en un point x donné. C’est pourquoi
nous omettrons désormais l’indice x dans les formules de transformation. En outre, nous
utiliserons systématiquement la convention suivante pour alléger l’écriture :
Convention d’Einstein.— Toute expression dans laquelle figure un même indice une fois
en position haute et une fois en position basse doit être comprise comme une somme effectuée
sur l’indice répété. Ainsi :
AµB µ 3
= AµB
µ=0
µ , AµνB µν 3 3
= AµνB
µ=0 ν=0
µν , etc. (2.2)
12

Nous écrirons donc les relations (2.1) sous la forme
dx ρ′
= ∂xρ′
∂x µ dxµ . (2.3)
La transformation inverse de (2.3) est obtenue en échangeant les rôles des x µ et des xρ′ encore en différenciant (1.6) :
ou
dx µ = ∂xµ
. (2.4)
∂xσ′ dx σ′
En substituant (2.3) dans (2.4) après avoir changé l’indice ρ ′ en σ ′ , il vient
ce qui entraîne les relations
dx µ = ∂xµ
∂x σ′
∂x µ
∂xσ′ où δ µ ν est le système de quantités défini par
∂xσ′ dxν
∂xν ∂x σ′
∂x ν = δµ ν , (2.5)
δ µ ν = 1 si µ = ν, δ µ ν = 0 si µ = ν. (2.6)
Lorsqu’on échange les rôles des coordonnées x µ et xρ′ , il vient :
∂x ρ′
∂x ν
∂x ν
∂x σ′ = δ σ′
ρ ′ , (2.7)
où δσ′ ρ ′ est défini par la même convention que δµ ν.
Les relations (2.5) et (2.7) sont fondamentales en analyse tensorielle, comme on aura l’occasion
de le voir dans la suite. On notera qu’elles expriment simplement que les matrices
jacobiennes (∂x µ /∂xσ′ ) et (∂xρ′ /∂xν ) sont inverses l’une de l’autre.
Ce qui précède nous conduit à proposer la définition suivante.
Définition 2.1.1 On appelle champ de vecteurs sur un domaine de V4 tout objet représenté
en coordonnées locales x α par un système de fonctions V µ (x) qui se transforment selon la loi
V ρ′
(x) = ∂xρ′
∂x µ V µ (x) (2.8)
lorsqu’on effectue le changement de coordonnées locales admissibles défini par (1.5).
En échangeant le rôle de coordonnées x µ et xρ′ , on obtient la loi de transformation :
V µ (x) = ∂xµ
∂x ρ′ V ρ′
(x). (2.9)
Les fonctions V µ (x) sont par définition les composantes du champ de vecteurs V dans le
système de coordonnées locales x α .
13

Vecteur tangent à une courbe.— Revenons à la courbe C définie par les équations
paramétriques (1.17) dans le domaine U d’ un système de coordonnées locales x µ , les fonctions
C µ (λ) étant supposées différentiables. Considérons un point x0 de la courbe C correspondant à
une valeur λ0 du paramètre et examinons comment se transforment les quatre quantités
v µ x0 =
µ dC (λ)
dλ
λ0
(2.10)
lors d’un changement de coordonnées locales défini par (1.5). Les équations paramétriques de
la courbe C sont dans le nouveau système de coordonnées
où les fonctions Cρ′ (λ) sont définies par
x ρ′
= C ρ′
(λ),
C ρ′
(λ) = x ρ′
(C α (λ)).
D’après le théorème de dérivation des fonctions composées, les quantités
sont données par
v ρ′
x0 =
v ρ′
x0 =
dC ρ ′
(λ)
dλ
ρ ∂x ′
∂x µ
x0
λ0
v µ x0 . (2.11)
La comparaison de cette loi de transformation avec la formule (2.8) montre que les quantités
v α x0 définies par (2.10) sont les composantes d’un vecteur en x0. Ce vecteur est appelé le vecteur
tangent en x0 à la courbe paramétrée C.
2.2 Champs de vecteurs covariants
Il existe cependant un autre type d’objets que l’on considère aussi comme “vectoriels” bien
qu’ils obéissent à une loi de transformation différente de (2.8). Pour le voir, donnons-nous une
fonction Φ définie sur V4. Les composantes du gradient de Φ sont définies en coordonnées locales
x µ par
(gradΦ) µ = ∂Φ
. (2.12)
∂x µ
Examinons comment se transforment ces composantes lorsqu’on effectue le changement
de coordonnées locales défini par (1.5). En utilisant le théorème de dérivation des fonctions
composées, il vient :
∂Φ
∂xρ′ = ∂
∂xρ′ Φ(x µ (x σ′
)) = ∂xµ
∂xρ′ ∂Φ
∂x µ
d’où on déduit la loi de transformation
(gradΦ) ρ ′ = ∂xµ
∂x ρ′ (gradΦ) µ . (2.13)
14

En échangeant les rôles des coordonnées x µ et xρ′ , on obtient :
(gradΦ) µ = ∂xρ′
∂x µ (gradΦ) ρ ′ . (2.14)
Ces lois de transformation sont différentes des lois (2.3 et (2.4). Nous sommes ainsi conduits
à définir un nouveau type de champs vectoriels.
Définition 2.2.1 On appelle champ de vecteurs covariants sur un domaine de V4 un objet φ
représenté en coordonnées locales xα par un système de fonctions φµ(x) qui se transforment
selon la loi
∂xµ
φρ ′(x) =
∂xρ′ φµ(x) (2.15)
lorsqu’on effectue le changement de coordonnées locales admissibles défini par (1.6).
En échangeant le rôle de coordonnées x µ et xρ′ , on obtient évidemment :
φµ(x) = ∂xρ′
φρ ′(x). (2.16)
∂x µ
Les fonctions φµ sont les composantes du champ de vecteurs covariants 1 φ dans le système
de coordonnées locales x α .
2.3 Définition générale des champs de tenseurs
Donnons-nous deux champs de vecteurs X µ et Y ν et examinons comment se transforment
les 4 2 = 16 produits U λµ = X λ Y µ lorsqu’on effectue un changement de coordonnées locales. Il
vient d’après (2.8) :
X ρ′
Y σ′
= ∂xρ′ ∂xσ′
Xλ
∂xλ ∂x µ Y µ = ∂xρ′
∂xλ ∂xσ′ ∂x µ XλY µ . (2.17)
Remplaçons XλY µ par Uλµ dans le troisième membre de (2.17) et posons Uρ′ σ ′
On voit que les quantités Uλµ se transforment selon la loi
U ρ′ σ ′
= Xρ′ Y σ′ .
= ∂xρ′
∂xλ ∂xσ′ ∂x µ Uλµ . (2.18)
Donnons-nous en outre un champ de vecteurs covariants φν. En utilisant (2.15) et (2.17),
on voit immédiatement que les 4 3 = 64 quantités W λµ ν = X λ Y µ φν se transforment selon la loi
W ρ′ σ ′ ∂xρ′
τ ′ =
∂xλ ∂xσ′ ∂x µ
∂x ν
∂x τ ′ W λµ ν. (2.19)
Nous sommes ainsi conduits à considérer une classe d’objets mathématiques bien plus
générale que la classe des champs de vecteurs contravariants ou covariants. Ces objets nouveaux
sont les champs de tenseurs, que l’on peut définir comme suit.
1 Un vecteur covariant est aussi appelé un covecteur.
15

Définition 2.3.1 On appelle champ de tenseurs k fois covariants et l fois contravariants sur
un domaine de V4 tout objet T représenté en coordonnées locales xα par un système de 4k+l ν1...νl
fonctions T (x) qui se transforment selon la loi
µ1...µk
T
ρ ′ 1 ...ρ′ k
σ ′ 1 ...σ′ l
(x) = ∂xµ1
∂x ρ′ 1
· · · ∂xµk
∂x ρ′ k
∂xσ′ 1
∂xν1 · · · ∂xσ′ l
∂xνl ν1...νl Tµ1...µk
(x) (2.20)
lorsqu’on effectue le changement de coordonnées locales admissibles défini par (1.5) et (1.6).
On dit encore que le champ de tenseurs T considéré est de type (k,l). La somme k + l est
appelée l’ordre du tenseur T.
ν1...νl
Les quantités Tµ1...µk
(x) sont appelées les composantes en x du champ de tenseurs T
dans les coordonnées locales xα .
On obtient en échangeant les rôles des coordonnées x µ et xρ′ :
ν1...νl
µ1...µk (x) = ∂xρ′ 1
∂x µ1 · · · ∂xρ′ k
∂x µk
∂xν1 ∂xσ′ · · ·
1
∂xνl
∂xσ′ l
T
T
ρ ′ 1 ...ρ′ k
σ ′ 1 ...σ′ l
(x). (2.21)
Selon la définition 2.3.1, un champ de tenseurs 0 fois covariants et une fois contravariants
peut être considéré comme un champ de vecteurs. C’est pourquoi, par abus de langage, on
appelle souvent champs de vecteurs contravariants les champs de vecteurs introduits dans
la définition 1. Cette terminologie a l’avantage de bien distinguer les champs de vecteurs
proprement dits des champs de vecteurs covariants et, pour cette raison, nous l’utiliserons
fréquemment.
Il résulte également de la définition 2.3.1 qu’un champ de tenseurs une fois covariants et 0
fois contravariants peut être considéré comme un champ de vecteurs covariants.
Enfin, pour la généralité des théorèmes, les fonctions scalaires seront regardées comme des
champs de tenseurs de type (0, 0).
Par souci de concision, nous appellerons souvent les champs de vecteurs ou de tenseurs
simplement “vecteurs” ou “tenseurs”.
2.4 Exemples de champs de tenseurs
Les quantités U λµ et W λµ ν définies dans la section précédente sont des exemples de champs
de tenseurs engendrés par des produits de composantes de vecteurs contravariants ou covariants.
Il existe toutefois une infinité d’autres champs de tenseurs qui ne résultent pas de multiplications
de composantes de champs de vecteurs ou de covecteurs. Nous donnons ci-dessous deux exemples
qui nous seront particulièrement utiles.
Tenseur de Kronecker.— Considérons le système de fonctions K β α(x) définies par
K β α(x) = δ β α. (2.22)
On vérifiera facilement que le système des K β α(x) est un champ de tenseurs, qu’on appelle
le champ de tenseurs de Kronecker d’ordre 2. Par abus de langage, on désigne le champ de
tenseurs K β α(x) par δ β α.
16

Tenseur métrique sur V4.— On définit une métrique sur V4 par la donnée en chaque
point x d’une forme quadratique de différentielles
ds 2 = gµν(x α )dx µ dx ν
(2.23)
dont la valeur est invariante par les transformations de coordonnées admissibles. On suppose
que les quantités gµν sont symétriques par rapport aux indices µ et ν et que la matrice carrée
(gµν) est inversible :
(2.24)
et
gµν = gνµ
dét(gµν) = 0. (2.25)
En substituant (2.4) dans (2.23), on obtient en chaque point x :
ds 2 = gµν(x α )dx µ dx ν = gµν(x α ) ∂xµ
∂x ρ′
∂x ν
∂x σ′ dx ρ′
dx σ′
. (2.26)
Cette équation montre que l’expression de ds2 dans les coordonnées locales xρ′ par la forme quadratique
est donnée
ds 2 = gρ ′ σ ′(x)dxρ′ dx σ′
, (2.27)
où les quantités gρ ′ σ ′ sont reliées aux gµν par la loi de transformation
gρ ′ ∂xµ
σ ′ =
∂xρ′ ∂x ν
∂x σ′ gµν . (2.28)
En comparant (2.28) avec (2.20), on voit que les quantités gµν se transforment comme
les composantes d’un tenseur g deux fois covariant. On notera que les quantités gρ ′ σ ′ sont
symétriques en ρ ′ et σ ′2 .
Une variété V4 munie d’une métrique g est appelée une variété riemannienne. On désigne
une telle variété par le doublet (V4,g). Lorsque la forme quadratique (2.23) est définie positive,
la variété (V4,g) est dite proprement riemannienne 3 .
Produit scalaire.— On voit aisément à partir de la loi de transformation (2.28) qu’à tout
couple de vecteurs X et Y on peut faire correspondre une quantité réelle g(X,Y ) invariante
par les changements de coordonnées en posant :
g(X,Y ) = gµνX µ Y ν . (2.29)
L’application définie par (2.29) est bilinéaire, puisqu’elle est linéaire par rapport à chacun
de ses arguments. Il résulte en effet de la définition même de g(X,Y ) que
g(X + Z,Y ) = g(X,Y ) + g(Z,Y ), g(X,Y + Z) = g(X,Y ) + g(X,Z)
2 On dit que le tenseur g est symétrique (voir Sect. 8).
3 Lorsque la forme quadratique (2.23) n’est pas définie positive, on dit parfois que (V4,g) est pseudoriemannienne.
Nous verrons que les métriques utilisées en relativité appartiennent à cette catégorie.
17

pour tout vecteur Z et que
g(λX,Y ) = g(X,λY ) = λg(X,Y ).
quelque soit le nombre réel λ.
En outre, l’application g est symétrique, puisqu’on a
g(X,Y ) = g(Y,X)
en raison de la symétrie des gµν par rapport aux indices µ et ν. Enfin, l’application g est dite
non dégénérée car la matrice des gµν est inversible par hypothèse.
L’ensemble de ces quatre propriétés caractérise un produit scalaire 4 en chaque point x ∈ V4.
Il en résulte que la donnée d’une métrique induit la donnée d’un produit scalaire en chaque
point de V4. Réciproquement, la donnée d’un produit scalaire en chaque point de V4 définit une
métrique sur V4.
2.5 Addition et multiplication des tenseurs
On peut définir l’addition de deux tenseurs du même type et la multiplication tensorielle
de deux tenseurs de types quelconques.
Addition tensorielle.— Donnons-nous par exemple deux tenseurs deux fois covariants Sµν
et Tµν. On vérifie facilement que la somme des composantes Sµν +Tµν se transforme comme un
tenseur deux fois covariant. En appliquant (2.20), il vient en effet
Sρ ′ σ ′ + Tρ ′ ∂xµ
σ ′ =
∂xρ′ relation dont on déduit immédiatement
∂x ν
∂x σ′ Sµν + ∂xµ
∂x ρ′
∂x ν
∂x σ′ Tµν,
Sρ ′ σ ′ + Tρ ′ ∂xµ
σ ′ =
∂xρ′ ∂xν ∂xσ′ (Sµν + Tµν).
Plus généralement, on peut formuler le théorème suivant.
ν1...νl
ν1...νl
Théorème 2.5.1 Soient Sµ1...µk
et Tµ1...µk deux tenseurs de type (k,l). Les quantités
ν1...νl U définies par
µ1...µk
U
ν1...νl
µ1...µk
= S
ν1...νl
µ1...µk
sont les composantes d’un tenseur de type (k,l).
Le tenseur U de composantes U
ν1...νl
µ1...µk
+ T
ν1...νl
µ1...µk
est appelé la somme des tenseurs S et T.
Multiplication tensorielle.— Donnons-nous maintenant un tenseur deux fois covariant
Sαβ et un vecteur contravariant V µ qui peut être considéré, on l’a vu, comme un tenseur 0 fois
covariant et une fois contravariant. Il est facile de voir que les produits des composantes SαβV µ
4 Soulignons que le produit scalaire associé à une métrique g arbitraire n’est pas nécessairement défini positif.
18

constituent les composantes d’un tenseur mixte de type (2, 1). On peut en effet écrire d’après
(2.20)
Sγ ′
α ∂x ρ′
δ ′V =
∂xγ′ ∂xβ ∂xδ′
ρ ∂x
Sαβ
′
µ
V =
∂x µ ∂xα
∂xγ′ ∂xβ ∂xδ′ ∂xρ′ ∂x µ SαβV µ .
Ce théorème se généralise aisément.
ν1...νl
σ1...σs
Théorème 2.5.2 Soient Sµ1...µk
et Tρ1...ρr deux tenseurs de types respectifs (k,l) et
ν1...νlνl+1...νl+s
(r,s). Les quantités W
définies par
W
µ1...µkµk+1...µk+r
ν1...νlνl+1...νl+s
µ1...µkµk+1...µk+r
= S
ν1...νl
µ1...µk
constituent les composantes d’un tenseur de type (k + r,l + s).
T
µk+1...µk+r
νl+1...νl+s
(2.30)
Le tenseur W défini par (2.30) est appelé le produit tensoriel des tenseurs S et T. On désigne
W par le symbole S ⊗ T, ce qui revient à poser
(S ⊗ T)
ν1...νlνl+1...νl+s
µ1...µkµk+1...µk+r
= S
ν1...νl
µ1...µk
νl+1...νl+s
Tµk+1...µk+r
. (2.31)
On notera qu’à la différence de la multiplication usuelle, T ⊗ S n’est en général pas égal à
S ⊗ T. On a en effet d’après (2.31)
(T ⊗ S)
ν1...νsνs+1...νs+l
µ1...µrµr+1...µr+k
= T
ν1...νs
µ1...µr
expression manifestement différente du second membre de (2.31).
2.6 Contraction
S
νs+1...νs+l
µr+1...µr+k
Il existe encore une autre opération sur les tenseurs, la contraction des indices, qui permet
de définir un tenseur mixte de type (k − 1,l − 1) à partir d’un tenseur mixte de type (k,l)
lorsque k ≥ 1 et l ≥ 1. Etant donné par exemple un tenseur T de type (2, 2), de composantes
T γδ
αβ , considérons les quantités T γ
α obtenues en donnant des valeurs égales aux indices β et δ
et en sommant par rapport à l’indice répété :
T γ
α = T γβ
αβ . (2.32)
Examinons comment se transforment les quantités T γ
α lors d’un changement de coordonnées
locales x µ → xρ′ . On pose par définition
T ρ′
µ ′
= T
ρ ′ ν ′
µ ′ ν ′
Il vient donc en appliquant (2.20) pour transformer T
T ρ′
µ ′
∂xα
=
∂x µ′
∂xβ ∂xν′ ∂xρ′ ∂xγ .
ρ ′ ν ′
µ ′ ν ′
∂xν′ γδ ∂xα
T
∂xδ αβ =
∂x µ′
∂xρ′ ∂xγ ∂xβ ∂xν′ 19
:
∂xν′ γδ
T
∂xδ αβ .
,

D’où, compte tenu de (2.5) :
T ρ′
µ ′
∂xα
=
∂x µ′
∂x ρ′
∂x
δβ
γ δ
T γδ
αβ
= ∂xα
∂x µ′
∂xρ′ γβ ∂xα
T
∂xγ αβ =
∂x µ′
∂xρ′ γ
T
∂xγ α . (2.33)
Ce calcul montre que les quantités T γ
α constituent les composantes d’un tenseur mixte de
type (1, 1).
La généralisation de cette propriété est immédiate et conduit au théorème qui suit.
Théorème 2.6.1 Soit T un tenseur de type (k,l) de composantes
avec k ≥ 1,l ≥ 1. Les quantités
T
ν1...νj−1νj+1...νl
µ1...µi−1µi+1...µk
T
ν1...νj−1νjνj+1...νl
µ1...µi−1µiµi+1...µk
= T
µ1...µi−1ρ µi+1...µk
,
ν1...νj−1ρ νj+1...νl
(2.34)
obtenues en posant µi = νj = ρ et en sommant sur l’indice répété ρ constituent les composantes
d’un tenseur de type (k − 1,l − 1).
L’opération définie par (2.34) s’appelle une contraction de deux indices. Bien entendu, cette
opération peut être effectuée autant de fois qu’il y a de couples d’indices libres, l’un covariant,
l’autre contravariant.
Remarque importante.— Il faut être très attentif à la position des indices que l’on
contracte. Si nous reprenons le tenseur T γβ
αβ examiné ci-dessus, il est clair qu’on peut obtenir
par contraction quatre tenseurs de type (1, 1) qui sont en général différents, à savoir :
T
γ
(1)α
λγ
= Tλα , T
γ
(2)α
γλ
= Tλα , T
γ
(3)α
λγ
= Tαλ , T
γ
(4)α
= T γλ
αλ . (2.35)
Les quatre tenseurs ainsi définis sont parfois appelés premières traces du tenseur mixte
T γβ
αβ .
Une nouvelle contraction des indices libres restants donne maintenant des tenseurs de type
(0, 0), i.e. des fonctions scalaires
T
µ
(1)µ
λµ
= Tλµ , T
µ
(2)µ
µλ
= T λµ , T
µ
(3)µ
λµ
= Tµλ , T
µ
(4)µ
= T µλ
µλ
mais cette opération donne seulement deux fonctions scalaires distinctes, puisqu’on a manifestement
On pourra poser
T λµ
λµ
T(1) = T
µ
(1)µ
µλ
= T µλ et T µλ λµ
λµ = Tµλ .
µ
= T(4)µ
, T(2) = T
µ
(2)µ
= T
µ
(3)µ
. (2.36)
On peut appeler les quantités T(1) et T(2) les secondes traces du tenseur T γδ
αβ . On notera
qu’étant des fonctions scalaires, les traces T(1) et T(2) demeurent invariantes par changement de
coordonnées locales. Nous verrons que leur rôle en physique est capital, notamment en relativité.
Dans le cas d’un tenseur T β
α , il existe une seule première trace définie par
Tr(T) = T α
α . (2.37)
20

On appelle cet invariant simplement la trace du tenseur mixte T β
α . Le plus souvent, on désigne
cette trace par T. Il faut donc veiller à ne pas la confondre avec le tenseur T lui-même.
Multiplication contractée.— En pratique, on est souvent amené à combiner la multiplication
tensorielle et la contraction d’indices appartenant à deux tenseurs différents en facteurs.
Soient par exemple Sαβ et T γδ les composantes de deux tenseurs S et T. Leur produit tensoriel
U = S ⊗ T a pour composantes
U γδ
αβ = SαβT γδ .
Une contraction de U sur un indice appartenant à S et un indice appartenant à T permet
de former les quatre tenseurs mixtes U(1), U(2),, U(3) et U(4) d’ordre 2 suivants :
U γ
(1)α = SλαT λγ , U γ
(2)α = SλαT γλ ,
U γ
(3)α = SαλT λγ , U γ
(4)α = SαλT γλ ,
qui sont en général distincts.
Les produits contractés sur deux couples d’indices donnent seulement deux invariants :
U (1) = U µ
(1)µ = SλµT λµ , U (2) = U µ
(2)µ = SλµT µλ .
On remarquera que la contraction d’un tenseur par rapport à deux (ou 2p) indices peut
toujours être considérée comme une multiplication contractée de T par le tenseur mixte de
Kronecker defini par (2.22). Reprenons par exemple le tenseur T γδ
αβ déjà utilisé ci-dessus. On
peut écrire en effet
etc.
T γλ
αλ
T λγ
αλ
2.7 Critères de tensorialité
γλ
= δβ λTαβ = δλ νT γν
αλ ,
λγ
= δβ λTαβ = δλ νT νγ
αλ ,
La multiplication contractée permet de former un critère général de tensorialité très pratique
pour s’assurer qu’un système de quantités que l’on introduit dans un calcul est un tenseur.
Commençons par un exemple en montrant qu’un système de quantités T α βγε constitue les
composantes d’un tenseur de type (3, 1) si et seulement si quel que soit le tenseur deux fois
contravariant U µν , les quantités T α βγεU βγ sont les composantes d’un tenseur une fois covariant
et une fois covariant.
Le caractère nécessaire de la condition énoncée résulte de ce qui a été dit plus haut de la
multiplication contractée. Pour montrer son caractère suffisant, effectuons une transformation
de coordonnées x µ → xρ′ . Par hypothèse, les quantités T α βγεU βγ se transforment comme les
composantes d’un tenseur une fois covariant et une fois covariant. On a donc d’après (2.20)
T λ′
µ ′ ν ′ ρ ′Uµ′ ν ′
= ∂xλ′
∂xα ∂xε ∂xρ′ T α βγεU βγ . (2.38)
21

Or, U étant un tenseur deux fois contravariant, on peut remplacer les quantités U µ′ ν ′
figurant
dans le premier membre de (2.38) par
Il vient :
U µ′ ν ′
= ∂xµ′
∂x β
∂x ν′
∂x γ Uβγ .
T λ′
µ ′ ν ′ ρ ′
∂x µ′
∂xβ ∂xν′ ∂xγ Uβγ = ∂xλ′
∂xα ∂xε ∂xρ′ T α βγεU βγ . (2.39)
Les équations (2.39) devant être satisfaites quels que soient les tenseurs U βγ , on doit avoir
T λ′
µ ′ ν ′ ρ ′
∂x µ′
∂xβ ∂xν′ ∂xλ′
=
∂xγ ∂xα ∂x ε
∂x ρ′ T α βγε. (2.40)
Opérons la multiplication contractée des deux membres de (2.40) par ∂xβ
∂x
un réarrangement de l’ordre des termes
T λ′
µ ′ ν ′ ρ ′
∂x µ′
∂xβ ∂xβ ∂xσ′ ∂xν′ ∂xγ ∂xγ ∂xτ ′ = ∂xλ′
∂xα ∂x β
∂x σ′
∂xγ ∂xτ ′
En tenant compte des relations (2.7), les équations (2.41) s’écrivent
T λ′
µ ′ ν ′ ρ ′δµ′ σ ′δν′
λ′
τ ′ = T σ ′ τ ′ ρ
∂xλ′
′ =
∂xα ∂xβ ∂xσ′ ∂xγ ∂xτ ′
∂xγ
σ′ ∂x
τ′ . Il vient avec
∂x ε
∂x ρ′ T α βγε. (2.41)
∂x ε
∂x ρ′ T α βγε. (2.42)
Les équations (2.42) montrent que les quantités T α βγε se transforment comme les composantes
d’un tenseur de type (3, 1). CQFD.
Le théorème que nous venons de montrer admet la généralisation suivante.
Théorème 2.7.1 Pour qu’un système de 4r+s ν1...νs
quantités Tµ1...µr
constitue les composantes
d’un tenseur de type (r,s) dans un système de coordonnées locales xα , il faut et il suffit que
quel que soit le tenseur U β1...βl de type (k,l) avec k ≤ r et l ≤ s, le système de quantités
α1...αk
T
µ1...µr
ν1...νs
U
µ1...µl
ν1...νk
soit le système de composantes d’un tenseur r − k fois covariant et s − l fois contravariant.
(2.43)
Ce théorème a pour corollaire la proposition suivante, très souvent utilisée comme critère.
Théorème 2.7.2 Pour qu’un système de 4r+s ν1...νs
quantités Tµ1...µr
constitue les composantes
d’un tenseur de type (r,s) dans un système de coordonnés locales xα , il faut et il suffit que quels
que soient les r vecteurs contravariants X(k) de composantes X αk
(k) et quels que soient les s
vecteurs covariants φ (l) de composantes φ (l)
, la quantité
βl
I = T
µ1...µr
ν1...νs
X µ1
(1) ...Xµr
(r) φ(1)
ν1 ...φ(s)
νs
soit invariante lorsqu’on effectue un changement de base.
22
(2.44)

2.8 Tenseurs symétriques et tenseurs antisymétriques
Tenseurs symétriques.— Soit T un tenseur deux fois covariant. Supposons que les composantes
Tµν de T dans un système de coordonnées locales x α soient telles que l’égalité
Tνµ = Tµν
(2.45)
soit satisfaite pour tous les couples d’indices (µ,ν). On déduit aisément de la loi de transformation
(2.20) que les composantes de T dans un autre système de coordonnées locales xβ′ vérifient
aussi la propriété Tσ ′ ρ ′ = Tρ ′ σ ′. Les relations de symétrie (2.45) traduisent donc une propriété
intrinsèque. C’est pourquoi on dit que T est un tenseur symétrique.
Un tenseur métrique est un exemple de tenseur deux fois covariant symétrique.
Tenseurs antisymétriques.— Considérons maintenant un tenseur deux fois covariant F
dont les composantes Fµν dans les coordonnées locales x α vérifient les relations
Fµν = −Fνµ
(2.46)
pour tous les couples d’indices (µ,ν). Alors des relations analogues sont satisfaites par les
composantes de F dans n’importe quel autre système de coordonnées locales. On dit que F est
un tenseur antisymétrique.
Ces considérations s’appliquent également aux tenseurs deux fois contravariants.
Parties symétrique et antisymétrique d’un tenseur.— On peut toujours exprimer
un tenseur T deux fois covariant (ou deux fois contravariant) arbitraire comme une somme
d’un tenseur symétrique et d’un tenseur antisymétrique. En effet, n’importe quel système de
16 quantités Tµν peut s’écrire sous la forme
où T(µν) et T[µν] sont respectivement définis par
Tµν = T(µν) + T[µν], (2.47)
T(µν) = 1
2 (Tµν + Tνµ) = T(νµ), (2.48)
T[µν] = 1
2 (Tµν − Tνµ) = −T[νµ], (2.49)
et il est aisé de montrer que T(µν) et T[µν] sont des composantes de tenseurs de type (2, 0). Du
fait que la décomposition (2.47) est unique, on appelle T(µν) et T[µν] respectivement la partie
symétrique de T et la partie antisymétrique du tenseur T.
Les notions qui précèdent peuvent être étendues aux tenseurs d’ordre supérieur à 2.
2.9 Composantes covariantes et contravariantes
23

Donnons-nous une variété différentielle V4 munie d’une métrique g, et considérons un champ
de vecteurs contravariants V µ . Du fait que g est un tenseur deux fois covariant de composantes
gµν, les quantités
Vν = gνρV ρ
(2.50)
sont les composantes d’un tenseur de type (1, 0), i.e. d’un vecteur covariant V ∗ (voir multiplication
contractée, sect. 2.6). On convient de regarder le vecteur contravariant V et le vecteur
covariant V ∗ qui lui est associé comme étant un seul et même vecteur dont les quantités V µ
sont les composantes contravariantes et les quantités Vν définies par (2.50) sont les composantes
covariantes.
On peut aisément déterminer les composantes contravariantes V µ en fonction des composantes
covariantes Vν. On a supposé en effet que la condition (2.25) est satisfaite dans n’importe
quel système de coordonnées locales admissibles. Les équations (2.50) forment donc un système
régulier de quatre équations linéaires à quatre inconnues V µ lorsque les composantes covariantes
Vν sont données (système de Kramer). La théorie élémentaire des systèmes de Kramer montre
que ce système admet une solution unique qui peut s’écrire sous la forme
V µ = g µν Vν, (2.51)
les quantités g µν étant des fonctions des coordonnées indépendantes des quantités Vν. En substituant
(2.50) dans (2.51), on voit que
V µ = g µν gνρV ρ . (2.52)
Comme les équations (2.52) doivent être satisfaites quelles que soint le vecteur V , on en
déduit que les quantités g µν doivent satisfaire les seize relations
g µν gνρ = δ µ ρ. (2.53)
Les relations (2.53) montrent que la matrice (g µν ) est l’inverse de la matrice (gµν).
On a le théorème important suivant, dont la démonstration est donnée dans l’appendice 1.
Théorème 2.9.1 Les quantités g µν sont les composantes d’un tenseur symétrique deux fois
contravariant, i.e. obéissent à la loi de transformation :
g ρ′ σ ′
= ∂xρ′
∂x µ
∂xσ′ ∂xν gµν . (2.54)
Ce théorème permet d’associer à tout vecteur covariant φ de composantes φρ un vecteur
contravariant φ∗ dont les composantes φ µ sont définies par
φ σ = g ρσ φρ. (2.55)
De nouveau, on convient de regarder les vecteurs φ et φ∗ comme un seul et même vecteur
dont les quantités φρ sont les composantes covariantes et les quantités φ σ sont les composantes
contravariantes.
24

Sur une variété riemannienne, on parlera donc dsormais de vecteurs tout court, mais on
distinguera soigneusement les composantes contravariantes et les composantes covariantes de
ces vecteurs.
Les considérations qui précèdent s’étendent sans difficulté aux tenseurs d’ordre ≥ 2. Étant
donné par exemple un tenseur S deux fois contravariant de composantes S µν , on regardera
comme identifiable à S le tenseur deux fois covariant de composantes
ainsi que les tenseurs mixtes de composantes
Les quantités S µν µ .
, Sαβ, S β
riantes, covariantes et mixtes du tenseur S.
Sαβ = gαµgβνS µν
(2.56)
µ .
S β = gβνS µν . ν
, S α = gαµS µν . (2.57)
et S . ν
α seront respectivement appelées composantes contrava-
De même, étant donné un tenseur deux fois covariant T de composantes Tµν, on dira que
les quantités Tµν sont les composantes covariantes de T, et on définira les composantes contravariantes
et mixtes de T respectivement par les équations
et
T ρσ = g ρµ g σν Tµν
(2.58)
T ρ
. ν = g ρµ Tµν, T σ
µ . = g σν Tµν . (2.59)
L’extension aux tenseurs d’ordre supérieur à 2 s’ensuit naturellement.
Remarque importante.— Il faudra faire très attention à la disposition des indices quand
on évalue des composantes covariantes ou mixtes à partir de composantes contravariantes par
exemple. Pour les composantes mixtes d’un tenseur deux fois covariant Tµν, par exemple, on
n’a pas T µ
. ν = T µ
ν . , sauf si Tµν est symétrique.
D’après les relations (2.58), les composantes contravariantes du tenseur métrique g sont les
quantités g ρµ g σν gµν. Or, d’après (2.53), on a g σν gµν = δ σ µ. En conséquence :
g ρµ g σν gµν = g ρµ δ σ µ = g ρσ . (2.60)
Les relations (2.60) montrent que les quantités g µν sont les composantes contravariantes du
tenseur métrique g, les quantités gµν étant elles-même les composantes covariantes du même
tenseur.
Calculons maintenant les composantes mixtes du tenseur métrique. Compte tenu de la
symétrie du tenseur métrique, les composantes mixtes g ρ . ν et g ρ
ν . sont confondues et peuvent
être désignées par g ρ ν. On a d’après (2.59)
D’où en appliquant (2.53) :
g ρ ν = g ρµ gµν .
g ρ ν = δ ρ ν. (2.61)
25

Cette dernière équation montre que les composantes mixtes du tenseur métrique s’identifient
aux composantes du tenseur de Kronecker d’ordre 2 défini dans la sect. 2.4.
On notera que l’utilisation des composantes contravariantes, covariantes ou mixtes des vecteurs
et des tenseurs permet d’obtenir des expressions particulièrement concises de la plupart
des expressions utilisées en analyse tensorielle. Ainsi, le produit scalaire de deux vecteurs de
composantes contravariantes X µ et Y ν s’écrit comme nous l’avons vu
g(X,Y ) = gµνX µ Y ν .
Développée, cette expression est une double somme, l’une sur l’indice µ, l’autre sur l’indice
ν, contenant 16 termes. Or, la même expression s’écrit en tenant compte de la formule (2.50)
définissant les composantes covariantes d’un vecteur :
g(X,Y ) = XνY ν = g(X,Y ) = X µ Yµ. (2.62)
Les second et troisième membres de (2.62) sont des sommes simples, comportant 4 termes.
Enfin, en utilisant les relations (2.51) et (2.53), on voit facilement que le produit scalaire
g(X,Y ) peut s’exprimer en fonction des composantes covariantes des vecteurs X et Y selon la
formule
g(X,Y ) = g µν XµYν. (2.63)
Appendice 1 : démonstration du théorème 2.9.1
L’inverse d’une matrice symétrique étant elle-même symétrique, les quantités g µν impliquées
dans les équations (2.51) sont symétriques par rapport aux indices µ et ν :
g νµ = g µν . (2.64)
La loi de transformation des g µν est nécessairement telle que les relations
gτ ′ λ ′gλ′ σ ′
= δ σ′
τ ′
soient satisfaites dans le système de coordonnées locales xρ′ . On a
et
gτ ′ λ
∂xα
′ =
∂xτ ′
∂x β
∂x λ′ gαβ
(2.65)
(2.66)
δ σ′ ∂xσ′
τ ′ =
∂xα ∂xβ ∂xτ ′ δ α β. (2.67)
du fait que les quantités gτ ′ λ ′ et δσ′ τ ′ sont respectivement les composantes d’un tenseur deux fois
covariant et d’un tenseur mixte d’ordre 2. Substituons (2.66) et (2.67) dans (2.65) et effectuons
la multiplication contractée des deux membres de l’équation obtenue par ∂xρ′
∂x µ
∂xτ′ ∂xν g µν . On obtient
∂x ρ′
∂x µ
τ ′
∂x
∂xν ∂xα ∂xτ ′
∂xβ ∂xλ′ g µν gαβg λ′ σ ′
= ∂xρ′
∂x µ
26
τ ′
∂x
∂xν ∂xσ′ ∂xα ∂xβ ∂xτ ′ g µν δ α β
(2.68)

En modifiant l’ordre des facteurs et en utilisant de façon répétée les relations (2.5), (2.7) et
(2.53), on voit que le premier membre de (2.68) s’écrit
∂x ρ′
∂x µ
τ ′
∂x
∂xν ∂xα ∂xτ ′
∂xβ ∂xλ′ g µν gαβg λ′ σ ′
= ∂xρ′
∂x µ
soit encore
∂xρ′ ∂x µ
τ ′
∂x
∂xν ∂xα ∂x
∂xτ ′
β
Le second membre de (2.68) devient
∂x ρ′
∂x µ
τ ′
∂x
∂xν ∂x λ′ g µν gαβg λ′ σ ′
∂xβ ∂xλ′ δ α ν g µν gαβg λ′ σ ′
= ∂xρ′
∂x µ
∂x µ
∂x λ′ g λ′ σ ′
,
= δ ρ′
λ ′gλ′ σ ′
= g ρ′ σ ′
. (2.69)
∂xβ ∂x
∂xτ ′
σ′
∂xα gµνδ α β = ∂xρ′
∂x µ
∂xσ′ ∂xα δβ νδ α βg µν = ∂xρ′
∂x µ
∂xσ′ ∂xν gµν . (2.70)
La comparaison de (2.69) et de (2.70) montre que les quantités g µν se transforment selon la
formule (2.54), ce qui démontre le théorème 2.9.1.
27

Chapitre 3
Espace-temps de Minkowski
Dans ce chapitre, nous montrons que le principe d’inertie, l’hypothèse que l’espace est
euclidien, de dimension 3 et isotrope, et le postulat qu’il existe une vitesse finie invariante par
les changements de référentiels galiléens conduisent directement à l’espace-temps de Minkowski
comme scène universelle.
3.1 Principes fondamentaux
Définition 3.1.1 (Référentiels galiléens) On appelle référentiel galiléen tout référentiel S
auquel on peut associer un espace proprement euclidien 1 à trois dimensions E3[S] et une échelle
de temps T [S] de telle sorte qu’une particule isolée (i.e. soustraite à toute action extérieure)
soit au repos par rapport à S ou décrive une droite de E3[S] avec un mouvement uniforme.
E3[S] est appelé l’espace physique du référentiel S. On désignera les points de cet espace
par des lettres majuscules (O,A,B,C,...) pour les différencier des points-événements qui seront
toujours représentés par des lettres minuscules (x,y,...). L’hypothèse que E3[S] est un espace
proprement euclidien permet d’associer à un point O arbitraire de E3[S] un repère orthonormé
(O,e1,e2,e3) par rapport auquel on définit les notions usuelles de la cinématique telles que le
vecteur position x et le vecteur vitesse v d’une particule à chaque instant t de l’échelle de temps
T [S]. Dans ce chapitre, nous supposerons toujours que E3[S] est rapporté à un tel repère, les
coordonnées spatiales étant désignées par x i , avec i = 1, 2, 3.
Bien entendu, cette définition ne vaut que parce qu’on admet la validité du postulat fondamental
suivant.
Postulat 3.1.1 (Principe d’inertie restreint) Des référentiels galiléens sont en principe
réalisables dans toute région de l’univers dépourvue de champ de gravitation.
Nous proposons 2 d’appeler le postulat 3.1.1 principe d’inertie restreint pour bien le distinguer
du principe d’inertie usuel (i.e. galiléo-newtonien). Selon ce dernier en effet, la loi de
1La notion d’espace proprement euclidien est un cas particulier de la notion d’espace (ponctuel) affine : voir
l’annexe A.
2La terminologie adoptée ici nous est propre, en effet.
28

gravitation newtonienne peut être formulée dans un référentiel galiléen arbitraire (voir sect.
7.1). A contrario, le postulat 3.1.1 n’affirme pas qu’on puisse maintenir la notion de référentiel
galiléen lorsque l’interaction gravitationnelle n’est pas négligeable.
Il résulte de ce qui précède que la physique considérée dans les chapitres 3 à 6 doit être
regardée comme une physique valide dans un univers (ou une région de l’univers) sans gravitation,
sans qu’on puisse pour l’instant se prononcer sur sa validité ou sa non-validité dans un
champ de gravitation. Nous verrons dans le chapitre 7 pourquoi et comment cette physique
doit être modifiée quand la gravitation est prise en compte.
Les énoncés ci-dessus doivent être complétés par un postulat qui précise le lien entre les
variables mathématiques que sont les dates t et les coordonnées cartésiennes orthonormées x i
et les mesures que l’on peut effectuer avec des horloges standard et des étalons de longueur au
repos par rapport au référentiel galiléen considéré.
Postulat 3.1.2 Soit S un référentiel galiléen arbitraire muni d’un repère orthonormé (O,e1,e2,e3)
et d’une échelle de temps t tels que le postulat 3.1.1 soit valide. Alors
a) si deux événements xA et xB se produisent au même point x de E3[S] (i.e. si x i A = x i B),
la différence de dates tB − tA est égale au temps propre mesuré entre xA et xB par une horloge
standard au repos au point x;
b) si A et B sont deux points arbitraires de l’espace E3[S] de coordonnées respectives x i A
et x i B, la distance entre ces deux points mesurée au moyen d’étalons standards de longueur au
repos par rapport au référentiel S est égale à la quantité
lAB =
(x 1 B − x 1 A) 2 + (x 2 B − x 2 A) 2 + (x 3 B − x 3 A) 2 . (3.1)
Ces deux postulats sont admis aussi bien par la physique préeinsteinienne que par la relativité.
Toutefois la physique préeinsteinienne postulait également que pour deux événements
quelconques xA et xB observés dans deux systèmes de référence galiléens S et S ′ en mouvement
l’un par rapport à l’autre, on pouvait poser
t ′ B − t ′ A = tB − tA , (3.2)
hypothèse qui revenait à supposer l’existence d’un temps absolu. Or, nous le verrons dans la
section suivante, la relation (3.2) n’est absolument pas impliquée par les postulats 3.1.1 et 3.1.2,
et s’est en outre avérée incompatible avec le postulat d’existence d’une vitesse invariante énoncé
ci-dessous.
Postulat 3.1.3 (Isotropie de l’espace) L’espace physique associé à un référentiel galiléen
arbitraire est isotrope en chacun de ses points.
Rappelons qu’un milieu est dit isotrope en un point lorsque ses propriétés sont les mêmes
dans toutes les directions issues de ce point. Le postulat 3.1.3 revient à énoncer que deux
référentiels déduits l’un de l’autre par une rotation des axes spatiaux sont équivalents pour
formuler les lois de la physique.
Voici maintenant le postulat qui implique une rupture radicale avec la physique préeinsteinienne.
29

Postulat 3.1.4 (Existence d’une vitesse invariante) Il existe une vitesse invariante par
les changements de référentiels galiléens. Cette vitesse est notée c.
Ce postulat signifie qu’une particule ou une interaction se propageant avec la vitesse c par
rapport à un référentiel galiléen donné se propage également avec la vitesse c par rapport à
n’importe quel autre référentiel galiléen. Bien entendu, conformément au postulat d’isotropie
de l’espace, la vitesse c est indépendante de la direction et du sens de la propagation. On notera
que l’énoncé n’affirme nullement que la vitesse c soit effectivement réalisable par une particule
ou par un signal. Le postulat 3.1.4 n’affirme pas non plus que la constante c est une vitesse
limite ni qu’elle constitue la borne supérieure de toutes les vitesses possibles.
La vitesse invariante c est une constante universelle. Historiquement, ce sont les problèmes
posés par l’électrodynamique et l’optique à la fin du XIX e siècle qui ont conduit Einstein à
postuler en 1905 que la vitesse de la lumière dans le vide était une constante indépendante
du référentiel galiléen et de l’état de mouvement de la source 3 . C’est pourquoi on appelle
généralement c vitesse de la lumière dans le vide, mais cette terminologie doit impérativement
être abandonnée. Nous allons voir en effet que l’existence d’une vitesse invariante c dicte en
quelque sorte la structure de l’espace-temps, c’est-à-dire le cadre fondamental dans lequel
nous décrivons toutes les interactions, et pas seulement les phénomènes électromagnétiques.
La constante c n’est donc pas liée à une interaction particulière.
Bien entendu, il est en pratique légitime de poser que la vitesse de propagation de la
lumière dans le vide est numériquement égale à c. Cette affirmation est en effet conforme
à l’expérience. En outre, cette égalité numérique est une conséquence directe de la théorie
électromagnétique de Maxwell formulée dans le cadre relativiste que nous sommes en train de
construire. Mais ces arguments ne sont pas du tout équivalents à l’affirmation d’une identité
essentielle de c avec la vitesse de la lumière puisqu’on peut concevoir des théories relativistes
de l’électromagnétisme prédisant une vitesse de propagation différentes de c. C’est pourquoi
nous éviterons systématiquement la terminologie courante, en appelant la constante c vitesse
invariante ou encore vitesse fondamentale 4 .
3.2 Lois de transformation des coordonnées galiléennes
Selon ce qui précède, un événement peut être repéré dans un référentiel galiléen arbitraire
par une date t et trois coordonnées cartésiennes orthogonales x i . Du fait que la constante
universelle c a la dimension d’une vitesse, on remplacera la date t par une coordonnée x 0 ayant
la dimension d’une longueur en posant
x 0 = ct. (3.3)
3 A. Einstein, Zur Electrodynamik bewegter Körper [Sur l’électrodynamique des corps en mouvement], Annalen
d. Physik, t. XVII, pp. 891-921, 1905. Trad. De M. Solovine : Sur l’électrodynamique des corps en mouvement,
Gauthier-Villars, Paris, 1955.
4 On a proposé d’autres dénominations pour c, comme par ex. “constante de structure spatio-temporelle” ou
encore “constante de structure de l’espace-temps”, voire “constante de Lorentz”. L’important est d’éviter une
terminologie trompeuse.
30

On repérera donc désormais un événement dans un reférentiel galiléen donné au moyen de
quatre coordonnées (x0 ,x1 ,x2 ,x3 ) qu’on appellera des coordonnées galiléennes homogènes (ou
simplement coordonnées galiléennes5 ). Pour abréger, le système (x0 ,x1 ,x2 ,x3 ) sera représenté
par (xα ), l’indice α prenant l’une quelconque des valeurs 0, 1, 2, 3. D’une façon générale, on
représentera les indices variant de 0 à 3 par des lettres grecques α,β,...,λ,µ,ν,..., réservant les
lettres latines i,j,k,l,... pour les indices variant de 1 à 3.
On admet qu’à un événement donné correspond un quadruplet de coordonnées galiléennes
(xα ) et un seul, chacune des variables xα pouvant prendre n’importe quelle valeur entre −∞
en ∞.
Considérons maintenant deux référentiels galiléens S et S ′ en mouvement l’un par rapport
à l’autre. Un point-événement x admet des coordonnées galiléennes (xα ) par rapport à S et
(xβ′ ) par rapport à S ′ . Chaque coordonnée xβ′ est évidemment une fonctions des coordonnées
(xα ), de sorte qu’on peut poser
x β′
= F β′
(x 0 ,x 1 ,x 2 ,x 3 ) = F β′
(x α ). (3.4)
Ces transformations de coordonnées galiléennes ne peuvent être arbitraires car elles doivent
faire correspondre un mouvement rectiligne uniforme (ou le repos) dans S ′ à un mouvement
rectiligne uniforme (ou le repos) dans S d’après la définition 3.1.1 et le postulat 3.1.1. On peut
montrer 6 que les transformations les plus générales ayant cette propriété sont nécessairement
de la forme
α x α + b β′
x β′
= Aβ′
Bλxλ , (3.5)
+ K
où les quantités A β′
α ,b β′
,Bλ et K sont des constantes 7 .
On admet qu’à des coordonnées galiléennes finies dans un référentiel doivent toujours correspondre
des coordonnées galiléennes finies dans n’importe quel autre référentiel 8 . Il faut donc
prendre les quatre constantes Bλ du dénominateur égales à 0 et supposer K = 0. Il est clair
qu’on ne diminue pas la généralité en posant K = 1. En conséquence, nous poserons désormais
que les formules de transformation des coordonnées galilénnes sont de la forme
x β′
= A β′
α x α + b β′
, (3.6)
où les quantités Aβ′ α et bβ′ sont des constantes. Bien entendu, nous exigerons que les relations
(3.6) soient inversibles, de sorte qu’on puisse écrire
où A α β ′ et bα sont également des constantes.
x α = A α β ′xβ′ + b α , (3.7)
5 On a aussi proposé d’appeler ces coordonnées des coordonnées galiléennes réduites. Voir A. Lichnerowicz,
Éléments de calcul tensoriel, Armand Colin.
6 Ce théorème a été démontré par V. Fock dans son ouvrage The Theory of Space Time and Gravitation,
Pergamon Press, 1959.
7 On notera que le dénominateur figurant dans le second membre de (3.5) est le même pour chacune des
quatre coordonnées.
8 Ne pas exiger cette condition et maintenir la généralité des transformations homographiques (3.5) conduirait
à une “relativité étendue” dont la discussion sortirait du cadre de ce cours. On notera que la présence d’un
dénominateur non constant impliquerait l’abandon du postulat d’homogénéité et d’isotropie de l’espace associé
à un référentiel galiléen arbitraire
31

On note que ces transformations sont des transformations affines. C’est pourquoi nous
poserons que la variété des événements compatible avec le principe d’inertie et les principes
d’homogénéité de l’espace et du temps est un espace affine 9 A4 associé à l’espace vectoriel IR 4 .
Par abus de langage, nous identifierons A4 et IR 4 .
Les constantes bβ′ et bα sont arbitraires et peuvent être prises égales à 0 par un choix
judicieux de l’origine des temps et de l’origine des axes spatiaux dans chacun des référentiels
considérés. Par contre, les constantes Aβ′ α et Aα β ′ doivent évidemment dépendre du mouvement
relatif des référentiels galiléens S et S ′ l’un par rapport à l’autre.
3.3 Mouvement relatif de deux référentiels galiléens
Il est remarquable que les lois de transformation (3.6) et (3.7) permettent de spécifier sans
nouvelle hypothèse le mouvement d’un référentiel galiléen par rapport à un autre référentiel
galiléen. Écrivons les relations (3.7) sous la forme plus explicite
x 0 = A 0 0 ′x0′ + A 0 j ′xj′ + b 0 , (3.8)
x i = A i 0 ′x0′ + A i j ′xj′ + b i , (3.9)
et considérons une particule P ′ au repos par rapport au référentiel S ′ . Les coordonnées x j′
de P ′ par rapport à S ′ étant des constantes, la différentiation des éqs. (3.8) et (3.9) montre
immédiatement que le vecteur vitesse w de P ′ par rapport au référentiel S est un vecteur
constant dont les composantes w i sont données par
w i = dxi
dt
≡ cdxi
dx0 = cAi 0 ′dx0′
A0 0 ′dx0′ = c Ai0 ′
A0 0 ′
. (3.10)
Les composantes constantes w i sont indépendantes de la particule au repos par rapport à
S ′ choisie. Par définition, le vecteur constant w est le vecteur vitesse de S ′ par rapport à S. Les
formules de transformations (3.7) entraînent donc que deux référentiels galiléens S et S ′ sont
en mouvement rectiligne uniforme l’un par rapport à l’autre.
3.4 Intervalle entre deux points-événements
Nous allons voir que l’existence d’une vitesse invariante c entraîne une profonde nouveauté
par rapport à l’ancienne physique : l’existence d’un intervalle spatio-temporel entre deux pointsévénements
arbitraires dont la valeur est indépendante du référentiel.
Pour l’établir, donnons-nous deux référentiels galiléens arbitraires S et S ′ et considérons
deux points-événements infiniment voisins x et x + dx. Les coordonnées galiléennes de x et
9 On trouvera la définition générale d’un espace affine de dimension n dans l’annexe A. Le choix d’un espace
affine comme cadre de la physique relativiste fut proposé par le mathématicien Hermann Weyl dès les années
20. Cet auteur affirme en effet “ ... l’univers [en l’absence de champ gravitationnel, N.d.A.] est un espace
quadridimensionnel euclidien affine” dans le Chap. III de son ouvrage Temps, Espace, Matière : leçons sur la
théorie de la relativité générale, trad. franç. de la 4 ème édition all. de Raum-Zeit-Materie, 1921.
32

x + dx sont respectivement (xα ) et (xα + dxα ) dans S et (xβ′ ) et (xβ′ + dxβ′ ) dans S ′ . Dans
ce paragraphe, nous appelons (L) la transformation du type défini par (3.6) exprimant les
coordonnées (xβ′ ) en fonction des (xα ). On se souviendra que les coefficients Aβ′ α et bβ′ étant
des constantes, on a par différenciation
dx β′
= A β′
α dx α . (3.11)
Supposons d’abord que les points-événements x et x + dx soient reliés par une particule ou
une interaction se propageant avec la vitesse c par rapport à S. Dans ce référentiel, la distance
entre x et x + dx est
dist(x,x + dx) =
(dx 1 ) 2 + (dx 2 ) 2 + (dx 3 ) 2 .
Une propagation avec la vitesse c entre x et x + dx est donc caractérisée par la relation
(dx 1 ) 2 + (dx 2 ) 2 + (dx 3 ) 2 = c|dt| = |dx 0 |,
qui peut encore s’écrire en élevant les deux membres au carré :
(dx 0 ) 2 − (dx 1 ) 2 − (dx 2 ) 2 − (dx 3 ) 2 = 0. (3.12)
D’après le postulat 3.1.4, la propagation considérée s’effectue également avec la vitesse c
par rapport au référentiel galiléen S ′ . La relation
doit donc être satisfaite par les dx β′
(dx 0′
) 2 − (dx 1′
) 2 − (dx 2′
) 2 − (dx 3′
) 2 = 0. (3.13)
définis par (3.11) lorsque les dx α vérifient la condition
(3.12).
Supposons maintenant que x et x + dx soient deux points-événements infiniment proches
arbitraires. Dans S, nous pouvons leur associer l’intervalle ds 2 défini par 10
ds 2 = (dx 0 ) 2 − (dx 1 ) 2 − (dx 2 ) 2 − (dx 3 ) 2 . (3.14)
De même, dans le référentiel galiléen S ′ , nous pouvons leur associer l’intervalle
ds ′2 = (dx 0′
) 2 − (dx 1′
) 2 − (dx 2′
) 2 − (dx 3′
) 2 . (3.15)
D’après ce que nous venons de voir, la transformation (L) doit être telle que
ds 2 = 0 =⇒ ds ′2 = 0. (3.16)
Comment (L) transforme-t-elle l’intervalle ds 2 lorsque ds 2 = 0 ? La réponse vient du
théorème suivant, que nous énoncerons sans démonstration.
Théorème 3.4.1 Soit (L) une transformation affine telle que la condition (3.16) soit satisfaite.
Il existe une constante réelle Φ[L] telle que l’égalité
ds ′2 = Φ[L]ds 2 , (3.17)
est réalisée pour n’importe quelle paire de points-événements x et x + dx.
10 Nous appelons ds 2 l’intervalle par abus de langage. En fait, la notion courante d’intervalle correspondrait à
la racine carrée de ds 2 , mais ds 2 n’est pas défini positif, comme on le verra dans la suite...
33

Du point de vue mathématique, il est clair que la constante Φ[L] peut recevoir une valeur
arbitraire. Si en effet une transformation (L) satisfait la condition (3.16), la transformation
affine (Lk) définie par
x β′
(k) = k(Aβ′ α x α + b β′
), k = constante = 0
satisfait également cette condition et transforme l’intervalle ds 2 en ds 2 k = Φ[Lk]ds 2 , avec Φ[Lk] =
k 2 Φ[L]. Pour lever cet arbitraire sur Φ[L], il faut maintenant faire intervenir des considérations
physiques.
Tout d’abord Φ[L] ne peut dépendre que des coefficients A β′
α , puisque l’équation (3.17) est
une relation entre les différentielles dx α et dx β′
= A β′
α dx α . Or, les coefficients A β′
α figurant dans
l’expression (3.6) doivent dépendre de la vitesse w de S par rapport à S ′ . Nous pouvons donc
considérer que le facteur Φ[L] est lui-même une fonction de w, ce qui nous conduit à écrire
(3.17) sous la forme
ds ′2 = Φ(w)ds 2 . (3.18)
Mais le postulat d’isotropie de l’espace entraîne que le facteur de proportionnalité Φ(w)
dépend uniquement de la valeur absolue de la vitesse w. On peut donc écrire
Bien entendu, on a de même
ds ′2 = F(|w|)ds 2 . (3.19)
ds 2 = F(|w ′ |)ds ′2 , (3.20)
où w ′ est la vitesse de S par rapport à S ′ . Les équations (3.19) et (3.20) entraînent que
Or, il est manifeste que
F(|w|)F(|w ′ |) = 1. (3.21)
|w ′ | = |w|. (3.22)
En effet, il existe certainement un référentiel galiléen S0 dans lequel les origines O et O ′ se
déplacent sur une droite commune avec des vitesses opposées u0 et −u0. Pour les observateurs
au repos par rapport à S0, les observateurs liés à S et à S ′ sont dans des situations symétriques
et doivent en conséquence s’attribuer des vitesses relatives égales en valeur absolue, sinon le
postulat d’isotropie ne serait pas respecté.
Il résulte de (3.21) et (3.22) que [F(|w|)] 2 = 1. Comme on doit poser F = 1 lorsque w = 0,
on prendra
F(|w|) = 1. (3.23)
Par conséquent, les transformations de coordonnées galiléennes (3.6) doivent être telles que
l’égalité
ds 2 = ds ′2
(3.24)
soit satisfaite pour n’importe quel couple de points-événements infiniment voisins. L’égalité
(3.24) signifie que le ds 2 entre deux points-événements infiniment voisins est une quantité
absolue, i.e. invariante par les changements de référentiels et indépendante de tout choix d’observateurs.
D’où la proposition suivante, qui constitue la proposition fondamentale sur laquelle
est bâtie toute la théorie.
34

Proposition 3.4.1 (Invariance de l’intervalle) Soient S et S ′ deux référentiels galiléens.
Toute transformation (L) exprimant les coordonnées galiléennes d’un point-événement arbitraire
par rapport à S ′ en fonction des coordonnées galiléennes de ce point-événement par rapport
à S est une transformation affine (3.6) qui laisse invariantes la valeur et la forme de
l’intervalle ds 2 défini par (3.14) ou de manière équivalente par (3.25)-(3.26) .
Les transformations (3.6) laissant invariant l’intervalle entre deux points-événements sont
appelées transformations de Lorentz inhomogènes lorsque les constantes b µ′ ne sont pas toutes
nulles et transformations de Lorentz homogènes lorsque b µ′ = 0. Ces transformations forment
un groupe, qu’on appelle le groupe de Lorentz. Nous verrons dans le chapitre suivant comment
déterminer ces transformations.
Du fait que l’intervalle ds 2 entre deux points-événements x et x + dx possède une valeur
indépendante du référentiel galiléen choisi, on peut munir la variété fondamentale V4 de la
métrique définie par la forme quadratique de différentielles (3.14), à laquelle on donne le nom
de métrique de Minkowski. La variété fondamentale que nous avons identifée avec l’espace affine
IR 4 munie de cette métrique est appelée l’espace-temps de Minkowski. La théorie de la relativité
restreinte a pour objet de construire la physique dans cet espace-temps.
La métrique (3.14) diffère d’une métrique proprement euclidienne par la présence du signe
- devant chaque terme spatial (dx i ) 2 . D’une manière générale, la différence σ entre le nombre
de signes + et le nombre de signes - dans la forme diagonale d’une métrique constitue ce qu’on
appelle la signature de cette métrique. La signature de la métrique de Minkowski écrite sous la
forme (3.14) est donc σ = −2.
Nous utiliserons la signature σ = −2 dans ce cours, mais il faut noter qu’on pourrait tout
aussi bien écrire la métrique de Minkowski sous la forme
ds 2 = (dx 1 ) 2 + (dx 2 ) 2 + (dx 3 ) 2 − (dx 0 ) 2 ,
auquel cas la signature serait égale à 2. L’écriture conventionnelle avec σ = 2 est d’usage
recommandé par l’Union Astronomique Internationale.
Dans un système de coordonnées galiléennes (x α ) arbitraire, la métrique de l’espace-temps
de Minkowski peut s’écrire sous la forme plus condensée
les quantités ηαβ étant définies par
ds 2 = ηαβ dx α dx β , (3.25)
η00 = 1, η11 = η22 = η33 = −1, ηαβ = 0 si α = β. (3.26)
Dans n’importe quel autre système de coordonnées galiléennes (xβ′ ), la métrique s’écrira
bien entendu
avec
ds 2 = ηγ ′ δ ′ dxγ′ dx δ′
, (3.27)
η0 ′ 0 ′ = 1, η1 ′ 1 ′ = η2 ′ 2 ′ = η3 ′ 3 ′ = −1, ηγ ′ δ ′ = 0 si γ′ = δ ′ .
35

3.5 Classification des intervalles. Cône isotrope
Il résulte immédiatement du caractère affine des transformations de Lorentz que l’on peut
parler de l’invariance de l’intervalle entre deux points-événements x et y dont les coordonnées
diffèrent par des quantités finies. Si (x α ) et (y α ) sont les coordonnées galiléennes respectives de
x et de y par rapport à un référentiel galiléen arbitraire, l’intervalle entre x et y est défini par
la relation
s 2 xy = (y 0 − x 0 ) 2 − (y 1 − x 1 ) 2 − (y 2 − x 2 ) 2 − (y 3 − x 3 ) 2 , (3.28)
qui s’écrit encore
s 2 xy = ηαβ(y α − x α )(y β − x β ), (3.29)
Soient deux points-événements x et y distincts. Cherchons sous quelle condition il existe
un référentiel galiléen S0 dans lequel ces deux points-événements ont les mêmes coordonnées
spatiales. Dans un tel référentiel, l’intervalle s 2 xy aura pour expression
s 2 xy = (y 0 0 − x 0 0) 2
puisque par hypothèse x i 0 = y i 0 pour i = 1, 2, 3. L’équation (3.30) montre qu’on doit avoir
(3.30)
s 2 xy > 0. (3.31)
On dit qu’un intervalle satisfaisant à la condition (3.31) est du genre temps.
Par définition, x et y sont simultanés dans un référentiel S si y 0 = x 0 dans ce référentiel.
Pour qu’un tel référentiel existe, il faut que la condition
s 2 xy < 0 (3.32)
soit satisfaite. Si en effet on a y 0 = x 0 dans S, l’intervalle s 2 xy a pour expression
s 2 xy = −(y 1 − x 1 ) 2 − (y 2 − x 2 ) 2 − (y 3 − x 3 ) 2
Un intervalle satisfaisant à la condition (3.32) est dit du genre espace.
Enfin, l’intervalle entre x et y est dit isotrope si
(3.33)
s 2 xy = 0. (3.34)
L’équation (3.34) est la condition nécessaire et suffisante pour qu’une particule se mouvant
(ou une interaction se propageant) avec la vitesse c puisse relier x et y.
Les conditions (3.31), (3.32) et (3.34) sont complètement indépendantes du référentiel
puisque l’intervalle est un invariant. La classification qui en résulte a donc une signification absolue.
Cette classification conduit à introduire en chaque point-événement x l’objet géométrique
intrinsèque (i.e. indépendant du référentiel) qu’on appelle le cône isotrope 11 de sommet x.
11 On dit aussi cône de lumière de sommet x, mais nous éviterons cette terminologie pour les raisons invoquées
à la fin de la sect. 3.1.
36

Γ
+
x
Ailleurs de x
Γ
−
x
Futur de x
x
Passé de x
Ailleurs de x
Fig. 3.1 – Passé, futur, et ailleurs d’un point x.
Définition 3.5.1 (Cône isotrope de sommet x) Étant donné un point-événement x quelconque,
on appelle cône isotrope de sommet x et on note Γx l’ensemble des points-événements
y tels que l’intervalle entre x et y soit nul. Dans un référentiel galiléen arbitraire, l’équation du
cône Γx est :
s 2 xy ≡ ηαβ(y α − x α )(y β − x β ) = 0. (3.35)
Le cône Γx est composé du point x, d’une nappe Γ + x correspondant à y 0 −x 0 > 0, dite nappe
future, et d’une nappe Γ − x correspondant à y 0 − x 0 < 0, dite nappe passée. Le cône isotrope de
sommet x divise donc l’espace-temps de Minkowski en trois régions attachées à x (voir fig. 3.1).
1. Le futur de x, défini comme l’ensemble Fx des points-événements y tels que s 2 xy ≥ 0 et
y 0 − x 0 > 0 :
Fx = {y | s 2 xy ≥ 0 et y 0 − x 0 > 0}. (3.36)
2. Le passé de x, défini comme l’ensemble Px des points-événements y tels que s 2 xy ≥ 0 et
y 0 − x 0 < 0 :
Px = {y | s 2 xy ≥ 0 et y 0 − x 0 < 0}. (3.37)
3. L’ailleurs de x, défini comme l’ensemble Ax des points-événements y tels que s 2 xy < 0 :
Ces dénominations se comprennent par elles-mêmes.
3.6 Lignes d’univers du genre temps
Ax = {y | s 2 xy < 0}. (3.38)
On dira qu’un point-événement x appartient à l’histoire d’une particule si la particule
coïncide avec l’événement x au moment où il se produit. D’après ce qui a été expliqué dans le
premier chapitre, cette notion est totalement indépendante du choix d’un système de référence.
37

Donnons-nous un référentiel galiléen arbitraire S rapporté à un système de coordonnées
galilénnes (x 0 ,x i ) et considérons une particule P de vecteur vitesse v par rapport à S, ce vecteur
pouvant varier au cours du temps. Soient x et x+dx deux points-événements infiniment voisins
appartenant à l’histoire de P. Compte tenu de la relation dx = vdt, l’élément d’intervalle ds 2
entre ces deux points-événements est d’après (3.14) :
x
0
O
ds 2 = c 2 dt 2 − dx 2 = (c 2 − |v| 2 )dt 2 . (3.39)
x
2
x (s)
Fig. 3.2 – Ligne d’univers d’une particule.
On voit que ds2 > 0 si et seulement si |v| < c. Or, ds2 est un invariant. On peut donc écrire
ds2 = (c2 − |v ′ | 2 )dt ′2 dans tout référentiel galiléen S ′ rapporté à des coordonnées galiléennes
(x0′ ,xj′ ), v ′ étant la vitesse de P par rapport à S ′ . D’où la proposition qui suit.
Proposition 3.6.1 Si une particule est de vitesse |v| < c en x dans un référentiel galiléen,
alors cette particule est de vitesse inférieure à c en x dans tous les référentiels galiléens.
Un corollaire immédiat de ce qui précède est que si une particule avait une vitesse |v| > c
dans un référentiel galiléen donné, elle aurait une vitesse supérieure à c dans n’importe quel
autre référentiel galiléen. Enfin, on retrouve évidemment à partir de (3.39) qu’une particule de
vitesse |v| égale à c dans S sera également de vitesse c dans n’importe quel autre référentiel,
ce qui est naturel puisque c est par hypothèse une vitesse invariante.
On dira qu’un référentiel galiléen S0 est instantanément comouvant avec la particule en x
lorsque x et x + dx ont les mêmes coordonnées spatiales dans S0, i.e. lorsque (dx i )S0 = 0.
Cette définition signifie simplement que la particule P est au repos instantané par rapport à
S0 au moment où se produit l’événement x. Or, d’après ce que nous avons vu dans la section
précédente, cette occurrence se réalise uniquement si ds 2 > 0. Il faut donc que la condition
|v| < c soit satisfaite dans un référentiel galiléen arbitraire. Un référentiel galiléen devant
évidemment être comouvant avec chacun de ses points (i.e. avec chacune des particules qui lui
sont liées), on est conduit à formuler la proposition qui suit.
38
x
1

Proposition 3.6.2 La valeur absolue de la vitesse relative de deux référentiels galiléens arbitraires
est toujours inférieure à la vitesse fondamentale c.
Il est dès lors naturel de supposer que les observateurs sont constitués de particules dont
la vitesse est toujours inférieure à c. Il est en effet difficile de concevoir un observateur (i.e. un
instrument de physique) qui ne pourrait être au repos par rapport à aucun référentiel galiléen.
C’est pourquoi nous poserons le postulat qui suit.
Postulat 3.6.1 Soit P un observateur considéré comme ponctuel, décrit dans un référentiel
galiléen arbitraire muni d’un système de coordonnées galiléennes (x 0 ,x 1 ,x 2 ,x 3 ), avec x 0 = ct.
Pour tout couple d’événements infiniment voisins appartenant à l’histoire de cet observateur,
l’inégalité
ds 2 = c 2 dt 2 − (dx 1 ) 2 − (dx 2 ) 2 − (dx 3 ) 2 > 0 (3.40)
est satisfaite.
La condition (3.40) traduit simplement le postulat qu’un observateur a toujours une vitesse
inférieure à c dans n’importe quel référentiel galiléen. En fait, on admet de façon plus générale
qu’il n’existe pas de particules ayant une vitesse > c. On peut montrer en effet que l’existence
de telles particules (tachyons) entraînerait des violations de la causalité.
Il découle de ce qui précède que les courbes de l’espace-temps le long desquelles l’inégalité
(3.40) est satisfaite jouent un rôle fondamental dans la théorie puisqu’elles peuvent être considérées
comme des histoires d’observateurs possibles. On les appelle lignes d’univers du genre temps
(fig. 3.2).
3.7 Temps propre
Par hypothèse, la particule considérée dans ce qui suit possède une ligne d’univers du genre
temps. On désigne par x et x + dx deux points-événements infiniment voisins appartenant à
l’histoire de cette particule : x + dx est supposé situé dans le futur de x, et on adopte dès lors
la convention ds > 0 pour l’intervalle entre x et x + dx.
Par rapport au référentiel S0 instantanément comouvant en x avec cette particule (cf. section
précédente), l’intervalle ds 2 entre x et x + dx a pour expression d’après (3.30) :
ce qui entraîne avec notre convention de signe sur ds :
ds 2 = c 2 dt 2 0 , (3.41)
ds = cdt0 . (3.42)
D’après la partie a) du postulat 3.1.2, dt0 est la durée mesurée entre x et x + dx par une
horloge standard au repos par rapport à S0. La quantité dt0 représente donc ce qu’on peut
appeler le laps de temps propre dτ mesuré entre x et x + dx par une horloge standard H0 en
mouvement inertiel instantanément comouvante avec la particule P. Si la particule P est ellemême
en mouvement inertiel (particule isolée), il est naturel de regarder la quantité dτ donnée
par
dτ = ds
(3.43)
c
39

comme le laps de temps propre de la particule écoulé entre les points-événements x et x + dx.
Cette identification de dt0 avec un laps de temps propre infinitésimal de la particule s’impose
d’elle-même.
Lorsque la particule P est animée d’un mouvement quelconque (mouvement non inertiel ou
accéléré), la relation (3.42) et l’interprêtation de dt0 comme temps propre de H0 restent vraies
mais il ne va plus de soi qu’on peut identifier dt0 avec un laps de temps propre de la particule
accélérée. On admet néanmoins cette identification en la posant comme une définition.
Définition 3.7.1 Soit P une particule dont la ligne d’univers est du genre temps. On appelle
temps propre de cette particule entre deux événements x et x + dx de son histoire la quantité
dτ définie par
dτ = ds
. (3.44)
c
Il faut souligner que la relation (3.44) est complètement indépendante du référentiel choisi,
ainsi que du système de coordonnées adopté. Nous avons vu en effet que ds est une quantité
invariante attachée à deux points-événements x et x + dx : une telle quantité est absolue.
Dans la pratique, il sera souvent indispensable d’expliciter dτ en fonction des coordonnées.
Lorsqu’on choisit un référentiel galiléen arbitraire S rapporté à un système de coordonnés
galiléennes x 0 = ct,x i , on a évidemment
dτ = 1
c
c
2dt2 − (dx1 ) 2 − (dx2 ) 2 − (dx3 ) 2 . (3.45)
La définition 3.7.1 est adoptée parce que l’expérience montre que le temps propre délivré
par une horloge atomique idéale satisfait la relation (3.44), au moins tant que l’accélération de
cette horloge n’est pas trop grande... C’est pourquoi on adopte en pratique le postulat suivant.
Postulat 3.7.1 (Hypothèse des horloges atomiques) Le laps de temps dτ mesuré entre
deux événements x et x + dx de l’histoire d’une horloge atomique idéale ne dépend pas de
l’accélération de cette dernière et satisfait la relation dτ = ds/c.
Le postulat 3.7.1 équivaut à l’hypothèse que deux atomes identiques situés au même pointévénement
et instantanément comouvants présentent le même spectre de raies à un observateur
donné, indépendamment de leurs accélérations respectives 12 . Il faut souligner le caractère approché
de ce postulat, qui contraste avec les postulats précédents que l’on pouvait tenir pour
rigoureux. On ne voit en effet pas pourquoi les raies spectrales d’un atome seraient totalement
insensibles à l’accélération de ce dernier. Néanmoins, on peut noter que l’accélération des atomes
utilisés dans les horloges atomiques dans les conditions expérimentales usuelles est bien plus
faible que l’accélération d’un électron autour du noyau. Le postulat 3.7.1 paraît donc légitime
et n’est contredit par aucune expérience.
12 En toute rigueur, il faut restreindre cet énoncé aux raies de très hautes fréquences telles que celles qui sont
utilisées dans les horloges actuelles (approximation de l’optique géométrique). Pour les basses fréquences, l’effet
Doppler est affecté par l’accélération de la source (ainsi que par l’accélération de l’observateur).
40

Compte tenu de (3.39), l’équation (3.44) donne la relation suivante entre la différentielle de
temps propre et la différentielle de temps coordonnée :
v 2
dτ = dt 1 −
c
. (3.46)
On écrit souvent (3.46) sous la forme
où Γ est défini par
Γ =
dt
dτ
= Γ, (3.47)
1
1 − v
c
Γ est appelé le facteur de Lorentz 13 .
Il résulte immédiatement de (3.48) que Γ = 1 si v = 0 et
2 . (3.48)
Γ > 1 si v = 0. (3.49)
L’inégalité (3.49) est équivalente à dt > dτ si v = 0. C’est pourquoi on appelle (3.47)
la formule de dilatation des durées. Il faut toutefois faire très attention à la signification des
quantités qui interviennent dans cette formule. La quantité dτ est indépendante du référentiel
dans lequel on décrit le mouvement (on a souligné ci-dessus que dτ est une quantité intrinsèque).
Par contre, dt et v sont des quantités qui dépendent du référentiel dans lequel on décrit le
mouvement.
Bien entendu, les relations (3.44) et (3.45) peuvent être intégrées le long de la ligne d’univers
d’une particule. On obtient alors la proposition fondamentale suivante.
Proposition 3.7.1 Soit P une particule dont la ligne d’univers C est de genre temps. On
appelle x1 et x2 deux points-événements de l’histoire de cette particule, numérotés de telle sorte
que x2 soit dans le futur de x1. Le temps propre τ12[C] mesuré entre x1 et x2 par une horloge
standard comouvante avec la particule P est alors donné par
x2
τ12[C] =
x1
dτ = 1
c
x2
ds, (3.50)
où les intégrales sont des intégrales curvilignes prises le long de C.
Soit
x α = x α (ℓ) (3.51)
un système d’équations paramétriques de la ligne d’univers de P dans un système de coordonnées
galiléennes xα arbitrairement choisi, les xα (ℓ) désignant des fonctions continûment
différentiables d’un paramètre réel ℓ lui-même arbitrairement choisi. Si on appelle ℓ1 et ℓ2 les
valeurs de ℓ correspondant respectivement à x1 et à x2, τ12[C] est alors donné par
ℓ2
τ12[C] =
l’intégrale étant prise le long de C.
ℓ1
dx 0
dℓ
2 − dx 1
dℓ
x1
2 − dx 2
dℓ
2
dx3 2
− dℓ
dℓ, (3.52)
13 Ce facteur est très souvent représenté par la lettre γ, mais nous évitons cette notation pour éviter tout
risque de confusion avec le paramètre postnewtonien γ dans les théories de la gravitation.
41

Le paramétre ℓ intervenant dans l’éq. (3.52) étant arbitraire, nous pouvons prendre le tempscoordonnée
t comme paramètre, et la formule (3.52) s’écrit alors
De l’inégalité
t2
τ12[C] =
t1
1 − 1
c2
dxdt 2dt t2
=
t1
1 − 1
c2 2 dxdt ≤ 1, on déduit qu’on a toujours
dt
. (3.53)
Γ
τ12[C] ≤ t2 − t1 . (3.54)
L’égalité τ12[C] = t2 − t1 est réalisée si et seulement si la vitesse de P par rapport à S est
constamment nulle. Dans tous les autres cas, on a l’inégalité au sens strict
τ12[C] < t2 − t1 . (3.55)
L’inégalité (3.55) s’applique en particulier lorsque x1 et x2 sont des événements se produisant
au même point A de l’espace du référentiel S, alors que la particule P n’est pas au repos par
rapport à S entre x1 et x2 (fig. 3.3). L’inégalité (3.55) constitue alors ce qu’on a appelé le
“paradoxe des jumeaux” ou encore le “paradoxe du voyageur de Langevin”. La différence t2 −t1
est en effet le temps propre vécu entre x1 et x2 par un observateur au repos en A, tandis que
τ12[C] est le temps propre vécu par un observateur OC comouvant avec la particule P. Si on
appelle C0 la ligne d’univers d’un observateur au repos en A, la formule (3.53) donne
et l’inégalité (3.55) devient
t2 − t1 = τ12[C0]
τ12[C] < τ12[C0],
ce qui montre qu’entre les événements x1 et x2, l’observateur au repos en A a vieilli davantage
que l’observateur qui a voyagé.
Cette conséquence remarquable de la relativité restreinte a été vérifiée expérimentalement
avec des horloges atomique embarquées à bord d’un avion effectuant le tour de la Terre 14 , ainsi
qu’avec des muons du rayonnement cosmique 15 .
On remarque qu’un observateur au repos en A par rapport à S est en mouvement rectiligne
uniforme dans n’importe quel autre référentiel galiléen. Comme l’inégalité τ[C0] ≤ τ[C] est
invariante par les changements de référentiels, nous pouvons énoncer la proposition suivante.
Proposition 3.7.2 Soient x1 et x2 deux points-événements distincts reliés par la ligne d’univers
C d’une particule P dont la vitesse est constamment inférieure à c. Si C0 désigne la droite
de l’espace-temps de Minkowski passant par x1 et x2, l’inégalité
τ12[C] ≤ τ12[C0] (3.56)
est satisfaite, l’égalité étant réalisée si et seulement si C est confondue avec C0.
14 Expérience de Hafele et Keating. Voir par ex. J. C. Hafele, American Journal of Physics, vol. 40, p. 81
(1972).
15 Expérience de D. H. Frisch et J. H. Smith, American Journal of Physics, vol. 31, p. 342 (1963). Une analyse
très claire est donnée par Y. Simon, Relativité restreinte, Cours et applications, Vuibert, 2004.
42

ct
ct
x
0
2 2
x
x
1 1
i i x = x = x
1
C C
0
2
i
A
Fig. 3.3 – “Paradoxe des jumeaux” : on a τ12[C] < t2 − t1, alors que τ12[C0] = t2 − t1.
Il résulte de cette proposition que la droite de genre temps C0 reliant x1 et x2 réalise la
ligne d’univers de plus long temps propre entre x1 et x2. Étant donné que ds et dτ diffèrent par
un facteur constant, on peut énoncer que C0 réalise un extremum (ici un maximum) de ds.
Cette propriété fondamentale signifie que la ligne d’univers d’une particule libre (mouvement
inertiel) est une géodésique16 du genre temps de l’espace-temps de Minkowski.
On notera que la propriété de C0 de réaliser le plus long temps propre est en contraste
total avec la propriété bien connue de la droite euclidienne usuelle de réaliser comme on le
sait le plus court chemin spatial entre deux points donnés. En fait, la propriété de longueur
temporelle maximale de C0 est due à la présence du signe - devant chacun des termes (dxi ) 2
dans la métrique de Minkowski.
Exercice : mouvement uniformément accéléré au sens relativiste.— On considère
un observateur P dont la ligne d’univers C est définie dans un référentiel galiléen S par les
équations paramétriques 17 :
x 0 = c2 aτ
sinh ,
a c
x
(3.57)
1 = c2
cosh
a
aτ
− 1 ,
c
(3.58)
x 2 = 0, (3.59)
x 3 = 0, (3.60)
où τ varie entre 0 et ∞ et a est une constante ayant la dimension d’une accélération (m.s −2 ).
On suppose a > 0.
1. Déterminer x 1 en fonction du temps t = x 0 /c. En déduire l’expression de la vitesse
v 1 = dx 1 /dt et de la dérivée dv 1 /dt en fonction de t. Montrer que le mouvement défini par
(3.57)-(3.60) se confond pratiquement avec un mouvement uniformément accéléré au sens usuel
le long de l’axe des x 1 lorsque t

une expression approchée de x 1 (t),v 1 (t) et dv 1 (t)/dt lorsque t >> c/a. Comment interprêter
ces résultats ?
2. Calculer (x 0 ) 2 −(x 1 +c 2 /a) 2 en tout point de C. En déduire la nature géométrique de C.
Donner une représentation graphique de C dans le plan Ox 1 x 0 . Cette représentation graphique
permet-elle de comprendre les réponses apportées à la première question ?
3. Déterminer le temps propre de la particule entre le point-événement correspondant à τ0
et le point-événement correspondant à τ. Comment peut-on interprêter le paramètre τ figurant
dans (3.57) et (3.58) ?
4. Exprimer ce temps propre en fonction de la coordonnée t. Appliquer la formule obtenue
en posant a = g = 9, 81 m.s −1 dans les cas suivants : a) t = 1 jour ; b) t = 10 6 années. On
prendra c = 3×10 8 m.s −1 , 1 jour = 86400 s, 1 année = 3, 15569×10 7 s. Commenter les résultats
obtenus.
Solution.
1. Les équations (3.59) et (3.60) montrent que le mouvement de P s’effectue sur l’axe des
x 1 . Il est facile d’éliminer le paramètre τ entre les éqs. (3.57) et (3.58). En utilisant l’identité
cosh 2 x − sinh 2 x = 1 l’équation (3.57) peut s’écrire
x 1 = c2
a
1 + sinh 2 aτ
c
− 1
(3.61)
Or, d’après (3.57)
sinh aτ at
= . (3.62)
c c
Substituons dans (3.61). On obtient l’équation horaire cherchée :
x 1 = c2
⎡
⎣ 1 +
a
a2t2 ⎤
− 1⎦
. (3.63)
c2 On déduit de (3.63) l’expression de la vitesse
qui s’écrit encore
v 1 = dx1
dt =
v 1 =
at
1 + a2 t 2
c 2
c
1 + c2
a 2 t 2
La dérivée de v 1 par rapport à t est donnée par
dv 1
dt =
a
1 + a2 t 2
c 2
L’équation (3.66) montre immédiatement que
dv 1
dt
(3.64)
. (3.65)
3/2 . (3.66)
≈ a (3.67)
lorsque t

préeinsteinienne. On notera que pour a = g = 9, 81 m.s −2 , on a c/a = 3, 06 × 10 7 s ≈ 1 an.
Cette durée permet de comprendre pourquoi la différence entre les deux mouvements n’est pas
facilement décelable dans les conditions d’expérimentations usuelles.
La formule (3.64) montre que lorsque t s’accroît, la vitesse de P s’approche indéfiniment de
la vitesse constante c. Lorsque t >> c/a, on peut négliger 1 dans le radical
écrire
x 1 (t) ≈ ct, v 1 dv
(t) ≈ c,
1
≈ 0. (3.68)
dt
1 + a2 t 2
c 2 et on peut
Vu dans le référentiel S, le mouvement de P tend à se confondre avec un mouvement
uniforme s’effectuant avec la vitesse c, sans jamais toutefois atteindre cette limite !
2. L’identité cosh 2 x − sinh 2 x = 1 entraîne que
(x 0 ) 2 −
x 1 + c2
a
2
= − c4
a 2.
(3.69)
Cette équation montre que la ligne d’univers de P est un arc d’hyperbole admettant la
droite isotrope x0 = x1 + c2 comme asymptote lorsque τ → ∞.
a
3. Considérons deux points-événements infiniment voisins x et x+dx appartenant à la ligne
d’univers de P. En différentiant les équations par rapport au paramètre τ, on voit que
dx 0 = c cosh aτ
c dτ, dx1 = c sinh aτ
c dτ, dx2 = 0, dx 3 = 0. (3.70)
L’élément ds 2 le long de C est donc donné par
ds 2 = (dx 0 ) 2 − (dx 1 ) 2 = c 2
cosh 2 aτ
c − sinh2
aτ
dτ
c
2 = c 2 dτ 2 . (3.71)
On en conclut que le paramètre τ figurant dans les équations (3.57)-(3.60) est le laps de temps
propre de l’observateur qui s’écoule entre le point-événement (0, 0, 0, 0) et le point-événement
x(τ) dont les coordonnées sont données par les équations (3.57)-(3.60).
4. On peut écrire (3.57) sous la forme
at
c
= sinh aτ
c
. (3.72)
On sait que l’inverse de la fonction sinus hyperbolique est la fonction sinh −1 x = ln(x+ √ 1 + x 2 ).
On tire donc immédiatement de (3.72)
τ = c
a ln
⎡
⎣ at
c +
Si at/c > 1, (3.72) donne
1 + a2 t 2
c 2
⎤
⎦. (3.73)
τ = t − 1 a
6
2
c2 t3 + ... (3.74)
τ ≈ c 2at
ln . (3.75)
a c
45

Exemples numériques.— Afin de pouvoir appliquer ces calculs à des astronautes, on a pris
une accélération a égale à l’accélération g de la pesanteur terrestre. On doit donc remplacer
a/c par g/c = 3, 27 × 10 −8 .
a) Si t = 1 jour = 86400 s, on a gt/c = 2, 825×10 −3 . La formule (3.74) peut donc s’appliquer.
Il vient
τ = 1 jour − 0, 115 s. (3.76)
Cette différence serait évidemment mesurable avec une bonne montre à quartz. On peut alors
se demander pourquoi on ne met pas facilement en évidence l’effet voyageur de Langevin. Pour
le comprendre, calculons la distance x 1 parcourue par l’observateur P pendant cette journée.
D’après (3.63), x 1 = 36, 6 millions de km, soit approximativement la moitié de la distance
Terre-Mars lors d’une conjonction des deux planètes ! Noter qu’on trouverait pratiquement la
même distance parcourue en utilisant la loi horaire usuelle x 1 ≈ 1
2 gt2 . C’est naturel puisqu’on
est ici dans le cas où t est nettement inférieur à c/g. En effet c/g ≈ 3 × 10 7 s ≈ 1 an.
b) Si t = 10 6 ans = 3, 15569 × 10 7 s, on obtient avec (3.75)
τ = 14, 1 ans. (3.77)
La différence avec la valeur de t = 10 6 ans est ici énorme. La distance x 1 parcourue est alors
de l’ordre de 10 6 années-lumière puisque la majeure partie du parcours s’effectue à une vitesse
très voisine de celle de la lumière (on le voit aisément avec l’éq. (3.65)). On en conclut qu’un
voyage aller-retour entre la Terre et un objet situé à deux millions d’années-lumière 18 avec un
accélération de 1 g ne durerait que 4 × 14, 1 = 56, 4 ans pour l’astronaute, alors qu’il se serait
écoulé quatre millions d’années sur Terre depuis son départ... L’aventure vous tenterait-elle ?
18 Tel est l’ordre de grandeur de la distance entre notre Galaxie et la galaxie d’Andromède.
46

Chapitre 4
Cinématique relativiste
Ce chapitre est consacré à la formulation “tridimensionnelle” de la cinématique de la relativité
restreinte.
4.1 Notations
Dans le chapitre précédent, nous avons postulé qu’on peut associer à tout référentiel galiléen
S un espace affine proprement euclidien E3[S]. Un repère (O,ei) (i = 1, 2, 3) étant choisie dans
E3[S], on représentera un 3-vecteur de composantes a i par rapport à ce repère indifféremment
par le triplet (a 1 ,a 2 ,a 3 ) ou par la lettre grasse a définie par a = a i ei. Le repère (O,ei) sera
toujours supposé orthonormé. En conséquence, le produit scalaire de deux 3-vecteurs a =
(a 1 ,a 2 ,a 3 ) et b = (b 1 ,b 2 ,b 3 ) aura pour expression
a.b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 . (4.1)
4.2 Transformations spéciales de Lorentz
Donnons-nous deux référentiels galiléens S et S ′ en mouvement l’un par rapport à l’autre.
Nous avons vu dans le chapitre précédent que les coordonnées galiléennes (xα ) d’un pointévénement
x par rapport à S s’expriment en fonction des coordonnées galiléennes (xβ′ ) de ce
point-événement par rapport à S ′ par des relations affines
x α = A α β ′xβ′ + b α
(A α β ′ = const., bα = const.) (4.2)
ayant la propriété de laisser invariantes la valeur et la forme de l’intervalle élémentaire ds 2 , i.e.
d’être telles que
(dx 0 ) 2 − (dx 1 ) 2 − (dx 2 ) 2 − (dx 3 ) 2 = (dx 0′
) 2 − (dx 1′
) 2 − (dx 2′
) 2 − (dx 3′
) 2 . (4.3)
Les constantes bα sont arbitraires, alors que les constantes Aα β ′ dépendent de la vitesse w
de S ′ par rapport à S. Les équations (3.10) du chap. 3 peuvent s’écrire
A i 0 ′ = βiA 0 0 ′ , (4.4)
47

à condition de poser comme nous le ferons désormais
β i = dxi
dx
c
0 = wi
. (4.5)
Choisissons comme origine O ′ le point de S ′ qui coïncide avec O à l’instant t = 0. De plus,
choisissons l’origine des dates t ′ dans S ′ de telle sorte que la coïncidence de O et O ′ ait lieu à
l’instant t ′ = 0. Alors l’événement de coordonnées galiléennes (0, 0, 0, 0) par rapport à S ′ doit
avoir les coordonnées galiléennes (0, 0, 0, 0) par rapport à S, ce qui entraîne
b α = 0 (4.6)
pour α = 0, 1, 2, 3. Réciproquement, les conditions (4.6) entraînent que les origines O et O ′
coïncident lorsque t = 0 et t ′ = 0.
Dans ce qui suit, nous supposerons toujours satisfaites les relations (4.6). Rappelons qu’on
appelle transformations homogènes de Lorentz les transformations correspondantes. 1
x
3
x
2
x 3'
x
2'
O O' x1
Fig. 4.1 – Repères Ox1x2x3 et O ′ x1′ x2′ x3′ .
Pour une horloge standard comouvante avec l’origine O ′ , on a d’après (4.2) :
w
x 0 = A 0 0 ′x0′ . (4.7)
Cette relation montre qu’on a nécessairement A0 0 ′ = 0. De plus, la quantité A00 ′ étant
une constante, nous pouvons toujours choisir les échelles de temps de telle sorte que des x0′ croissants correspondent à des x0 croissants. C’est pourquoi nous supposerons dans ce qui suit
que
A 0 0 ′ > 0. (4.8)
Les transformations de Lorentz qui satisfont la condition (4.8) sont dites orthochrones.
Supposons pour l’instant qu’il existe des transformations de Lorentz homogènes orthochrones
prenant la forme simple
1 On omet souvent l’épithète homogène.
x 0 = A 0 0 ′x0′
48
+ A 0 1 ′x1′ , (4.9)
x
1'

x 1 = A 1 0 ′x0′ + A 1 1 ′x1′ , (4.10)
x 2 = A 2 2 ′x2′ , (4.11)
x 3 = A 3 3 ′x3′ . (4.12)
Du fait que A 2 0 ′ = A3 0 ′ = 0, les équations (4.4) entraînent que β2 = 0 et β 3 = 0, ce qui
équivaut à
w 2 = 0, w 3 = 0. (4.13)
On posera pour simplifier l’écriture
w 1 = w (4.14)
et
β 1 = β, avec β = w
.
c
(4.15)
Une transformation définie par les équations (4.9)-(4.11) correspond donc à un repère
O ′ x1′ x2′ x3′ dont chaque point se déplace parallèlement à l’axe Ox1 w = cβ.
avec une vitesse constante
Soit P ′ un point lié à l’axe O ′ x1′ . On a x2′ P ′ = 0 et x3′ P ′ = 0. Il résulte alors de (4.11) que
x 2 P ′ = 0 et x3 P ′ = 0 : le mouvement de P ′ dans S s’effectue donc sur l’axe Ox 1 . Nous avons
vu ci-dessus que ce mouvement s’effectue avec la vitesse w. On peut donc énoncer que chaque
point lié à l’axe O ′ x1′ glisse avec la vitesse w sur l’axe Ox1 . En particulier, le point O ′ décrit
la droite Ox 1 selon l’équation horaire x 1 = wt (rappelons que d’après notre choix des origines
spatiales et temporelles, O ′ coïncide avec O à l’instant t = 0).
Un raisonnement analogue montre que chaque point lié au plan O ′ x1′ x2′ glisse sur le plan
Ox1x2 , et que chaque point lié au plan O ′ x1′ x3′ glisse sur le plan Ox1x3 . Enfin, il découle
immédiatement de la forme de la transformation qu’à chaque instant t, l’ensemble des points
liés à O ′ x2′ (resp. O ′ x3′ ) est situé dans S sur un axe issu de O ′ et parallèle à Ox2 (resp. Ox3 ).
Le repère O ′ x1′ x2′ x3′ dessiné dans Ox1x2x3 à un instant t donné est donc parallèle au repère
Ox 1 x 2 x 3 , comme on l’a représenté sur la figure 4.1.
Il découle de (4.10) qu’on a pour chaque événement se produisant sur O ′ x1′ à l’instant
t ′ = 0 :
x 1 = A 1 1 ′x1′ .
Cette relation montre que le signe de la constante A1 1 ′ dépend de l’orientation relative des
. Nous supposerons désormais que cette orientation est choisie de telle sorte
axes Ox 1 et O ′ x 1′
que l’inégalité
A 1 1 ′ > 0 (4.16)
soit satisfaite (“Ox1 et Ox1′ sont de même sens”). De même, les relations (4.11) et (4.12)
entraînent qu’on peut toujours choisir l’orientation relative des axes Ox2 et O ′ x2′ d’une part,
Ox3 et O ′ x3′ d’autre part de telle façon que les inégalités
A 2 2 ′ > 0, A33 ′ > 0 (4.17)
soient satisfaites.
Explicitons maintenant les transformations de Lorentz orthochrones du type (4.9)-(4.11).
Les équations (4.4) se réduisant à
A 1 0 ′ = βA00 ′, (4.18)
49

la relation d’invariance (3.14) se traduit par l’équation
(A 0 0 ′dx0′
+ A 0 1 ′dx1′ ) 2 − (βA 0 0 ′dx0′ + A 1 1 ′dx1′ ) 2 − (A 2 2 ′)2 (dx 2′
) 2 − (A 3 3 ′)2 (dx 3′
) 2
= (dx 0′
) 2 − (dx 1′
) 2 − (dx 2′
) 2 − (dx 3′
) 2
(4.19)
qui doit être vérifiée quels que soient dx 0 ,dx 1 ,dx 2 ,dx 3 . En développant le membre de gauche de
(4.19) et en identifiant des deux membres terme à terme, on obtient compte tenu des conditions
(4.8), (4.16) et (4.17) :
A 0 0 ′ = A11 ′ =
1
√
1 − β2 , A01 ′ = A10 ′ =
En conséquence, la transformation cherchée s’écrit :
x 0 = x0′ + βx1′ √
1 − β2 , x1 = x1′ + βx0′ √
1 − β2 , x2 = x 2′
β
√
1 − β2 , A22 ′ = A33 ′ = 1. (4.20)
, x 3 = x 3′
. (4.21)
On appelle transformation spéciale de Lorentz une telle transformation. On peut montrer
que les transformations de Lorentz homogènes orthochrones les plus générales s’obtiennent par
composition d’une transformation spéciale et de rotations des axes spatiaux des référentiels
galiléens S et S ′ .
En résolvant le système d’équations (4.21) en x 0′
, x 1′
, x 2′
x 0′
= x0 − βx 1
√ 1 − β 2
, x1′
= x1 − βx 0
√ 1 − β 2
, x2′
et x3′ , on obtient :
= x 2 , x 3′
= x 3 . (4.22)
La transformation (4.22) inverse de (4.21) est clairement une transformation spéciale de
Lorentz obtenue en échangeant les rôles joués par xα et xβ′ et en changeant β en −β. Il
s’ensuit que le vecteur vitesse w ′ du référentiel S par rapport au référentiel S ′ est le vecteur
w ′ admettant les composantes w1′ = −w, w2′ = 0,w3′ = 0 par rapport au système d’axes
orthonormés O ′ x1′ x2′ x3′ .
La transformation de Lorentz (4.21) est à comparer avec la transformation admise par la
physique préeinsteinienne, qui s’écrirait ici
t = t ′ , x 1 = x 1′
+ wt ′ , x 2 = x 2′
, x 3 = x 3′
. (4.23)
La transformation (4.23) s’appelle une transformation spéciale de Galilée. Il est immédiat
de former son inverse :
t ′ = t, x 1′
= x 1 − wt, x 2′
= x 2 , x 3′
= x 3 . (4.24)
On note en particulier que les transformations de Galilée n’impliquaient aucune limitation
sur la vitesse w alors que les formules de transformations (4.21) et (4.22) n’ont de sens que si
−1 < β < 1 ⇐⇒ −c < w < c. (4.25)
Nous retrouvons donc ici que la valeur absolue de la vitesse de translation w d’un référentiel
galiléen par rapport à un autre référentiel galiléen est toujours inférieure à la vitesse fondamentale
c.
50

4.3 Loi de composition relativiste des vitesses
Nous supposons que les origines des coordonnées et les axes spatiaux sont choisis de telle
sorte que S et S ′ soient reliés par la transformations spéciale de Lorentz (4.21). Si v ′ désigne
le vecteur vitesse d’une particule isolée P par rapport à S ′ , et si w est le vecteur vitesse de S ′
par rapport à S, la vitesse v de P par rapport à S n’est plus donnée par la loi d’addition bien
connue en cinématique galiléenne
v = v ′ + w . (4.26)
Pour trouver la nouvelle loi de composition des vitesses, considérons deux événements infiniment
voisins appartenant à l’histoire de P, de coordonnées galiléennes respectives (x0′ ,x1′ ,x2′ ,x3′ )
et (x0′ +dx0′ ,x1′ +dx1′ ,x2′ +dx2′ ,x3′ +dx3′ ). Par rapport à S, ces deux événements sont séparés
par des éléments différentiels dx 0 ,dx 1 ,dx 2 ,dx 3 obtenus en différentiant la transformation de Lorentz
(4.21) :
dx 0 = dx0′ + βdx1′ √ , dx
1 − β2 1 = dx1′ + βdx0′ √ , dx
1 − β2 2 = dx 2′
Si on note vi′ les composantes du vecteur vitesse v ′ , on peut substituer dxi′ dans les éqs. (4.27). Il vient :
dx 0
1
= √ 1 +
1 − β2 w v
c
1′
dx
c
0′
,
dx 1
1 w v1′
= √ +
1 − β2 c c
d’où après division des dx i par dt = dx 0 /c :
v 1 = v1′ + w
w v1′
1 +
c2 , v 2 =
, dx 3 = dx 3′
. (4.27)
dx 0′
, dx 2 = v2′
c dx0′ , dx 3 = v3′
c dx0′ ,
√ 1 − β 2
1 +
w v1′
c 2
v 2′
, v 3 =
√ 1 − β 2
1 +
w v1′
c 2
= (vi′ /c)dx0′ v 3′
. (4.28)
On note que ces formules sont nettement plus compliquées que la loi d’addition galiléenne.
On remarquera en particulier que dx2 = dx2′ et dx3 = dx3′ n’entraînent pas que v2 = v2′ et
v3 = v3′ . En fait, la présence du terme √ 1 − β2 dans les expressions de v2 et v3 implique que
ces composantes tendent vers 0 lorsque |w| → c, v2′ et v3′ restant inchangées.
Il est possible d’obtenir une expression du dénominateur commun à v 1 ,v 2 et v 3 qui soit
indépendante du choix des axes de l’espace lié au référentiel S ′ . On a vu plus haut que la
vitesse relative de S par rapport à S ′ est en effet le vecteur w ′ de composantes w1′ = −w,
w2′ = 0,w3′ = 0. En conséquence, la quantité wv1′ dans le second membre de (4.32) est en
réalité l’opposé du produit scalaire du vecteur w ′ par le vecteur vitesse v ′ . On peut donc
écrire :
wv 1′
= −w ′ .v ′ . (4.29)
Substituons (4.29) dans(4.28). Il vient :
v 1 = v1′ + w
1 − w′ .v ′
c2 , v 2 √
1 − β2 =
1 − w′ .v ′
c2 51
v 2′
, v 3 =
√ 1 − β 2
1 − w′ .v ′
c 2
v 3′
. (4.30)

On calcule aisément le carré de la norme de v à partir des formules (4.28). En notant que
on obtient 2 :
(v 1′
) 2 + (1 − β 2 )[(v 2′
) 2 + (v 3′
) 2 ] = (1 − β 2 )v ′2 2 1
+ β (v ′
) 2
v 2 =
⎛
1
⎝1 + wv1′
c 2
⎞2
Compte tenu de (4.29), cette dernière relation s’écrit encore
v 2 =
à condition de poser
1
1 − w′ .v ′
c 2
⎠
2
(4.31)
(1 − β 2 )v ′2 + w 2 + 2wv 1 ′
+ β 2 (v 1′
) 2
. (4.32)
(1 − β ′2 )v ′2 + w ′2 − 2w ′ .v ′ + (β ′ .v ′ ) 2
, (4.33)
β ′ = w′
c = (β′ , 0, 0) = (−β, 0, 0). (4.34)
Il faut bien entendu se souvenir que β ′2 2 ′2 2 = β et w = w .
La relation (4.33) présente l’intérêt d’exprimer v2 sous une forme qui est indépendante du
choix des axes spatiaux dans les référentiels S et S ′ . On a donc une relation générale, et on
peut oublier qu’on l’a démontrée en utilisant une transformation spéciale de Lorentz. Autrement
dit : l’équation (4.33) exprime le carré de la vitesse d’une particule par rapport à S en fonction
d’éléments qui sont tous relatifs au référentiel S ′ et qui ne dépendent pas du choix des axes. En
fait, v2 est exprimé en fonction de v ′2 ′2 ′ ′ , w et de l’angle que forment v avec w (on a en effet
w ′ .v ′ = |w ′ ||v ′ | cos(w ′ ,v ′ )).
On obtient l’expression des composantes de la vitesse v ′ en fonction des composantes de la
vitesse v en échangeant les rôles des quantités primées et non primées et en remplaçant w par
−w dans les équations (4.28). Il vient :
√ √
1 − β2 1 − β2 v 1′
= v1 − w
w v1
1 −
c2 , v 2′
=
1 −
w v1
c 2
v 2 , v 3′
=
1 −
w v1
c 2
v 3 . (4.35)
Là encore, le dénominateur commun aux quantités vi′ peut s’exprimer sous une forme
indépendante du choix des axes de l’espace lié au référentiel S. On a :
v 1′
= v1 − w
1 − w.v
c2 , v 2′
√
1 − β2 =
1 − w.v
c2 v 2 , v 3′
√
1 − β2 =
1 − w.v
c2 v 3 . (4.36)
Un calcul analogue à celui qu’on a fait ci-dessus pour trouver l’expression de v 2 donne pour
le carré de la norme de v ′ :
v ′2 =
1
1 − w.v
c 2
2
(1 − β 2 )v 2 + w 2 − 2w.v + (β.v) 2
, (4.37)
2 On notera qu’il faudrait écrire β 2 au lieu de β 2 et β ′2 au lieu de β ′2 partout dans ce chapitre.
52

où
β = w
= (β, 0, 0). (4.38)
c
Tout comme (4.33), la formule (4.37) est générale.
On vérifie facilement avec ces formules que |v| = c si et seulement si |v ′ | = c. On peut en
outre montrer qu’on a |v| < c si et seulement si |v ′ | < c, en supposant bien entendu |w| < c.
Remarque.— Contrairement à ce que les équations (4.34) et (4.38) en termes de composantes
pourraient laisser penser, les vecteurs (tridimendionnels) β et β ′ ne sont pas colinéaires
car ils appartiennent à des espace tridimensionnels distincts, puisqu’associés à des référentiels
en mouvement relatif. On n’écrira donc jamais β ′ = β ni w ′ = −w.
4.4 Aberration de la lumière
On appelle aberration de la lumière le fait que les rayons venant d’une source d’apparence
ponctuelle 3 (satellite, étoile, quasar, ...) sont vus dans des directions différentes lorsqu’ils sont
observés dans des systèmes de référence en mouvement l’un par rapport à l’autre. En effet
un observateur lié à un référentiel voit une source lumineuse dans la direction définie dans ce
référentiel par le vecteur vitesse du rayon lumineux qui lui arrive de cette source au moment de
son observation. Le phénomène d’aberration résulte donc de la propagation de la lumière avec
une vitesse finie et de la loi de composition des vitesses.
Au départ, nous nous donnons les référentiels galiléens S et S ′ avec les origines et les
systèmes d’axes fixés dans la section 4.2. Nous verrons que ce choix particulier n’empêche pas
d’obtenir la formule fondamentale de l’aberration en toute généralité. En physique galiléenne,
le vecteur vitesse V l d’un rayon lumineux par rapport à S est relié au vecteur vitesse V ′
l de ce
rayon par rapport à S ′ par la formule résultant immédiatement de (4.26)
V l = V ′
l + w. (4.39)
La formule (4.39) est très simple mais son utisation pratique soulève une grave difficulté de
principe. En effet, le calcul de la différence de directions au moyen de (4.39) va faire intervenir
la direction et la norme des vecteurs V l et V ′
l. Or l’astronome qui veut utiliser cette formule
peut seulement mesurer la vitesse du rayon lumineux dans son propre référentiel (i.e., la Terre),
et encore une telle mesure est-elle fort délicate en pratique. Il ne peut pas rester immobile
avec ses instruments dans un référentiel S ′ lié au barycentre du système solaire par exemple.
En conséquence notre astronome ne peut pas faire de calcul théorique précis sans faire des
hypothèses sur la vitesse de la lumière dans le référentiel S ′ .
3 L’effet d’aberration fut mis en évidence pour la première fois par Römer en 1676 en comparant les observations
des éclipses des satellites de Jupiter avec les tables de Cassini. L’aberration annuelle des étoiles fut
découverte en 1726 par Bradley à la suite de mesures destinées à mettre en évidence une parallaxe stellaire.
Pour une analyse très complète du point de vue astronomique, voir par ex. Astronomie générale, A. Danjon.
(Edit. A. Blanchard, Paris, seconde éd., 1994).
53

Les difficultés rencontrées par la conception préeinsteinienne disparaissent complètement
en relativité restreinte si on admet comme nous le ferons désormais la validité de l’hypothèse
suivante 4 :
Hypothèse sur la lumière.— La lumière se propage dans le vide avec la vitesse c.
Il suffit dès lors d’appliquer la loi de composition relativiste des vitesses à des points se
déplaçant avec la vitesse c pour obtenir une théorie complète de l’aberration dans le vide.
Commençons par traiter le problème simple du changement de direction apparente d’un
rayon lumineux par rapport à l’axe des x 1 .
Changement de direction apparente d’un rayon lumineux.— Considérons un rayon
lumineux se propageant parallèlement à une droite ∆ fixe par rapport au référentiel S. On
appelle α l’angle que forme ∆ avec l’axe Ox1 (voir fig. 4.2). Par rapport au référentiel S ′ ,
ce rayon se propage parallèlement à une droite ∆ ′ faisant un angle α ′ avec l’axe Ox1′ . On se
propose de déterminer α ′ en fonction de α.
x x
3 3'
∆ ∆'
α α'
O O'
Fig. 4.2 – Aberration de la lumière.
Par raison de symétrie, nous pouvons supposer que le rayon arrivant en O se propage dans
le plan Ox 1 x 3 . Pour un rayon venant de l’infini et arrivant vers l’axe Ox 1 , les composantes du
vecteur vitesse par rapport à S sont alors
v 1 = −c cos α , v 2 = 0 v 3 = −c sin α . (4.40)
L’application des formules (4.35) donne immédiatement
x
v 1′ cos α + β
= −c , (4.41)
1 + β cosα
4 On peut justifier cette hypothèse si on admet la validité des équations de Maxwell formulées de manière
à satisfaire au principe d’équivalence des référentiels galiléens (généralement appelé principe de relativité, le
principe d’équivalence des référentiels galiléens est formulé dans la section 5.1).
54
1
x
1'

Or, on a évidemment
v 2′
= 0,
v 3′
√
1 − β2 = −c sin α . (4.42)
1 + β cosα
v 1′
= −c cos α ′ , v 3′
= −c sin α ′ . (4.43)
Substituons les expressions (4.43) dans (4.41)-(4.42). Nous obtenons les formules de transformation
suivantes :
cos α ′ cos α + β
= , (4.44)
1 + β cos α
sin α ′ √
1 − β2 = sin α . (4.45)
1 + β cos α
Bien entendu, les formules (4.44) et (4.45) ne sont pas indépendantes. On peut les condenser
en une seule formule très élégante en utilisant l’identité :
tan α′
2
sin α′
= . (4.46)
1 + cosα ′
En substituant (4.44) et (4.45) dans le second membre de (4.46), il vient en effet :
tan α′
2 =
√ √
1 − β2 sin α
1 − β2 sin α
=
cos α+β
(1 + β cos α) 1 +
(1 + β)(1 + cosα)
1+β cos α
D’où on déduit :
tan α′
2 =
1 − β α
tan . (4.47)
1 + β 2
On obtient les formules permettant de calculer l’angle α en fonction de α ′ en échangeant
le rôle des quantités primées et non primées (noter que β doit être remplacé par −β dans cet
échange). Il vient :
et
cosα = cos α′ − β
, (4.48)
1 − β cos α ′
√
1 − β2 sin α =
1 − β cos α ′ sin α′ , (4.49)
tan α
2 =
1 + β α′
tan . (4.50)
1 − β 2
Distance angulaire entre deux sources.— Considérons deux rayons lumineux ∆(1) et
∆(2) respectivement émis par les sources ponctuelles E(1) et E(2) et arrivant simultanément en
O à l’instant t = 0. La distance angulaire séparant les deux sources telle qu’elle est vue par
un observateur en O au repos par rapport au référentiel S est l’angle φ entre ∆(1) et ∆(2).
55

Demandons-nous quelle est la distance angulaire φ ′ entre E(1) et E(2) vue à l’instant t ′ = 0 par
un observateur en O ′ au repos par rapport au référentiel S ′ .
Précisons les notations. Etant donné un rayon lumineux arbitraire, on appelle l le vecteur
unitaire caractérisant la direction et le sens de la propagation de ce rayon par rapport au
référentiel S. Le vecteur vitesse v du rayon est alors donné par
v = c l, avec |l| = 1. (4.51)
Par rapport au référentiel S ′ , ce rayon se propage bien entendu avec le vecteur vitesse v ′
v ′ = c l ′ , avec |l ′ | = 1. (4.52)
Les rayons ∆(1) et ∆(2) seront donc respectivement caractérisés par les vecteurs l(1) et l(2)
dans S et par les vecteurs correspondants l ′ (1) et l ′ (2) dans S ′ . Il résulte des équations (4.51) et
(4.52) et de la loi de composition des vitesses (4.36) que les composantes de l ′ (1) et de l ′ (2) sont
respectivement données par
l 1′
(1) = l1 (1)
− β
1 − β.l(1)
, l 2′
(1) =
l 1′
(2) = l(2) − β
, l
1 − β.l(2)
2′
(2) =
√ 1 − β 2
l
1 − β.l(1)
2 (1) , l 3′
(1) =
√ 1 − β 2
l
1 − β.l(2)
2′
(2) , l 3′
(2) =
√ 1 − β 2
l
1 − β.l(1)
3 (1) , (4.53)
√ 1 − β 2
l
1 − β.l(2)
3′
(2) . (4.54)
L’angle φ ′ cherché étant l’angle formé par les deux vecteurs l ′ (1) et l ′ (2), on peut écrire :
cos φ ′ = l ′ (1).l ′ (2)
(4.55)
puisque |l ′ (1)| = 1 et |l ′ (2)| = 1. Explicitons le second membre de (4.55) en tenant compte de
(4.53) et de (4.54). Il vient :
cos φ ′ =
On a évidemment
3
i ′ =1
l i′
(1)l i′
(2)
= (1 − β2 )
l1 (1) l1 (2) + l2 (1) l2 (2) + l3 (1) l3
(2) + β2l1 (1) l1 (2) + β2 − βl1 (1) − βl1 (2)
[1 − β.l(1)] [1 − β.l(2)]
l 1 (1)l 1 (2) + l 2 (1)l 2 (2) + l 3 (1)l 3 (2) = l(1).l(2)
et, compte tenu du choix d’axes que nous avons fait :
. (4.56)
(4.57)
βl 1 (1) = β.l(1) , βl 1 (2) = β.l(2). (4.58)
En substituant (4.57) et (4.58) dans (4.56) et en notant que β 2 ≡ 1 − (1 − β 2 ), on obtient
cos φ ′ = (1 − β2 )[l(1).l(2) − 1] + [1 − β.l(1)][1 − β.l(2)]
[1 − β.l(1)] [1 − β.l(2)]
= (1 − β2 )[l(1).l(2) − 1]
+ 1. (4.59)
[1 − β.l(1)] [1 − β.l(2)]
56

On a évidemment l(1).l(2) = cos φ. Compte tenu de l’identité 1−cos x = 2 sin
(4.59) s’écrit donc
2 φ′
sin
2 =
2 1
2
x, la relation
1 − β2 φ
sin2 . (4.60)
[1 − β.l(1)] [1 − β.l(2)] 2
Cette relation présente l’intérêt d’être complètement indépendante du choix des axes spatiaux
dans les référentiels S et S ′ . L’utilisation d’une transformation spéciale de Lorentz ne nous a
donc pas empéché d’obtenir un résultat général.
La formule (4.60) est fondamentale pour l’astrométrie puisqu’elle établit un lien direct entre
deux quantités angulaires qui sont en principe directement mesurables. Du point de vue astronomique,
il est cependant plus commode de caractériser les rayons lumineux par des vecteurs
unitaires orientés vers les sources lumineuses. C’est pourquoi nous poserons
n(1) = −l(1) n(2) = −l(2) , n ′ (1) = −l ′ (1) , n(2) = −l(2) . (4.61)
Nous formulerons donc la proposition fondamentale suivante.
Proposition 4.4.1 Supposons qu’un observateur O au repos par rapport à un référentiel galiléen
S observe simultanément deux sources ponctuelles E(1) et E(2) respectivement dans les
directions n(1) et n(2) (dans S). Soit φ l’angle entre n(1) et n(2) définissant dans S la distance
angulaire entre E(1) et E(2). Un observateur O ′ lié à un référentiel galiléen S ′ de vecteur vitesse
w par rapport à S et coïncidant avec O au moment de l’observation voit E(1) et E(2)
respectivement dans les directions n ′ (1) et n ′ (2) formant l’angle φ ′ donné par la relation :
2 φ′
sin
2 =
les vecteurs n(1), n(2), n ′ (1) et n ′ (2) étant définis par (4.61).
1 − β2 φ
sin2 , (4.62)
[1 + β.n(1)] [1 + β.n(2)] 2
La relation (4.62) donne φ ′ en fonction de quantités qui sont toutes définies dans S. On
obtient une relation donnant φ en fonction de quantités toutes définies dans S ′ en échangeant
les rôles des quantités primées et non primées :
2 φ
sin
2 =
1 − β ′2
[1 + β ′ .n ′ (1)] [1 + β ′ .n ′ φ′
sin2 , (4.63)
(2)] 2
dans laquelle on a posé β ′ = w ′ /c, w ′ étant le vecteur vitesse de S par rapport à S ′ . Nous
avons vu dans la section précédente que β ′2 = β 2 , mais qu’on ne peut écrire w ′ = −w.
4.5 Effet Doppler-Fizeau
Une onde peut très généralement être représentée par une superposition d’ondes planes
monochromatiques. En outre, la nature scalaire, vectorielle ou tensorielle d’une onde donnée
ne change pas la théorie de l’effet Doppler-Fizeau. C’est pourquoi nous nous bornerons ici à
l’étude d’une onde plane monochromatique scalaire définie en chaque point-événement x par
l’équation
u(x) = A cos S(x), (4.64)
57

où A est l’amplitude supposée constante et S(x) est la phase ayant la forme suivante dans un
reférentiel galiléen S donné :
S(x) = ωt − k.x ,
3
k.x = k
i=1
i x i , (4.65)
où ω est la pulsation de l’onde et k le vecteur d’onde par rapport à S.
Rappelons que suivant des résultats classiques, la fréquence ν de l’onde et sa longueur d’onde
λ par rapport à S sont respectivement données par les relations
ν = ω
2π
2π
, λ = , (4.66)
|k|
d’où on tire l’expression bien connue de la vitesse de propagation par rapport à S :
V = ν λ = ω
. (4.67)
|k|
Déterminons l’expression de la phase S(x) lorsqu’on effectue une transformation spéciale de
Lorentz définie par (4.21). On obtient
avec
et
S(x) = ω
=
c x0 − k 1 x 1 − k 2 x 2 − k 3 x 3
1
√ 1 − β 2
ω
c
− βk1
Dans le référentiel S ′ , la phase S(x) s’écrit donc sous la forme
k 1′
=
x 0′
− k 1 − ω
c β
x 1′
− k 2 x 2′
− k 3 x 3′
. (4.68)
S(x) = ω′
c x0′ − k 1′
x 1′
− k 2′
x 2′
− k 3′
x 3′
, (4.69)
ω ′ =
1
√ ω − wk
1 − β2 1
(4.70)
1
√ k
1 − β2 1 − ω
c β
, k 2′
= k 2 , k 3′
= k 3 . (4.71)
Il résulte de ces équations que l’onde (4.64) est vue dans le référentiel S ′ comme une onde
plane dont la pulsation ω ′ est donnée par (4.70) et le vecteur d’onde k ′ est le vecteur dont les
composantes sont données par (4.71). On déduit de (4.70) que la fréquence ν ′ de l’onde telle
qu’elle serait mesurée par un observateur au repos par rapport à S ′ est
ν ′ = ω′
2π =
1
√ ν − w
1 − β2 k1
2π
(4.72)
On note que wk 1 est la valeur du produit scalaire usuel du 3-vecteur vitesse w et du 3vecteur
d’onde k, puisque w = (w, 0, 0). Utilisant la notation classique (4.1), on peut donc
poser :
wk 1 = w.k . (4.73)
58

En conséquence, la relation (4.72) s’écrit encore
ν ′
1
= √ ν −
1 − β2 w.k
, (4.74)
2π
On sait que la direction et le sens dans lesquels l’onde se propage par rapport au référentiel
S sont respectivement la direction et le sens du vecteur k. On peut tout aussi bien caractériser
cette direction et ce sens par le vecteur unitaire l défini par
l = k
. (4.75)
|k|
Compte tenu de (4.66), (4.67) et (4.75), la relation (4.74) s’écrit finalement
ν ′
ν
= √ 1 −
1 − β2 w.l
.
V
Déterminons maintenant la longueur d’onde λ ′ par rapport au référentiel S ′ . On a
λ ′ = 2π
|k ′ . (4.76)
|
D’après (4.67) et (4.73), la première équation de (4.71) élevée au carré peut sécrire
(k 1′
) 2 = 1
1 − β2
(k 1 ) 2 2
− |k|
2V
c2
2 w.l
− β2
V
Compte tenu de cette équation et de k2′ = k2 ,k3′ = k3 , il vient
|k ′ | 2 = (k 1′
) 2 + (k 2′
= |k|2
1 − β2
1 − β 2 2
+ β
2V
− 2V
c2 c
) 2 + (k 3′
) 2
(β.l) + (β.l)2
La longueur d’onde par rapport au référentiel S ′ a donc pour expression :
λ ′ = λ
√
1 − β2 .
1 − β2 + β2 V 2
c2 − 2 V
c
(β.l) + (β.l)2
(4.77)
. (4.78)
La vitesse de propagation V ′ de l’onde par rapport à S ′ se déduit aisément des expressions
obtenues pour ν ′ et λ ′ . Il vient :
V ′ = ν ′ λ ′ = ν′
ν
λ ′
V = V
λ
1 − w.l
V
1 − β2 + β2 V 2
c2 − 2 V
c
(β.l) + (β.l)2
Les formules trouvées ci-dessus expriment les rapports ν ′ /ν, λ ′ /λ et V ′ /V sous une forme
qui est indépendante du choix des axes spatiaux dans les référentiels S et S ′ . Autrement dit,
nous pouvons oublier que nous nous sommes servis de la transformation spéciale de Lorentz
pour les établir. En conséquence, nous avons établi des relations générales. Rappelons que nous
avons déjà rencontré ce type de déduction dans la section 4.4.
Nous sommes ainsi conduits à la proposition suivante :
59
.

Proposition 4.5.1 Soit une onde monochromatique plane décrite dans un référentiel galiléen
arbitraire S par l’équation
ω
u(x) = A cos
c x0
− k.x .
Soit S ′ un référentiel galiléen ayant une vitesse w par rapport à S. Si ν, λ et V désignent
respectivement la fréquence, la longueur d’onde et la vitesse de phase de l’onde telles qu’elles
sont mesurées dans le référentiel S, alors la fréquence ν ′ , la longueur d’onde λ ′ et la vitesse de
phase V ′ mesurées dans le référentiel S ′ sont respectivement données par
ν ′ =
λ ′ = λ
1 − w.l
,
V
(4.79)
√
1 − β2 1 − β2 + β2 V 2
c2 − 2 V
,
c
(β.l) + (β.l)2
(4.80)
ν
√ 1 − β 2
V ′ = V
où l est le vecteur unitaire défini par (4.75).
1 − w.l
V
1 − β2 + β2 V 2
c2 − 2 V
c
(β.l) + (β.l)2
, (4.81)
Onde monochromatique émise par une source éloignée.— Considérons maintenant
une onde monochromatique émise par une source ponctuelle E dont l’éloignement est beaucoup
plus grand que la dimension du récepteur R utilisé pour son observation. Nous supposons que
le récepteur est situé en un point xR immobile par rapport à un référentiel galiléen S et que la
source E est animée d’un mouvement rectiligne uniforme de vecteur vitesse w par rapport à S.
Nous pouvons assimiler l’onde arrivant sur le récepteur R à une onde monochromatique plane.
L’onde arrivant sur le récepteur R a été émise en x(tE) à l’instant tE défini par
|xR − xE(tE)| = V (tR − tE). (4.82)
Le vecteur l parallèle à la direction de cette onde incidente et orienté dans le sens de
propagation est donc défini par
l = xR − xE(tE)
. (4.83)
|xR − xE(tE)|
Il faut noter que tE est une fonction de tR, de w et de la position x0 de E à un instant
initial t0 arbitrairement choisi.
Le référentiel galiléen S0 comouvant avec la source E joue le rôle joué par le référentiel
S ′ dans ce qui précède. La fréquence ν ′ dans la formule (4.79) est maintenant la fréquence ν0
de la source émettrice qui serait mesurée par un observateur au repos par rapport à S0. On
appelle ν0 la fréquence propre de E. La fréquence ν observée dans S à l’instant tR se déduit
immédiatement de (4.79). Nous pouvons donc formuler la proposition qui suit.
Proposition 4.5.2 (Effet Doppler-Fizeau) Soit R un récepteur au repos par rapport à un
référentiel galiléen S observant un train d’ondes monochromatiques de fréquence propre ν0 émis
60

par une source se mouvant avec un vecteur vitesse w constant par rapport à S. La fréquence ν
du train d’ondes mesurée par R à l’instant tR est donnée par la relation :
√
1 − β2 ν = ν0
1 − w.l
, (4.84)
V
où V désigne la vitesse de propagation des ondes par rapport à S et l est le vecteur défini par
(4.83).
Pour un train d’ondes monochromatiques se déplaçant avec la vitesse invariante c (cas de
la lumière, par exemple), on a V = c et la relation (4.84) s’écrit
√
1 − β2 ν = ν0 , (4.85)
1 − β.l
où β est défini par (4.38). L’équation (4.85) est l’expression relativiste de l’effet Doppler-Fizeau
pour les radiations lumineuses se propageant dans le vide.
61

Chapitre 5
Dynamique relativiste (I)
Nous nous sommes jusqu’ici uniquement préoccupés de construire une cinématique. Nous
avons en effet décrit les mouvements des particules et des observateurs sans nous intéresser
aux causes susceptibles de produire ces mouvements. Dans ce chapitre, nous allons formuler une
dynamique compatible avec le cadre défini par l’espace-temps de Minkowski. Pour cela, les postulats
que nous avons introduits jusqu’ici sont insuffisants. Il nous faut introduire de nouveaux
postulats, dont le plus important est ce que l’on appelle fort improprement le principe de relativité
et qu’il nous paraît bien préférable de nommer le principe d’équivalence des référentiels
galiléens.
Les notations et conventions utilisées dans ce chapitre sont les mêmes que dans le chapitre
précédent. En particulier, un vecteur de l’espace affine proprement euclidien E3[S] associé à
un référentiel galiléen S est représenté par une lettre grasse ou par le triplet constitué par ses
composantes par rapport à un trièdre orthonormé (O,ei).
5.1 Principe d’équivalence des référentiels galiléens
Nous allons avoir besoin d’un nouveau principe pour fonder une physique et en particulier
une dynamique compatibles avec la cinématique exposée dans les chapitres précédents. Ce principe
est universellement appelé “principe de relativité”, mais cette dénomination est regrettable
car elle ne renseigne pas sur le contenu effectif du dit principe. Il s’agit en fait d’un principe
postulant l’équivalence complète des référentiels galiléens pour formuler les lois de la physique.
D’où la dénomination proposée ici.
Postulat 5.1.1 (Principe d’équivalence des référentiels galiléens ou principe de relativité)
Les lois physiques gouvernant les interactions ont la même forme dans tous les
référentiels galiléens.
Nous notons que le postulat d’existence d’une vitesse c invariante par les changements de
référentiels galiléens est compatible avec le principe d’équivalence des référentiels galiléens. Un
physicien déterminant cette vitesse fondamentale dans un référentiel galiléen S donné va trouver
la même valeur de c qu’un autre physicien effectuant des expériences analogues dans un autre
référentiel galiléen S ′ en mouvement par rapport à S précisément parce que c est invariante (on
suppose bien entendu que les mêmes systèmes d’unités sont utilisés dans S et S ′ ).
62

5.2 Quantité de mouvement et énergie cinétique d’une
particule isolée
Considérons une particule se mouvant avec une vitesse v par rapport à un reférentiel galiléen
arbitraire S. Selon la mécanique newtonienne, cette particule possède une quantité de
mouvement p et une énergie cinétique Ec respectivement définies par
et
p = mv (5.1)
Ec = 1
2 mv2 , (5.2)
où m est un nombre réel positif appelé la masse inerte (ou simplement la masse) de la particule.
Comment peut-on définir des grandeurs analogues en relativité restreinte ? On suppose bien
entendu que les particules considérées ont toutes des lignes d’univers du genre temps.
On commence d’abord par généraliser le concept de masse en admettant le postulat qui
suit.
Postulat 5.2.1 À toute particule P dont la ligne d’univers est du genre temps, on peut attribuer
un nombre réel positif m qu’on appelle la masse inerte (ou simplement masse) de P. La
quantité scalaire m est indépendante du référentiel1 .
Le postulat 5.2.1 ne stipule nullement que la masse d’une particule reste nécessairement
inchangée au cours de l’histoire de cette particule. Considérons par exemple un atome. Il découle
de ce qui va être établi dans la suite que si cet atome émet ou absorbe un photon, sa masse
inerte varie : dans le premier cas sa masse inerte diminue, dans le second cas sa masse augmente.
Nous allons maintenant chercher à définir la quantité de mouvement p et l’énergie cinétique
Ec d’une particule en supposant que ces grandeurs sont de la forme suivante :
p = M m, v
v (5.3)
c
et
Ec = Ec m, v
, (5.4)
c
où M(m, v/c) et Ec(m, v/c) sont des fonctions de la masse et du vecteur vitesse de la particule.
Le principe d’équivalence des référentiels galiléens entraîne que M(m, v/c) et Ec(m, v/c)
sont des fonctions universelles de la masse inerte m et du vecteur vitesse v, i.e. des fonctions
qui ne dépendent pas du référentiel galiléen par rapport auquel la particule est décrite. De
plus le principe d’isotropie de l’espace implique que M(m, v/c) et Ec(m, v/c) doivent dépendre
seulement de m et de la valeur absolue de v ou encore du carré de v. En conséquence on cherche
à déterminer p et Ec sous la forme
p = M
m, v2
c 2
v (5.5)
1 On évitera de parler de masse relativiste variant avec la vitesse comme on a continué à le faire longtemps
après la naissance de la relativité restreinte. Les anciens traités introduisaient souvent la masse longitudinale
et la masse transversale. La quantité m introduite dans le postulat 5.2.1 était alors souvent appelée la masse
propre.
63

et
où on a posé
Ec = Ec
m, v2
c 2
, (5.6)
v = |v|. (5.7)
On admet que (5.5) et (5.6) coïncident avec les expressions newtoniennes lorsque la vitesse
|v| devient infiniment petite. On doit donc avoir
et
lim
|v|→0 M
2Ec
lim
|v|→0
m, v2
c 2
m, v2
c 2
= m (5.8)
mv 2 = 1. (5.9)
On admet en outre que la valeur absolue de la quantité de mouvement M(m,v 2 /c 2 )v et
l’énergie cinétique Ec(m,v 2 /c 2 ) sont des fonctions continues, monotones croissantes de v sur
l’intervalle 0 ≤ v < c. Comme la quantité de mouvement et l’énergie cinétique doivent prendre
la valeur nulle lorsque v = 0 d’après (5.8) et (5.9), les fonctions M(m,v 2 /c 2 ), M(m,v 2 /c 2 )v et
Ec(m,v 2 /c 2 ) sont > 0 lorsque v = 0.
Sous ces hypothèses, on démontre que les fonctions universelles M(m,v 2 /c 2 ) et Ec(m,v 2 /c 2 )
sont complètement déterminées en écrivant que lors d’une collision élastique de deux particules
de masses identiques, la somme vectorielle des quantités de mouvement et la somme des énergies
totales sont conservées quel que soit le référentiel gali̷léen dans lequel on décrit le processus (voir
Annexe D). On trouve ainsi qu’une particule de vitesse v a pour quantité de mouvement le
vecteur
et pour énergie cinétique la quantité
p = mv
1 − v2
c2 ⎛
⎞
(5.10)
Ec = mc 2
⎜ 1
⎜
⎝
1 − v2
c2 ⎟
− 1⎟
⎠ . (5.11)
Lorsque la vitesse de la particule est petite devant la vitesse fondamentale c, on peut faire un
développement approché des seconds membres de (5.11) et (5.10). Compte tenu de (1−x 2 ) −1/2 ≈
1 + 1
2 x2 + 3
8 x4 + ..., on obtient
et
p = m
Ec = 1
2 mv2
1 + 1 v
2
2
+ ... v (5.12)
c2 1 + 3
4
v2
+ ... . (5.13)
c2 Ces deux dernières formules montrent comment les expressions relativistes de la quantité de
mouvement et de l’énergie cinétique diffèrent des expressions newtoniennes aux faibles vitesses.
64

5.3 Energie d’une particule. Inertie de l’énergie
La formule (5.11) suggère que la quantité mc 2 est une énergie qui appartient en propre
à la particule lorsque celle-ci est au repos par rapport au référentiel choisi pour décrire les
phénomènes. On peut montrer la validité de ce point de vue en considérant le cas d’un choc
mou de deux particules de masses identiques m0 animées de vitesse opposées avant la collision.
Dans un référentiel galiléen S, donnons-nous deux particules isolées (1) et (2) identiques se
mouvant sur la même ligne droite avec des vitesses v(1) et v(2) opposées : v(2) = −v(1). On peut
toujours choisir l’origine O et l’axe Ox 1 de telle sorte que le mouvement des deux particules
s’effectue sur Ox 1 et que la collision frontale se produise en O. On appelle m0 la masse de
chaque particule incidente. On suppose que la collision est un choc tel que les deux particules
fusionnent parfaitement en donnant une particule unique ayant une masse M (choc mou). Il
résulte immédiatement de la conservation de la quantité de mouvement totale que la particule
résultante est au repos par rapport au référentiel S. Pour simplifier, nous posons
v = v 1 (1) = −v 1 (2). (5.14)
Pour déterminer la masse M de la particule résultante, décrivons la collision dans le référentiel
galiléen S ′ se mouvant avec la vitesse v(1) par rapport au référentiel S. Nous supposons que les
axes de S et de S ′ sont disposés comme on l’a représenté sur la Fig. 4.1 du chapitre précédent.
Par rapport à S ′ , la vitesse v1′ (1) de la particule (1) est nulle et la vitesse v1′
(2) de la particule (2)
est selon la loi de composition des vitesses énoncée par les éqs. (4.35) (w doit être remplacé ici
par v) :
v 1′ −v − v
(2) =
1 − v(−v)
c2 = − 2v
1 + v2
c2 . (5.15)
La vitesse de la particule résultante par rapport à S ′ est évidemment −v. La conservation
de la quantité de mouvement totale se traduit donc dans S ′ par l’équation
−
1
−
m0
c 2
4v2
1+ v2
c2 2 2v
1 + v2
c 2
= − Mv
1 − v2
c2 . (5.16)
Après une division des deux membres par −v et un petit calcul, (5.16) donne pour la masse
de la particule résultant de la collision :
M = 2m0
1 − v2
c2 . (5.17)
Cette formule montre que la masse M de la particule résultant d’un choc parfaitement mou,
i.e. sans rebond, est plus grande que la somme des masses m0 des particules incidentes. D’où
la conclusion fondamentale : le principe newtonien stipulant que la masse inerte d’un système
est égale à la somme des masses inertes des particules constituant ce système ne peut être
maintenu.
Nous allons voir que la relation (5.17) permet d’établir l’équivalence entre masse inerte et
énergie au repos à condition d’admettre la validité des trois hypothèses suivantes :
65

1.— On peut attribuer à toute particule de masse inerte m une énergie définie par une
relation de la forme
E = Ec + Er, (5.18)
où Ec est l’énergie cinétique donnée par (5.11) et Er est l’énergie au repos de la particule.
2.— L’énergie au repos d’une telle particule dépend uniquement de sa masse inerte. Il résulte
alors du principe d’équivalence des référentiels galiléens que Er est indépendante du référentiel
galiléen. Autrement dit, Er est une fonction universelle de m, ce qui nous permet de poser
Er = Er(mc 2 ). (5.19)
3.— La fonction universelle Er(mc 2 ) est une fonction continue de m telle que
Er(0) = 0. (5.20)
Il est possible de déterminer la fonction Er(mc2 ) en écrivant la conservation de l’énergie
totale. Dans le référentiel S, on a en effet d’après (5.18) et (5.19) :
⎛ ⎞
2m0c 2
⎜ 1
⎜
⎝
1 − v2
c2 ⎟
− 1⎟
⎠ + 2Er(m0c 2 ) = Er(Mc 2 ). (5.21)
Compte tenu de (5.17), (5.21) s’écrit
Er(Mc 2 ) − Mc 2 = 2
Er(m0c 2 ) − m0c 2
. (5.22)
Posons M = 2m1. La relation (5.22) s’écrit alors
Er(2m1c 2 ) − 2m1c 2 = 2Er(m0c 2 ) − 2m0c 2 . (5.23)
Cette relation doit être vérifiée pour toute masse m0 et pour toute masse m1 ≥ m0 puisque
v peut être choisie arbitrairement entre 0 et c. Pour m1 = m0, (5.23) donne
Er(2m0c 2 ) = 2Er(m0c 2 ) (5.24)
La relation (5.24) entraîne évidemment Er(2m1c 2 ) = 2Er(m1c 2 ) puisque la fonction E(mc 2 )
est universelle. L’équation (5.23) peut donc s’écrire après division des deux membres par 2 :
Er(m1c 2 ) − Er(m0c 2 ) = m1c 2 − m0c 2 . (5.25)
Il résulte immédiatement de l’équation (5.25) et de l’hypothèse 3 que la fonction universelle
Er(m) est donnée par la célèbre relation
Er(mc 2 ) = mc 2 . (5.26)
Nous avons établi cette relation en étudiant le choc mou de deux particules, mais nous
aurions pu par exemple remplacer les deux particules par deux sphères matérielles identiques
subissant un choc mou. C’est pourquoi on admet la validité générale du postulat qui suit.
Postulat 5.3.1 (Principe de l’inertie de l’énergie) Tout système physique de masse inerte
m possède une énergie au repos Er = mc 2 . Réciproquement, tout système possédant une énergie
totale au repos Er a une masse inerte m = Er/c 2 .
Le postulat 5.3.1 s’est avéré en excellent accord avec l’expérience. Cette extension du principe
de l’inertie de l’énergie est à la base, on le sait, de l’exploitation de l’énergie nucléaire et
permet d’expliquer le rayonnement des étoiles.
66

5.4 Relations entre l’énergie et la quantité de mouvement
d’une particule
Il résulte de ce qui précède qu’on peut attribuer à toute particule de masse inerte m et de
vecteur vitesse v une énergie E et une quantité de mouvement p respectivement définies par
et
E = Er + Ec = mc2
1 − v2
c2 (5.27)
p = mv
1 − v2
c2 . (5.28)
L’énergie E peut s’exprimer en fonction de m et de p. Formons en effet le carré de chacun
des membres de (5.28). Il vient :
p 2 = m2v2 1 − v2
c2 ,
ce qui entraîne
m 2 c 2 + p 2 = m 2 c 2 + m2v2 1 − v2
c2 = m2c2 1 − v2
c2 . (5.29)
Rapprochée de l’expression de l’énergie donnée par (5.27), l’équation (5.29) montre que
l’énergie d’une particule s’exprime en fonction de la masse et de la quantité de mouvement par
la relation
E =
m 2 c 4 + c 2 p 2 . (5.30)
On peut également exprimer le vecteur quantité de mouvement en fonction de l’énergie E
et du vecteur vitesse v. En effet, l’équation (5.27) donne
m
1 − v2
c2 = E
c 2.
En substituant (5.31) dans (5.28), il vient donc :
p = E
c 2v.
(5.31)
(5.32)
Les relations (5.30) et (5.32) sont fondamentales en théorie des particules de masse non
nulle. Elles permettent également d’élaborer la théorie des particules de masse nulle, comme
nous allons le voir maintenant.
5.5 Particules de masse nulle
67

Les formules obtenues jusqu’ici montrent que si la masse d’une particule est supposée = 0,
l’énergie et la quantité de mouvement sont des quantités réelles si et seulement si la vitesse |v|
de la particule est inférieure à c. Nous pouvons en conclure qu’une particule de masse inerte m
réelle non nulle a une ligne d’univers du genre temps.
Peut-il exister des particules de masse nulle ? Les formules (5.27) et (5.28) montrent qu’une
particule de masse nulle se mouvant avec une vitesse inférieure à c possède une énergie et une
quantité de mouvement toutes deux nulles. Or, un objet ne transportant ni énergie ni quantité
de mouvement ne semble pas pouvoir constituer une entité physique observable. Le formalisme
de la théorie rend toutefois possible l’existence de masses nulles transportant une énergie et une
quantité de mouvement différentes de zéro. On voit en effet que poser m = 0 dans l’ équation
(5.30) entraîne la relation
E = c|p|
qui est compatible avec l’équation (5.32) et avec la condition E = 0 si la vitesse de la particule
est égale à la vitesse fondamentale c. Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante.
Proposition 5.5.1 Une particule se mouvant avec une vitesse égale à c est une particule de
masse nulle. L’énergie E et la quantité de mouvement p d’une telle particule sont liées par la
relation :
|p| = E
. (5.33)
c
On notera que la relation fondamentale (5.33) peut encore s’écrire de manière équivalente
E2 c2 − p2 = 0. (5.34)
Nous avons vu qu’on pouvait admettre expérimentalement que la vitesse de propagation
de la lumière dans le vide est égale à la vitesse fondamentale. Par ailleurs, l’étude de l’effet
photoélectrique a conduit Einstein à admettre que l’énergie transportée par une onde électromagnétique
monochromatique de fréquence ν est distribuée en paquets discrets ou quanta d’énergie
E = hν, où h est la constante de Planck2 . Ces quanta d’énergie lumineuse sont appelés des
photons. La relativité restreinte conduit donc à admettre que les photons sont des particules de
masse nulle.
Il résulte de (5.33) qu’un photon d’énergie hν possède une quantité de mouvement donnée
par
|p| = hν
. (5.35)
c
5.6 Loi fondamentale de la dynamique
Donnons-nous un référentiel galiléen S et considérons une particule de masse m soumise
à des forces dont la résultante dans S est le vecteur F. En physique prérelativiste, la loi
fondamentale de la dynamique (ou seconde loi de Newton) se traduit par l’équation
2 h = 6,626 × 10 −34 J.s.
F = d(mv)
. (5.36)
dt
68

qui redonne la relation bien connue
F = ma, a = dv
, (5.37)
dt
lorsque la masse m est invariable.
La relation (5.36) suggère de formuler le postulat suivant, qui s’est avérée en excellent accord
avec l’expérience :
Postulat 5.6.1 (Principe fondamental de la dynamique relativiste) Dans un référentiel
galiléen arbitraire, le mouvement d’une particule de masse inerte m soumise à des forces de
résultante F est gouverné par l’équation
F = dp
dt
Ce postulat entraîne la proposition qui suit.
⎛
⎞
d ⎜ mv
= ⎜
dt
⎝
1 − v2
c2 ⎟
⎠ . (5.38)
Proposition 5.6.1 Soit P une particule de masse m soumise à des forces de résultante F. La
variation de l’énergie E de la particule est lié à la puissance de la force résultante F par la
relation :
dE
dt = F.v + c2
dm
dt
1 − v2
.
c2 (5.39)
Démonstration de la proposition 5.6.1.— En utilisant la règle de dérivation de Leibniz, la
loi de la dynamique (5.38) s’écrit
à condition de poser 3
F = dm
dt
v
√
1 − β2 m dv
+ √
1 − β2 dt +
β = |v|
c
m
(1 − β 2 ) 3/2
1
c2
v. dv
v, (5.40)
dt
v
= . (5.41)
c
Notant que v.dv/dt = c 2 βdβ/dt, on déduit de (5.40) que la puissance de F s’écrit
Or, on voit que
F.v = mc2
√
1 − β2 βdβ
dt + mc2β2 (1 − β2 ) 3/2βdβ dt +
mc2 √
1 − β2 βdβ
dt + mc2β2 (1 − β2 ) 3/2βdβ dt ≡
≡
β2 √
1 − β2 c2dm . (5.42)
dt
mc2 (1 − β2 ) 3/2[1 − β2 + β 2 ]β dβ
dt
mc2 (1 − β2 ) 3/2βdβ dt
3 On notera que la quantité β définie par (5.41) est relative à la particule, alors que la quantité β du chap. 4
était relative au référentiel galiléen utilisé pour décrire le mouvement.
69

Mais on vérifie facilement que
mc2 (1 − β2 ) 3/2βdβ dt
2 d mc
= √ −
dt 1 − β2 Substituons le second membre de (5.43) dans (5.42). Il vient
Du fait que
l’équation (5.44) s’écrit
F.v = d
2 mc
√ −
dt 1 − β2 1
−√
1 − β2 c2dm
dt +
1
√ 1 − β 2 c2dm
dt +
β 2
√ 1 − β 2 c2dm
dt
1
√ 1 − β 2 c2dm
dt
β 2
√ 1 − β 2 c2dm
dt
≡ − 1 − β2c 2dm
dt
F.v = d
2 mc
√ − c
dt 1 − β2 2dm
1 − β
dt
2
(5.43)
(5.44)
Cette équation est équivalente à (5.39). C. Q. F. D.
Lorsque la masse m reste invariable, l’énergie E figurant dans la formule (5.39) peut être
remplacée par l’énergie cinétique Ec définie par (5.11). On a alors la relation
dEc
dt
= F.v, (5.45)
équation formellement analogue à la relation existant entre la variation d’énergie cinétique et la
puissance de la force en mécanique newtonienne usuelle. L’équation (5.45) est souvent présentée
comme une justification a posteriori du postulat fondamental 5.6.1.
En multipliant le numérateur et le dénominateur par c 2 , l’équation (5.38) de la dynamique
peut encore s’écrire
F =
m
1 − v2
c2 dv
dt
⎛
⎞
v d ⎜ mc
+ ⎜
c2. dt
⎝
2
1 − v2
c2 ⎟
⎠ =
m
1 − v2
c 2
a + v
c 2
dE
. (5.46)
dt
Remplaçons dE/dt par l’expression (5.39) dans (5.46). On voit que l’équation fondamentale
de la dynamique peut s’écrire sous la forme
F =
m
1 − v2
c2 ⎡
a + ⎣ (F.v)
+ 1 −
c2 v2
c2 ⎤
dm
⎦ v. (5.47)
dt
L’équation (5.47) montre qu’en relativité le 3-vecteur force et le 3-vecteur accélération ne
sont généralement pas colinéaires. On notera que si la masse de la particule demeure constante
au cours de l’interaction, la colinéarité de F et de a se produit si et seulement si F est orthogonal
à v ou parallèle à v.
70

5.7 Particule chargée dans un champ électromagnétique
Pour illustrer ce qui précède, considérons une particule de charge électrique e en mouvement
dans un champ électromagnétique donné 4 , caractérisé par un champ électrique E(t,x) et une
induction magnétique B(t,x). On admet que le premier membre de l’équation fondamentale de
la dynamique s’identifie à la force de Lorentz F = e [E + v × B]. Le mouvement de la particule
satisfait donc l’équation 5
⎛
d
⎝
dt
mv
1 − v2
c2 ⎞
⎠ = e [E + v × B] . (5.48)
Dans tout ce qui suit, on suppose que la masse de la particule est invariable. On notera que
l’équation (5.48) se réduit à
ma = e [E + v × B] (5.49)
si la particule se meut avec une vitesse très petite par rapport à la vitesse fondamentale c.
La partie de la force de Lorentz due à l’induction magnétique B est orthogonale au vecteur
vitesse : seul le champ électrique fournit un travail. L’équation (5.39) s’écrit donc ici
⎛
d
⎝
dt
mc2
1 − v2
c2 ⎞
⎠ dt = e(E.v). (5.50)
Dans la théorie de Maxwell, le champ électrique E(t,x) s’exprime à partir d’un potentiel
V (t,x) et d’un potentiel vecteur A(t,x) par la relation
où ∇V est le vecteur gradient du potentiel scalaire V . On a donc
E = −∇V − ∂A
, (5.51)
∂t
e(E.v) = −ev.∇V − ev. ∂A
. (5.52)
∂t
Or, la dérivée totale de V (t,x) par rapport au temps le long de la ligne d’univers de la
particule chargée est
ce qui entraîne
dV
dt
ev.∇V = e dV
dt
Substituons (5.54) dans (5.52). Il vient
e(E.v) = −e dV
dt
∂V
= v.∇V + , (5.53)
∂t
+ e∂V
∂t
− e∂V . (5.54)
∂t
− ev.∂A . (5.55)
∂t
4 On veut dire par là que le champ électromagnétique est imposé par un ou des systèmes extérieurs et n’est en
aucune manière influencé par la particule chargée considérée. On dit aussi que cette particule est une particule
d’épreuve. On notera que cette approche n’est acceptable que si on peut négliger l’émission de radiation par la
particule chargée.
5 Toutes les quantités sont exprimées dans le sytème SI.
71

Substituons maintenant (5.55) dans (5.50) . Nous obtenons la relation :
qui s’écrit encore
⎛
d
⎝
dt
mc2
1 − v2
c2 ⎞
⎠ = −e dV
dt
⎛
d
⎝
dt
mc2
1 − v2
c2 ⎞
+ e
∂V
∂t
∂V
+ eV ⎠ = e
∂t
− v.∂A
∂t
− v.∂A
∂t
(5.56)
. (5.57)
Le second membre de (5.57) n’est généralement pas une différentielle totale le long de la
ligne d’univers de la particule. Il est donc en règle générale impossible de définir une énergie
totale conservée pour une particule chargée soumise à un champ électromagnétique donné.
Lorsque le champ électromagnétique est indépendant du temps (on dit aussi constant ou
encore stationnaire), il est toutefois possible de définir une loi de conservation de l’énergie.
Dans ce cas en effet, on peut choisir la jauge du champ de telle sorte que les potentiels V et A
soient des fonctions indépendantes du temps, ce qui entraîne la nullité du second membre de
(5.57). La quantité figurant entre les parenthèses dans le premier membre est alors constante
au cours du mouvement de la particule. Nous pouvons donc énoncer la proposition qui suit.
Proposition 5.7.1 Dans un champ électromagnétique indépendant du temps de potentiel V =
V (x), le mouvement d’une particule chargée de masse invariable m et de charge e est tel que
la relation de conservation
mc2
1 − v2
c2 + eV (x) = Cte (5.58)
soit satisfaite.
L’intégrale première (5.58) est évidemment précieuse pour l’étude du mouvement, comme
on va le voir dans la section suivante.
5.8 Un exemple : mouvement d’une charge dans un champ
magnétique constant uniforme
Supposons qu’il n’y ait pas de champ électrique et que le champ magnétique soit indépendant
du temps6 . Le premier membre de (5.58) se confond alors avec l’énergie de la particule7
E =
mc 2 /
1 − v2
c 2 puisqu’on peut toujours poser V = 0. On a dès lors l’intégrale première
E = mc2
1 − v2
c2 = Cte. (5.59)
6On notera que d’après les équations de Maxwell, E(t,x) = 0 entraîne ∂B(t,x)/∂t = 0 dans les régions
vides de charges.
7Dans cette section, nous utilisons la lettre calligraphique E pour l’énergie de la particule afin d’éviter toute
confusion avec le champ électrique.
72

Il est commode décrire (5.38) en remplaçant p par son expression donnée par (5.32). On
obtient ainsi l’équation du mouvement
dp
dt
E
=
c2 dv
dt
= ev × B,
soit en divisant les deux membres par la constante E/c 2
dv
dt
= ec2
E
(v × B). (5.60)
On peut remplacer E par mc 2 lorsque la particule est de vitesse très petite par rapport à c
(approximation non relativiste). Lae rapport ec 2 /E se réduit alors à e/m.
Lorsque le champ magnétique constant est en outre supposé uniforme, on peut poser
B = Bk, (5.61)
où B est une constante et k un vecteur unitaire constant. A condition de poser
l’équation du mouvement (5.60) s’écrit alors
dv
dt
ω = eBc2
, (5.62)
E
= ω(v × k). (5.63)
La quantité ω est appelée fréquence synchrotron ou encore fréquence de gyration. On notera
que pour une particule de masse donnée, la fréquence synchrotron dépend de la vitesse de la
particule. Il suit en effet de (5.59) que
ω = eB
m
1
, (5.64)
Γ
où Γ est le facteur de Lorentz de la particule (cf. Chap. 3). La quantité eB/m est appelée
fréquence cyclotron.
À titre d’exercice, on déduira de cette équation que la trajectoire de la particule est une
hélice dont l’axe est parallèle au vecteur B et dont le rayon R est donné par
R = E(v⊥)0
, (5.65)
e|B|c2 où (v⊥)0 est la valeur absolue de la projection du vecteur vitesse initiale de la particule sur un
plan orthogonal à B.
Pour démontrer cette relation, on pourra au choix expliciter et intégrer les équations (5.63)
dans un système d’axes orthonormés (O,x 1 ,x 2 ,x 3 ) tel que Ox 3 soit parallèle à B, ou bien
utiliser une méthode vectorielle fondée sur la décomposition du vecteur vitesse v de la particule
en un vecteur v|| parallèle à B et un vecteur v⊥ orthogonal à B.
La formule (5.65) est à la base de la conception des synchrocyclotrons et des synchrotrons,
accélérateurs de particules permettant d’obtenir des vitesses relativistes. Le complexe du CERN
73

près de Genève abrite plusieurs synchrotrons, dont le plus grand du monde, le Large Hadron
Collider (LHC), inauguré en 2008.
Lorsque |v| est très faible devant c, on a E ≈ mc 2 . La relation (5.65) se réduit alors à
R ≈ m(v⊥)0
e|B|
(5.66)
Cette relation approchée est suffisante pour rendre compte du fonctionnement des cyclotrons,
qui sont des accélérateurs de particules limités à des vitesses petites devant c.
74

Chapitre 6
Dynamique relativiste (II)
Dans le chapitre précédent, nous avons montré comment on peut édifier la dynamique
relativiste des particules en maintenant la distinction entre l’espace affine à trois dimensions
associé à un référentiel galiléen arbitraire et le temps dans le même référentiel. Le but de ce
nouveau chapitre est formuler les équations de la dynamique en termes de vecteurs et de tenseurs
sur l’espace-temps de Minkowski. Cette reconstruction est en fait indispensable pour développer
une dynamique des milieux continus, et préparer ainsi le terrain aux théories relativistes de la
gravitation.
6.1 Quadri-vecteur vitesse unitaire d’une particule
6.2 Quadrivecteur impulsion-énergie
6.3 Quadrivecteur accélération
6.4 Loi de la dynamique en formalisme quadridimensionnel
6.5 Dynamique des milieux continus
75

Chapitre 7
Gravitation et relativité
La gravitation est une interaction qui rend les corps interdépendants les uns des autres,
indépendamment de leurs charges électriques ou des actions de contact qu’ils peuvent subir.
Dans le chapitre 5, nous avons supposé de manière explicite l’absence de cette interaction pour
énoncer le principe d’équivalence des référentiels galiléens (ou principe de relativité). Il nous
allons voir maintenant que les idées relativistes entraînent inéluctablement une modification
radicale de notre conception de l’interaction gravitationnelle. Nous commençons par exposer la
théorie de Newton dans le cadre préeinsteinien.
7.1 La théorie newtonienne de la gravitation
Dans ce chapitre, nous considérons uniquement des particules de masse invariable.
Loi newtonienne de la gravitation.— Soient P1 et P2 deux particules quelconques dont
les vecteurs position respectifs sont des fonctions du temps x1(t) et x2(t). La particule P1 exerce
sur la particule P2 une force attractive dont l’expression F 12(t) à l’instant t est donnée par :
F 12(t) = −G
m1m2
|x2(t) − x1(t)| 2
x2(t) − x1(t)
, (7.1)
|x2(t) − x1(t)|
où m1 et m2 sont les masses inertes respectives de P1 et P2 et G est une constante universelle,
appelée constante de la gravitation. La particule P2 exerce sur P1 une force F 21(t) = −F 12(t).
Rappelons qu’on appelle masse inerte d’une particule P le coefficient m figurant dans
l’énoncé de la loi fondamentale de la dynamique galiléenne
F étant la résultante des forces agissant sur P à l’instant t.
F = ma, a(t) = d2 x(t)
dt 2 , (7.2)
La loi de gravitation (7.1) présente un certain nombre de propriétés fondamentales qu’il
importe de dégager.
76

P1.— La force gravitationnelle newtonienne est une action à distance. La théorie newtonienne
ne fournit en effet aucune hypothèse plausible permettant de concevoir la gravitation
comme une action de contact.
P2.— Du fait de la décroissance de |F | selon une loi de puissance de la distance, la gravitation
est une interaction dite de portée infinie, par opposition aux forces décroissant exponentiellement,
qui sont dites de portée finie (interaction décrite par un potentiel de Yukawa, par
exemple).
P3.— En accord avec l’invariance galiléenne, la propagation de la gravitation s’effectue avec
une vitesse infinie. On dit encore que l’interaction gravitationnelle newtonienne est instantanée.
P4.— L’expression (7.1) est valide qu’il y ait ou non d’autres masses. La théorie newtonienne
admet donc qu’il n’y a pas d’effet d’écran. C’est pourquoi on généralise la formule (7.1) en
posant que la force gravitationnelle exercée par une distribution volumique de matière sur une
particule de masse m en x à l’instant t est donnée par :
F(x,t) = −Gm
V (t)
ρ(x ′ ,t)
|x − x ′ | 2
x − x ′
|x − x ′ | d3 x ′ , (7.3)
où ρ(x ′ ,t) est la densité volumique de masse inerte et V (t) est le volume occupé par la distribution
considérée à l’instant t.
P5.— On démontre que l’équation (7.3) peut s’écrire sous la forme :
F(x,t) = ∇xU(x,t), (7.4)
où ∇x désigne l’opérateur gradient opérant au point x et U est la fonction définie par
ρ(x
U(x,t) = G
V (t)
′ ,t)
|x − x ′ | d3x ′ . (7.5)
La fonction U(x,t) est appelée le potentiel de gravitation créé à l’instant t par la distribution
matérielle répartie dans le volume V (t). On montre qu’à l’extérieur du volume V (t), U(x,t) est
solution de l’équation de Laplace :
∆2U = 0, (7.6)
et qu’à l’intérieur du volume V empli de matière, U(x,t) vérifie l’équation de Poisson :
∆2U(x,t) = −4πGρ(x,t), (7.7)
où ∆2 est l’opérateur laplacien, défini en coordonnées cartésiennes orthonormées par
∆2U(x,t) = δij
∂ 2 U
∂xi∂xj = ∂2U (∂x1 ) 2 + ∂2U (∂x2 ) 2 + ∂2U 77
(∂x 3 ) 2.
(7.8)

P6.— Les quantités m1 et m2 figurant dans l’équation (7.1) sont les masses inertes des
particules P1 et P2, avons-nous dit. Si nous supposons que le système constitué par les particules
P1 et P2 est isolé, l’équation du mouvement de P2 est d’après (7.2) :
m2
d2x2(t) = −G
dt2 m1m2
|x2(t) − x1(t)| 2
En divisant les deux membres de (7.2) par m2, il vient l’équation :
d2x2(t) = −G
dt2 m1
|x2(t) − x1(t)| 2
x2(t) − x1(t)
. (7.9)
|x2(t) − x1(t)|
x2(t) − x1(t)
, (7.10)
|x2(t) − x1(t)|
dans laquelle la masse inerte m2 ne figure pas. On obtient bien entendu l’équation du mouvement
de P1 en échangeant les rôles de m1 et m2 :
d2x1(t) = G
dt2 m2
|x2(t) − x1(t)| 2
x2(t) − x1(t)
, (7.11)
|x2(t) − x1(t)|
et là encore, on constate l’absence de la masse inerte de la particule dont on décrit le mouvement.
En mécanique newtonienne, les équations du mouvement des particules P1 et P2 en interaction
gravitationnelle ont la forme du système (7.10)-(7.11) dans n’importe quel référentiel
galiléen. La loi de gravitation newtonienne satisfait donc le principe de relativité galiléenne.
La loi (7.10) entraîne que deux particules de masses inertes distinctes lâchées en un point
donné au même instant avec des vecteurs vitesse identiques restent en coïncidence, pourvu
que ces deux particules soient seulement soumises à des forces gravitationnelles. Cette caractéristique
fondamentale de l’interaction gravitationnelle, postulée par Newton, est en fait
remarquablement vérifiée avec un précision de 10 −13 par l’expérience en laboratoire. On l’appelle
le principe d’équivalence faible ou selon la terminologie que nous adopterons la propriété
d’universalité de la loi de chute libre. On parle d’universalité car nul objet n’échappe à la force
gravitationnelle : il n’existe aucun moyen de construire une cage de Faraday gravitationnelle.
Soulignons que par chute libre, nous entendons le mouvement d’une particule qui n’est soumise
à aucune autre force que la gravitation.
Historiquement, la propriété d’universalité de la loi de chute libre a servi de fil directeur
pour introduire les théories métriques de la gravitation. Pour l’instant, nous nous contenterons
de noter à quel point il est surprenant que les quantités m1 et m2 figurant dans (7.1) soient les
masses inertes des particules P1 et P2. A priori, une loi de force centrale attractive en inverse
du carré de la distance devrait s’écrire
F 12 = −G M(a) 1 M (p)
2
|x2 − x1| 2
x2 − x1
, (7.12)
|x2 − x1|
où M (a)
1 désignerait la masse grave (ou gravitationnelle) active créant la force F 12 et M (p)
2
désignerait la masse grave (ou gravitationnelle) passive subissant l’action de la masse active
M (a)
1 . Naturellement, la force F 21 agissant sur la particule P1 devrait s’écrire
F 21 = G M(p) 1 M (a)
2
|x2 − x1| 2
78
x2 − x1
, (7.13)
|x2 − x1|

M (p)
1 étant la masse grave passive de la particule P1 et M (a)
2 la masse grave active de la particule
P2. Il n’y a aucune raison d’identifier la masse grave active et la masse grave passive avec la
masse inerte qui est une notion introduite indépendamment de la gravitation. On peut tout au
plus limiter l’arbitraire sur le rapport (masse grave active)/(masse grave passive) en se référant
au principe de l’égalité de l’action et de la réaction. Il découle en effet immédiatement des
équations (7.12) et (7.13) et de F 12 + F 21 = 0 que
M (a)
1
M (p)
1
= M(a) 2
M (p)
2
= constante universelle. (7.14)
La loi de Newton ne se contente pas de postuler (7.14) : elle identifie purement et simplement
sans aucunement l’expliquer la masse inerte d’une particule avec sa masse grave passive (à une
constante multiplicative universelle près, bien entendu, prise ici égale à l’unité).
P7.— Il est enfin un caractère de la gravitation qui reste encore très énigmatique : la
force gravitationnelle est extrêmement faible. La constante de la gravitation ayant pour valeur
numérique G = 6, 67 × 10 −11 m 3 .s −2 .kg −1 , le rapport de la force gravitationnelle et de la force
électrostatique qu’exercent l’un sur l’autre deux protons est donné par
Fgrav
Felec
mp étant la masse du proton et e sa charge.
= 4πε0G m2 p
e 2 ≈ 8, 3 × 10−37 ,
7.2 Analyse critique de la théorie newtonienne
La théorie newtonienne a permis une description remarquablement précise d’un ensemble
impressionnant de phénomènes physiques (mouvements et figures des corps célestes, comportements
des fluides, etc.). Pourtant, il est clair qu’en dépit de ses succès, la conception newtonienne
présente de graves défauts internes et s’est en outre trouvée en contradiction avec l’observation
dès la seconde moitié du XIX e siècle.
Incohérences conceptuelles
1.— Nous avons vu que la théorie newtonienne décrit la gravitation comme une action à
distance. Or, ce point de vue est acceptable comme description mathématique, mais pas comme
théorie “fondamentale”. Il y a en effet action seulement là où il y a un être pour effectuer
cette action. L’idée d’action à distance est donc inintelligible, comme l’a souligné le philosophe
Leibniz, contemporain de Newton 1 .
2.— Un autre défaut tout aussi grave de la conception newtonienne est de considérer la
gravitation comme une interaction se propageant avec une vitesse infinie et d’entrer ainsi en
1 Newton a reconnu ce point, tout en soulignant qu’il n’avait pu trouver un mécanisme physique plausible
pour expliquer l’attraction par des actions de contact.
79

contradiction frontale avec la relativité restreinte 2 , qui s’est révélée en parfait accord avec
l’expérience. La théorie de la gravitation doit donc être profondément modifiée. Par analogie
avec la théorie de l’électromagnétisme proposée par Maxwell, il est naturel de supposer que
la gravitation est un champ ayant une propagation s’effectuant avec une vitesse cg finie. Si
on admettait en outre que l’interaction gravitationnelle satisfait au principe de relativité dans
l’espace-temps de Minkowski, on devrait même en conclure que cg = c et s’attendre notamment
à l’existence d’ondes gravitationnelles se propageant avec la vitesse fondamentale, comme l’avait
déjà vu H. Poincaré dès 1905 3 .
3.— L’équation de Poisson (7.7) couple le potentiel de gravitation avec la densité ρ de
masse inerte. Or, la relativité restreinte montre que toutes les formes d’énergie contribuent
à la masse d’un système matériel. Une théorie cohérente devrait donc considérer toutes les
distributions d’énergie comme des sources du champ gravitationnel. Par exemple, un champ
électromagnétique devrait engendrer un champ gravitationnel.
4.— Il serait peu cohérent d’admettre qu’une distribution d’énergie puisse créer un champ
gravitationnel sans subir l’action du champ créé par une autre distibution d’énergie (dans
le cas contraire, il existerait des situations physiques dans lesquelles le principe d’égalité de
l’action et de la réaction serait violé, ce qui pourrait entraîner la possibilité du mouvement
perpétuel, par ex.). Une théorie viable devrait donc prévoir qu’une masse de matière comme le
Soleil courbe un rayon lumineux tout comme elle incurve la trajectoire d’une planète ou d’une
comète. L’introduction des quanta de lumière ou photons conforte ce point de vue. N’oublions
pas que des calculs de déflexion de la lumière avaient déjà été tentés dans le cadre newtonien
par Cavendish (1784) et Soldner (1801) précisément en supposant une structure corpusculaire
de la lumière.
Désaccord historique avec l’observation
Avant même l’irruption des idées relativistes, la théorie newtonienne présentait un grave
désaccord avec les observations astronomiques. Dès 1859, Le Verrier avait en effet mis en
évidence une avance résiduelle du périhélie de Mercure qu’il estimait être de l’ordre de 38”/siècle,
inexpliquée par la mécanique céleste. L’existence de ce désaccord fut confirmé ultérieurement
par Newcomb (1882, 1895), puis par Doolitle (1912). La valeur actuellement admise pour
l’avance non newtonienne du périhélie de Mercure est 42,98”/siècle. Diverses explications ad
hoc furent proposées en restant dans le cadre de la physique galiléenne : existence d’une planète
intramercurielle (Vulcain), perturbation produite par un nuage de poussières à l’origine de la
lumière zodiacale 4 , modification de la loi de gravitation visant à se rapprocher d’un modèle
électrodynamique, etc. Ces tentatives ne purent cependant pas s’imposer, soit parce qu’elles
ne furent pas confirmées par l’observation (on n’a jamais observé de planète intramercurielle),
2 Notons que même avant l’apparition des théories relativistes, la propagation instantanée de la gravitation
était très difficilement acceptable. Comment concevoir en effet que si je bouge mon stylo, l’univers entier en soit
instantanément informé ? Le son, les ondes sismiques, la lumière se propagent avec une vitesse finie. Pourquoi
la gravitation ferait-elle exception ?
3 Cf. Sur la dynamique de l’électron, Rendiconti del Circolo mathematico di Palermo, t. 21, 1906. Réédité par
J. Gabay, Paris.
4 Déjà une hypothèse de matière noire...
80

soit parce qu’elles contenaient trop d’arbitraire (poussières, modèles inspirés par l’electrodynamique)
ou manquaient de cohérence interne.
7.3 Introduction des théories métriques
À l’évidence, les conceptions relativistes exigent l’abandon de la théorie newtonienne de
la gravitation. De prime abord, il peut sembler naturel de chercher à construire une (ou des)
nouvelle(s) théorie(s) du champ de gravitation en conservant le cadre de l’espace-temps de
Minkowski. Cette démarche a suscité de nombreux travaux 5 . On sait aujourd’hui que cette
construction est possible. Elle s’avère toutefois beaucoup moins simple conceptuellement que
la démarche consistant à munir la variété des événements d’une métrique plus générale que la
métrique de Minkowski, selon l’approche initiée par Einstein. C’est cette approche géométrique
que l’on retient ici.
L’abandon du cadre spatio-temporel de Minkowski est motivé par un constat simple : le
caractère universel de l’interaction gravitationnelle rend le principe d’inertie invérifiable. En
effet, pour être considérée comme isolée, une particule devrait être située à une distance infinie
de toutes les concentrations matérielles, de manière à ne subir aucune action gravitationnelle
mesurable. Or, rien n’indique que la matière et l’énergie de l’univers soit contenue dans un
volume borné en dehors duquel il y aurait un “vide” d’extension spatiale indéfinie. Nous pouvons
donc accepter l’idée qu’il faut abandonner le principe d’inertie tel que nous l’avons formulé au
chap. 3 et le remplacer par un principe qui tienne compte d’emblée du fait qu’une particule
dépourvue de charge électrique, de moment magnétique et de “spin” n’est pas isolée mais
effectue toujours un mouvement de chute libre dans un champ de gravitation.
Quel serait ce nouveau principe ? Dans la section 7.1, nous avons souligné qu’une particule
en chute libre tombe selon une loi de mouvement indépendante de sa masse inerte (propriété
d’universalité de la loi de chute libre). Une manière naturelle d’expliquer cette indépendance
serait de caractériser le mouvement de chute libre par une loi purement géométrique ne faisant
pas intervenir la masse. Or, il se trouve que la relativité restreinte fournit d’emblée une indication
précise de ce que peut être une telle loi. Dans le chap. 3, nous avons en effet montré que la
ligne d’univers d’une particule en mouvement rectiligne uniforme par rapport à un référentiel
galiléen arbitraire réalisait un extremum (en fait un maximum) de ds. Cette condition signifie
que le mouvement d’une particule isolée dans un espace-temps dépourvu de gravitation est
défini par le principe variationnel 6
δ
dx
ηµν
µ
dℓ
dxν dℓ = 0, (7.15)
dℓ
x µ = x µ (ℓ) étant les équations paramétriques de la ligne d’univers et les points x1 et x2 entre
lesquels on calcule l’intégrale étant maintenues fixes quand on effectue la variation. L’équation
5 dans l’espoir notamment de construire une théorie quantique du champ de gravitation analogue à
l’électrodynamique quantique, mais ces tentatives n’ont pas jusqu’ici été couronnées de succès.
6 sous réserve qu’on choisisse des coordonnées galiléennes.
81

(7.15) peut donc être considérée comme la formulation variationnelle du principe d’inertie dans
l’espace-temps de Minkowski.
Nous sommes ainsi conduits au problème préliminaire suivant :
Problème préliminaire.— Étant donnée une variété des événements dans laquelle l’interaction
gravitationnelle n’est pas négligeable, peut-on se donner un intervalle élémentaire ds2 plus général que la métrique de Minkowski tel que le principe variationnel7
δ ds = 0 (7.16)
rende compte de la chute libre des corps d’épreuve selon la loi de Newton en première approximation?
La réponse à cette question exige certaines définitions et soulève plusieurs problèmes distincts
qu’il faut analyser séparément.
Particule d’épreuve.— Il nous faut d’abord préciser ce qu’on appelle une particule d’épreuve
(on dit aussi une particule-test).
Définition 7.3.1 Une particule d’épreuve est un corps électriquement neutre ayant un champ
gravitationnel propre négligeable et des dimensions si petites que ses paramètres “internes”
(charges 8 , moment magnétique, moment cinétique intrinsèque, etc.) ont une influence négligeable
sur son mouvement.
Cette restriction des postulats fondamentaux aux particules d’épreuve vient de ce que les
développements ultérieurs des théories relativistes de la gravitation ont montré qu’une particule
qui possède certains caractères de “structure interne” comme un moment cinétique interne n’a
pas les mêmes équations de mouvement qu’une particule qui en est dépourvue.
Quel type de ds 2 choisir ?.— Il est nécessaire de spécifier quel type de métrique pourrait
éventuellement généraliser la métrique de Minkowski de manière à rendre compte de la
gravitation.
1. Un premier critère de choix repose sur le théorème suivant que nous énonçons sans
démonstration 9 .
Théorème 7.3.1 Soit (V4,g) une variété riemannienne de dimension 4. Un point x étant
choisi arbitrairement dans V4, il existe des systèmes de coordonnées locales y β qui permettent
d’écrire le ds 2 en x sous la forme
ds 2 p
= (dy
α=0
α ) 2 −
3
(dy
β=p+1
β ) 2 , (7.17)
p étant un entier caractéristique de la métrique tel que 0 ≤ p ≤ 3.
7 Chaque fois que nous invoquons un principe variationnel dans ce chapitre, il est sous-entendu que les
points de V4 entre lesquels on calcule l’intégrale curviligne sont maintenues fixes lorsqu’on effectue la variation,
exactement comme pour l’équation (7.15).
8 La somme algébrique de ces charges doit bien entendu être nulle pour assurer la neutralité électrique globale.
9 Cette propriété découle du fait que la matrice (gµν) est symétrique et inversible, donc diagonalisable.
82

L’entier σ = 2(p + 1) − 4 s’appelle la signature de la métrique g sur V4 (la signature d’une
métrique sur une variété de dimension n serait σ = 2(p + 1) − n, avec 0 ≤ p ≤ n − 1). Pour
que le ds 2 réduit à (7.17) en x ait la forme du ds 2 de Minkowski, il faut que la métrique g soit
de signature σ = −2. Nous supposerons donc désormais que la métrique susceptible de décrire
l’action d’un champ de gravitation est précisément de signature −2, ce qui entraîne p = 0. Ces
métriques sont dites lorentziennes ou encore hyperboliques normales.
2. Dans un domaine D de la variété V4 où se manifeste un champ gravitationnel, le principe
variationnel (7.16) ne doit pas se réduire au principe (7.15), puisque ce dernier conduit au
principe d’inertie. Il ne doit donc pas exister de systèmes de coordonnées locales dans lesquelles
les gµν se réduisent à leurs valeurs galiléennes ηµν en tout point de D. Une métrique qui satisfait
à cette condition est dite douée de courbure dans le domaine D, alors que la métrique de
Minkowski est dite plate. Le point de vue développé ici conduit donc à considérer la gravitation
comme une manifestation de la courbure d’une métrique lorentzienne.
Il faut souligner que cette conclusion ne contredit en rien le théorème 7.3.1, qui exprime
la possibilité d’une forme minkowskienne de la métrique en un point arbitraire, sans que cela
implique que le même système de coordonnées va donner une forme minkowskienne en tout
autre point.
De quelle nature sont les lignes d’univers des particules matérielles ?.– Pour que
la quantité ds figurant dans (7.16) soit réelle, il faut que le ds 2 correspondant soit > 0. Par
analogie avec les principes de la relativité restreinte dégagés dans le chapitre 3, nous sommes
ainsi conduits à proposer les définitions et à poser au moins à titre provisoire les postulats
suivants :
Définition 7.3.2 Une courbe de l’espace-temps (V4,g) est dite du genre temps si ds 2 > 0 le
long de cette courbe.
Postulat 7.3.1 Les lignes d’univers des particules matérielles sont des courbes du genre temps.
Ce postulat est une généralisation immédiate du fait que la ligne d’univers d’une particule
matérielle de l’espace-temps de Minkowski est toujours du genre temps. Il s’applique bien
entendu aux observateurs ponctuels.
Nous pouvons maintenant généraliser la définition et le postulat relatifs au temps propre
énoncés dans le chapitre 3.
Définition 7.3.3 (Définition du temps propre) Soit une particule matérielle P de ligne
d’univers C. Le laps de temps propre de P écoulé entre les événements x1 et x2 appartenant à
C est la quantité τ12[C] définie par
τ12[C] = 1
x2
ds, (7.18)
c x1
où l’intégrale du second membre est calculée le long de la ligne C.
Lorsque la ligne d’univers C est décrite par les équations paramétriques x α = x α (ℓ) dans un
système de coordonnées locales arbitraires (x α ), l’expression du temps propre τ12[C] est donnée
83

par l’intégrale curviligne :
τ12[C] = 1
ℓ2
gµν(x
c ℓ1
α (ℓ)) ˙x µ ˙x ν dℓ, ˙x µ = dxµ (ℓ)
, (7.19)
dℓ
où ℓ1 et ℓ2 sont respectivement les valeurs de ℓ pour x1 et x2.
Cette définition s’applique à toutes les particules matérielles, même si leur mouvement n’est
pas une chute libre. On notera que le paramètre ℓ de la ligne C peut être choisi de manière
arbitraire. Il est clair en effet que l’intégrale figurant dans le second membre de l’équation (7.19)
ne dépend pas du choix de paramétrage de C.
Postulat 7.3.2 (Hypothèse des horloges) La quantité τ12[C] définie par (7.18) ou (7.19)
est le temps délivré par une horloge atomique idéale comouvante avec la particule P entre les
événements x1 et x2, que la particule soit en chute libre ou non.
Nature des lignes d’univers des particules d’épreuve en chute libre.– La généralisation
la plus naturelle de la relativité restreinte consiste à admettre que la chute libre d’une particule
est gouvernée par le principe variationnel suivant.
Postulat 7.3.3 La ligne d’univers d’une particule matérielle d’épreuve en chute libre est une
courbe de genre temps dont les équations paramétriques x α = x α (ℓ) satisfont le principe varia-
tionnel :
δ
ℓ étant un paramètre arbitraire.
ds = 0 ⇐⇒ δ
gµν(xα (ℓ)) dxµ
dℓ
dxν dℓ = 0, (7.20)
dℓ
Toute courbe de genre temps qui satisfait (7.20) coïncide avec une géodésique de genre temps
de l’espace-temps (V4,g) 10 .
Compte tenu de la définition 7.3.3, on peut également dire que la ligne d’univers d’une
particule d’épreuve en chute libre satisfait la condition
δ dτ = 0. (7.21)
On obtient ainsi une généralisation d’une propriété vérifiée en relativité restreinte par les
particules isolées (particules en mouvement inertiel). L’effet “voyageur de Langevin” se retrouve
donc ici.
La propriété qu’ont les rayons lumineux en relativité restreinte d’être des droites isotropes
de la métrique de Minkowski peut se généraliser en admettant le postulat suivant 11 .
Postulat 7.3.4 Les rayons lumineux sont des géodésiques isotropes 12 du ds 2 , c’est-à-dire des
géodésiques le long desquelles ds 2 = 0.
10 On utilise ici le théorème C.2.5 énoncé dans l’annexe C.
11 On notera que ce postulat peut en fait se déduire des équations de Maxwell formulées dans le cadre des
théories métriques.
12 Se reporter à l’annexe C, sect. C.2 pour la définition des géodésiques isotropes. Soulignons sans insister ici
que le principe variationnel (7.20) ne peut être valide pour ces géodésiques.
84

Peut-on retrouver la loi de Newton en première approximation ?– Cherchons maintenant
comment doit s’écrire la métrique pour qu’on puisse retrouver en première approximation
le mouvement newtonien d’une particule à partir du principe variationnel (7.20). Pour retrouver
un principe d’action minimale pour une particule de masse unité, il faut multiplier ds par −c.
Nous écrirons donc (7.20) sous la forme
⎛
δ ⎝−c
gµν(xα (ℓ) dxµ
dℓ
dxν ⎞
⎠ dℓ = 0, (7.22)
dℓ
ℓ étant un paramètre arbitraire de la ligne d’univers le long de laquelle l’intégrale du second
membre est calculée. Si on prend le temps coordonnée t = x0 /c comme paramètre, on voit
que (7.22) est formellement équivalent au principe variationnel δ Ldt = 0 formulé avec le
lagrangien
L(x i , ˙x j ,t) = −c 2
g00(xk ,t) + 2
c g0i(xk ,t) ˙x i + 1
c2gij(x k ,t) ˙x i ˙x j , (7.23)
où les quantités ˙x j sont définies par
˙x j = dxj
. (7.24)
Pour comparer avec la théorie newtonienne, nous allons supposer que le champ gravitationnel
est faible partout. Cette hypothèse consiste à admettre qu’il existe des systèmes de
coordonnées locales x µ tels que les composantes gµν du tenseur métrique s’écrivent
dt
gµν(x) = ηµν + hµν(x), (7.25)
où ηµν = diag (1, −1, −1, −1) et où les hµν(x) sont des termes perturbateurs très petits :
|hµν(x)| ≪ 1. La métrique écrite sous la forme (7.25) est alors très voisine de la métrique de
Minkowski ds 2 Mink = ηµνdx µ dx ν . Pour cette raison, on appelle les x µ figurant dans le second
membre de (7.25) des coordonnées quasi galiléennes.
Nous allons supposer en outre que le mouvement de la particule d’épreuve est très lent par
rapport au système de coordonnées quasi galiléennes x µ . On a donc | ˙x j |/c ≪ 1.
Sous ces deux hypothèses, le lagrangien (7.23) s’écrit en première approximation :
L(x i , ˙x j ,t) = −c 2
≈ −c 2 + 1
2
3
( ˙x
i=1
i ) 2 + 1
c2hij ˙x i ˙x j
1/2
3
( ˙x
i=1
i ) 2 − c2
2 h00 + ... (7.26)
1 + h00 + 2
c h0i ˙x i − 1
c 2
Or, en théorie newtonienne, le lagrangien d’une particule de masse unité dans un champ
gravitationnel de potentiel U(x,t) est :
LN = 1
2
3
( ˙x
i=1
i ) 2 + U(x,t) + C , (7.27)
C étant une constante arbitraire 13 . La comparaison de (7.26) et (7.27) montre immédiatement
qu’il suffit de poser
h00(x) ≈ − 2U(x,t)
c 2 + C ′ , h0i ≈ 0, hij ≈ 0 (7.28)
13 L’énergie potentielle n’est en effet définie qu’à une constante arbitraire près.
85

pour retrouver la loi de gravitation newtonienne en première approximation, C ′ étant une
constante arbitraire. Si on suppose comme nous le ferons désormais que la métrique (7.25)
coïncide avec la métrique de Minkowski à l’infini, il faudra poser C ′ = 0, ce qui entraîne
h00(x) ≈ − 2U(x,t)
c 2 . (7.29)
La réponse au problème préliminaire posé ci-dessus est donc positive si la métrique lorentzienne
satisfait le postulat suivant :
Postulat 7.3.5 Lorsque le champ gravitationnel est créé par N corps, il existe une classe de
systèmes de coordonnées locales x α = (x 0 ,x) tels que la métrique prenne en première approximation
la forme :
ds 2
= 1 − 2U
c2
(dx 0 ) 2 − (dx 1 ) 2 − (dx 2 ) 2 − (dx 3 ) 2 , (7.30)
où U est le potentiel newtonien engendré par l’ensemble des N masses, tel qu’il est défini par
l’équation (7.5).
On notera que la métrique (7.30) se réduit à la métrique de Minkowski lorsque U(x,t) = 0.
Une telle conclusion était évidente par avance, puisqu’en l’absence de champ de gravitation,
une particule en chute libre est isolée et son mouvement est en conséquence purement inertiel.
Les résultats ci-dessus encouragent donc la construction d’un cadre théorique dans lequel
les mouvements d’une particule d’épreuve seraient entièrement définis par les géodésiques d’une
métrique g de signature −2. La restitution de la loi newtonienne en première approximation
n’est cependant pas suffisante à elle seule pour valider la démarche, car elle ne nous a pas fait
découvrir une nouvelle conséquence susceptible d’être vérifiée expérimentalemnt. Heureusement,
une telle conséquence existe : c’est l’effet Doppler gravitationnel (dit aussi effet Eintein).
7.4 Une conséquence de l’approximation newtonienne :
l’effet Doppler gravitationnel
Nous nous contenterons ici de raisonner sur un champ gravitationnel stationnaire. Par champ
stationnaire, nous entendons un champ tel qu’il existe des systèmes de coordonnées locales dans
lesquels les potentiels de gravitation gµν ne dépendent pas du “temps”, i.e. de la coordonnée
que nous avons appelée x 0 : de tels systèmes de coordonnées sont dits adaptés au caractère stationnaire.
Pour simplifier, nous allons admettre que ce champ est décrit avec une approximation
suffisante par la métrique (7.30) avec un potentiel U indépendant de t = x 0 /c.
Supposons que l’on dispose d’un émetteur A susceptible d’émettre un certain type de signaux
en un point xA de coordonnées spatiales fixes (x i A = const.) et que ces signaux soient captés par
un récepteur B en un point xB lui aussi de coordonnées spatiales x i B fixes. La seule hypothèse
faite sur le signal est que le temps de propagation entre A et B, soit tB − tA, est une quantité
86

qui dépend uniquement des coordonnées spatiales de A et de B, ce qu’on peut écrire 14
tB − tA = T (xA,xB), (7.31)
où x désigne le point de coordonnées spatiales (xi ) dans chaque hypersurface x0 = constante.
Bien entendu, on admet que l’émetteur A et le récepteur B sont munis chacun d’une horloge
standard comouvante, HA pour A et HB pour B. Appelons TA la période du signal émis en A,
telle qu’elle est mesurée par l’horloge HA et cherchons à déterminer la période TB du signal
reçu par B, telle qu’est mesurée par HB. Du fait que l’émetteur A est au repos, le temps propre
le long de sa ligne d’univers s’obtient à partir du postulat 7.3.2 en posant dxi = 0 dans la
métrique (7.30), ce qui donne
dτA ≈ 1 − 2UA
dt. (7.32)
c2 On déduit immédiatement de (7.32) que la période TA du signal émis correspond au laps de
temps coordonnée ∆tA donné par
∆tA ≈
TA
1 − 2UA
c 2
. (7.33)
Le même raisonnement s’applique au récepteur B qui est également au repos. La liaison
entre la période TB du signal reçu en B et le temps coordonnée ∆tB est fournie par une relation
analogue à (7.33) :
∆tB ≈
1 − 2UB
c2 . (7.34)
Or, on a ∆tB = ∆tA, puisque le temps de parcours entre l’émission et la réception ne dépend
pas de l’instant d’émission (voir éq. (7.31)). En rapprochant (7.33) et (7.34), il vient :
2UA
TA
≈ 1 − c
TB
2
1 − 2UB
c2 . (7.35)
Cette formule montre qu’une horloge au repos en A semble ralentie à un observateur au
repos qui l’observe en B, si le potentiel de gravitation est plus faible en B qu’en A. D’après
(7.35) en effet, UA > UB =⇒ TB > TA.
La fréquence ν d’un signal mesurée par un observateur est par définition l’inverse de la
période de ce signal mesurée par l’observateur à l’aide de son horloge standard. On déduit
immédiatement de (7.35) que si νA désigne la fréquence du signal émis en A telle qu’elle est
mesurée avec l’horloge standard HA, la fréquence νB du signal mesurée en B avec l’horloge
standard HB est donnée par la relation :
νB
νA
= TA
TB
TB
2UA
≈ 1 − c2 1 − 2UB
c2 . (7.36)
14 Une telle hypothèse restreint bien entendu la classe des processus physiques que nous considérons comme
des signaux, mais l’important est qu’elle soit compatible avec le caractère stationnaire de la métrique. Il est clair
par exemple que les signaux lumineux ou acoustiques ont cette propriété dans un environnement stationnaire.
En revanche, il faut souligner que l’équation (7.31) n’a aucune raison d’être vraie si le champ gravitationnel varie
au cours du temps : dans ce cas, tB − tA dépend aussi de l’instant d’émission tA, ou de l’instant de réception
tB du signal.
87

A l’extérieur du Soleil, on a U/c 2 ≤ 2, 12 × 10 −6 . On peut donc écrire à des termes en 10 −12
près
νB
≈ 1 −
νA
UA − UB
c2 . (7.37)
L’existence de l’effet Doppler gravitationnel a été prédite par Einstein dès 1907.
Comme nous l’avons dit plus haut, la seule hypothèse faite sur le signal est celle qui est
exprimée par l’équation (7.31). Il en résulte que la nature physique du signal n’intervient pas
dans les seconds membres de (7.35), (7.36) et (7.37) : le signal peut être lumineux, acoustique,
élastique ou s’effectuer par des émissions à intervalles réguliers de particules matérielles produites
par un appareil standard (un canon à électrons, par ex). Il faut toutefois souligner que
cette propriété n’est pas générale car elle suppose que l’émetteur et le récepteur sont plongés
dans un champ stationnaire et sont au repos par rapport à n’importe quel système de coordonnées
adapté à la stationnarité du champ. Dans le cas général d’un champ gravitationnel
variable, le rapport νB/νA dépendra de la nature du signal.
Exemple 1.— On considère un atome au repos en un point A à la surface d’un corps à
symétrie sphérique, dont une raie spectrale bien déterminée est observée en un point B au repos
à l’infini. Le décalage spectral de la raie défini par
est d’après (7.36)
∆ν
ν = νB − νA
νA
= νB
νA
− 1
∆ν
≈ −GM
ν c2 , (7.38)
R
où M est la masse du corps central et R son rayon.
Pour le Soleil, on a M = 1, 989 × 10 30 kg et R = 6, 96 × 10 8 m. La formule (7.38) donne
∆ν
ν ≈ 2, 12 × 10−6 . (7.39)
Le signe moins montre que les raies émises sur le Soleil sont décalées vers le rouge pour
un observateur au repos à l’infini. Un effet de cet ordre a été effectivement observé mais l’interprétation
des résultats est très délicate en raison des nombreux effets parasites dus à la
température et à l’atmosphère solaires. On a également observé un décalage des raies spectrales
émises par des naines blanches, mais les résultats ont été encore plus incertains.
Exemple 2.— On suppose maintenant que A est au niveau du sol et que B est à une
altitude h au dessus de A. Du fait que UA − UB = gh, le décalage de fréquence ∆ν/ν défini
comme dans l’exemple ci-dessus est alors donné par la formule approchée
∆ν
ν
≈ −gh , (7.40)
c2 g étant l’accélération de la pesanteur. Pour h = 1m, on trouve au sol 15
∆ν
ν ≈ −10−16 .
15 L’estimation ∆ν/ν ≈ 10 −16 pour ∆h = 1 m est à comparer avec la précision de l’ordre de 4 × 10 −16 en
fraction de fréquence qui est obtenue avec les meilleures horloges atomiques actuelles.
88

L’existence du glissement de fréquences donné par (7.40) fut vérifié dans le champ terrestre
pour la première fois par Pound et Rebka en 1960 16 , puis de manière plus précise (1 %) par
Pound et Snider en 1964 17 , en faisant “tomber” un rayon lumineux d’une hauteur de 22 m dans
une tour de l’université de Harvard. Une vérification à 10 −4 près de la formule (7.37) a par la
suite été faite avec un maser à hydrogène embarqué dans une fusée par Vessot, Levine et al. 18 .
Il semble qu’on puisse aujourd’hui gagner au moins un facteur 30 sur le résultat de Vessot et al.
en comparant une fontaine atomique à atomes de Césium refroidis embarquée dans un satellite
avec une horloge atomique au sol (mission ACES en préparation).
7.5 Conclusion
La démarche conceptuelle consistant à décrire l’action de la gravitation par une métrique
semble fructueuse et incite à poursuivre l’effort de reconstruction de la physique lorsqu’on prend
en compte la gravitation. Il faut cependant être conscients que les postulats que nous venons
d’introduire ne sont nullement suffisants pour construire une théorie unique. Ils constituent
seulement le socle d’une classe très large (en fait infinie !) de théories que l’on appelle les théories
métriques de la gravitation. Dans un tel cadre, les composantes gµν du tenseur métrique sont
souvent appelées potentiels de gravitation en raison de leur rôle déterminant dans la description
de l’interaction gravitationnelle.
Dans les deux chapitres qui suivent, nous allons expliciter un certain nombre d’effets prédits
par ces théories et voir comment ces effets peuvent être utilisés pour discriminer les dites théories
dans le cadre de ce qu’on appelle l’approximation postnewtonienne paramétrée de premier ordre
(1PPN).
16R. V. Pound & G. A. Rebka, Apparent weight of photons, Physical Review Letters, vol. 4, p. 337, 1960.
17R. V. Pound & J. L. Snider, Effect of gravity on nuclear resonance, Physical Review Letters, vol. 13, p. 539,
1964.
18Voir R. F. C. Vessot, M. W. Levine et al., Physical Review Letters, vol. 45, p. 2081, 1980, et les références
citées dans cet article.
89

Chapitre 8
Notion d’approximation
postnewtonienne des théories
métriques
Dans ce chapitre, nous étudions comment on peut définir une approximation postnewtonienne
paramétrée des théories métriques dans le cas simple d’une masse à symétrie sphérique
isolée. Cette approche élémentaire s’avère suffisante pour calculer les effets les plus importants
prévus par les théories métriques de la gravitation.
8.1 Notion d’approximation postnewtonienne
Comme on l’a vu à la fin du chapitre précédent, les vérifications expérimentales de l’effet
Doppler gravitationnel dont on dispose aujourd’hui montrent que le concept de théorie métrique
est viable et incite en conséquence à creuser l’idée. On ne peut cependant s’en tenir à la métrique
quasi newtonienne (7.30), car l’étude des géodésiques de cette métrique conduit à une avance du
périhélie de Mercure égale à 2/3 de l’avance effectivement observée. Or, il semble à première vue
impossible de former une meilleur approximation de la métrique sans avoir développé une théorie
complète de la gravitation, avec des équations permettant de déterminer les dix potentiels gµν
en fonction des masses créant le champ. En conséquence, devons-nous dès maintenant chercher
à construire une théorie rigoureuse ou mieux encore une classe de théories rigoureuses pour
tester l’idée que la gravitation puisse être décrite par une métrique ?
Nous allons voir qu’il n’en est rien et qu’il est possible de progresser en développant une idée
d’Eddington 1 . Nous pouvons tout d’abord décider de nous intéresser uniquement au champ de
gravitation engendré par une masse à symétrie sphérique (le Soleil par ex.) 2 . De plus, nous pouvons
supposer que le champ est indépendant du temps, comme nous l’avons fait dans la section
7.4. On peut montrer que sous ces hypothèses, il est toujours possible de choisir les coordonnées
1 A. S. Eddington, The Mathematical Theory of Relativity, paragr. 47. Cambridge University Press, 1922.
2 Cette approximation s’est avérée suffisante jusqu’ici pour la lumière, mais nous verrons qu’on ne peut s’en
contenter pour le périhélie de Mercure.
90

(x 0 ,x i ) de telle sorte que la métrique cherchée s’écrive sous la forme simple suivante 3 :
ds 2 = A(r)(dx 0 ) 2 − B(r)
(dx 1 ) 2 + (dx 2 ) 2 + (dx 3 ) 2
, (8.1)
où A(r) et B(r) sont des quantités qui dépendent uniquement de la coordonnée radiale r définie
par
r =
(x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 + (x 3 ) 2 , (8.2)
l’origine O des coordonnées x i étant le centre de la masse attractive.
Il faut noter que la réduction de la métrique à la forme (8.1) ne contenant que deux fonctions
inconnues A(r) et B(r) est un résultat rigoureux indépendant de la théorie lorsqu’on impose la
symétrie sphérique statique. Nous pourrons donc utiliser cette forme quand nous chercherons à
résoudre les équations de la relativité générale (équations d’Einstein) dans le cas de la symétrie
sphérique.
En second lieu, nous pouvons postuler que la métrique (8.1) doit se réduire à la métrique
de Minkowski lorsqu’on s’éloigne indéfiniment de la masse centrale. Nous imposons donc les
conditions de comportement asymptotique
lim A(r) = 1, lim B(r) = 1. (8.3)
r→∞ r→∞
Le potentiel newtonien d’une masse M à symétrie sphérique est donné par
U = GM
r
Compte tenu de (8.4), on doit avoir à l’approximation newtonienne
A(r) = 1 − 2GM
c 2 r
. (8.4)
+ · · ·, (8.5)
le symbole + · · · correspondant à des termes beaucoup plus petits que 2GM/c 2 r dans le système
solaire. Nous voyons intervenir la quantité 2m définie par
2m = 2GM
c 2 . (8.6)
La quantité 2m ayant la dimension d’une longueur, on l’appelle le rayon gravitationnel ou
encore le rayon de Schwarzschild 4 du corps. A titre d’exemple, le rayon de Schwarzschild du
Soleil vaut
2m⊙ = 2, 953km, (8.7)
à comparer avec le rayon R⊙ du Soleil, qui vaut 6, 96 × 105 km. En conséquence, la variable u
sans dimension définie par
u = m
r
(8.8)
3 Pour la métrique (8.1), on a donc g00 = A(r), g0i = gi0 = 0, gij = −B(r)δij. Les coordonnées spatiales
telles que la partie spatiale de la métrique soit de la forme F(x α ) (dx) 2 + (dx) 2 + (dx) 2 sont dites isotropiques
ou encore isotropes.
4 Il serait beaucoup plus approprié d’appeler 2m le paramètre d’échelle gravitationnel, car la notion de rayon
demande à être précisée, mais nous nous conformons à l’usage.
91

est inférieure à m⊙/R⊙ = 2, 12 × 10 −6 dans le système solaire. Sur l’orbite de Mercure, u ≈
2, 6 × 10 −8 .
Il résulte de ces considérations que nous pouvons supposer que le champ gravitationnel est
faible dans le système solaire et admettre en conséquence que la métrique (8.1) s’écarte très peu
de la métrique de Minkowski. Il est compatible avec ces hypothèses d’admettre qu’à l’extérieur
du Soleil, A et B figurant dans la métrique (8.1) sont des fonctions analytiques de la variable
u au voisinage de u = 0, qui correspond au domaine à l’infini de l’espace 5 . En conséquence, A
et B peuvent être développés en séries de puissances entières de u. Nous pouvons donc poser
A(r) = 1 − 2m 3β1 m
+ 2βm2 −
r r2 2
3
+ · · · ,
r3 (8.9)
B(r) = 1 + 2γ m 3δ m
+
r 2
2
γ2 m
+
r2 2
3
+ · · ·
r3 (8.10)
où β,γ,δ,β1,γ2,... sont des constantes sans dimension que l’on appelle des paramètres postnewtoniens,
car leur introduction permet de décrire des effets gravitationnels qui ne peuvent
être prédits par l’approximation newtonienne. Les valeurs de ces paramètres vont dépendre de
la théorie métrique qu’on va considérer.
Pour l’instant, nous n’avons pas construit une théorie métrique susceptible d’attribuer des
valeurs définies aux paramètres postnewtoniens. Nous allons donc considérer β, γ, δ, etc. comme
des quantités qu’il nous faudra déterminer en confrontant les effets prédits à partir de (8.9) et
(8.10) avec des observations ou des expériences 6 .
8.2 Quels termes faut-il retenir à l’approximation postnewtonienne?
Pour étudier les effets mentionnés ci-dessus, il est primordial de savoir quels sont les termes
qu’on peut négliger dans les développements (8.9)-(8.10) en fonction de l’ordre d’approximation
postnewtonienne que l’on désire atteindre. Nous allons voir que les termes à retenir ne sont pas
les mêmes selon que l’on s’intéresse aux rayons lumineux (propagation “rapide”) ou aux planètes
du système solaire (corps “lents”).
La déduction des tests classiques repose sur l’étude des géodésiques de la métrique (8.1).
C’est pourquoi nous allons effectuer la discussion en partant du principe variationnel qui définit
les géodésiques d’un espace-temps (V4,g) vu dans le chap. 7. Rappelons que si nous prenons
le temps coordonnée t = x 0 /c comme paramètre dans (7.22), la détermination des géodésiques
se ramène à la résolution des équations du mouvement d’un système dynamique décrit par la
fonction de Lagrange
L(x i , ˙x j ,t) = −c 2
g00(x k ,t) + 2
c g0i(x k ,t) ˙x i + 1
c 2gij(x k ,t) ˙x i ˙x j , (8.11)
5 Notons que cette hypothèse d’analyticité ne va pas de soi. On pourrait supposer que A et B contiennent
des termes de portée finie du type potentiel de Yukawa, par exemple. On suppose ici que dans le domaine
astronomique tout au moins, les termes de portée finie ont une action négligeable.
6 Les coefficients numériques devant β,γ,δ,β1,γ2,... sont choisis de telle sorte que l’on ait β = 1,γ = 1,δ =
1,β1 = 1,γ2 = 1,... en relativité générale, comme on le verra dans le Chapitre 10.
92

où les quantités ˙x j sont définies par
˙x j = dxj
. (8.12)
dt
Les équations différentielles des géodésiques sont alors les équations de Lagrange associées
à la fonction de Lagrange (8.11) :
d
dt
∂L ∂ ˙x i
− ∂ L
= 0. (8.13)
∂xi Pour la métrique (8.1), la fonction de Lagrange (8.11) s’écrit simplement
L(x i , ˙x j ,t) = −c 2
A(r) − 1
c 2B(r)δij ˙x i ˙x j . (8.14)
Sous les hypothèses que nous avons faites, les fonctions A(r) et B(r) peuvent être respectivement
remplacées par les développements (8.9) et (8.10). À quel ordre doit-on arrêter ces
développements pour avoir une approximation cohérente ?
Supposons d’abord que nous voulions déterminer les rayons lumineux. Les quantités c −1 ˙x i
sont de l’ordre de 1, puisque la vitesse de la lumière est de l’ordre de c (nous disons de l’ordre
ce c et non égale à c car nous n’avons pas encore défini rigoureusement la notion de vitesse).
On a donc
1
c 2δij ˙x i ˙x j ≈ 1 (8.15)
dans (8.14). Il en résulte que les développements de A et de B doivent être arrêtés aux termes
de même puissance de m/r. Ainsi, pour une description cohérente des rayons lumineux, la
première approximation postnewtonienne peut se contenter des dévelopements
A(r) = 1 − 2m
r
, B(r) = 1 + 2γm
r
, (8.16)
tandis que l’approximation postpostnewtonienne nécessite les développements suivants
A(r) = 1 − 2m
r
3δ
+ 2βm2 , B(r) = 1 + 2γm +
r2 r 2
m2 . (8.17)
r2 Il résulte de ces formules que la métrique quasi newtonienne (7.30) ne peut fournir une
approximation cohérente pour la lumière : la déviation que l’on pourrait calculer à partir de
cette métrique ou de la dynamique newtonienne usuelle appliquée à des corpuscules allant à la
vitesse de la lumière n’est pas une approximation de la déviation prédite à partir de (8.16).
Examinons maintenant le cas d’une planète ou de n’importe quel autre corps autogravitant
dont l’orbite ne va jamais à l’infini (état de liaison gravitationnelle). Les équations de la
dynamique newtonienne montrent que le carré de la vitesse d’un tel corps satisfait la relation
ce qui entraîne
v 2 ∼ GM
r
, (8.18)
1
c2δij ˙x i ˙x j ∼ m
. (8.19)
r
93

On déduit de cette équivalence d’ordres de grandeur que si on arrête le développement de
B au terme en m n /r n , il faut aller jusqu’au terme en m n+1 /r n+1 dans le développement de A.
Ainsi la première approximation postnewtonienne cohérente pour les corps autogravitants en
état de liaison gravitationnelle est définie par
A(r) = 1 − 2m
r
l’approximation postpostnewtonienne correspond à
A(r) = 1 − 2m
r
3β1
+ 2βm2 −
r2 2
+ 2βm2 , B(r) = 1 + 2γm , (8.20)
r2 r
m3 3δ
, B(r) = 1 + 2γm +
r3 r 2
m2 , (8.21)
r2 et ainsi de suite.
La forme approchée (8.20) est dite approximation 1PN de la métrique à symétrie sphérique
statique (8.1) car le potentiel A = g00 contient un terme d’ordre (v/c) 2 ×(le terme m/r donnant
l’approximation newtonienne). On a en effet m 2 /r 2 ≈ (v/c) 2 × m/r. Par extension, la forme
(8.21) est dite approximation 2PN de la métrique, et on peut définir l’approximation kPN pour
k ≥ 3 si besoin est. Pour abréger, on dit que les effets en v n /c n et en m n /r n sont d’ordre 1/c n ,
ce que l’on dénote par O(1/c n ) ou plus simplement par O(n).
8.3 Conclusion
On voit que l’approximation 1PN de la métrique suffit pour déterminer les effets relativistes
d’ordre 1/c 2 sur les rayons lumineux, mais qu’il faut impérativement considérer l’approximation
2PN si on veut calculer les effets d’ordre 1/c 4 sur la lumière.
94

Chapitre 9
Quelques effets classiques prévus par
les théories métriques
Nous allons maintenant déterminer un certain nombre d’effets spécifiquement prédits à
partir de la métrique postnewtonienne définie par (8.1) et (8.20) et pouvant servir de tests des
théories métriques : l’effet de retard dans la propagation des signaux électromagnétiques, la
déviation gravitationnelle des rayons lumineux et l’avance séculaire relativiste du périhélie des
planètes.
9.1 Temps de propagation d’un rayon lumineux entre
deux points
Supposons qu’un photon émis au point xA à l’instant tA soit reçu en un point xB à l’instant
tB (fig. 9.1). Du fait que la métrique (8.1) s’écarte légèrement de la métrique de Minkowski, on
doit avoir
x 0 B − x 0 A = c(tB − tA) = |xB − xA| + c∆T (xA,xB), (9.1)
le terme c∆T (xA,xB) devant s’annuler en l’absence de champ gravitationnel (GM = 0), de
telle sorte qu’on retrouve alors l’expression de x 0 B − x 0 A dans l’espace-temps de Minkowski. On
a effectivement le théorème suivant.
Proposition 9.1.1 Soit un photon émis en xA à l’instant tA et reçu en xB à l’instant tB dans
un espace-temps statique à symétrie sphérique dont la métrique est écrite sous la forme :
ds 2
= 1 − 2m
+ · · · c
r 2 dt 2
− 1 + 2γ m
+ · · · dx
r 12 +
dx 22 +
dx 32
, (9.2)
les termes négligés étant d’ordre 1/c4 .
Le temps de parcours tB − tA est donné par les expressions équivalentes
tB − tA = RAB
+ (γ + 1)GM
c c3
rB + N AB.xB
ln
+ O(1/c
rA + N AB.xA
5 ), (9.3)
= RAB
+ (γ + 1)GM
c c3
rA − N AB.xA
ln
+ O(1/c
rB − N AB.xB
5 ), (9.4)
95

qui peuvent encore s’écrire sous la forme
où 1
et
tB − tA = RAB
c
+ (γ + 1)GM
c 3 ln
rA = |xA|, rB = |xB|, nA = xA
, nB = xB
rA + rB + RAB
+ O(1/c
rA + rB − RAB
5 ), (9.5)
rA
rB
(9.6)
RAB = |xB − xA|, N AB = xB − xA
. (9.7)
Il est clair que le terme relativiste logarithmique dans le second membre de (9.5) est toujours
positif si A et B sont distincts, car on sait aujour’hui que γ + 1 est très voisin de 2. La durée
du trajet d’un rayon lumineux entre deux points est donc toujours supérieure au temps RAB/c
que mettrait ce rayon en l’absence de champ gravitationnel. La mesure de cet effet de retard
a été proposée comme test de la relativité générale par Shapiro dès 1964 2 . C’est pourquoi on
appelle souvent cet effet l’effet Shapiro.
Démonstration.— On peut donner une démonstration élémentaire des formules (9.3)-(9.5)
sans intégrer explicitement les équations différentielles des géodésiques isotropes. Compte tenu
de la forme (9.2) de la métrique, la propriété que ds 2 = 0 le long d’un rayon mumineux se
traduit par la relation
cdt =
1 + 2γ m
r
1 − 2 m
r
RAB
|dx| = 1 + (γ + 1) m
|dx| + O(1/c
r
4 ), (9.8)
où dx est le vecteur infinitésimal dx = (dx1 ,dx2 ,dx3 ) pris le long du rayon lumineux et |dx|
la norme euclidienne usuelle de dx :
|dx| =
δijdx i dx j . (9.9)
On peut toujours choisir le paramètre affine λ le long du rayon de telle sorte que λ = 0 en
xA et λ = 1 en xB. Avec ce choix la trajectoire du rayon est alors décrite par une équation de
la forme
x(λ) = RABN ABλ + xA + X(λ), (9.10)
où RABN ABλ + xA est la droite reliant xA et xB (approximation d’ordre zéro) et X(λ)
représente la perturbation gravitationelle subie par le rayon. La fonction X(λ) doit évidemment
satisfaire aux conditions aux limites
X(0) = 0, X(1) = 0. (9.11)
1 On notera que nA, nB et NAB sont des vecteurs unitaires au sens usuel.
2 I. I. Shapiro, Physical Review Letters, vol. 13, p. 789 (1964).
96

A
o
N AB
n A
o
O
n B
Fig. 9.1 – Retard gravitationnel des rayons lumineux.
D’après (9.8) et (9.10), la différence tB − tA a pour expression :
tB − tA = 1
1
1 + (γ + 1)
c 0
m
RABN AB +
|x(λ)|
dX
dλ
o
B
dλ + O(1/c5 ), (9.12)
Les équations d’Euler-Lagrange des géodésiques 3 entraînent que X(λ) est d’ordre 1/c 2 . En
conséquence, dX/dλ est aussi d’ordre 1/c 2 . Du fait que nous voulons seulement calculer la
contribution gravitationnelle d’ordre 1/c 3 dans tB − tA, nous pouvons donc négliger le terme
(dX/dλ) 2 dans le calcul de |dx/dλ|, puisque ce terme est d’ordre 1/c 4 . Cette approximation
donne :
dx(λ)
= RAB 1 +
dλ N AB
RAB
d’où après substitution dans le second membre de (9.12) :
tB − tA = RAB
c
1
1 + (γ + 1)
0
m
|x(λ)| + N AB
RAB
· dX
dλ + O(1/c
dλ
4 ). (9.13)
· dX
dλ + O(1/c
dλ
5 ). (9.14)
Or, la dernière intégrale du second membre de (9.14) est nulle en raison des conditions aux
limites (9.11). En effet
1 N AB
0
RAB
En conséquence, (9.14) s’écrit
tB − tA = RAB
c
3 Equations (C.19) de l’annexe C.
· dX
dλ dλ = N AB
RAB
+ (γ + 1)mRAB
c
97
· [X(1) − ·X(0)] = 0. (9.15)
1
0
dλ
|x(λ)| + O(1/c5 ). (9.16)

Le terme m/|x(λ)| étant d’ordre 1/c 2 , on peut négliger la contribution de X(λ) dans |x(λ)|
et poser simplement
et
m
|x(λ)| =
Compte tenu des identités
on trouve
m
R 2 ABλ 2 + 2RAB(N AB.xA)λ + r 2 A
R 2 AB + 2RAB.xA + r 2 A ≡ r 2 B
RAB + N AB.xA ≡ (xB − xA).N AB + xA.N AB ≡ N AB.xB ,
1
m
0
dλ
|x(λ)|
m rB + N AB.xB
= ln
RAB rA + N AB.xA
D’où l’expression de tB − tA donnée par (9.3).
En utilisant l’identité de “polarisation”
on voit que
Mais on a aussi l’identité
qui entraîne
|x||y| + x.y ≡ 1
(|x| + |y|)
2
2 − (x − y) 2
,
rB + N AB.xB = rBRAB + RAB.xB
RAB
|x||y| + x.y ≡ 1
(x + y)
2
2 − (|x| − |y|) 2
,
rA + N AB.xA = rARAB + RAB.xA
Il résulte de (9.19) et (9.20) que
rB + N AB.xB
rA + N AB.xA
RAB
+ O(1/c 5 ). (9.17)
+ O(1/c 4 ). (9.18)
= 1 (rA + RAB)
2
2 − r2 A
. (9.19)
RAB
= 1 r
2
2 B − (rA − RAB) 2
. (9.20)
RAB
= (rA + RAB) 2 − r2 A
r2 B − (rA − RAB) 2 = rA + rB + RAB
. (9.21)
rA + rB − RAB
L’équation (9.21) entraîne immédiatement (9.5). La formule (9.5) montre que la quantité
tB − tA est inchangée lorsqu’on échange xA et xB (cette propriété est en fait liée au caractère
statique de la métrique). On voit facilement en échangeant le rôle de A et de B que (9.3) peut
également s’écrire sous la forme (9.4).
L’expression (9.5) est très commode pour évaluer le temps de parcours d’un photon entre
une station terrestre et un satellite artificiel. Les expressions (9.3) ou (9.4) sont d’un emploi
courant dans la modélisation de l’effet Shapiro dans le système solaire, mais il est des cas où il
est utile d’introduire la distance minimale entre le rayon lumineux et l’origine des coordonnées.
On peut alors se servir de l’expression de tB − tA fournie par le corollaire qui suit.
98

Corollaire 9.1.1 Sous les hypothèses du théorème 9.1.1, le temps de parcours tB − tA peut
encore s’écrire sous la forme :
tB − tA = RAB
c
+(γ + 1) GM
c3 ln rArB [1 + (nB − nA).N AB − (N AB.nA)(N AB.nB)]
r2 + O(1/c
c
5 ),
(9.22)
où rc est la distance euclidienne entre le point O et la droite passant par les points xA et xB :
rc = rArB
RAB
sin ψAB, (9.23)
ψAB étant l’angle entre les vecteurs nA et nB.
Dans le cas où A et B sont très éloignés de l’origine O et rc ≪ inf (rA,rB), on a avec une
approximation suffisante
tB − tA ≈ RAB
c
+ (γ + 1)GM
c3
4rArB
ln
Démonstration.— Un raisonnement géométrique élémentaire montre que 4
D’où :
rB + N AB.xB
rA + N AB.xA
(N AB.xA) 2 = r 2 A − r 2 c
= (rB + N AB.xB)(rA − N AB.xA)
r 2 A − (N AB.xA) 2
= rArB
r 2 c
r 2 c
+ O(1/c 5 ). (9.24)
[1 + (nB − nA)N AB − (N AB.nA)(N AB.nB)], (9.25)
qui entraîne immédiatement (9.22) par substitution dans (9.3).
Supposons que A et B soient très éloignés du Soleil et que le rayon lumineux passe très près
de la surface solaire . Alors nB ≈ nA et N AB ≈ nB, ce qui entraîne
1 + (nB − nA).N AB − (N AB.nA)(N AB.nB) ≈ 4.
D’où (9.24) en substituant dans (9.22).
L’équation (9.24) est l’expression de tB − tA que l’on a utilisée pour interpréter le décalage
des fréquences des signaux radio échangés entre la Terre et la sonde Cassini lors de son passage
derrière le Soleil. On a ainsi pu effectuer la meilleure détermination du paramètre γ obtenue à
ce jour 5 :
γ − 1 = (2, 1 ± 2, 3) × 10 −5 . (9.26)
4 De même, on a (NAB.xB) 2 = r 2 B − r2 c .
5 B. Bertotti, L. Iess & P. Tortura, Nature, vol. 425, p. 374 (2003).
99

9.2 Équations des géodésiques d’une métrique à symétrie
sphérique statique
Pour déterminer la déviation des rayons lumineux et l’avance séculaire du périhélie, nous
allons appliquer la théorie des géodésiques exposée dans la section C.2 de l’annexe C. Nous
utilisons une métrique à symétrie sphérique telle que (8.1), que nous recopions ici
ds 2 = A(r)(dx 0 ) 2 − B(r)
(dx 1 ) 2 + (dx 2 ) 2 + (dx 3 ) 2
, (9.27)
les quantités A(r) et B(r) étant pour l’instant des fonctions différentiables arbitraires.
Les calculs effectués dans cette section sont rigoureux.
Introduisons les coordonnées sphériques r,θ,ϕ définies par
x 1 = r sin θ cos ϕ, x 2 = r sin θ sin ϕ, x 3 = r cos θ . (9.28)
La métrique (9.27) s’écrit alors sous la forme
ds 2 = A(r)(dx 0 ) 2 − B(r)(dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θdϕ 2 ). (9.29)
La fonction de Lagrange L correspondant à cette métrique est donnée par
2L = A(r)( ˙x 0 ) 2 − B(r)(˙r 2 + r 2 ˙ θ 2 + r 2 sin 2 θ ˙ϕ 2 ), (9.30)
où on utilise la notation ˙x = dx/dλ, λ étant un paramètre affine arbitraire de la géodésique.
L’intégrale première 2L = K = const. s’écrit alors
A(r)( ˙x 0 ) 2 − B(r)(˙r 2 + r 2 ˙ θ 2 + r 2 sin 2 θ ˙ϕ 2 ) = K , (9.31)
avec K > 0 pour une géodésique du genre temps et K = 0 pour une géodésique isotrope.
Du fait que L ne dépend explicitement ni de x 0 ni de ϕ (de telles variables sont dites
cycliques ou ignorables), il existe deux autres intégrales premières :
∂L
∂ ˙x 0 ≡ A(r) ˙x0 = E , (9.32)
∂L
∂ ˙ϕ ≡ −B(r)r2 sin 2 θ ˙ϕ = −L, (9.33)
où E et L sont des constantes d’intégration. Notons que L correspond au moment cinétique
conservé en mécanique newtonienne.
Pour obtenir un système complet d’équations du mouvement, il suffit d’adjoindre l’équation
d’Euler-Lagrange pour la variable θ :
d
dλ [−B(r)r2 ˙ θ] + B(r)r 2 sin θ cos θ ˙ϕ 2 = 0. (9.34)
En raison de la symétrie sphérique, on peut poser que le mouvement s’effectue dans un plan
fixe passant par l’origine O. Il est alors possible de choisir l’orientation des axes de telle sorte
que la géodésique étudiée soit dans le plan équatorial d’équation
θ = π
. (9.35)
2
100

Avec ce choix d’axes, on a ˙ θ = 0 et la géodésique est alors déterminée par le système des
trois intégrales premières
0 2 2 dx dr
A(r) − B(r) − B(r)r
dλ dλ
2
2 dϕ
= K , (9.36)
dλ
A(r) dx0
dλ
B(r)r 2dϕ
dλ
De (9.37) et (9.38), on déduit :
= E , (9.37)
dx 0
dλ
= L. (9.38)
= E
A(r) ,
dϕ
dλ
L
=
r2 . (9.39)
B(r)
Substituons ces expressions dans (9.36) et divisons des deux membres par B(r). Nous obtenons
l’équation différentielle du premier ordre à variables séparables :
2 dr E
=
dλ
2
L2
−
A(r)B(r) r2 1
B2 K
− . (9.40)
(r) B(r)
Deux cas sont à distinguer.
1. L = 0. Dans ce cas ˙ϕ = 0, ce qui entraîne ϕ = constante. La géodésique est dite radiale.
L’équation (9.40) se réduit alors à
2 dr E
=
dλ
2 K
− . (9.41)
A(r)B(r) B(r)
En éliminant dλ entre (9.41) et la première équation de (9.39), il vient :
dr
dx0 2 = A(r)
1 −
B(r)
K
E2A(r)
. (9.42)
Cette équation du premier ordre à variables séparables permet de trouver la relation entre
r et le temps coordonnée t sous forme de quadrature.
2. L = 0. Dans ce cas, on peut éliminer dλ entre (9.40) et (9.38), ce qui donne :
2 dr
= r
dϕ
4
2 E
L2 1 K
−
A(r) L2
B(r) − 1
r2
. (9.43)
L’équation (9.43) est une équation différentielle du premier ordre à variables séparables
qui permet en principe de déterminer l’angle ϕ en fonction de la variable radiale r lorsque les
fonctions A(r) et B(r) sont connues. Il est toutefois plus pratique d’utiliser u = m/r comme
fonction inconnue plutôt que r. En substituant dr = −mu−2du dans (9.43) et en multipliant
les deux membres par u4 , on obtient une équation qui peut s’écrire sous la forme :
2 du
dϕ
= m2 E 2
L 2
B(u) m2
− K
A(u) L2 B(u) − u2 . (9.44)
101

Cette équation différentielle est elle aussi à variables séparables. En prenant la racine carrée
de chaque membre de (9.44), on obtient l’équation
dϕ = ±
du
m2E2 L2 B(u) m2 − K A(u) L2 B(u) − u2 , (9.45)
qui permet d’exprimer ϕ en fonction de u par une quadrature.
L’intégration de l’équation (9.45) permet de déterminer l’angle de déviation de la lumière
ainsi que l’avance du périhélie sous la forme d’une intégrale exacte. Pour obtenir une expression
approchée de u (ou de r) en fonction de ϕ, il est toutefois commode de différencier (9.44) par
rapport à ϕ. On obtient ainsi
2 du d
dϕ
2u d
=
dϕ2 du
m 2 E 2
L 2
B(u)
A(u)
m2 du
− K B(u) − 2udu . (9.46)
L2 dϕ dϕ
Si l’orbite ou le rayon lumineux ne sont pas circulaires, du/dϕ = 0 sauf au péricentre ou à
l’apocentre. On peut alors diviser les deux membres de (9.46) par 2du/dϕ. En faisant passer le
terme u du second membre dans le premier membre, il vient :
d2u 1
+ u =
dϕ2 2
d
du
m 2 E 2
L 2
B(u)
A(u)
m2
− K B(u) . (9.47)
L2 L’équation (9.47) se prête mieux que l’équation (9.44) à des calculs perturbatifs.
9.3 Déviation de la lumière par une masse à symétrie
sphérique
On doit poser K = 0 pour un rayon lumineux. L’équation (9.44) se réduit alors à
2 du
=
dϕ
m2E2 L2 B(u)
A(u) − u2 . (9.48)
Nous posons que le rayon lumineux atteint le point le plus proche de l’origine (péricentre
P) lorsque ϕ = 0 et nous appelons rp la valeur de r en ce point (fig. 9.2). La solution de (9.48)
doit donc satisfaire aux conditions aux limites
du
= 0, up ≡ u|ϕ=0 =
dϕ
m
. (9.49)
ϕ=0
En substituant ces expressions dans (9.48), on voit que la constante m2E2 /L2 est donnée
par
m2E2 L2 = u2 Ap
p , (9.50)
Bp
où
rp
Ap = A(up), Bp = B(up). (9.51)
102

L’équation (9.47) s’écrit donc maintenant
d2u 1
+ u =
dϕ2 2 u2 Ap
p
Bp
d
du
B(u)
. (9.52)
A(u)
L’équation (9.52) est rigoureuse. Nous allons l’appliquer au calcul de la déviation de la
lumière à l’approximation postnewtonienne du premier ordre en posant (voir chapitre 8) :
A(u) = 1 − 2u + · · · , B(u) = 1 + 2γu + · · · . (9.53)
Pour évaluer l’ordre de grandeur des différentes quantités intervenant dans les équations du
mouvement, il est très commode d’introduire le paramètre sans dimension ǫ défini par
ǫ = up = m
. (9.54)
D’après ce que nous avons vu précédemment, une quantité d’ordre ǫ est d’ordre 1/c 2 . Nous
pourrons donc poser
rp
O(ǫ) ∼ O(1/c 2 ) = O(2), O(ǫ 2 ) ∼ O(1/c 4 ) = O(4). (9.55)
Rappelons qu’on a ǫ ≤ 2, 13 × 10−6 à l’extérieur du Soleil.
Il est clair que le second membre de (9.47) est d’ordre ǫ2 . À l’approximation du premier
ordre en ǫ, l’équation (9.52) se réduit donc à
d2u + u = 0. (9.56)
dϕ2 La solution de cette équation satisfaisant aux conditions aux limites (9.49) est
u = up cos ϕ ⇐⇒ rp = r cos ϕ, (9.57)
ce qui montre que le rayon lumineux coïncide avec la droite orthogonale en P au rayon vecteur
joignant O et P. Pour calculer la déviation relativiste du rayon lumineux, il faut donc retenir
les termes d’ordre ǫ2 dans le second membre de (9.52). À cet ordre d’approximation, il suffit de
prendre :
Ap
B(u)
= 1 + O(ǫ),
Bp
A(u) = 1 + 2(γ + 1)u + O(ǫ2 ) =⇒ d
B(u)
= 2(γ + 1) + O(ǫ).
du A(u)
Compte tenu de (9.53), l’équation (9.52) devient :
d2u dϕ2 + u = (γ + 1)u2p = (γ + 1) m2
r2 . (9.58)
p
La solution de cette équation satisfaisant aux conditions (9.49) est
ce qui est équivalent à
u = up {[1 − (γ + 1)up] cos ϕ + (γ + 1)up} , (9.59)
r =
rp
. (9.60)
[1 − (γ + 1)up] cos ϕ + (γ + 1)up
103

δ/2 ^
O P
δ/2
^
Fig. 9.2 – Déviation d’un rayon lumineux par une masse centrale.
L’équation (9.60) est l’équation polaire d’une branche d’hyperbole de paramètre p et d’excentricité
e donnés par
p =
r 2 p
(γ + 1)m = rp(e + 1), e =
rp
− 1.
(γ + 1)m
La déviation totale du rayon entre −∞ et ∞ est l’angle δ que forment les deux asymptotes.
Soit ϕ∞ la limite de l’angle ϕ lorsque r → ∞, i.e. u → 0. On a de façon évidente
L’équation (9.59) donne donc pour δ/2
up
[1 − (γ + 1)up] cos
Or, l’angle δ étant petit, on a l’approximation
ϕ∞ = π
2 +
δ
. (9.61)
2
π
cos
2 +
δ δ
≈ − sin
2 2
La substitution de (9.63) dans (9.62) montre immédiatement que
π
2 +
δ
+ (γ + 1)up = 0. (9.62)
2
δ
≈ − . (9.63)
2
δ = 2(γ + 1) m
+ O(ǫ 2 ), (9.64)
rp
104

soit
Si γ = 1, on a
δ = 2(γ + 1) GM
c 2 rp
+ O(4). (9.65)
δ = 1, 75”. (9.66)
pour un rayon lumineux frôlant le Soleil.
La première observation de cet effet fut effectuée par Eddington lors de l’éclipse totale de
Soleil de 1919 et joua un grand rôle dans l’histoire de la théorie de la relativité générale, en dépit
d’erreurs systématiques de l’ordre de 30% sur l’effet à mesurer. Ultérieurement, des mesures de
déviation d’ondes émises par des radio-sources et passant près du Soleil ont permis d’améliorer
les estimations de γ. Ainsi, par exemple, Fomalont et Sramec ont-ils trouvé en 1976 grâce à
une technique interférométrique 6
γ = 1, 014 ± 0, 018. (9.67)
Toutefois, l’exactitude de ces mesures “historiques” est restée limitée, en raison principalement
d’effets difficilement modélisables dus à la couronne solaire. Heureusement, les mesures de
type interférométriques (V.L.B.I.) se sont diversifiées et considérablement raffinées 7 et surtout,
on a pu effectuer des déterminations de γ extrêmement précises à partir de mesures radar entre
la Terre et une planète ou une sonde, et tout récemment par effet Doppler sur les liens radio
avec la sonde Cassini, comme nous l’avons signalé dans la section 9.1.
9.4 Avance séculaire du périhélie d’une planète
Pour étudier le mouvement du périhélie d’une planète, nous supposons ici que la planète
est assimilable à une particule d’épreuve, ce qui revient à négliger l’influence de sa structure
interne sur son mouvement. En outre, nous négligeons l’influence des autres planètes et nous
supposons que le Soleil est un corps isolé dans l’univers, engendrant un champ gravitationnel à
symétrie sphérique statique. La ligne d’univers de la planète est alors une géodésique du genre
temps de la métrique.
Du fait que l’on peut choisir l’abscisse curviligne s comme paramètre affine sur toute
géodésique du genre temps, nous posons
K = 1
dans les équations des géodésiques, de sorte que (9.44) et (9.47) s’écrivent respectivement
et
2 du
=
dϕ
m2E2 L2 B(u)
A(u)
d2u 1 m
+ u =
dϕ2 2
2E2 L2 d
du
m2
− B(u) − u2
L2
B(u)
A(u)
(9.68)
− 1 m
2
2
L2 dB(u)
. (9.69)
du
6 Voir E. B. Fomalont & R. A. Sramek, Physical Review Letters, vol. 36, p. 1475 (1976).
7 Voir D. E. Lebach et al., Physical Review Letters, vol. 75, p.1439 (1995).
105

Dans ce qui suit, nous supposons que l’orbite est quasi elliptique (fig. 9.3). Au cours du
mouvement, la variable r va donc passer de sa valeur rp au périhélie à sa valeur ra à l’aphélie
et on peut définir le demi-grand axe a et l’excentricité e en posant :
rp = a(1 − e), ra = a(1 + e). (9.70)
En outre, nous imposons ϕ = 0 pour l’un des périhélies, considéré comme périhélie de
référence. Nous appelons ϕa l’angle de l’aphélie qui succède au périhélie de référence.
La solution de (9.68) décrivant cette orbite doit satisfaire aux conditions aux limites suivantes
:
du
= 0, up ≡ u|ϕ=0 = m
; (9.71)
dϕ
du
dϕ
ϕ=0
ϕ=ϕa
= 0, ua ≡ u|ϕ=ϕaph
rp
m
= . (9.72)
ra
Compte tenu de l’équation du mouvement (9.68), ces conditions aux limites s’écrivent :
m2E2 Bp
L 2
Ap
m2E2 Ba
où Ap, Bp sont définis par (9.51), et Aa,Ba sont définies par
L 2
Aa
− m2
L 2 Bp − u 2 p = 0, (9.73)
− m2
L 2 Ba − u 2 a = 0, (9.74)
Aa = A(ua), Ba = B(ua). (9.75)
Les équations (9.51) et (9.75) constituent un système de deux équations linéaires satisfaites
par les deux inconnues m 2 E 2 /L 2 et m 2 /L 2 . La résolution de ce système est aisée. Il vient :
et
m 2 E 2
m2 =
L2 ApAa
=
L2 Aa − Ap
u 2 p
Bp
− u2 a
Ba
1 Ap
u
Aa − Ap Bp
2 p − Aa
u
Ba
2
a
(9.76)
. (9.77)
Toutes les équations données jusqu’ici dans cette section sont rigoureuses et peuvent être
appliquées dans n’importe quelle théorie métrique. Nous allons maintenant remplacer Ap, Bp,
Aa et Ba par leurs développements postnewtoniens respectifs obtenus à partir de
A(u) = 1 − 2mu + 2βu 2 + · · · , B(u) = 1 + 2γu + · · · (9.78)
Pour définir l’ordre de grandeur des différentes quantités intervenant dans notre problème,
nous pouvons nous servir du paramètre up comme nous l’avons fait pour la lumière ou encore
poser pour plus de commodité
ǫ = m
. (9.79)
L’approximation du premier ordre par rapport à ǫ correspond à l’approximation newtonienne.
Il faudra donc développer le second membre de (9.69) jusqu’au second ordre en ǫ. En
a
106

conséquence, il faut former le développement des constantes du mouvement m 2 E 2 /L 2 et m 2 /L 2
à l’ordre ǫ 2 . Un calcul de développements limités donne 8 :
et
m2 =
L2 m 2 E 2
=
L2 m
a(1 − e 2 ) +
m
a(1 − e 2 ) +
m2 a2 (1 − e2
2[β − 2(γ + 1)](1 − e
)
2 ) + γ
+ O(ǫ 3 ) (9.80)
m2 a2 (1 − e2
2[β − 2(γ + 1)](1 − e
)
2 ) + γ + 1
+ O(ǫ 3 ). (9.81)
La comparaison de (9.80) et (9.81) montre immédiatement que
m2 L2 = m2E2 m
+
L2 2
a2 (1 − e2 ) + O(ǫ3 ). (9.82)
Substituons (9.82) dans (9.69). Nous obtenons l’équation du mouvement :
d2u 1
+ u =
dϕ2 2
m 2 E 2
L 2
d
du
B(u)
−
A(u)
dB(u)
du
− 1
2
m 2
a 2 (1 − e 2 )
dB(u)
du + O(ǫ3 ) (9.83)
où la constante m 2 E 2 /L 2 doit être remplacée par son expression approchée (9.80). Cette
constante étant du premier ordre en ǫ, il suffit de retenir le développement du premier ordre
pour l’expression entre accolades dans le second membre de (9.83). On a :
soit
D’où
d
du
B(u)
A(u) − B(u) = 2u + 2[2(γ + 1) − β]u2 + O(u 3 ).
B(u)
−
A(u)
dB(u)
du = 2 + 4[2(γ + 1) − β]u + O(u2 ). (9.84)
Pour terminer le calcul du second membre de (9.83), il suffit de noter que
1
2
m 2
a 2 (1 − e 2 )
dB(u)
du
Substituons (9.84) et (9.85) dans (9.83). Il vient :
d 2 u
dϕ2 + u = m2E2 L
= γ m2
a 2 (1 − e 2 ) + O(ǫ3 ). (9.85)
2 {1 + 2[2(γ + 1) − β]u} − γ m2
a 2 (1 − e 2 ) + O(ǫ3 ),
d2
u
+ 1 − 2
dϕ2 m2E2 L2
[2(γ + 1) − β] u = m2E2 m2
− γ
L2 a2 (1 − e2 . (9.86)
)
Dans le premier membre de (9.86), la constante m 2 E 2 /L 2 peut être remplacée par son
expression approchée du premier ordre
m 2 E 2
=
L2 8 On déduit aisément de ces formules que E 2 = 1 − m
a + O(ǫ2 ) .
m
a(1 − e 2 ) + O(ǫ2 ). (9.87)
107

Le second membre de (9.86) est quant à lui donné par
m 2 E 2
m2
− γ
L2 a2 (1 − e2 ) =
m
a(1 − e2
1 −
)
6m
a(1 − e 2 )
2(γ + 1) − β
3
(9.88)
Substituons (9.87) et (9.88) dans (9.86). Nous obtenons finalement l’équation du mouvement
approchée
d2
u 6m
+ 1 −
dϕ2 a(1 − e2
2(γ + 1) − β m
u =
) 3 a(1 − e2
6m
1 −
) a(1 − e2
2(γ + 1) − β
. (9.89)
) 3
Cette équation différentielle est de la forme u ′′ + ω 2 u = const., qu’il est facile d’intégrer. La
solution de (9.89) correspondant à un périhélie atteint en ϕ = 0 est
où ω est la constante définie par
ω =
u =
m
a(1 − e2 (1 + e cos ωϕ), (9.90)
)
6m
1 −
a(1 − e2 2(γ + 1) − β
) 3
≈ 1 −
3m
a(1 − e2 2(γ + 1) − β
. (9.91)
) 3
Du fait que u = m/r, on déduit immédiatement de (9.90) qu’à l’approximation 1PN, l’orbite
relativiste d’une planète autour du Soleil est décrite en coordonnées polaires (r,ϕ) par l’équation
où ω est donné par (9.91) que l’on peut encore écrire
r = a(1 − e2 )
, (9.92)
1 + e cos ωϕ
ω = 1 − 3GM
c2a(1 − e2 2(γ + 1) − β
. (9.93)
) 3
Les expressions (9.92) et (9.93) sont correctes à des termes d’ordre ε 2 près. On notera que
l’orbite képlérienne prévue par la théorie newtonienne serait obtenue en posant ω = 1 dans
(9.92) (on a alors l’équation d’une ellipse de foyer O, de demi-grand axe a et d’excentricité e.)
L’équation polaire (9.92) permet de déduire très facilement l’avance ∆ϕper du périhélie par
révolution. En effet, ∆ϕper est défini par
soit
ω(2π + ∆ϕper) = 2π ,
1
∆ϕper = 2π − 1 . (9.94)
ω
En substituant (9.93) dans (9.94), il vient à des termes d’ordre 1/c4 près
∆ϕper = 6πGM
c2a(1 − e2 2(γ + 1) − β
) 3
108
rad/révolution. (9.95)

A
Pour la planète Mercure, on a
1
A
2
O
Fig. 9.3 – Avance séculaire du péricentre.
6πGM⊙
c 2 a(1 − e 2 )
P
3
P
2
A
P
3
1
= 42, 98 ”/siècle . (9.96)
Par ailleurs, l’avance séculaire résiduelle du périhélie de Mercure déduite des observations
est très voisine de 43 ”/siècle. Citons par exemple deux résultats récents obtenus à partir de
deux systèmes d’éphémérides, DE 405 et EPM 2000 :
(∆ϕper) obs = 43, 004 ± 0, 002 ”/siècle (DE 405)
= 43, 0115 ± 0, 0085 ”/siècle (EPM 2000) . (9.97)
La comparaison de (9.95) et (9.96) montre que le rapport (2(γ + 1) − β)/3 prédit doit être
très voisin de 1 pour que la théorie métrique soit acceptable. Il faut néanmoins tenir compte du
moment quadrupolaire J2 du Soleil pour avoir une contrainte fiable sur la combinaison 2(γ +
1)−β. Un calcul plus complet que celui que nous avons fait ci-dessus montre que le déplacement
du périhélie d’une planète ayant une orbite d’inclinaison i est donné par l’expression 9
∆ϕper = 6πGM⊙
c 2 a(1 − e 2 )
2(γ + 1) − β
3
−
R2 ⊙
2ma(1 − e2 ) J2(3 sin 2
i − 1)
rad/révolution, (9.98)
où R⊙ est le rayon équatorial du Soleil. Pour Mercure, la prédiction théorique est alors donnée
par
2(γ + 1) − β
∆ϕper = 42, 98 + 3 × 10
3
−4
J2
10−7 ”/siècle . (9.99)
9 Voir par ex. S. Pireaux, J.-P. Rozelot & S. Godier, Astrophys. Space Sci., vol. 284, pp. 1159-1194 (2003).
109

Il est malheureusement difficile de donner un intervalle de valeurs acceptables très serré
pour la quantité [2(γ +1) −β]/3 car on ne connaît pas bien la valeur du moment quadrupolaire
J2 du Soleil 10 . Il est cependant admis qu’on peut poser
9.5 Que faire pour aller plus loin?
1
[2(γ + 1) − β] − 1
≤ 0, 001. (9.100)
3
Ce chapitre a montré que l’hypothèse selon laquelle la gravitation est une manifestation de
la courbure d’une métrique conduit à prédire un certain nombre d’effets qui sont effectivement
observés. Le schéma “phénoménologique” contenant deux paramètre postnewtoniens β et γ
proposé par Eddington permet de tester cette hypothèse avant même d’avoir formulé une théorie
complète.
Nous avons vu que les valeurs “simples” γ = 1 et β = 1 sont compatibles avec les mesures
effectuées dans le système solaire. Nous pourrons donc considérer ces valeurs comme
des valeurs “standard”, sans oublier toutefois qu’aucune observation ne peut évidemment les
imposer de manière formelle. Il convient donc de garder à l’esprit qu’une classe étendue de
théories métriques va s’avérer envisageable, d’autant que nous n’avons pas étudié tous les tests
présentement disponibles.
Il est toutefois clair que nous ne pouvons nous contenter d’un tel schéma phénoménologique,
et ce pour plusieurs raisons.
1. Il est évidemment simpliste de supposer qu’une planète comme Mercure par exemple est
une particule ponctuelle de masse négligeable gravitant dans un champ à symétrie sphérique
invariable au cours du temps. Mercure est un corps étendu ayant un champ gravitationnel propre
en interaction non seulement avec le Soleil mais aussi avec tous les autres objets du système
solaire, eux-mêmes en interaction avec le reste de l’Univers. En fait, le champ gravitationnel
du système solaire est un champ dynamique, créé par des corps étendus qui se déforment sans
cesse en raison de leurs mouvements et de leurs interactions mutuelles.
2. On sait depuis longtemps qu’il existe de nombreux sites astrophysiques dans lesquels le
champ de gravitation ne peut être considéré comme faible (étoiles à neutrons, pulsars binaires,
noyaux des galaxies, etc.).
3. Nous avons déjà souligné que la relativité restreinte “prédisposait” à considérer l’interaction
gravitationnelle comme devant se propager par ondes se déplaçant avec la vitesse c.
4. Enfin, bien que nous ne puissions insister ici, la théorie de Newton dans sa formulation
usuelle soulève beaucoup de difficultés quand on veut formuler les problèmes cosmologiques de
manière vraiment cohérente.
Il est donc maintenant impératif de chercher une théorie ou une classe de théories qui
apportent des réponses précises aux quatre types de problèmes que nous venons d’évoquer et
qui prédisent des valeurs de β et γ suffisamment proches de 1 pour être en bon accord avec les
observations.
10 La plupart des modèles du Soleil conduisent à des valeurs est de l’ordre de quelques 10 −7 pour J2. On prend
souvent J2 = (2 ± 0,4) × 10 −7 .
110

Nous allons voir dans le chapitre suivant qu’il existe une théorie qui 1) décrit entièrement
le champ de gravitation par une métrique, 2) prédit exactement γ = 1 et β = 1, 3) n’est en
contradiction avec aucun autre test actuel. Cette théorie est la relativité générale 11 .
11 L’affirmation que la relativité générale n’est contredite par aucun test ne signifie pas que cette théorie ne
rencontre aucune difficulté. C’est ainsi que l’anomalie Pioneer n’a pas reçu d’interprêtation faisant consensus,
et que la cosmologie dresse plusieurs défis. Mais aucun de ces problèmes ne peut être pour le moment considéré
comme un test.
111

Chapitre 10
La relativité générale
Dans le chapitre 7, nous avons formulé un cadre général définissant ce qu’on appelle les
théories métriques de la gravitation. Nous avons souligné que la description complète du champ
de gravitation ne se réduisait pas nécessairement à une métrique lorentzienne. Il existe cependant
une théorie dans laquelle le champ de gravitation est entièrement décrit par la métrique et
qui est en bon accord avec l’expérience et avec la quasi totalité des observations, c’est la relativité
générale, certainement la plus élégante de toutes les théories ayant survécu aux différents
tests que l’on a pu mener jusqu’ici. Nous exposons brièvement la démarche qui conduit aux
équations d’Einstein, puis nous montrons comment on détermine la métrique de Schwarzschild
et quelques unes de ses conséquences astronomiques.
10.1 Les équations d’Einstein
Pour construire une théorie purement métrique de la gravitation, il faut formuler des
équations de champ gouvernant les composantes gµν de la métrique. Nous allons nous laisser
guider par la théorie newtonienne de la gravitation.
Nous avons rappelé dans le chapitre 7 que le potentiel newtonien U d’une distribution de
matière de densité de masse inertielle ρ(x,t) vérifie l’équation de Laplace
à l’extérieur de la matière, et vérifie l’équation de Poisson
∆2U = 0 (10.1)
∆2U = −4πGρ(x,t) (10.2)
à l’intérieur des masses, ∆2U étant l’opérateur laplacien défini par
∆2U = ∂2 U
(∂x 1 ) 2 + ∂2 U
(∂x 2 ) 2 + ∂2 U
(∂x 3 ) 2 = δij ∂iU∂jU , (10.3)
où les coordonnées x i sont des coordonnées cartésiennes orthonormées.
Les équations aux dérivées partielles (10.1) et (10.2) sont du second ordre. Nous allons donc
postuler que les équations satisfaites par la métrique sont aussi du second ordre.
112

Du fait qu’il y a dix gµν indépendants 1 , il faut un système de dix équations aux dérivées
partielles. Gouvernant un tenseur, ces équations doivent elles-mêmes être des égalités de tenseurs.
Ces tenseurs doivent être deux fois contravariants (ou deux fois covariants) et symétriques
afin d’obtenir les dix relations souhaitées. Il est donc légitime de supposer que les équations
cherchées sont de la forme
S µν (g,∂g,∂ 2 g) = κT µν , (10.4)
où S µν (g,∂g,∂ 2 g) est un tenseur construit uniquement avec les gµν, leurs dérivées premières et
leurs dérivées secondes, κ est une constante de couplage et T µν est un tenseur qui décrit les
sources du champ gravitationnel.
En observant le second membre de l’équation de Poisson (10.2), on pourrait penser que T µν
doit être construit à partir de la densité de masse inertielle de la matière. Mais nous avons
vu dans la section 7.2 qu’il y a de bonnes raisons d’admettre que non seulement la matière
constituée d’atomes ou de particules, mais également toutes les autres formes d’énergie sont des
sources du champ de gravitation. En particulier, une distribution d’énergie électromagnétique
telle qu’un faisceau lumineux par exemple doit créer un champ de gravitation.
La relativité restreinte établit aussi que l’énergie divisée par c et la quantité de mouvement
(ou impulsion) d’une particule constituent les composantes d’un quadrivecteur appelé
le quadrivecteur impulsion-énergie. On peut montrer qu’on peut définir un quadrivecteur densité
d’impulsion-énergie pour un champ quelconque (champ scalaire, champ électromagnétique,
etc.). Il est donc naturel de penser que les composantes de l’impulsion de la matière et des
autres distributions d’énergie doivent aussi contribuer au champ de gravitation.
Les raisons énumérées ci-dessus conduisent à postuler que T µν doit être l’extension à un
espace-temps muni d’une métrique douée de courbure de ce qu’on appelle un tenseur impulsionénergie
en relativité restreinte. Nous nous contenterons d’indiquer ici que pour un fluide parfait 2
de densité propre 3 d’énergie µc 2 et de pression p, le tenseur impulsion-énergie est de la forme
où u µ est le quadrivecteur vitesse unitaire du fluide défini par
T µν = (µc 2 + p)u µ u ν − pg µν , (10.5)
u µ = dxµ
ds
, (10.6)
les dérivées dx µ étant prises le long de la ligne d’univers de chaque particule du fluide. On
notera que le vecteur u µ est tangent à la ligne d’univers d’une particule du fluide. En outre, u µ
est unitaire car on a
gµνu µ u ν dx
= gµν
µ dx
ds
ν
ds = gµνdx µ dxν ds2 = ds2
= 1. (10.7)
ds2 Dans certains cas, on peut au moins en première approximation négliger la pression du
fluide. Le tenseur impulsion-énergie (10.5) se réduit alors à
T µν = µc 2 u µ u ν . (10.8)
1 Ne pas oublier que les gµν sont symétriques.
2 Un fluide est dit parfait lorsqu’on peut négliger les forces de frottement internes (viscosité) et les échanges
de chaleur entre ses différentes parties. Le mouvement d’un fluide parfait est donc adiabatique.
3 Par définition, la densité propre d’une quantité est la valeur de cette quantité par unité de volume dans le
référentiel comouvant avec le fluide.
113

On dit que (10.8) décrit un schéma matière pure ou incohérente.
On peut aussi construire des tenseurs impulsion-énergie décrivant un fluide avec courant
d’entropie, un plasma, un champ électromagnétique, un champ scalaire, etc.
On postule enfin que les dix composantes du tenseur impulsion-énergie figurant dans le
second membre de (10.4) doivent satisfaire les quatre équations suivantes :
∇µT µν = 0, (10.9)
qui sont appelées équations de conservation. Ces quatre équations qu’il faut ajouter aux dix
équations du champ (10.4) sont les équations du mouvement des sources du champ de gravitation.
Pour être compatible avec les équations de conservation (10.9), le tenseur S µν doit satisfaire
les quatre équations
∇µS µν = 0 (10.10)
quelle que soit la métrique g, que cette métrique soit solution des équations du champ (10.4)
ou non. Autrement dit, les équations (10.10) doivent être des identités. Or, on démontre que
les tenseurs S µν symétriques que l’on peut construire uniquement avec gµν, ∂αgλρ et ∂α∂βgστ et
qui vérifient les identités (10.10) sont nécessairement de la forme
S µν = G µν − Λg µν , (10.11)
où G µν est le tenseur d’Einstein défini par l’équation (C.68) de l’annexe C et Λ est une constante
arbitraire. Rappelons que l’expression du tenseur d’Einstein est donnée par la formule
où
et
G µν = R µν − 1
2 Rgµν , (10.12)
R µν = g µα g νβ Rαβ
(10.13)
R = g αβ Rαβ, (10.14)
les quantités Rαβ étant les composantes covariantes du tenseur de Ricci explicitées par les
équations (C.65) de l’annexe C.
Les hypothèses faites ci-dessus nous amènent donc au postulat fondamental suivant, énonçant
les célèbres équations d’Einstein.
Postulat 10.1.1 (Équations d’Einstein)
a) Dans les régions de l’espace-temps balayées par une distribution de matière ou d’énergie
décrite par un tenseur impulsion-énergie T µν , les potentiels de gravitation gµν sont solutions
des équations dites du cas intérieur
G µν ≡ R µν − 1
2 Rgµν = κT µν + Λg µν . (10.15)
b) Dans les régions ne contenant aucune distribution de matière ou d’énergie, les potentiels
de gravitation sont solutions des équations dites du cas extérieur
G µν ≡ R µν − 1
2 Rgµν = Λg µν . (10.16)
114

Dans les équations (10.15) et (10.16), κ est une constante de couplage gravitationnel définie
par
κ = 8πG
c4 (10.17)
et Λ est une constante appelée constante cosmologique.
La formule (10.17) donnant la valeur de la constante de couplage κ est déterminée par la
nécessité de retrouver la loi de gravitation newtonienne à l’approximation des champs faibles.
En revanche, la constante cosmologique Λ n’est actuellement reliée à aucune autre constante
de la physique. La seule certitude est que sa valeur est extrêmement faible et la rend de ce fait
négligeable en dehors du contexte cosmologique. Son existence paraît liée à ce qu’on appelle
l’énergie du vide telle que la conçoit la théorie quantique des champs, mais le problème majeur
est que la valeur de Λ devrait être énorme, au lieu d’être très faible. L’existence et la valeur
phénoménologique de Λ constituent l’une des grandes énigmes de la physique théorique et de la
cosmologie contemporaines (nature de énergie noire provoquant l’accélération de l’expansion).
En notant que g µρ gµν = δ ρ ν entraîne g µν gµν = 4, on voit facilement que les équations d’Einstein
peuvent encore s’écrire comme l’indique la proposition ci-dessous.
Proposition 10.1.1
a) Dans le cas intérieur, les équations d’Einstein (10.15) sont équivalentes à
R µν
= κ T µν − 1
2 Tgµν
− Λg µν
b) Dans le cas extérieur, les équations (10.16) sont équivalentes à
(10.18)
R µν = −Λg µν . (10.19)
Les dix équations d’Einstein ne permettent pas à elles seules de résoudre un problème de
gravitation. Il faut impérativement leur ajouter les quatre équations du mouvement (10.9),
qui peuvent être considérées comme des conditions d’intégrabilité. Mais cette adjonction n’est
elle-même pas suffisante. Il faut également écrire les relations entre les variables de champ
définissant les sources (par ex. une équation d’état µ = f(p) pour un fluide parfait), ainsi que
l’ensemble des conditions aux limites nécessaires pour qu’une métrique solution des équations
d’Einstein ait un sens physique.
10.2 La métrique de Schwarzschild extérieure
Nous allons chercher les solutions des équations d’Einstein à l’extérieur d’un corps massif
à symétrie sphérique. Nous supposons que les solutions sont statiques, i.e. indépendantes du
temps. En outre, nous négligeons la constante cosmologique. Enfin, nous supposons que la
métrique tend à coïncider avec la métrique de Minkowski lorsqu’on s’éloigne indéfiniment du
corps central. On dit que la métrique doit être asymptotiquement plate à l’infini spatial.
115

Il est commode d’exprimer la métrique dans un système de coordonnées locales sphériques
(ρ,θ,ϕ). On peut montrer par des arguments de symétrie que ces coordonnées peuvent toujours
être choisies de telle sorte que la métrique ne contienne que deux potentiels inconnus et s’écrive
sous la forme
ds 2 = e ν(ρ) (dx 0 ) 2 − e λ(ρ) dρ 2 − ρ 2 (dθ 2 + sin 2 θdϕ 2 ). (10.20)
En un point infiniment éloigné de la source du champ, la métrique (10.20) doit coïncider
avec la métrique de Minkowski écrite en coordonnées sphériques usuelles, c’est-à-dire :
ds 2 = (dx 0 ) 2 − dρ 2 − ρ 2 (dθ 2 + sin 2 θdϕ 2 ). (10.21)
Cette condition se traduit par les conditions aux limites
lim ν(ρ) = 0, lim λ(ρ) = 0. (10.22)
ρ→∞ ρ→∞
Le calcul des composantes contravariantes du tenseur d’Einstein correspondant à la métrique
(10.20) s’effectue à partir des expressions explicites de R µν et de R fournies par les équations
(10.13) et (10.14) du présent chapitre et par les équations (C.65) de l’annexe C. Un calcul assez
long mais sans difficulté particulière montre que les seules composantes contravariantes du
tenseur d’Einstein correspondant à la métrique (10.20) non identiquement nulles sont données
par :
G 00 = e−ν(ρ)
ρ 2
G 11 = e−λ(ρ)
ρ 2
G 22 = e−λ(ρ)
ρ 2
1 − e −λ(ρ) (1 − ρλ ′ )
, (10.23)
e −λ(ρ) (1 + ρν ′ ) − 1
, (10.24)
ν ′ − λ ′
2ρ
ν′′
+
2 + ν′ − λ ′
2
ν ′
, (10.25)
2
G 33 ≡ 1
sin 2 θ G22 , (10.26)
où f ′ désigne la dérivée d’une fonction f(ρ) par rapport à ρ.
Compte tenu de (10.23)-(10.26), le système des équations d’Einstein du vide (G µν = 0) se
réduit aux trois équations suivantes :
1 − e −λ(ρ) (1 − ρλ ′ ) = 0, (10.27)
e −λ(ρ) (1 + ρν ′ ) − 1 = 0, (10.28)
2(ν ′ − λ ′ ) + 2ρν ′′ + ρ(ν ′ − λ ′ )ν ′ = 0. (10.29)
On vérifie facilement que (10.29) est conséquence de (10.27) et (10.28). L’équation (10.27)
peut s’écrire sous la forme
d
e
dρ
−λ(ρ) ρ
= 1. (10.30)
L’intégration de (10.30) donne immédiatement e−λ(ρ) ρ = ρ + C, C étant une constante
arbitraire. Il s’ensuit que
e −λ(ρ) = 1 + C
. (10.31)
ρ
116

Maintenant, additionnons membre à membre (10.27) et (10.28). Il vient :
ν ′ + λ ′ = 0. (10.32)
L’unique solution de (10.32) compatible avec les conditions aux limites (10.22) est
On déduit de (10.31) et de (10.33) que
ν + λ = 0 ⇐⇒ ν = −λ . (10.33)
e ν(ρ) = e −λ(ρ) = 1 + C
. (10.34)
ρ
Or, nous avons vu qu’on doit avoir g00 ≈ 1 − 2U/ρ loin de la masse centrale de manière à
retrouver la loi de Newton en première approximation. Du fait qu’on a U ≈ GM/ρ pour un
corps attractif de masse M à symétrie sphérique, il faut donc poser
C = −2m , avec m = GM
c 2 . (10.35)
En substituant (10.35) dans (10.34), on voit que la solution à symétrie sphérique statique
des équations d’Einstein du vide sans constante cosmologique s’écrit
ds 2
= 1 − 2m
(dx
ρ
0 ) 2 − dρ2
1 − 2m
ρ
− ρ 2 (dθ 2 + sin 2 θdϕ 2 ). (10.36)
Cette solution est célèbre : on l’appelle la métrique de Schwarzschild extérieure.
Lorsqu’on ne néglige pas la constante cosmologique, les solutions des équations d’Einstein
du vide G µν = Λg µν s’écrivant sous la forme (10.20) sont données par
ds 2 =
1 − 2m
ρ
Λ
−
3 ρ2
(dx 0 ) 2 −
1 − 2m
ρ
dρ 2
− Λ
3 ρ2 − ρ2 (dθ 2 + sin 2 θdϕ 2 ), (10.37)
où m est une constante arbitraire que l’on peut encore interpréter comme un terme de masse
centrée sur l’origine ρ = 0.
On peut voir que Λ > 0 correspond à une force répulsive proportionnelle à ρ en première approximation,
tandis que Λ < 0 correspond à une force attractive. Dans ce qui suit, on supposera
Λ = 0.
10.3 Forme isotropique de la métrique de Schwarzschild
Il est possible d’écrire la métrique de Schwarzschild sous une forme isotropique (voir chapitre
8) en effectuant le changement de coordonnée radiale défini par
ρ = r 1 + m
2 2r
117
= r + m + m2
. (10.38)
4r

On trouve
ds 2 =
m 1 − 2r
1 + m
2 (dx
2r
0 ) 2
−
1 + m
2r
Un développement en puissances de m/r donne
1 − m
2r
1 + m
2r
1 + m
2r
2
4
= 1 − 2m
r
= 1 + 2m
r
4
dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θdϕ 2 )
. (10.39)
+ 2m2 + ..., (10.40)
r2 + 3
2
m2 + ... (10.41)
r2 La comparaison des développements (10.40) et (10.41) avec les développements postnewtoniens
(8.21) montre immédiatement que γ = 1 et β = 1. On en conclut que la métrique de
Schwarzschild est en excellent accord avec les tests classiques. On notera par ailleurs que le
paramètre postpostnewtonien δ = 1, ce qui est intéressant pour la théorie des rayons lumineux
à l’approximation dite 2PN.
Nous allons maintenant montrer que ces valeurs de γ et β peuvent également s’obtenir en
calculant directement la déflexion d’un rayon lumineux et l’avance séculaire du périhélie par
des intégrations approchées des équations des géodésiques de la métrique de Schwarzschild. On
verra que les calculs sont beaucoup plus simples avec la forme (10.36) que les calculs effectués
au chapitre 9 avec la forme isotropique de la métrique.
10.4 Géodésiques de la métrique de Schwarzschild
La fonction de Lagrange L correspondant à la métrique (10.36) a pour expression
2L = 1 − 2m
( ˙x
ρ
0 ) 2 −
˙ρ2
1 − 2m
ρ
− ρ 2 ˙ θ 2 − ρ 2 sin 2 θ ˙ϕ 2 , (10.42)
où on utilise la notation ˙x = dx/dλ, λ étant un paramètre affine arbitraire de la géodésique.
L’intégrale première 2L = K = const. s’écrit alors
1 − 2m
( ˙x
ρ
0 ) 2 −
˙ρ2
1 − 2m
ρ
− ρ 2 ˙ θ 2 − ρ 2 sin 2 θ ˙ϕ 2 = K , (10.43)
avec K > 0 pour une géodésique du genre temps, K = 0 pour une géodésique isotrope et K < 0
pour une géodésique du genre espace.
Du fait que L ne dépend explicitement ni de x 0 ni de ϕ, il existe deux autres intégrales
premières :
∂L
≡ 1 −
∂ ˙x 0 2m
˙x
ρ
0 = E , (10.44)
∂L
∂ ˙ϕ ≡ −ρ2 sin 2 θ ˙ϕ = −L, (10.45)
118

où E et L sont des constantes d’intégration. Notons que E correspond à l’intégrale de l’énergie
conservée et que L correspond au moment cinétique conservé en mécanique newtonienne.
Pour obtenir un système complet d’équations du mouvement, il suffit d’ajouter l’équation
d’Euler-Lagrange pour la variable θ :
d
dλ (−ρ2 ˙ θ) + ρ 2 sin θ cos θ ˙ϕ 2 = 0. (10.46)
On peut montrer que le mouvement s’effectue dans un plan fixe passant par l’origine O en
raison de la symétrie sphérique. Il est alors possible de choisir les axes de telle sorte que la
géodésique étudiée soit dans le plan équatorial d’équation
θ = π
. (10.47)
2
Avec ce choix, on a ˙ θ = 0 et les géodésiques sont alors déterminée par le système des trois
intégrales premières
et
1 − 2m
0 2
dx
−
ρ dλ
1
1 − 2m
2 dρ
− ρ
dλ ρ
2
2 dϕ
= K , (10.48)
dλ
1 − 2m
0 dx
= E , (10.49)
ρ dλ
ρ 2dϕ
dλ
= L. (10.50)
De (10.49) et (10.50), on déduit respectivement
dx 0
dλ
dϕ
dλ
= E
1 − 2m
ρ
(10.51)
L
= . (10.52)
ρ2 Substituons (10.51) et (10.52) dans (10.48), puis multiplions les deux membres de l’équation
. Il vient :
obtenue par 1 − 2m
r
2 dρ
= E
dλ
2
− 1 − 2m
2 L
+ K . (10.53)
ρ ρ2 En éliminant dλ entre (10.51) et (10.53), on obtient
dρ
dx0 2
= 1 − 2m
2
1 − 1 −
ρ
2m
2 L
ρ E2 Enfin, en éliminant dλ entre (10.52) et (10.53), il vient :
1 K
+
ρ2 E2
(10.54)
2 dϕ L
ρ = 1 −
dx0 E
2m
, (10.55)
ρ
119

équation qui est à comparer avec la loi des aires en mécanique newtonienne.
Les équations (10.53)-(10.55) déterminent entièrement les solutions comprises dans le plan
θ = π/2. Ces trois équations sont du premier ordre à variables séparables. On peut donc
exprimer leur solution générale par quadrature.
On notera également que les équations (10.51), (10.52), (10.53) et dθ/dλ = 0 fournissent les
composantes dx µ /dλ du vecteur tangent à la géodésique solution.
Deux cas sont à distinguer.
1. L = 0. Dans ce cas ˙ϕ = 0, ce qui entraîne ϕ = constante. La géodésique est dite radiale.
Les équations (10.53) et (10.54) se réduisent alors au système
2 dρ
dλ
= E 2
− K 1 − 2m
,
ρ
(10.56)
dρ
dx0 2 =
1 − 2m
2
1 −
ρ
K
E2
1 − 2m
.
ρ
(10.57)
Ces deux équation du premier ordre à variables séparables permettent d’exprimer le paramètre
affine λ et la coordonnée temporelle x 0 en termes de fonctions élémentaires de la
variable radiale ρ.
2. L = 0. Dans ce cas, on peut éliminer dλ entre (10.53) et (10.50), ce qui donne :
2 dρ
= ρ
dϕ
4
2 E
− 1 −
L2 2m
1 K
+
ρ ρ2 L2
. (10.58)
Les équations (10.58), (10.54) et (10.55) déterminent complètement les géodésiques contenues
dans le plan θ = π/2. Ces équations différentielles sont du premier ordre à variables
séparables, tout comme dans le cas où L = 0. Toutefois, les intégrales obtenues par quadrature
s’expriment maintenant en toute rigueur par des fonctions elliptiques, plus compliquées à utiliser
que les fonctions dites élémentaires. C’est pourquoi nous nous contenterons ici de solutions
approchées qui ont été jusqu’ici suffisantes pour les vérifications expérimentales effectuées dans
le système solaire.
Pour étudier les courbes solutions, on utilisera 4
u = m/ρ (10.59)
comme fonction inconnue plutôt que ρ. En substituant ρ = m/u et dρ = −mu−2du dans (10.58),
puis en multipliant les deux membres par u4 , on obtient une équation qui peut s’écrire sous la
forme : 2 du
=
dϕ
m2 (E2 − K)
L2 + 2Km2
L2 u − u2 + 2u 3 . (10.60)
Cette équation différentielle est elle aussi à variables séparables. En prenant la racine carrée
de chaque membre de (10.60), on obtient l’équation
dϕ = ±
du
m 2 E 2
L 2 − (1 − 2u)
u2 + K m2
, (10.61)
4 On ne confondra pas la fonction u ici définie avec la quantité u = m/r introduite dans la section 9.2.
120
L 2

qui permet d’exprimer ϕ en fonction de u par une quadrature.
10.5 Déviation des rayons lumineux
On doit poser K = 0 dans le cas de la lumière. Pour les rayons lumineux non radiaux,
l’équation (10.60) se réduit alors à
2 du
=
dϕ
m2E2 L2 − u2 + 2u 3 . (10.62)
Considérons un rayon lumineux venant de l’infini, atteignant le point le plus proche de
l’origine (péricentre) lorsque ϕ = ϕp et repartant vers l’infini lorsque ϕ croît à partir de ϕp (cf.
fig. 9.2, chap. 9). L’analyse du signe du trinôme du troisième degré en u dans le second membre
de (10.62) montre que cette configuration est réalisable lorsque ρp > 3m. Appelons ρp la valeur
de ρ correspondant au péricentre et posons
La fonction u atteint son maximum au péricentre. On a donc
u = up =⇒
Il en résulte que la constante m 2 E 2 /L 2 est donnée par
m 2 E 2
up = m
. (10.63)
ρp
2 du
= 0. (10.64)
dϕ u=up
L 2 = u2 p − 2u 3 p . (10.65)
Dans le mouvement considéré, ρ est une fonction croissante de ϕ après le passage du rayon
par le péricentre. On a alors du/dϕ < 0 sur cette partie de la trajectoire. L’intégration de
(10.52) par quadrature est immédiate. Compte tenu de (10.65), il vient :
up
ϕ(u) − ϕp =
u
du
u2 p − u2 − 2u3 . (10.66)
p + 2u3 Lorsque ρ → ∞, u → 0. L’angle ϕ tend alors vers la valeur ϕ∞ définie par l’intégrale :
up
ϕ∞ − ϕp =
0
du
u2 p − u2 − 2u3 . (10.67)
p + 2u3 La différence ϕ∞ − ϕp est l’angle que fait l’asymptote avec le rayon vecteur joignant le
centre O au péricentre. Par raison de symétrie, l’angle total formé par les deux asymptotes est
2(ϕ∞ − ϕp). La déviation totale δ subie par le rayon lumineux entre −∞ et ∞ peut se définir
comme la différence 2(ϕ∞ −ϕp)−π. Il en résulte que la déviation du rayon lumineux est donnée
par
up
δ = 2(ϕ∞ − ϕp) − π = 2
0
121
du
u2 p − u2 − 2u3 − π . (10.68)
p + 2u3

Cette formule est rigoureuse. Pour former un développement de δ en puissances entières de
up = m/ρp, notons que up est une racine du polynôme du troisième degré en u sous le le radical
puisqu’on a du/dϕ = 0 lorsque u = up. On voit aisément que
u 2 p − u 2 − 2u 3 p + 2u 3 ≡ (up − u)
up + u − 2(u 2 p + upu + u 2 )
Compte tenu de (10.69), l’expression (10.68) donnant δ s’écrit
up
δ = 2
0
Effectuons le changement de variable :
Compte tenu des égalités
l’expression de δ devient
≡ (up − u)
(1 − 2up)(up + u) − 2u 2
. (10.69)
du
(up − u) [(1 − 2up)(up + u) − 2u 2 ]
− π . (10.70)
u = up cos 2ψ , 0 ≤ ψ ≤ π
. (10.71)
4
up − u = 2up sin 2 ψ , up + u = 2up cos 2 ψ ,
π
δ = 4
4
0
dψ
1 − 2up cos 2ψ + 1
2 cos−2 ψ − π . (10.72)
A l’extérieur du Soleil, on a up ≤ 2, 13 × 10 −6 , la borne supérieure de cette inégalité correspondant
à ρp = ρ⊙, ρ⊙ étant le rayon du Soleil en coordonnées (ρ,θ,ϕ). On se contentera ici
de développer le terme sous le signe somme au premier ordre par rapport à up, ce qui donne
soit tous calculs faits
π
4 δ = 4 1 + up cos 2ψ +
0
1
2 cos−2
ψ + O(u 2
p) dψ − π (10.73)
δ = 4up = 4GM
c 2 ρp
La déviation totale d’un rayon rasant la surface solaire vaut donc
δ⊙ = 4GM⊙
c 2 ρ⊙
+ O
G 2 M 2 ⊙
c 4 ρ 2 ⊙
+ O(u 2 p). (10.74)
= 1, 75”. (10.75)
Compte tenu de (10.38), l’équation (10.74) s’écrit en terme de coordonnée radiale isotrope
δ = 4GM
c 2 rp
+ O(4). (10.76)
En comparant l’expression (10.76) de la déviation avec la formule (9.65), on voit que la
relativité générale prévoit
γ = 1. (10.77)
122

Valeur de δ au second ordre.— Le calcul de la déviation δ à l’approximation du second
ordre est simple à partir de (10.72). On obtient :
δ = 4GM
c 2 ρp
+
15π
16
− 1
2 2GM
+ O
c 2 ρp
3 3 G M
c 6 ρ 3 p
. (10.78)
Le terme du second ordre correspond à une déviation de l’ordre de 7 microsecondes d’arc
pour un rayon rasant le Soleil. Il faut toutefois noter que si la valeur totale de la déviation est
inchangée par les transformations de coordonnées 5 , l’expression formelle du terme du second
ordre est par contre très “sensible” au système de coordonnées utilisé car la valeur de la variable
radiale correspondant au péricentre change lorsqu’on passe d’un système de coordonnées à
l’autre. Ainsi, la déviation obtenue en intégrant les équations des géodésiques isotropes de la
métrique écrite sous la forme (10.39) est donnée par
δ = 4GM
c 2 rp
+
15π
32
− 1
2 2GM
+ O
c 2 rp
3 3 G M
c 6 r 3 p
. (10.79)
On vérifie aisément l’équivalence des relations (10.78) et (10.79) en écrivant que ρp et rp
sont liés par l’équation (10.38).
10.6 Avance séculaire du périhélie d’une planète
Pour étudier le mouvement du périhélie d’une planète, on admet ici que la planète est
assimilable à une particule d’épreuve, ce qui revient à négliger l’influence de sa structure interne
sur son mouvement. En outre, on néglige l’influence des autres planètes et on suppose que le
Soleil est à symétrie sphérique.
On peut toujours choisir les coordonnées de telle sorte que le mouvement de la planète
soit situé dans le plan θ = π/2. L’orbite de la planète est alors solution de l’équation (10.60).
Puisque la ligne d’univers de la planète est une géodésique du genre temps, on peut choisir
l’abscisse curviligne s comme paramètre affine, ce qui entraîne
de sorte que (10.60) s’écrit
K = 1,
2 du
=
dϕ
m2 (E2 − 1)
L2 + 2m2
L2 u − u2 + 2u 3 . (10.80)
Nous raisonnons sur la demi-révolution comprise entre le passage au péricentre P1 de coordonnées
polaires (ρp,ϕp) et le passage à l’apocentre A1 de coordonnées polaires (ρa,ϕa) (cf. fig.
9.3, chap. 9). Le mouvement est supposé s’effectuer dans le sens direct. On pose :
up = m
, ua = m
. (10.81)
ρp
5 l’angle de déviation entre −∞ et ∞ est en effet une grandeur intrinsèque indépendante des coordonnées
utilisées pour repérer les événements.
123
ρa

Durant la demi-période considérée, la fonction u(ϕ) est décroissante. On a donc pendant
cette demi-période :
du
dϕ = −
. (10.82)
m 2 (E 2 −1)
L 2
+ 2m2
L 2 u − u 2 + 2u 3
En conséquence, l’angle ϕa − ϕp balayé par le rayon vecteur est donné par l’intégrale
ub
ϕa − ϕp =
ua
m 2 (E 2 −1)
L 2
du
+ 2m2
L 2 u − u 2 + 2u 3
. (10.83)
Par raison de symétrie, l’angle balayé par le rayon vecteur entre deux passages successifs par
un péricentre (i.e. pendant une révolution complète) est égal à 2(ϕa − ϕp). Cet angle vaudrait
2π en théorie newtonienne. L’avance relativiste ∆ϕp du péricentre par révolution est donc par
définition
∆ϕp = 2(ϕa − ϕp) − 2π . (10.84)
Pour évaluer ϕa − ϕp, il faut factoriser le polynôme P(u) du troisième degré en u figurant
dans l’intégrale (10.83). Les quantités up et ua définies par (10.81) sont racines de ce polynôme
puisqu’on doit avoir (du/dϕ) 2 p = (du/dϕ) 2 a = 0. En désignant par u3 la troisième racine de P(u),
on peut donc écrire
m 2 (E 2 − 1)
L 2
+ 2m2
L 2 u − u2 + 2u 3 = 2(up − u)(u − ua)(u3 − u). (10.85)
Développons le second membre de (10.83) et comparons avec le premier membre. Il vient :
d’où après simplification par u 2
2u 2 (up + ua + u3) = −u 2 .
u3 = 1
2 − (up + ua). (10.86)
Substituons (10.86) dans (10.85). Il vient :
m 2 (E 2 − 1)
L 2
+ 2m2
L 2 u − u2 + 2u 3 = (up − u)(u − ua)[1 − 2(up + ua) − 2u]. (10.87)
Compte tenu de (10.87) et de (10.83), l’expression (10.84) donnant l’avance du péricentre
est
ub
du
∆ϕp = 2
− 2π .
ua (up − u)(u − ua)[1 − 2(up + ua) − 2u]
(10.88)
Cette formule est rigoureuse.
À l’approximation 1PN, la formule (10.88) donne
ub
∆ϕp = 2
ua
1 + (up + ua) + u
(up − u)(u − ua) du − 2π + O(m2 /r 2 p). (10.89)
Le calcul des intégrales figurant dans le second membre de (10.89) est élémentaire. On
obtient :
∆ϕp = 3π(up + ua) + O(m 2 /ρ 2 p). (10.90)
124

Au cours du mouvement, la variable ρ va passer de sa valeur ρp au périhélie à sa valeur
ρa à l’aphélie. On peut définir le demi-grand axe a∗ et l’excentricité e∗ dans le système de
coordonnées (ρ,θ,ϕ) en posant :
On a donc
up + ua =
ρp = a∗(1 − e∗), ρa = a∗(1 + e∗). (10.91)
m
a∗(1 − e∗) +
m
a∗(1 + e∗) =
2m
a∗(1 − e2 . (10.92)
∗)
En substituant (10.92) dans (10.90), on obtient l’expression suivante pour l’avance du
péricentre par révolution
∆ϕp = 6πGM
c 2 a∗(1 − e 2 ∗) + O(m2 /a 2 ∗) rad/révolution. (10.93)
D’après la formule de transformation (10.38), les valeurs de a∗ et e∗ coïncident avec les
valeurs de a et e définies par les équations (9.70) à des termes d’ordre 1/c 2 près. En conséquence,
la comparaison de l’expression de ∆ϕp donnée par (10.93) avec la formule (9.95) donne à
nouveau
β = 1 (10.94)
lorsqu’on tient compte de γ = 1.
10.7 Horizon et trou noir
Effet Doppler gravitationnel.— Soit une source A au repos en un point de coordonnées
(rA,θA,ϕA) émettant un signal périodique. Supposons que le signal émis par cette source soit
reçu par un observateur B au repos en un point de coordonnées (rB,θB,ϕB). Un raisonnement
analogue à celui que nous avons fait dans la section 7.4 montrerait que la fréquence νB du signal
observé par B est reliée à la fréquence propre νA du signal émis par A selon la formule
νB
νA
=
(g00)A
(g00)B
(10.95)
dans n’importe quel espace-temps statique. Dans l’espace-temps de Schwarzschild, on a g00 =
1 − 2m/ρ, ce qui entraîne
2m
νB 1
− ρA =
νA 1 − 2m .
ρB
(10.96)
On notera que les formules (10.95) et (10.96) sont rigoureuses sous les hypothèses faites. La
relation (10.96) donne bien entendu en première approximation la formule (7.37), puisqu’on a
évidemment dans le cas de la symétrie sphérique
2m
1
− ρA
1 − 2m
ρB
1
≈ 1 − m
ρA
U étant le potentiel newtonien du corps central.
− 1
≈ 1 −
ρB
UA − UB
c2 ,
125

Horizon. Trou noir.— Fixons ρB supposé > 2m dans la formule exacte (10.96). On voit
que le rapport νB/νA tend vers 0 lorsque ρA → 2m. Ainsi, plus une source statique est située prés
de l’hypersurface ρ = 2m, plus son spectre de fréquences est perçu comme décalé vers le rouge.
Si ρA = 2m, le décalage spectral vers le rouge vu par n’importe quel observateur extérieur
B est infini, ce qui revient à dire que la source A devient inobservable. On appelle horizon
toute hypersurface dont chaque point serait vu comme infiniment décalé vers le rouge par tout
observateur extérieur. L’espace-temps de Schwarzschild admet donc l’hypersurface d’équation
ρ = 2m comme horizon.
Il résulte de qui vient d’être dit que les événements ayant lieu sur l’hypersurface ρ = 2m
sont inobservables par des observateurs de coordonnée radiale ρ > 2m (observateurs extérieurs).
Cette conclusion est corroborée par l’analyse de la propagation d’un signal lumineux dans
l’espace-temps de Schwarzshild. Pour simplifier, nous considérons uniquement le cas où le signal
se propage radialement. On peut alors utiliser (10.57) avec K = 0, ce qui donne
dx 0 = ± dρ
1 − 2m
ρ
= ± ρdρ
, (10.97)
ρ − 2m
le signe étant + si le rayon s’éloigne de l’origine (rayon “sortant”) et − si le rayon se rapproche
du centre (rayon “entrant”). L’intégration de (10.97) est immédiate. Si le signal est au point
de coordonnée radiale ρi à l’instant ti = x 0 i/c, l’équation horaire de son mouvement est
si le rayon est sortant et
x 0 − x 0
i = ρ − ρi + 2m ln
x 0 − x 0
i = ρi − ρ − 2m ln
ρ − 2m
, (10.98)
ρi − 2m
ρ − 2m
ρi − 2m
(10.99)
si le rayon est entrant.
La formule (10.98) montre que x 0 − x 0 i → ∞ lorsque ρi → 2m. Un signal radial envoyé
par une source ponctuelle située sur l’horizon atteindrait un observateur extérieur à l’instant
t = x 0 /c = ∞. Autant dire qu’un tel signal ne peut atteindre aucun observateur extérieur.
Il résulte de ce qui précède qu’un objet à symétrie sphérique de masse M et de rayon
ρg = 2m = 2GM/c 2 serait invisible pour tout observateur de coordonnée radiale ρ > 2m. C’est
cette propriété qui est à l’origine de la notion de trou noir en relativité générale.
Observateur en chute libre radiale.— L’existence d’un horizon ayant les propriétés cidessus
est assez déroutante pour notre intuition courante relative au temps et à l’espace. Mais
nous allons voir que nous ne sommes pas au bout de nos surprises en examinant maintenant le
mouvement radial d’une particule d’épreuve matérielle accompagnée par une horloge standard
comouvante. La ligne d’univers de cette particule est une géodésique radiale de genre temps.
On peut poser K = 1 dans (10.56) et (10.57) à condition de choisir le paramètre affine λ de
telle sorte que dλ = ds. Les équations (10.56) et (10.57) s’écrivent alors sous la forme
ds = ±
ρdρ
(E 2 − 1)ρ 2 + 2mρ
126
(10.100)

et
dx 0 Eρ
= ±
2dρ
(ρ − 2m)
(E 2 − 1)ρ 2 + 2mρ
. (10.101)
On peut intégrer explicitement (10.100) et (10.101) pour une valeur arbitraire de E. Pour
simplifier, nous allons nous contenter d’examiner le cas où E 2 = 1. La variable radiale peut
aller jusqu’à l’infini, la quantité dρ/dx 0 tendant alors vers 0 d’après (10.101). On dit que
le mouvement radial correspondant est parabolique. L’intégration de (10.101) donne avec des
notations déjà introduites pour les rayons lumineux
x 0 − x 0
2
i = ±
3 √ 2m ρ3/2 + 1
√ √
√ ρ
1/2 ρ + 2m
2mρ − 2m ln
2
√
√
ρ − 2m
ρi
, (10.102)
le signe + devant le crochet correspondant à une particule qui s’éloigne du centre (particule
sortante) et le signe − à une particule qui se rapproche du centre (particule entrante). Pour
une particule sortante, (10.102) montre que x 0 − x 0 i → ∞ si ρi → 2m. Ce comportement est
analogue à ce que nous avions trouvé pour la lumière, ce qui n’est pas surprenant : un rayon
lumineux est plus rapide que toute particule douée de masse...
La surprise se produit en revanche quand on intègre (10.100). On a pour E 2 = 1 :
s − si = c(τ − τi) = ± 2
3 √
2m
ρ 3/2 − ρ 3/2
i
, (10.103)
τ étant le temps propre de la particule.
La formule (10.103) montre que le temps propre de la particule reste fini lorsque ρi → 2m.
Cette propriété remarquable est en fait vraie pour toutes les particules matérielles en chute libre
dans l’espace-temps de Schwarzschild, que ces particules aient un mouvement radial ou non,
quelle que soit la valeur de la constante du mouvement E. En conséquence, pour un observateur
tombant dans un trou noir de Schwarzschild, la traversée de l’horizon s’effectue à une date finie
de son échelle de temps propre. On ne discutera pas ici du destin ultérieur d’un observateur
effectuant une telle traversée. On indiquera seulement que cette traversée sera sans retour vers
l’univers extérieur...
127

Annexe A
Espaces affines. Espaces euclidiens
Cette annexe est consacrée à quelques rappels concernant la notion d’espace ponctuel affine
à n dimensions, qui constitue une extension naturelle de notre intuition de l’espace géométrique
usuel.
A.1 Espaces affines
A.1.1 Définition d’un espace affine
Les espaces de la géométrie ordinaire tels que la droite, le plan et l’espace usuel à trois
dimensions ne sont pas donnés dans notre intuition comme des espaces vectoriels, mais comme
des ensemble dont les éléments sont appelés des points. Toutefois, on voit dès l’enseignement
secondaire que ces ensembles sont structurés de telle sorte qu’à tout couple de points (A,B)
on fasse correspondre un et un seul vecteur d’origine A et d’extrémité B, noté −→
AB, la correspondance
étant telle que soient satisfaites les relations vectorielles usuelles. Ces espaces sont
appelés des espaces affines (réels) de dimensions 1, 2 ou 3, selon les cas. En fait la notion
d’espace affine1 est aisément généralisable en dimension n arbitraire, comme on va le voir avec
les définitions qui suivent.
Définition A.1.1 Soit En un espace vectoriel réel de dimension n. Un ensemble An est appelé
un espace affine réel à n dimensions associé à l’espace vectoriel En si à tout couple (x,y)
d’éléments de An on peut faire correspondre un et un seul vecteur de En noté −→ xy, la loi de
correspondance ayant les propriétés suivantes :
a) −→ xy = − −→ yx;
b) −→ xz = −→ xy + −→ yz (relation de Chasles);
c) Pour tout o ∈ An et pour tout X ∈ En, il existe un et un seul élément x ∈ An tel que
−→ox = X.
1 Pour souligner que les éléments d’un espace affine sont des points, la terminologie espace ponctuel affine est
parfois utilisée.
128

Les éléments de An sont appelés des points. On omettra dorénavant l’épithète réel.
Il résulte immédiatement de la propriété a) et des propriétés élémentaires des espaces vectoriels
que −→ xx = 0 pour tout x ∈ An.
Exemple d’espace affine réel.– Donnons-nous un espace vectoriel réel En de dimension n.
L’ensemble IR n peut être muni d’une structure d’espace ponctuel affine associé à En, et ce d’une
infinité de façons distinctes. Choisissons en effet une base arbitraire de En, que nous noterons ei.
Étant donné deux points de IR n , x = (x 1 ,x 2 ,....,x n ) et y = (y 1 ,y 2 ,....,y n ), posons en utilisant
la convention d’Einstein
−→xy = (y i − x i )ei. (A.1)
On vérifie aisément que la correspondance (x,y) → −→ xy définie par (A.1) possède les propriétés
qui munissent IR n d’une structure d’espace ponctuel affine associé à En.
En fait, on voit par la démonstration qui précède qu’il existe sur IR n autant de structures
d’espace ponctuel affine associé à un espace vectoriel donné En qu’il existe de bases distinctes
de l’espace En. Mais ces structures sont toutes isomorphes et peuvent en conséquence être
“identifiées”. En outre tous les espaces vectoriels réels de dimension n sont isomorphes et
peuvent s’identifier à l’espace vectoriel usuel (IR n , +,.) ( 2 ). C’est pourquoi on peut par un
léger abus de langage identifier un espace ponctuel affine réel An défini in abstracto comme
ci-dessus avec l’espace IR n des n-uplets de nombres réels associé à l’espace vectoriel (IR n , +,.)
selon la loi de correspondance (8.15), où ei est la base canonique de (IR n , +,.) définie par
e1 = (1, 0,..., 0),e2 = (1, 1,..., 0),...,en = (0, 0,..., 1).
A.1.2 Repère d’un espace affine
Définition A.1.2 Soit An un espace affine associé à un espace vectoriel En. Un repère affine
(ou cartésien) de An est l’ensemble constitué par un point o de An et une base {e1,e2,...,en} =
{ei} de l’espace vectoriel En. Un tel repère est noté (o, {e1,e2,...,en}) ou en abrégé (o, {ei}).
Le point o est appelé l’origine du repère.
Définition A.1.3 Soient (o, {ei}) un repère de l’espace affine An et x un point arbitraire de
An. On appelle coordonnées cartésiennes (ou affines) de x par rapport au repère (o, {ei}) les
composantes x i du vecteur −→ ox par rapport à la base {ei}.
Autrement dit, le n-uplet (x 1 ,x 2 ,...,x n ) constitue les coordonnées cartésiennes d’un point
x par rapport au repère (o, {ei}) si et seulement si
−→ox = x i ei. (A.2)
Il résulte de la propriété c) dans la définition 1 que le n-uplet (x 1 ,x 2 ,...,x n ) constituant
les coordonnées cartésiennes de x est unique et que réciproquement, la donnée d’un n-uplet
2 On appelle ainsi l’ensemble IR n des n-uplets de nombres réels x = (x 1 ,x 2 ,...,x n ) muni de la structure
d’espace vectoriel obtenue en définissant la somme de deux n-uplets x = (x 1 ,x 2 ,...,x n ) et y = (y 1 ,y 2 ,...,y n )
par x + y = (x 1 + y 1 ,x 2 + y 2 ,...,x n + y n ) et la multiplication d’un n-uplet x par un scalaire réel λ en posant
λ.x = (λx 1 ,λx 2 ,...,λx n ).
129

(x 1 ,x 2 ,...,x n ) définit un et un seul point x de An. Un repère étant choisi, on peut donc “identifier”
un point et ses coordonnées cartésiennes comme on le fait d’habitude en géométrie
ordinaire. Pour abréger, nous désignerons par (x i ) le n-uplet (x 1 ,x 2 ,...,x n ) et nous poserons
souvent x = (x i ).
Considérons deux points x et y de An, de coordonnées affines respectives x i et y i par rapport
au repère (o, {ei}). Il vient en appliquant les propriétés a) et b) :
−→xy = −→ xo + −→ oy = −→ oy − −→ ox.
D’où, en tenant compte tenu de la définition des coordonnées d’un point de An et en utilisant
les règles de calcul sur les espaces vectoriels :
−→xy = y i ei − x i ei = (y i − x i )ei. (A.3)
Les composantes du vecteur −→ xy par rapport à la base ei sont donc les n quantités y i − x i .
C’est pourquoi on note fréquemment y − x le vecteur −→ xy :
Avec cette notation, la propriété a) s’écrit
et la relation de Chasles b) devient
A.1.3 Changements de repères
y − x = −→ xy . (A.4)
y − x = −(x − y) (A.5)
z − x = (z − y) + (y − x). (A.6)
Cherchons les relations existant entre les coordonnées cartésiennes d’un point arbitraire x
par rapport à deux repères distincts (o, {ei}) et (o ′ , {ej ′}).
Nous pouvons poser pour les deux bases {ei} et {ej ′} :
les coefficients Ai j ′ et Aj′ i étant reliés par les relations
ei = A j′
i ej ′, ej ′ = Ai j ′ei, (A.7)
A j′
i A k j ′ = δk i ⇐⇒ A i j ′Al′
i = δ l′
′. (A.8)
Soient xi et xj′ les coordonnées respectives du point x par rapport aux repères (o, {ei}) et
(o ′ , {ej ′}). On a
−→
o ′ x = x j′
ej ′ . (A.9)
Or, le premier membre de (A.9) peut s’écrire
j
−→
o ′ x = −→ o ′ o + −→ ox . (A.10)
130

On peut poser
et exprimer −→ ox par rapport à la base {ej ′} :
−→
o ′ o = a j′
ej ′ (A.11)
−→ox = x i ei = x i A j′
i ej ′ . (A.12)
Substituons (A.11) et (A.12) dans (A.10) et identifions le résultat obtenu avec le second
membre de (A.9). Nous obtenons la formule de transformation de coordonnées cartésiennes :
x j′
= A j′
i x i + a j′
. (A.13)
Il est bien entendu possible d’exprimer les coordonnées xi en fonction des xj′ . Posons
−→
oo ′ = a i ei
et échangeons le rôle joué par les deux repères. Il vient :
A.2 Espace euclidien
A.2.1 Définition d’un espace euclidien
(A.14)
x i = A i j ′xj′ + a i . (A.15)
Un espace vectoriel En est dit euclidien lorsqu’on a défini un produit scalaire g(X,Y ) de
deux vecteurs arbitraires X et Y sur cet espace. Un tel espace est généralement noté (En,g).
Nous sommes ainsi conduits à définir un espace euclidien comme suit.
Définition A.2.1 On appelle espace euclidien de dimension n un espace affine An dont l’espace
vectoriel associé En est muni d’un produit scalaire g. Cet espace ponctuel est noté (An,g).
On notera qu’on devrait en toute rigueur parler d’un espace affine euclidien, mais on abrège...
Dans un espace euclidien (An,g), on peut définir ce que l’on appelle par abus de langage le
carré d’une distance ou d’un intervalle sxy entre deux points arbitraires x et y en posant
s 2 xy = g( −→ xy, −→ xy) = g(y − x,y − x), (A.16)
relation qu’on peut encore écrire en utilisant la notation g(X,Y ) = X.Y :
s 2 xy = −→ xy. −→ xy = (y − x).(y − x) = (y − x) 2 . (A.17)
Un repère (o, {ei}) quelconque étant choisi, soient x i et y i les coordonnées respectives de x
et y. À condition de poser
gij = g(ei,ej) = ei.ej,
131

l’expression de l’intervalle (A.17) par rapport au repère (o, {ei}) est donnée par la formule
fondamentale
s 2 xy = gij(y i − x i )(y j − x j ). (A.18)
Si y est infiniment proche de x, on peut poser y i = x i + dx i . Le “carré” de l’intervalle
élémentaire entre les deux points s’exprime alors par la forme quadratique de différentielles
ds 2 = gijdx i dx j . (A.19)
Le ds 2 (A.19) est appelée la métrique de l’espace euclidien (An,g).
A.2.2 Espace euclidien rapporté à un repère orthonormé
Un repère (o, {ei}) de l’espace euclidien (An,g) sera dit orthonormé (au sens du produit
scalaire g) si la base {ei} est orthonormée au sens de g, i.e. si on a
avec
gij = ηij, (A.20)
ηij = ǫi = ±1 si i = j, ηij = 0 si i = j. (A.21)
On montre qu’il existe un entier p ≥ 0 dépendant uniquement du produit scalaire g tel
qu’on ait dans tout repère orthonormé au sens de g) :
1 ≤ i ≤ p =⇒ ǫi = 1, p + 1 ≤ i ≤ n =⇒ ǫi = −1. (A.22)
Il en résulte que dans tout repère orthonormé, le carré de l’intervalle s 2 xy s’écrit sous la forme
simple
s 2 xy = ηij(y i − x i )(y j − x j )
= (y 1 − x 1 ) 2 + ... + (y p − x p ) 2 − (y p+1 − x p+1 ) 2 − ... − (y n − x n ) 2
expression qui devient pour des points x = (x i ) et y = (x i + dx i ) infiniment voisins
ds 2 = ηijdx i dx j = (dx 1 ) 2 + ... + (dx p ) 2 − (dx p+1 ) 2 − ... − (dx n ) 2
(A.23)
(A.24)
L’entier σ = 2p−n s’appelle la signature du produit scalaire g. Désormais, nous appellerons
aussi σ la signature du carré de l’intervalle s 2 xy défini par (3.13) ou encore la signature de la
métrique ds 2 définie par (3.41).
Soulignons que dans tout système de coordonnées affines fixé, les gij sont des quantités
indépendantes des x i , c’est-à-dire des constantes.
Deux types d’espace ponctuels euclidiens sont particulièrement importants en physique
théorique : les espaces proprement euclidiens et les espaces lorentziens ou hyperboliques, qu’on
appelle le plus souvent espaces-temps de Minkowski (de dimension n) (cf. sect. A.4, infra).
132

A.3 Espace proprement euclidiens
Si l’espace vectoriel euclidien (En,g) associé à An est proprement euclidien (i.e. si g(X,X)
est ¿ 0 pour tout vecteur X de En non nul), l’espace (An,g) est également dit proprement
euclidien. La quantité s 2 xy définie par (A.16) ou (3.13) est alors strictement positive si les points
x et y sont distincts. La racine carrée de s 2 xy définit en conséquence une distance au sens usuel
entre les points x et y.
Dans n’importe quel repère orthonormé de l’espace (An,g), l’expression (A.23) s’écrit
s 2 xy = (y 1 − x 1 ) 2 + (y 2 − x 2 ) 2 + ... + (y n − x n ) 2 . (A.25)
Cette expression est l’extension à n dimensions du théorème de Pythagore qui fonde la
géométrie métrique ordinaire en coordonnées cartésiennes orthonormées. Le carré de la distance
entre deux points infiniment voisins est alors donné par
où les quantités δij sont définies par
ds 2 = δijdx i dx j = (dx 1 ) 2 + (dx 2 ) 2 + ... + ((dx n ) 2 . (A.26)
δij = 1 si i = j, δij = 0 si i = j. (A.27)
A.4 Espace-temps de Minkowski de dimension n
Définition A.4.1 On appelle espace-temps de Minkowski de dimension n un espace euclidien
à n dimensions muni d’une métrique η de signature 2 − n. La métrique η est appelée métrique
de Minkowski.
Un tel espace peut être noté (Mn,η), ou simplement (IR n ,η), selon le léger abus de langage
signalé dans la sous-section 1.1. Les points d’un espace-temps de Minkowski de dimension 4
sont souvent appelés points-événements pour une raison évidente.
Dans un repère orthonormé arbitraire de (Mn,η), le carré de l’intervalle entre deux points
arbitraires x et y s’exprime sous la forme
s 2 xy = (y 0 − x 0 ) 2 − (y 1 − x 1 ) 2 − ... − (y n−1 − x n−1 ) 2
(A.28)
en raison de la signature 2 − n. Pour insister sur le fait que la combinaison (A.28) ne contient
qu’un signe +, on numérote de 0 à n−1 les indices relatifs aux coordonnées et aux composantes
de vecteurs ou de tenseurs (au lieu de 1 à n, comme on le fait dans les autres espaces). On note
que le numéro 0 correspond à la coordonnée “temporelle” et que les coordonnées x 1 ,x 2 ,...,x n−1
sont “spatiales”. La métrique de l’espace-temps de Minkowski (Mn,η) s’écrit alors sous la forme
ds 2 = (dx 0 ) 2 − (dx 1 ) 2 − ... − (dx n−1 ) 2 . (A.29)
De plus, nous nous conformerons à l’usage consistant à représenter les indices susceptibles de
varier de 0 à n −1 par des lettres grecques minuscules telles que α,β,γ,δ,λ,µ,ν,ρ,σ, etc. Ainsi
133

x α signifie que l’on doit considérer l’ensemble des n coordonnées x 0 ,x 1 ,...,x n−1 . En revanche,
les indices susceptibles de prendre les valeurs 1, 2,...,n − 1 seront représentés par des lettres
latines minuscules telles que i,j,k,l,m,n, etc.
Avec ces conventions, le carré de l’intervalle entre deux points arbitraires x et y s’écrit par
rapport à un repère orthonormé quelconque sous la forme particulièrement condensée
où les coefficients ηαβ sont donnés par
s 2 xy = ηαβ(y α − x α )(y β − x β ), (A.30)
η00 = 1, η0i = ηi0 = 0, ηij = −δij. (A.31)
La métrique de Minkowski (A.29) se réduit alors à l’expression
comme on l’a vu en cours.
ds 2 = ηαβdx α dx β , (A.32)
134

Annexe B
Analyse tensorielle
B.1 Caractère non intrinsèque de la dérivation partielle
usuelle
Donnons-nous un champ de vecteurs contravariants arbitraire V , défini sur une région de la
variété V4 ou sur V4 toute entière. On vérifie sans peine que les quantités ∂V µ /∂x α ne sont pas
les composantes d’un tenseur mixte une fois covariant et une fois contravariant. Effectuons en
effet une transformation de coordonnées arbitraire xα → xβ′ . Du fait que les V µ se transforment
selon la loi
les quantités ∂V ν′ /∂xγ′ sont données par
V ν′
∂V ν′
∂x γ′ = ∂xα
∂x γ′
= ∂xν′
∂x µ V µ ,
∂
∂xα
ν ∂x ′
µ
V . (B.1)
∂x µ
D’où la formule de transformation des dérivées partielles des composantes de V
∂V ν′
∂xγ′ = ∂xα
∂xγ′ ∂xν′ ∂x µ
∂V µ ∂xα
+
∂xα ∂xγ′ ∂ 2 x ν′
∂x α ∂x µ V µ , (B.2)
Lorsqu’on les compare aux équations (32) du chapitre précédent, les équations (B.2) montrent
que les quantités ∂V µ /∂xα ne se transforment pas en général comme les composantes d’un ten-
ν1...νl
seur mixte de type (1, 1). Plus généralement, si Tµ1...µk
est un tenseur de type (k,l), les
ν1...νl
quantités ∂Tµ1...µk
/∂xα ne définissent pas un champ de tenseurs de type (k + 1,l). Un
constat de même nature vaut pour les dérivées partielles ordinaires d’ordre supérieur à un.
Il résulte de ce qui vient dit qu’on ne peut généralement pas considérer comme exprimant
une loi physique des équations égalant une dérivée partielle ordinaire d’un tenseur avec un autre
tenseur. Supposons par exemple qu’on veuille formuler une loi sous la forme
∂E µν
∂x µ = Jν , (B.3)
où E µν est un champ de tenseurs deux fois contravariants représentant un champ physique
créé par une source décrite par un vecteur contravariant J ν . Il est clair d’après ce qui a été
135

dit plus haut que si l’équation (B.3) était satisfaite dans un système de coordonnées locales x α
donné, elle ne pourrait l’être en général dans un autre système de coordonnées puisque le second
membre se transforme comme les composantes d’un vecteur contravariant alors que le premier
membre se transforme selon la formule (B.2). C’est pourquoi on ne peut retenir des équations du
type (B.3). On résout cette difficulté en définissant une nouvelle opération de dérivation partielle
par rapport à x α qui donne un tenseur p +1 fois covariant et q fois contravariant lorsqu’elle est
appliquée à un tenseur p fois covariant et q fois contravariant. Une telle opération est appelée
une dérivation partielle covariante.
B.2 Dérivation covariante
Introduisons d’abord une notation très commode. Soit Φ une fonction différentiable des
coordonnées xα . On posera
∂µΦ = ∂Φ
(B.4)
pour désigner la dérivée partielle usuelle de Φ par rapport à x µ , et plus généralement, si Φ
admet des derivées partielles d’ordre k :
∂µ1...∂µkΦ =
∂x µ
∂x
∂ k Φ
µ1...∂x µk
. (B.5)
Définition B.2.1 Une dérivation partielle covariante par rapport à xα est une opération sur
les champs de tenseurs notée ∇α possédant les propriétés suivantes :
1) A tout champ de tenseurs k fois covariants et l fois contravariants de composantes
ν1...νl Tµ1...µk
, ∇α fait correspondre un champ de tenseurs k + 1 fois covariants et l fois contra-
ν1...νl
variants dont les composantes sont notées ∇αTµ1...µk
.
2) Si T et U sont tous deux des champs de tenseurs de type (k,l),
ν1...νl ν1...νl
ν1...νl
ν1...νl
∇α T + U = ∇αT + ∇αUµ1...µk
. (B.6)
µ1...µk
µ1...µk
µ1...µk
3) ∇α obéit à la règle de Leibniz, i.e. si T et U sont des champs de tenseurs de types
respectifs (k,l) et (r,s), alors
ν1...νl σ1...σs
∇α Tµ1...µk
.Uρ1...ρr
ν1...νl
σ1...σs
= T ∇αU +
ν1...νl σ1...σs
∇αT U . (B.7)
µ1...µk
ρ1...ρr
µ1...µk
4) Pour toute fonction différentiable f sur Vn, ∇α se réduit à la dérivée partielle ordinaire
par rapport à x α :
∇αf = ∂αf. (B.8)
5) Pour un champ de vecteurs contravariants arbitraire V µ , ∇αV µ est un champ de tenseurs
mixtes de type (1,1) de la forme
ρ1...ρr
∇αV µ = ∂αV µ + Γ µ
αβ V β , (B.9)
où les coefficients Γ µ
αβ constituent un système de n3 quantités dépendant uniquement des coordonnées
locales.
136

Notons que les propriétés 3) et 4) entraînent que ∇α est un opérateur linéaire. En effet, si T
et U sont tous deux des tenseurs de type (k,l) et si λ et µ sont des constantes, on a en raison
de la règle de Leibniz et de ∇αλ = ∇αµ = 0 :
ν1...νl
ν1...νl
ν1...νl
ν1...νl
∇α λ T + µ U = λ ∇αT + µ ∇αUµ1...µk
. (B.10)
µ1...µk
µ1...µk
µ1...µk
B.3 Expression explicite de la dérivée covariante d’un
champ de tenseurs arbitraire
Les propriétés ci-dessus suffisent pour donner l’expression explicite de la dérivée covariante
de n’importe quel champ de tenseurs.
Dérivée covariante d’un champ de vecteurs covariants.— Soit Wµ un champ de
vecteurs covariants. Si V µ est un champ de vecteurs contravariants arbitraire, on peut écrire
en appliquant les règles 3) et 5) :
∇α(V µ Wµ) = V µ ∇αWµ + (∇αV µ )Wµ = V µ ∇αWµ + Wµ(∂αV µ + Γ µ
αβ V β ). (B.11)
Mais l’expression contractée V µ Wµ est une fonction scalaire sur la variété V4. En conséquence,
on peut écrire d’après la propriété 4) :
∇α(V µ Wµ) = ∂α(V µ Wµ) = V µ ∂αWµ + Wµ∂αV µ . (B.12)
En comparant les troisièmes membres de (B.11) et (B.12), on voit qu’on a
V µ ∇αWµ = V µ (∂αWµ − Γ ρ αµWρ)
pour tout champ de vecteurs V µ . Il en résulte immédiatement que ∇αWµ est donnée par la
relation
∇αWµ = ∂αWµ − Γ ρ αµWρ . (B.13)
Dérivée covariante d’un champ de tenseurs d’ordre deux.— Soit T µν un champ de
tenseurs deux fois contravariants. La multiplication contractée de ce champ de tenseurs par un
champ de vecteurs covariants Wµ arbitraire fournit un champ de vecteurs covariants T µν Wµ
dont on sait maintenant former la dérivation covariante par rapport à x α . Un raisonnement en
tout point analogue à celui que nous avons fait ci-dessus nous conduit à l’expression suivante :
∇αT µν = ∂αT µν + Γ µ
αβ T βν + Γ ν αβT µβ . (B.14)
De même, on trouve pour un champ de tenseurs deux fois covariants Tµν :
Enfin, pour un champ de tenseurs mixtes T ν
µ :
∇αTµν = ∂αTµν − Γ ρ αµTρν − Γ ρ ανTµρ. (B.15)
∇αT ν
µ = ∂αT ν
µ + Γ ν αβT β
µ − Γ ρ αµT ν
ρ . (B.16)
Plus généralement, on a le théorème fondamental qui suit.
137

Théorème B.3.1 La dérivée covariante d’un champ de tenseurs k fois covariants et l fois
contravariants T ν1ν2...νl arbitraire a pour expression en coordonnées locales :
∇αT
µ1µ2...µk
ν1ν2...νl
µ1µ2...µk
+Γ ν1
= ∂αT
σν2...νl
ασTµ1µ2...µk
ν1ν2...νl
µ1µ2...µk
+ Γ ν2
ν1σ...νl
ασTµ1µ2...µk
+ ... + Γ νl
ν1ν2...σ
ασTµ1µ2...µk
−Γ ρ αµ1T ν1ν2...νl
ρµ2...µk − Γ ρ αµ2T ν1ν2...νl
µ1ρ...µk − ... − Γ ρ αµkT ν1ν2...νl
µ1µ2...ρ . (B.17)
On notera le signe + chaque fois que l’indice de contraction dans les composantes de T est
contravariant et le signe − chaque fois que l’indice de contraction est covariant.
Remarque.— Il faut impérativement garder l’ordre des indices dans les formules explicitant
les dérivées covariantes. Ainsi, on n’a pas le droit d’écrire
∇αV µ = ∂αV µ + Γ µ
βα V β ,
hormis dans le cas où Γ µ
αβ = Γµ βα (cas d’une connexion symétrique, voir ci-dessous, sect. 3).
Corollaire B.3.1 La dérivée covariante du champ de tenseurs de Kronecker δ ν µ est nulle :
En effet, (B.16) et ∂αδ ν µ = 0 entraînent que
∇αδ ν µ = 0. (B.18)
∇αδ ν µ = Γ ν αβδ β
µ − Γ ρ αµδ ν
ρ = Γ ν αµ − Γ ν αµ = 0, CQFD.
Il résulte du corollaire B.3.1 et de la règle de Leibniz que l’opérateur de dérivation covariante
∇α est “perméable” pour le tenseur de Kronecker. Ainsi, on a par ex. pour tout tenseur
ν1...νq Tµ1...µp
:
∇α δ σ
ν1...νq
ρ T = δ σ ν1...νq
ρ ∇αTµ1...µp
. (B.19)
µ1...µp
B.4 Connexion linéaire
Définition B.4.1 L’ensemble des n3 quantités Γ µ
αβ entrant dans l’expression d’une dérivation
covariante définit une connexion linéaire sur la variété différentielle V4.
Se donner une loi de dérivation covariante sur une variété équivaut donc à se donner une
connexion linéaire. Pour cette raison, on donne aux fonctions Γ µ
αβ (xρ ) le nom de coefficients
de la connexion linéaire dans le système de coordonnées locales xρ . Bien entendu, il ne faut
jamais perdre de vue que ces coefficients sont liés à la dérivation covariante ∇α utilisée : une
dérivation covariante ∇α différente de ∇α induit des coefficients de connexion Γ µ
αβ (xρ ) différents
des Γ µ
αβ (xρ ).
138

par changement de coordonnées locales.—
Les quantités ∇αV µ doivent se transformer comme les composantes d’un tenseur mixte de type
(1, 1) lorqu’on effectue la transformation de coordonnées locales xα → xβ′ . Cette condition
détermine complètement la loi de transformation des coefficients Γ µ
αβ , qui est donnée par le
théorème qui suit.
Transformation des coefficients Γ µ
αβ
Théorème B.4.1 Lors d’une transformation de coordonnées xα → xβ′ , les coefficients Γ µ
αβ se
transforment selon la loi
Γ ν′
γ ′ ∂xα
ǫ ′ =
∂xγ′ qui peut encore s’écrire sous la forme
Γ ν′
γ ′ ∂xα
ǫ ′ =
∂xγ′ ∂x β
∂x ǫ′
∂x β
∂x ǫ′
∂xν′ ∂xα
Γµ
∂x µ αβ −
∂xγ′ ∂x β
∂x ǫ′
∂xν′ Γµ
∂x µ αβ + ∂2xρ ∂xγ′ ∂xǫ′ ∂2xν′ ∂xα , (B.20)
∂xβ ∂xν′ . (B.21)
∂xρ En échangeant le rôle joué par les coordonnées locales xα et xγ′ , les formules (B.20) et (B.21)
donnent évidemment les formules de transformation
et
Γ µ ∂xγ′
αβ =
∂xα Γ µ ∂xγ′
αβ =
∂xα ∂x ǫ′
∂x β
∂x ǫ′
∂x β
∂x µ
∂xν′ Γ ν′
γ ′ ∂xγ′
ǫ ′ −
∂xα ∂x ǫ′
∂x β
∂x µ
∂x ν′ Γ ν′
γ ′ ǫ ′ + ∂2 x σ′
∂x α ∂x β
∂ 2 x µ
∂x γ′ ∂x ǫ′
(B.22)
∂x µ
∂x σ′ . (B.23)
Démonstration.– La dérivation partielle covariante d’un vecteur contravariant devant définir
un tenseur mixte de type (1, 1), les coefficients Γ µ
αβ doivent se transformer de telle sorte que les
relations
ν′
∂γ ′V + Γ ν′
γ ′ δ′
δ ′V = ∂xα
∂xγ′ ∂xν′ ∂x µ
∂αV µ + Γ µ
αβV β
(B.24)
soint satisfaites pour un vecteur V µ arbitraire. Substituons la loi de transformation (B.2) dans
l’éq. (B.24). Il vient :
∂x α
∂x γ′
∂x ν′
∂x µ ∂αV µ + ∂xα
∂x γ′
= ∂xα
∂x γ′
∂ 2 x ν′
∂xα∂x µ V µ + Γ ν′
γ ′ δ′
δ ′V
∂xν′ ∂x µ ∂αV µ + ∂xα
∂xγ′ ∂xν′ Γµ
∂x µ αβV β ,
soit après simplification et changement de certains indices muets
Γ ν′
γ ′ δ′
δ ′V = ∂xα
∂xγ′ ∂xν′ Γµ
∂x µ αβV β − ∂xα
∂xγ′ Substituons maintenant V δ′
tisfaite pour tout vecteur V β , on a nécessairement
∂ 2 x ν′
∂x α ∂x β V β . (B.25)
= ∂xδ′ /∂xβV β dans (B.25). L’égalité obtenue devant être sa-
∂xδ′ Γν′
∂xβ γ ′ ∂xα
δ ′ =
∂xγ′ ∂xν′ ∂xα
Γµ
∂x µ αβ −
∂xγ′ 139
∂2xν′ ∂xα . (B.26)
∂xβ

Effectuons la multiplication contractée des deux membres de (B.26) par ∂xβ /∂xǫ′ . Compte
tenu des formules (19) du chapitre précédent, on obtient la loi de transformation (B.20).
On peut écrire (B.20) sous une forme légèrement différente. La relation
donne en effet par différentiation :
∂
∂xα
β ∂x
∂xǫ′ ∂x β
∂x ǫ′
∂xν′ ∂xβ
≡ ∂xβ
∂xǫ′ ∂xν′ = δν′
∂xβ ǫ ′
∂ 2 x ν′
∂x α ∂x β + ∂2 x β
∂x α ∂x ǫ′
d’où on déduit après multiplication contractée par ∂x α /∂x γ′
∂x α
∂x γ′
∂x β
∂x ǫ′
∂2xν′ ∂xα ∂xα
= −
∂xβ ∂xγ′ ∂ 2 x β
∂x α ∂x ǫ′
∂xν′ = 0,
∂xβ ∂x ν′
∂x β = − ∂2 x ρ
∂x γ′ ∂x ǫ′
∂xν′ . (B.27)
∂xρ Compte tenu de (B.27), la formule de transformation (B.20) prend la forme (B.21). C.Q.F.D.
B.5 Conséquences fondamentales des formules de transformation
des coefficients de connexion
1) Les formules de transformation obtenues dans la section précédente montrent qu’il suffit
de se donner n3 fonctions arbitraires Γ µ
αβ (x) dans un système de coordonnées locales lui-même
arbitrairement choisi pour définir une connexion sur V4. En effet, les lois de transformation (B.20
ou (B.21) permettent le calcul explicite des coefficients de la connexion dans des coordonnées
locales xβ′ si on connaît explicitement les xβ′ en fonction des xα . De plus, nous n’avons trouvé
aucune contrainte sur les fonctions Γ µ
αβ (x) de départ. Il en résulte qu’il existe une infinité de
connexions distinctes sur une variété donnée.
2) Les coefficients Γ µ
αβ ne se transforment pas comme les composantes d’un tenseur une fois
contravariant et deux fois covariant lors d’une transformation générale de coordonnées locales.
On notera toutefois que les relations (B.21)-(B.23) se réduisent aux règles de transformation
tensorielles lorsque les coordonnées xγ′ sont des fonctions affines des xα , i.e. lorsque
les quantités Aγ′ α et bγ′ équivalentes aux relations
qui entraînent
d’après (B.23).
x γ′
= A γ′
α x α + b γ′
, (B.28)
étant des constantes arbitraires. Les équations (B.28) sont en effet
Γ µ ∂xγ′
αβ =
∂xα ∂2xσ′ ∂xα = 0
∂xβ ∂x ǫ′
∂x β
140
∂x µ
∂x ν′ Γ ν′
γ ′ ǫ ′

3) La différence des coefficients de deux connexions est toujours un tenseur une fois contravariant
et deux fois covariant. On formera donc n’importe quelle connexion sur V4 en ajoutant
un tenseur une fois contravariant et deux fois covariant arbitraire à une connexion elle-même
arbitrairement choisie. On retrouve ainsi qu’il existe une infinité de connexions linéaires sur une
variété.
4) L’égalité Γ µ
αβ
= Γµ
βα
entraîne Γν′ γ ′ ǫ ′ = Γν′ ǫ ′ γ ′. On dit qu’une connexion linéaire possédant
cette propriété est symétrique. On dit encore pour des raisons que nous n’expliciterons pas ici
que cette connexion est sans torsion (ou de torsion nulle). Cette propriété est importante car
nous verrons que la connexion utilisée dans les théories métriques est un connexion symétrique
particulière (connexion dite riemannienne, définie dans le chapitre suivant).
Les connexions symétriques vérifient l’important théorème suivant.
Théorème B.5.1 Soient Γ µ
αβ les coefficients d’une connexion symétrique arbitraire et x0 un
point arbitrairement fixé sur la variété. Il est toujours possible de choisir un système de coordonnées
locales xβ′
au voisinage de x0 tel que tous les coefficients de la connexion
symétrique considérée soient nuls au point x0.
Γ ν′
γ ′ ǫ ′
Démonstration.— Soit xα un système de coordonnées locales arbitraire au voisinage du point
x0. Dans ce système, les coefficients de la connexion symétrique Γ prennent les valeurs
Γ µ
αβ
0
au point x0 = (xα 0). Effectuons la transformation de coordonnées définie par
En raison de la symétrie de
Γ µ
αβ
d’où on déduit : ∂ 2 x ν ′
En outre, on a d’après (B.30) :
ce qui entraîne
α ∂x
Γ µ
αβ (x
x0
α′
− x α )(x β′
− x β ). (B.29)
x µ′
= x µ + 1
2
par rapport à α et β, on a :
∂x γ′
0
∂xν′ ∂xβ = δν β +
Γ ν
λβ (x
x0
λ − x λ 0), (B.30)
x0
∂x α ∂x β
x0
µ ∂x ′
∂x ρ
= δ α γ ′ ,
x0
=
Γ ν
αβ
x0
x0
. (B.31)
= δ µ ρ , (B.32)
β ∂x
∂x ǫ′
x0
= δ β
ǫ ′ . (B.33)
Substituons (B.31) et (B.33) dans la loi de transformation (B.20) écrite en x0 pour la
connexion Γ. Il vient
Γ ν′
γ ′ ǫ ′
= δ
x0
α γ δ β ǫ δ ν µ
Γ µ
αβ − δ
x0
α γ δ β ǫ
141
Γ ν
αβ = 0, (B.34)
x0

ce qui achève la démonstration.
On notera que la transformation de coordonnées (B.29) ne change pas la valeur numérique
des composantes des tenseurs au point x0 puisque les coefficients de transformation en ce point
sont donnés par les éléments de matrice (B.32) et (B.33). On remarquera également que l’on a
xα′ 0 = xα 0.
La dérivée covariante partielle des tenseurs en x0 associée à la connexion Γ possède une
expression particulièrement simple dans le système de coordonnées locales x µ′ défini par (B.29).
Compte tenu de (B.34), il vient en effet pour un tenseur deux fois contravariant par exemple
∇α ′T µ′ ν ′
x0
=
∂α ′T µ′ ν ′
x0
. (B.35)
L’égalité de la dérivation covariante avec la dérivation partielle usuelle est très utile pour
démontrer certaines identités tensorielles. Toutefois, on se gardera bien entendu d’écrire que les
équations (B.35) sont vraies dans un système de coordonnées locales arbitraire !
B.6 Dérivée covariante totale le long d’une courbe
Dans de nombreuses applications physiques (dynamique des particules, mécanique de fluides,
relativité, ...), on a besoin de la dérivée totale d’un champ de vecteurs ou de tenseurs le long
d’une courbe paramétrée. L’exemple le plus simple est le vecteur accélération d’une particule
qu’on définit comme la dérivée covariante totale du vecteur vitesse le long de la ligne d’univers
de la particule paramétrée par le temps propre.
La dérivée totale doit être caractérisée d’une manière intrinsèque. C’est pourquoi on adopte
la définition suivante, qui généralise la dérivée totale usuelle d’une fonction le long d’une courbe.
Définition B.6.1 Soit C une courbe différentiable λ → C(λ) d’équations paramétriques
x α = x α (λ). (B.36)
Soit ˙x α = dxα /dλ le vecteur tangent à la courbe C. On appelle dérivée covariante totale d’un
champ de tenseurs T de type (k,l) le long de C le tenseur de type (k,l) noté ∇
dλ T ν1ν2...νl
µ1µ2...µk
et défini en chaque point x(λ) de C par les équations
∇
dλ T
ν1ν2...νl
µ1µ2...µk
= ˙x α ν1ν2...νl
∇αTµ1µ2...µk
. (B.37)
ν1ν2...νl
Les quantités ∇αTµ1µ2...µk
sont données par le second membre de la formule (B.17).
Les composantes du champ de tenseurs T sur la courbe C peuvent être considérées comme
des fonctions du paramètre λ que l’on supposera toujours différentiables. On peut alors poser
˙x α ∂αT
ν1ν2...νl
µ1µ2...µk
= d
dλ T
ν1ν2...νl
µ1µ2...µk , (B.38)
la dérivée totale figurant dans le second membre étant prise le long de la courbe C. Il écoule
alors de (B.38) et de (B.17) que si deux champs de tenseurs du même type T et U coïncident
sur la courbe C, alors
∇
dλ T
ν1ν2...νs
µ1µ2...µr = ∇
dλ U
ν1ν2...νs
µ1µ2...µr
(B.39)
142

en tout point de C. En d’autres termes, la dérivée covariante totale d’un champ de tenseurs T
le long d’une courbe C ne dépend que des valeurs de T sur la courbe C.
Il résulte de (B.38) qu’on peut définir la dérivée covariante totale d’un tenseur qui est
donné seulement sur une courbe paramétrée. Ainsi, par exemple, S µν étant un tenseur deux fois
contravariant défini en chaque point de C, on pose
∇S µν
dλ
= dSµν
dλ
Pour un champ de vecteurs contravariants, on a simplement :
relation que l’on peut encore écrire sous la forme :
+
Γ µ
αβ Sβν + Γ ν αβS µβ
˙x α . (B.40)
∇V µ
dλ ≡ ˙xα ∇αV µ = ˙x α ∂αV µ + Γ µ
αβ ˙xα V β , (B.41)
∇V µ
dλ
= dV µ
dλ
+ Γµ
αβ ˙xα V β . (B.42)
La relation (B.42) fournit également la dérivée covariante totale d’un vecteur contravariant
V que l’on a seulement défini sur C.
Pour un champ de vecteurs covariants φ :
∇φµ
dλ ≡ ˙xα ∇αφµ = ˙x α ∂αφµ − Γ ρ αµ ˙x α φρ, (B.43)
soit encore
∇φµ dφµ
=
dλ dλ − Γραµ ˙x α φρ. (B.44)
Cette dernière relation donne aussi la dérivée covariante totale d’un vecteur covariant seulement
défini sur C.
B.7 Transport par parallélisme le long d’une courbe
La notion de dérivée covariante totale d’un tenseur permet de définir le transport par parallélisme
d’un champ de tenseurs le long d’une courbe. Nous allons nous restreindre au cas des
champs de vecteurs, le plus souvent rencontré.
Cas des vecteurs contravariants.— Pour les vecteurs contravariants, la définition du
transport par parallélisme s’énonce comme suit.
Définition B.7.1 Un champ de vecteurs contravariants V est dit transporté par parallélisme
le long de la courbe C si sa dérivée covariante totale le long de C est nulle, i.e. si
en chaque point de C.
∇V µ
dλ ≡ ˙xα ∇αV µ = 0 (B.45)
143

D’après ce que nous avons vu dans la section 4, la condition de transport par parallélisme
d’un vecteur contravariant V le long de la courbe C s’exprime par le système d’équations
différentielles suivant :
dV µ
dλ
+ Γµ
αβ ˙xα V β = 0. (B.46)
Cas des vecteurs covariants.– La transposition aux vecteurs covariants est immédiate.
Définition B.7.2 Un champ de vecteurs covariants φ est dit transporté par parallélisme le long
de la courbe C si sa dérivée covariante totale le long de C est nulle, i.e. si
en chaque point de C.
∇φµ
dλ ≡ ˙xα ∇αVµ = 0 (B.47)
La condition de transport par parallélisme d’un vecteur covariant φ le long de C est donc
donnée par le système d’équations différentielles
que l’on comparera au système (B.46).
dφµ
dλ − Γρ αµ ˙x α φρ = 0, (B.48)
B.8 Courbes autoparallèles d’une connexion
La notion de tranport par parallélisme permet d’associer à chaque connexion une famille de
courbes appelées courbes autoparallèles, qui constituent la généralisation de la ligne droite de la
géométrie affine usuelle. De ce fait, elles sont les candidates les plus naturelles pour s’identifier
aux lignes d’univers des particules en chute libre dans un champ de gravitation.
Définition B.8.1 Une courbe C : λ → C(λ) est dite autoparallèle si son vecteur tangent
˙x α = dx α /dλ est tranporté par parallélisme le long d’elle-même, i.e. si les fonctions x α (λ)
sont solution des équations différentielles
∇ ˙x µ
dλ ≡ d2x µ dx
+ Γµ
dλ2 αβ
α dx
dλ
β
dλ
= 0. (B.49)
On voit immédiatement sur les éqs. (B.49) que les courbes autoparallèles sont déterminées
uniquement par la partie symétrique de la connexion définie par
puisqu’on a de manière évidente
Γ µ
αβ = 1
Γ
2
µ
αβ + Γµ βα
Γ µ
αβ ˙xα ˙x β ≡ Γ µ
αβ ˙x α ˙x β .
Il s’ensuit immédiatement le théorème suivant.
144
(B.50)

Théorème B.8.1 Deux connexions linéaires ayant la même partie symétrique ont des courbes
autoparallèles identiques.
Il est équivalent de dire que les courbes autoparallèles d’une connexion sont déterminées uniquement
par la partie symétrique de cette connexion (ou encore que la torsion d’une connexion
n’a aucun influence sur ses courbes autoparallèles). Cette propriété joue un rôle fondamental
dans le choix de connexion que l’on fait habituellement pour décrire l’influence de la gravitation
sur une particule en chute libre.
145

Annexe C
Connexion et courbure sur une variété
riemannienne
Dans le chapitre précédent, nous avons exposé les bases de l’analyse tensorielle sur une
variété V4 sans faire intervenir la notion de métrique qui avait été introduite dans le premier
chapitre. Ici au contraire, nous supposons de façon essentielle que V4 est une variété munie
d’une métrique g. On se souvient que le doublet (V4,g) est appelé une variété riemannienne.
L’importance de ces espaces est primordiale en physique puisque les espaces-temps utilisés en
relativité sont des variétés riemanniennes particulières, dites lorentziennes.
C.1 Connexion riemannienne
Nous allons tout d’abord énoncer et démontrer le théorème d’existence et d’unicité qui
“légitime” en quelque sorte les théories métriques de la gravitation.
Théorème C.1.1 Sur une variété riemannienne (V4,g), il existe une et une seule connexion
linéaire qui soit symétrique et qui préserve la valeur du produit scalaire de deux vecteurs V et
W transportés par parallélisme le long d’une courbe différentiable arbitraire. Les coefficients de
cette connexion s’écrivent en coordonnées locales
où les quantités { ρ µν} sont définies par :
Γ ρ µν = { ρ µν}, (C.1)
{ ρ µν} = 1
2 gρσ (∂µgνσ + ∂νgσµ − ∂σgµν). (C.2)
La connexion déterminée par (C.1) et (C.2) s’appelle la connexion riemannienne de l’espacetemps
(V4,g).
Démonstration.— Supposons qu’une connexion Γ soit symétrique et vérifie la condition1 ∀V µ ∀W ν
∇V µ
ν
∇W
= 0 et = 0 =⇒
dλ dλ d
dλ (gµνV µ W ν
) = 0 (C.3)
1 Une connexion qui possède la propriété (C.3) est appelée une connexion métrique. La connexion riemannienne
est donc l’unique connexion qui soit à la fois métrique et symétrique.
146

le long de n’importe quelle courbe C définie par les équations paramétriques
x α = x α (λ) (C.4)
en coordonnées locales xρ . Du fait que gµνV µ W ν est une quantité scalaire, sa dérivée totale
usuelle peut être remplacée par sa dérivée covariante totale. Il vient donc en tenant compte de
(C.3) :
d
dλ (gµνV µ W ν ) = ∇
dλ (gµνV µ W ν ) = ˙x λ ∇λgµνV µ W ν = 0. (C.5)
L’équation (C.5) devant être valide quels que soient ˙x λ , V µ et W ν , il faut que les équations
soient satisfaites en tout point. On a donc nécessairement
∇λgµν = 0 (C.6)
∇λgµν − ∇µgνλ − ∇νgλµ = 0. (C.7)
Explicitons les relations (C.7) en utilisant l’équation (15) du chapitre II. Il vient, en tenant
compte des symétries de gµν et de Γ σ µν par rapport aux indices µ et ν :
∇λgµν − ∇µgνλ − ∇νgλµ = ∂λgµν − Γ σ λµgσν − Γ σ λνgµσ − ∂µgνλ + Γ σ µνgσλ + Γ σ µλgνσ
La dernière ligne de (C.8) s’écrit encore
−∂ν + Γ σ νλgσµ + Γ σ νµgλσ
= 2Γ σ µνgλσ + ∂λgµν − ∂µgνλ − ∂νgλµ = 0. (C.8)
Γ σ µνgλσ = 1
2 (∂µgνλ + ∂νgλµ − ∂λgµν) . (C.9)
La multiplication contractée des deux membres de (C.9) par g λρ donne finalement, compte
tenu de g λρ gλσ = δ ρ σ :
Γ ρ µν = 1
2 gρσ (∂µgνσ + ∂νgσµ − ∂σgµν) ≡ { ρ µν}. (C.10)
Nous venons de démontrer l’unicité de la connexion riemannienne. Réciproquement, il est
aisé de vérifier que la connexion définie par (C.10) vérifie (C.6). En utilisant l’équation (C.10)
et la formule (15) du chapitre II, on obtient en effet les identités :
ce qui achève la démonstration.
∂λgµν − { ρ
λµ }gρν − { ρ
λν }gµρ ≡ 0, (C.11)
Les quantités { ρ µν} sont les symboles de Christoffel de deuxième espèce associés à la métrique
g. C’est cette connexion qui est utilisée dans les théories métriques. Désormais, nous utiliserons
seulement la connexion riemannienne et nous la désignerons indistinctement soit par Γ ρ µν soit
par { ρ µν}.
147

Théorème C.1.2 La dérivée covariante ∇λ associée à la connexion riemannienne sur (V4,g)
est telle que
∇λgµν = 0 (C.12)
et
en tout point x ∈ V4.
∇λg ρσ = 0 (C.13)
Démonstration.— Nous avons déjà montré l’équation (C.12) en établissant le théorème 1.
Cette équation est souvent appelé le théorème de Ricci. Pour démontrer l’équation (C.13),
appliquons la dérivation covariante riemannienne au produit contracté gµνg ρµ . En utilisant
l’équation (62) du chapitre I et l’équation (18) du chapitre II, on obtient
∇λ (gµνg ρµ ) = ∇λδ ρ ν = 0.
D’où en utilisant la règle de Leibniz qui est satisfaite par toute dérivation covariante :
Or, ∇λgµν = 0. On a donc
∇λgµνg ρµ + gµν∇λg ρµ = 0.
Effectuons le produit contracté de (C.14) par g νσ . Il vient :
C.Q.F.D.
gµν∇λg ρµ = 0. (C.14)
g νσ gµν∇λg ρµ = δ σ µ∇λg ρµ = ∇λg ρσ = 0
Enfin, nous citerons deux autres propriétés importantes que possède la connexion riemannienne
:
Propriété 1.— Un vecteur V subissant un transport parallèle défini par la connexion riemannienne
garde une norme constante.
Propriété 2.— Le transport parallèle défini par la connexion riemannienne conserve la
valeur de l’angle formé par deux vecteurs. En particulier, deux vecteurs V et W initialement
orthogonaux restent orthogonaux lors d’un transport par parallélisme.
Ces propriétés découlent immédiatement du théorème 1. Elles sont d’un grand intérêt en
physique théorique. Il résulte en effet de la propriété 1 qu’une connexion métrique permet
de comparer des étalons de longueur situés en des points voisins. La propriété 2 permet de
réaliser en chaque point x d’une courbe C un repère orthonormé simplement en transportant
par parallélisme un repère orthonormé construit en un point fixé de C.
148

C.2 Géodésiques d’une variété riemannienne
Définition C.2.1 Soit (V4,g) une variété riemannienne de dimension 4. Étant donnés deux
points x1 et x2 de V4, on appelle arc géodésique joignant x1 et x2 tout arc de courbe différentiable
Γ12 d’équations paramétriques xα = xα (λ) satisfaisant aux conditions :
où ˙x µ est défini par
λ2
δ gµν(x
λ1
α (λ)) ˙x µ ˙x ν dλ = 0, x α (λ1) = x α 1 , x α (λ2) = x α 2 , (C.15)
˙x µ = dxµ
. (C.16)
dλ
D’après cette définition, les géodésiques d’une variété riemannienne (V4,g) sont les courbes
paramétrées xα = xα (λ) solutions des équations d’Euler-Lagrange
associées au lagrangien
d
dλ
∂L
∂ ˙x µ
− ∂L
= 0 (C.17)
∂x µ
L(x α , ˙x µ ) = 1
2 gµν(x α ) ˙x µ ˙x ν . (C.18)
On en déduit le théorème qui suit.
Théorème C.2.1 Les géodésiques d’une variété riemannienne (V4,g) sont les courbes d’équations
paramétriques x α = x α (λ) solutions du système différentiel
d
dλ (gµν ˙x ν ) = 1
2 ∂µgρσ ˙x ρ ˙x σ . (C.19)
Démonstration.— Pour établir les équations (C.19), calculons d’abord le moment conjugué
∂L/∂ ˙x µ associé à chaque coordonnée x µ :
Compte tenu de
on peut écrire
∂L 1
=
∂ ˙x µ 2
∂
∂ ˙x µ(gρσ ˙x ρ ˙x σ ). (C.20)
∂ ˙x ρ
∂ ˙x µ = δρ µ , (C.21)
∂
∂ ˙x µ(gρσ ˙x ρ ˙x σ ) = gρσδ ρ µ ˙x σ + gρσ ˙x ρ δ σ µ = 2gµν ˙x ν . (C.22)
Substituons (C.22) dans (C.20). Il vient :
∂L
∂ ˙x µ = gµν ˙x ν . (C.23)
Par ailleurs, on peut évidemment écrire :
∂L 1
=
∂x µ 2 ∂µgρσ ˙x ρ ˙x σ . (C.24)
La substitution de (C.23) et de (C.24) dans (C.17) donne immédiatement les équations
d’Euler-Lagrange sous la forme (C.19). C.Q.F.D.
149

Théorème C.2.2 Les équations (C.19) déterminent le paramétrage des courbes géodésiques à
une transformation affine arbitraire près.
Démonstration.— Considérons une courbe paramétrée x α = x α (λ) solution des équations
(C.19) et effectuons un changement de paramétrage en posant
λ = f(ζ), (C.25)
f étant par hypothèse une fonction deux fois continûment différentiable dont la dérivée première
f ′ (ζ) ne s’annule pas sur l’intervalle de variation de λ. Les équations (C.19) s’écrivent alors sous
la forme
1
f ′ d
(ζ) dζ
1
f ′ (ζ) gµν
dxν
=
dζ
1
2
soit après multiplication des deux membres par f ′ (ζ)
d dx
gµν
dζ
ν
−
dζ
f ′′ (ζ)
f ′ (ζ) gµν
dxν dζ
1
f ′2
dx
∂µgρσ
(ζ) ρ dx
dζ
σ
dζ
1
=
2 ∂µgρσ
dxρ dx
dζ
σ
dζ
(C.26)
Les équations (C.26) ont la même forme que les équations (C.19) si et seulement si f ′′ (ζ) = 0,
i.e. si et seulement si
λ = aζ + b, (C.27)
où a et b sont des constantes arbitraires. C.Q.F.D.
Le théorème 4 explique pourquoi on appelle paramètre affine de la géodésique considérée le
paramètre λ impliqué dans le principe variationnel (C.15) ou , ce qui est équivalent, dans les
équations (C.19).
Étant un sytème d’équations de Lagrange, le système différentiel (C.19) est en pratique celui
qui est le plus commode pour étudier les géodésiques d’une variété riemannienne. Il existe toutefois
une autre forme des équations différentielles satisfaites par une géodésique qu’il importe
de connaître. La dérivée totale par rapport à λ des moments conjugués gµν ˙x ν peut s’écrire
d
dλ (gµν ˙x ν ) = gµν ¨x ν + ˙x ρ ∂ρgµν ˙x ν = gµν ¨x ν + 1
2 (∂ρgσµ + ∂σgµρ) ˙x ρ ˙x σ . (C.28)
Substituons (C.28) dans les équations des géodésiques (C.19). Il vient :
gµν ¨x ν + 1
2 (∂ρgσµ + ∂σgµρ − ∂µgρσ) ˙x ρ ˙x σ = 0. (C.29)
Effectuons la multiplication contractée des deux membres de (C.29) par g µα . Compte tenu
de gµνg µα = δ α ν , de la définition (C.2) des symboles de Christoffel de deuxième espèce et de
(C.16), les équations (C.29) s’écrivent sous la forme
d2xα dλ2 + {αρσ} dxρ dx
dλ
σ
= 0.
dλ
Compte tenu de la formule (71) du chap. I, le système (C.30) s’écrit encore
(C.30)
α ∇ dx
= 0.
dλ dλ
(C.31)
Réciproquement, il est aisé de vérifier que les équations (C.31) entraînent les équations de
Lagrange (C.19). On peut donc formuler le théorème qui suit.
150

Théorème C.2.3 Une courbe Γ d’équations paramétriques x α = x α (λ) est une géodésique
de paramètre affine λ si et seulement si le vecteur tangent ˙x α = dx α /dλ est transporté par
parallélisme le long de Γ.
Le théorème 5 revient à énoncer que les géodésiques sont les courbes auto-parallèles de la
connexion riemannienne.
Nous allons maintenant établir un théorème très utile quand on cherche à intégrer les
équations différentielles des géodésiques.
Théorème C.2.4 Toute géodésique paramétrée par un paramètre affine λ arbitraire admet
l’intégrale première
2L(x α , ˙x µ ) = K = const (C.32)
L(x α , ˙x µ ) étant le lagrangien défini par (C.18).
Démonstration.— L’existence d’une intégrale première telle que (C.32) vient de la propriété
de la fonction de Lagrange L de ne pas dépendre explicitement du paramètre λ. Pour le voir,
calculons la dérivée totale de L(x α , ˙x µ ) par rapport à λ le long d’une courbe différentiable
arbitraire. On obtient l’équation :
dL
dλ
∂L
=
∂x µ ˙xµ + ∂L
∂ ˙x µ ¨xµ = ∂L
∂x µ ˙xµ + d
∂L
˙xµ −
dλ ∂ ˙x µ d
∂L
dλ ∂ ˙x µ
d’où on déduit immédiatement :
dL d ∂L
− ˙xµ ≡
dλ dλ ∂ ˙x µ d
L −
dλ
∂L
˙xµ
∂ ˙x µ
Or, d’après (C.23), on peut écrire
Substituons (C.34) dans (C.33). Il vient
=
∂L d ∂L
−
∂x µ dλ ∂ ˙x µ
˙x µ ,
˙x µ . (C.33)
L − ∂L
∂ ˙x µ ˙xµ = L − gµν ˙x ν ˙x µ = L − 2L = −L. (C.34)
dL
dλ =
d ∂L
dλ ∂ ˙x µ
− ∂L
∂x µ
˙x µ . (C.35)
Les termes entre crochets sont nuls quand les équations d’Euler-Lagrange (C.19) sont satisfaites.
On a donc
dL
= 0
dλ
le long de toute solution des équations (C.17) ou (C.19). La quantité L(x α , ˙x µ ) est donc
constante le long d’une géodésique. D’où le théorème.
L’intégrale première (C.32) montre qu’on a
ds 2 = Kdλ 2
151
(C.36)

pour deux points infiniment voisins appartenant à la même géodésique. Il en résulte qu’il existe
trois types de géodésiques :
a) Si K > 0, ds 2 > 0 ;
b) Si K = 0, ds 2 = 0 ;
c) Si K < 0, ds 2 < 0 .
Nous retrouverons bien sûr cette classification en relativité. Avec notre convention d’écrire
les métriques relativistes avec un signe + devant c 2 dt 2 , une géodésique telle que ds 2 > 0 est dite
du genre temps et une géodésique telle que ds 2 < 0 est dite du genre espace. Une géodésique
telle que ds 2 = 0 est dite isotrope.
Pour finir, nous noterons que l’intégrale première (C.32) s’avèrera précieuse quand on cherchera
à intégrer les équations (C.17) ou (C.19). Voir exemple les chapitres 9 et 10.
Pour clore cette section sur les géodésiques, nous énoncerons le théorème qui suit.
Théorème C.2.5 Les géodésiques de genre temps sont les courbes de genre temps qui satisfont
la condition d’extremum
δ
où ℓ est un paramètre arbitraire.
ds = δ
gµν(xα (ℓ)) dxµ dx
dℓ
ν
dℓ = 0, (C.37)
dℓ
Démonstration.— Partons de la fonction lagrangienne qui figure sous le signe intégral dans
le second membre de (C.37) :
où ˙x µ désigne maintenant
L(x α , ˙x µ ) =
gµν(x α ) ˙x µ ˙x ν , (C.38)
˙x µ = dxµ
, (C.39)
dℓ
ℓ étant, répétons-le, un paramètre arbitraire. Les équations d’Euler-Lagrange associées sont
et
Définissons F en posant
On a L = √ 2F. En conséquence :
d ∂L dℓ ∂ ˙x µ
= d
1
√2F
dℓ
d ∂L dℓ ∂ ˙x µ
− ∂ L
= 0. (C.40)
∂x µ
2F(x α , ˙x µ ) = gµν(x α ) ˙x µ ˙x ν . (C.41)
∂ L 1
= √
∂x µ 2F
∂F
∂ ˙x µ
= 1
√
2F
152
∂F
∂x µ
d ∂F
dℓ ∂ ˙x µ
− 1 dF
2F dℓ
(C.42)
∂F
∂ ˙x µ
. (C.43)

Substituons (C.42) et (C.43) dans (C.40) et multiplions les deux membres par √ 2F. Nous
obtenons les équations :
d ∂F
dℓ ∂ ˙x µ
− ∂F 1 dF ∂F
− = 0.
∂x µ 2F dℓ ∂ ˙x µ (C.44)
On voit que les équations (C.44) se réduisent aux équations d’Euler-Lagrange pour la fonction
de Lagrange L(x α , ˙x µ ) = F(x α , ˙x µ ) à condition de choisir le paramètre ℓ de telle sorte que
dF/dℓ = 0 le long de chaque courbe solution. Mais d’après (C.41), la condition dF/dℓ = 0 n’est
autre que l’intégrale première
2F ≡ gµν(x α ) ˙x µ ˙x ν = K ′ , (C.45)
où K ′ est une constante arbitraire > 0. L’équation (C.45) montre qu’imposer la relation dF/dℓ =
0 équivaut à choisir ℓ de telle sorte que dℓ = ±K ′−1/2 ds, ce qui équivaut encore à ds 2 = K ′ dℓ 2 .
La comparaison de cette condition avec (C.36) montre que ℓ s’identifie avec un paramètre affine
d’une géodésique du genre temps au sens défini au début de la section 2. Avec le choix de ℓ
correspondant à K ′ = K, F(x α , ˙x µ ) s’identifie avec le lagrangien (C.18), ce qui démontre le
théorème.
On notera que les équations d’Euler-Lagrange correspondant à (C.38) sont définies uniquement
pour les arcs de géodésiques le long desquels F garde un signe constant et ne peut prendre
la valeur 0. Ces équations ne peuvent donc pas décrire les géodésiques isotropes, puisqu’on a
pour ces dernières L = 0.
C.3 Tenseur de courbure
En géométrie euclidienne usuelle à deux ou trois dimensions, un vecteur qui est transporté
par parallélisme le long d’un contour fermé (ou lacet) vient coïncider avec le vecteur initial
lorsqu’il a effectué un tour complet. Il est cependant facile de voir que cette propriété n’est
plus vraie sur la sphère S2 munie de la métrique gs induite par son plongement dans l’espace
proprement euclidien à trois dimension. On dit que le plan euclidien ordinaire est un espace
plat, tandis que la sphère (S2,gs) est un espace courbe.
La généralisation aux variétés riemanniennes de dimension 4 est évidemment possible.
Considérons d’abord le cas simple des espaces plats, dont la définition est la suivante :
Définition C.3.1 On appelle espace plat de dimension 4 la variété IR 4 munie d’une métrique
ayant la forme
ds 2 3
= ǫα(dx α ) 2 , (C.46)
α=0
où ǫ = 1 ou −1 selon les valeurs de l’indice α.
Les symboles de Christoffel exprimés dans les coordonnées locales x α sont partout nuls
puisque les gµν sont des constantes. Un vecteur transporté par parallélisme le long d’un contour
fermé arbitraire viendra donc coïncider avec sa position initiale lorsqu’il aura effectué un tour
complet.
Plus généralement, introduisons les espaces localement plats, définis comme suit :
153

Définition C.3.2 Une variété riemannienne (V4,g) est un espace localement plat si au voisinage
de chacun de ses points, il existe un système de coordonnées locales xα tel que la métrique
s’écrive sous la forme
ds 2 3
= ǫα(dx α ) 2 . (C.47)
α=0
On peut montrer que là encore, un vecteur quelconque transporté par parallélisme le long
d’un contour fermé arbitraire viendra coïncider avec sa position initiale lorsqu’il aura effectué
un tour complet.
La propriété que nous venons d’énoncer admet une réciproque. Nous n’allons pas démontrer
ici cette réciproque en toute rigueur, mais nous allons indiquer la démarche qui permet de
l’établir.
On part du théorème suivant, que nous nous contenterons d’énoncer sans expliciter les
calculs.
Théorème C.3.1 Soit C un lacet d’origine x0 défini par les équations paramétriques
où le paramètre λ est choisi de telle sorte que
x α = x α 0 + ǫξ α (λ) 0 ≤ λ ≤ 1, (C.48)
ǫξ α (0) = ǫξ α (1) = 0, (C.49)
et ǫ est un paramètre sans dimension tel que |ǫ|

D’où :
∇µ∇νW ρ − ∇ν∇µW ρ
= ∂µ(∇νW ρ ) − ∂ν(∇µW ρ ) + Γ ρ µσ∇νW σ − Γ ρ νσ∇µW σ . (C.53)
Le calcul se poursuit en explicitant les dérivées covariantes figurant dans le second membre
de (C.53). Il vient ainsi
∇µ∇νW ρ − ∇ν∇µW ρ =
∂µΓ ρ νσ − ∂νΓ ρ µσ + Γ ρ µτΓ τ νσ − Γ ρ ντΓ τ
µσ W σ . (C.54)
D’après le critère de tensorialité énoncé dans le chapitre I, les quantités entre parenthèses
dans le second membre de (C.54) constituent les composantes d’un champ de tenseurs de type
(3,1). Nous sommes dès lors conduits au théorème suivant.
Théorème C.3.2 Sur une variété riemannienne (V4,g), les dérivées covariantes secondes d’un
champ de vecteurs arbitraire W ρ satisfont l’identité
∇µ∇νW ρ − ∇ν∇µW ρ = R ρ σµν W σ , (C.55)
où R ρ σµν est un champ de tenseurs de type (3,1) dont les composantes en coordonnées locales
sont données par
R ρ σµν = ∂µΓ ρ νσ − ∂νΓ ρ µσ + Γ ρ µτΓ τ νσ − Γ ρ ντΓ τ µσ. (C.56)
D’après ce théorème, la formule (C.50) peut s’écrire
(Wσ) x0 ∆V σ = ǫ2
4
W σ R ρ
σµν
x0
V (in)
ρ ξ
C
µdξν
dλ
dξµ
− ξν dλ + O(ǫ
dλ
3 ) (C.57)
En considérant le passage à la limite ǫ → 0, on voit que si l’accroissement ∆V σ d’un vecteur
arbitraire V ρ transporté par parallélisme le long d’un lacet arbitraire est nul en tout point de
V4, alors
R ρ σµν = 0
partout.
Le champ de tenseurs défini par les éqs. (C.56) est appelé le tenseur de courbure (ou encore
tenseur de Riemann-Christoffel) de la variété riemannienne 2 . Cette dénomination est justifiée
par le théorème fondamental que nous allons énoncer maintenant, sans le démontrer.
Théorème C.3.3 Une variété riemannienne dont le tenseur de courbure est partout nul est
un espace localement plat.
Ce théorème et l’équation (C.57) entraînent immédiatement la proposition qui suit :
Théorème C.3.4 Une variété riemannienne est localement plate si le transport par parallélisme
d’un vecteur quelconque le long d’un lacet arbitraire fait revenir ce vecteur dans sa position initiale.
2 Dans la plupart des traités de géométrie différentielle actuels, on définit le tenseur de courbure d’une
connexion à partir de la relation (C.55). Pour notre part, nous avons préféré introduire ce tenseur à partir de
la formule géométrique (C.50), comme on le faisait dans les anciens traités, car cette manière de procéder nous
paraît beaucoup plus “parlante”
155

Le théorème C.3.4 est la réciproque dont nous parlions plus haut.
En général, dans une variété (V4,g) donné, le transport par parallélisme le long d’une courbe
fermée défini par la connexion riemannienne ne ramènera pas un vecteur dans sa position
initiale. On dira alors que la variété riemannienne est douée de courbure ou plus simplement
est courbe.
C.4 Propriétés du tenseur de courbure
Selon un formalisme étudié dans la section 10 du premier chapitre, on définit les composantes
quatre fois covariantes du tenseur de courbure en posant
Rρσµν = gλρR λ σµν. (C.58)
Il est bien entendu possible de calculer les composantes mixtes R λ σµν à partir des composantes
covariantes. En effectuant la multiplication contractée des deux membres de (C.58) par
g ρτ , il vient en effet :
g ρτ Rρσµν = g ρτ gλρR λ σµν = δ τ λR λ σµν = R τ σµν. (C.59)
L’introduction des composantes covariantes du tenseur de courbure est commode pour
énoncer les propriétés fondamentales qui suivent.
Propriétés de symétrie et d’antisymétrie du tenseur de courbure.— On vérifie
aisément à partir de (C.56) et de (C.58) que les quantités Rρσµν possèdent les propriétés de
symétrie ou d’antisymétrie suivantes :
et
Rρσµν = Rµνρσ
(C.60)
Rρσµν = −Rσρµν = −Rρσνµ. (C.61)
Identités satisfaites par le tenseur de courbure.— Le tenseur de courbure de la
connexion riemannienne Γ ρ µν = { ρ µν} satisfait deux identités, dites identités de Bianchi, que
nous énonçons sans démonstration :
R ρ
λµν + Rρµνλ
+ Rρνλµ
= 0, (C.62)
∇λR ρ σµν + ∇µR ρ
σνλ
+ ∇νR ρ
σλµ
= 0. (C.63)
On notera que les indices λ, µ et ν sont permutés circulairement dans les formules (C.62)
et (C.63).
156

C.5 Tenseur de Ricci. Scalaire de courbure
A partir du tenseur de courbure, on peut définir par contraction le tenseur de Ricci
Rµν = R β
µβν = gαβ Rαµβν. (C.64)
L’expression du tenseur de Ricci se déduit immédiatement de (C.56) et de (C.64) :
Rµν = ∂λΓ λ µν − ∂νΓ λ µλ + Γ ρ µνΓ λ ρλ − Γ ρ
µλ Γλ ρν. (C.65)
La multiplication contractée de g µν et de Rµν définit une quantité scalaire :
appelée l’invariant de courbure scalaire.
Les identités (C.63) entraînent les identités suivantes :
∇ν
R = g µν Rµν, (C.66)
R µν − 1
2 Rgµν
= 0. (C.67)
Ces quatre identités, appelées identités de conservation, jouent un rôle fondamental en
relativité générale et dans les théories métriques de la gravitation. Le tenseur symétrique G µν
défini par
s’appelle le tenseur d’Einstein.
G µν = R µν − 1
R gµν
2
(C.68)
C.6 Opérateurs différentiels sur une variété riemannienne
Gradient d’une fonction.— Nous avons déjà vu que le gradient d’une fonction Φ(x) est
un champ de vecteurs covariants. Sur un espace-temps (V4,g), on peut évidemment définir les
composantes contravariantes du vecteur gradΦ par les relations
(gradΦ) α = g αβ ∂βΦ = g αβ ∇βΦ. (C.69)
La (pseudo)-norme riemannienne du gradient est le paramètre différentiel de Beltrami du
premier ordre défini par
∆1Φ = g µν ∂µΦ∂νΦ. (C.70)
Rotationnel d’un champ de vecteurs.— Étant donné un champ de vecteurs A de
composantes covariantes Aµ, on appelle tenseur rotationnel du vecteur A le tenseur deux fois
covariant défini par
(rot A)µν = ∇νAµ − ∇µAν . (C.71)
On a
∇νAµ = ∂νAµ − { ρ νµ}Aρ , ∇µAν = ∂νAµ − { ρ νµ}Aρ . (C.72)
157

En substituant les relations (C.72) dans (C.71), il vient
(rotA)µν ≡ ∇νAµ − ∇µAν = ∂νAµ − ∂νAµ . (C.73)
Les composantes du tenseur rotationnel d’un vecteur A s’expriment donc uniquement avec
les dérivées partielles usuelles des composantes covariantes de ce vecteur, exactement comme
en géométrie vectorielle usuelle. Cette propriété permet de simplifier nombre de calculs en
électromagnétisme, puisque le tenseur champ électromagnétique Fµν est au signe près le tenseur
rotationnel du potentiel vecteur Aµ.
Divergence d’un champ de vecteurs.— Donnons-nous un champ de vecteurs V de
composantes contravariantes V ρ . La divergence du champ V est la fonction divV définie par
On a donc
divV = ∇µV µ . (C.74)
divV = ∂µV µ + { µ µν}V ν . (C.75)
On peut donner une expression bien plus commode du second membre de (C.75). On déduit
de (C.10) :
{ µ µν} = 1
2 gµσ (∂µgνσ + ∂νgσµ − ∂σgµν). (C.76)
Mais en vertu de la symétrie des gµν
En conséquence, (C.76) se réduit à
1
2 gµσ (∂µgνσ − ∂σgµν) = 1
2 gµσ ∂µgνσ − 1
2 gσµ ∂σgνµ = 0.
{ µ µν} = 1
2 gρσ ∂νgρσ . (C.77)
Lorsqu’on tient compte de la définition des g µν , le second membre de (C.77) est proportionnel
à la dérivée par rapport à x ν du déterminant g de la matrice (gµν). On a d’après la théorie des
déterminants :
gδ ρ ν = gµν∆ µρ , g = dét (gµν),
où ∆ µρ est le cofacteur de gµρ. Cette relation entraîne
g =
3
gµν∆ µν ∀ν = 0, 1, 2, 3, (C.78)
µ=0
où il n’y a pas sommation sur l’indice répété ν. Puisque ∆ µν ne contient pas le terme gµν, on
déduit de (C.78) que
∂g
= ∆ µν . (C.79)
D’où
∂ρg ≡ ∂g
∂gµν
∂gµν
∂ρgµν = ∆ µν ∂ρgµν , (C.80)
158

soit, compte tenu de ∆ µν = gg µν :
On a donc
∂ρg = gg µν ∂ρgµν . (C.81)
{ µ µν} = 1 ∂νg
2 g
∂ν |g|
= . (C.82)
|g|
Substituons (C.82) dans (C.75). Il vient après un changement d’indice muet :
divV = 1
|g| ∂µ
|g| V µ
. (C.83)
Cette formule s’avère très commode dans le calcul des divergences, car elle dispense de
calculer les symboles de Christoffel.
On retiendra que (C.81) peut encore s’écrire sous la forme suivante :
g µν ∂ρgµν = ∂ρg
g
d’où on déduit, en tenant compte de g µν gµν = 4 :
gµν∂ρg µν = − ∂ρg
g
Les relations (C.84) et (C.85) sont extrêmement utiles en pratique.
|g|
= 2∂ρ , (C.84)
|g|
|g|
= −2∂ρ . (C.85)
|g|
Laplacien d’une fonction.— On appelle laplacien ou encore paramètre différentiel de
Beltrami du deuxième ordre de Φ la fonction scalaire
De ce qui précède, on déduit :
D’où, compte tenu de (C.82) :
∆2Φ = div ( grad Φ) = g µν ∇µ∇νΦ. (C.86)
∆2Φ = ∇µ (g µν ∂νΦ) = ∂µ (g µν ∂νΦ) + { µ µρ}g ρν ∂νΦ.
∆2Φ = 1
|g| ∂µ
|g|g µν
∂νΦ . (C.87)
Cette expression du laplacien est très pratique dans bon nombre de calculs, y compris
ceux qui sont effectués sur l’espace euclidien usuel. Il est par exemple à peu près immédiat
de déterminer l’opérateur laplacien dans le cas des métriques écrites sous forme diagonale (un
exemple est donné dans la section 3.8).
159

C.7 Quelques relations utiles
Divergence d’un tenseur antisymétrique.— Soit Fµν un tenseur antisymétrique arbitraire.
Montrer qu’on peut écrire
∇µF µν = 1
|g| ∂µ
|g| F µν
. (C.88)
En déduire que tout tenseur Fµν antisymétrique satisfait l’identité
∇µ∇νF µν = 0. (C.89)
Solution.— On explicite ∇µF µν grâce à la formule de dérivation covariante (B.14), les
coefficients de connexion étant donnés par (C.1) et (C.2). La formule (C.88) résulte alors
immédiatement de l’antisymétrie de Fµν en appliquant (C.82).
La démonstration de (C.89) est tout aussi aisée. Les quantités ∇νF µν constituent les composantes
contravariantes d’un vecteur. Il en résulte que ∇µ∇νF µν est la divergence d’un vecteur.
Nous pouvons donc appliquer la relation (C.83). Compte tenu de (C.88), il vient :
∇µ∇νF µν = 1
|g| ∂µ
⎡
⎣
|g| 1
|g| ∂µ
Or, le caractère antisymétrique de Fµν entraîne l’identité
1
|g| ∂µ∂ν
|g|F µν
≡ 0.
|g| F µν
⎤
⎦.
On a donc la relation (C.89). Cette relation est fondamentale en électromagnétisme, puisqu’elle
assure la conservation de la charge électrique totale comme conséquence des équations
de Maxwell.
Divergence d’un tenseur symétrique.— Soit T un tenseur d’ordre 2 symétrique : T µν =
T νµ . Montrer que ses composantes mixtes satisfont la relation
|g|T µ
ν − 1
2 ∂νgρσ T ρσ . (C.90)
∇µT µ ν = 1
|g| ∂µ
Solution.— Le calcul est immédiat à partir de la formule (B.16) dans laquelle les Γ ρ µν sont
remplacés par les expressions (C.2).
L’expression (C.90) est commode lorsqu’on veut expliciter la relation ∇µT µ ν = 0 exprimant
le caractère conservatif du tenseur impulsion-énergie symétrique T décrivant la présence de
matière ou d’énergie (on dit encore que le tenseur impulsion-énergie est de divergence nulle).
Exercice.— Montrer que
g µν { ρ µν} = − 1
|g| ∂σ
|g| g ρσ
. (C.91)
160

Solution.— D’après (C.2), le premier membre de (C.91) s’écrit
Compte tenu de g µν gνσ = δ µ σ, on a
g µν { ρ µν} = 1
2 gµν g ρσ (∂µgνσ + ∂νgσµ − ∂σgµν). (C.92)
1
2 gµνg ρσ ∂µgνσ = − 1
2 gµνgνσ∂µg ρσ = − 1
2 δµ σ ∂µg ρσ = − 1
2
et en échangeant les rôles joués par les indices µ et ν
En outre, (C.84) donne immédiatement
∂σg ρσ
(C.93)
1
2 gµνg ρσ ∂νgσµ = − 1
2 ∂σg ρσ . (C.94)
1
2 gµνg ρσ ∂σgµν = g ρσ∂σ
|g|
Substituons (C.93), (C.94) et (C.95) dans (C.92). Il vient
g µν { ρ µν} = −∂σg ρσ − g ρσ∂σ
|g|
|g|
|g|
(C.95)
1
≡ − |g| ∂σ
|g| g ρσ
. (C.96)
Le dernier membre est bien l’expression donnée par (C.91). C.Q.F.D.
La relation (C.96) est utile lorsqu’on introduit les coordonnées dites harmoniques (ces coordonnées
permettent d’écrire les équations d’Einstein sous une forme remarquable).
C.8 Applications à l’espace euclidien à 3 dimensions
Les formules obtenues pour les opérateurs différentiels sont très utiles aussi en analyse
vectorielle tridimensionnelle habituelle lorsqu’on veut faire des calculs dans des systèmes de coordonnées
non cartésiens. Nous allons donner deux exemples en supposant que l’espace est muni
de la métrique euclidienne standard ds 2 = δijdx i dx j et rapporté à des coordonnées sphériques
(r,θ,ϕ) définies par
x 1 = r sin θ cos ϕ, x 1 = r sin θ sin ϕ, x 3 = r cos θ . (C.97)
Divergence d’un champ de vecteurs.— On se donne un champ de vecteurs V par ses
composantes contravariantes V r ,V θ ,V ϕ dans le repère naturel associé aux coordonnées (r,θ,ϕ).
Former l’expression de la divergence du champ V en coordonnées sphériques.
Solution.— On vérifie facilement que la métrique euclidienne s’écrit sous la forme suivante
en coordonnées sphériques :
ds 2 = dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θdϕ 2 . (C.98)
161

Dans le nouveau système de coordonnées, la métrique a une forme diagonale et les seules
composantes non nulles du tenseur métrique sont
On a donc
grr = 1, gθθ = r 2 , gϕϕ = r 2 sin 2 θ . (C.99)
et les expressions des g ij non identiquement nuls sont :
g rr = 1
grr
D’après (C.83), on peut écrire
divV =
g = dét (1,r 2 ,r 2 sin 2 θ) = r 4 sin 2 θ (C.100)
= 1, g θθ = 1
gθθ
= 1
r 2 , gϕϕ = 1
gϕϕ
=
1
r2 sin2 . (C.101)
θ
1
r2
∂
r
sin θ ∂r
2 sin θ V r
+ ∂
r
∂θ
2 sin θ V θ
+ ∂
r
∂ϕ
2 sin θ V ϕ
. (C.102)
On déduit immédiatement de (C.102) l’expression cherchée pour divV
divV = 1
r 2
∂
r
∂r
2 V r
+ 1
sin θ
∂
sin θ V
∂θ
θ
+ ∂V ϕ
. (C.103)
∂ϕ
Laplacien d’une fonction.— Former l’expression du laplacien d’une fonction Φ en coordonnées
(r,θ,ϕ).
Solution.— Les formules montrées dans l’exercice 1 et l’application de (C.87) conduisent
immédiatement à l’expression bien connue du laplacien en coordonnées sphériques :
∆2Φ = 1
r 2
∂
r
∂r
2∂Φ
+
∂r
1
r2 sin θ
∂
sin θ
∂θ
∂Φ
+
∂θ
1
r 2 sin 2 θ
∂2Φ . (C.104)
∂ϕ2 Vérifier qu’on obtient également cette formule à partir de (C.103) à condition de remplacer
V r ,V θ ,V ϕ par les composantes contravariantes du gradient de Φ correspondantes.
L’expression (C.104) est très commode en théorie newtonienne de la gravitation ainsi qu’en
électromagnétisme et en théorie des milieux continus.
162

Annexe D
Quantité de mouvement et énergie
cinétique d’une particule isolée
Nous allons montrer que les hypothèses “naturelles” faites dans la section 5.2 du chap. 5 sont
suffisantes pour déterminer les fonctions universelles M(m,v 2 /c 2 ) et Ec(m,v 2 /c 2 ) simplement
en considérant des chocs élastiques de particules.
Donnons-nous un référentiel galiléen S arbitraire et considérons la collision de deux particules
isolées a et b de masses ma et mb égales se mouvant sur une même droite ∆e avec des
vitesses va et vb opposées. Nous poserons :
m = ma = mb, v = va = −vb, v = |va| = |vb|. (D.1)
On suppose que ni le nombre ni la nature des particules ne sont modifiés par la collision 1 .
On a donc immédiatement après le choc deux particules sortantes c et d de masses respectives
mc et md égales à m, soit :
mc = md = m. (D.2)
Les vitesses des particules c et d seront respectivement notées vc et vd. Pour alléger l’écriture,
on posera
β = |va| |vb| v
= =
c c c , βc = |vc|
c , βd = |vd|
. (D.3)
d
L’hypothèse centrale consiste à poser que la somme vectorielle des quantités de mouvement
et la somme des énergies totales sont conservées au cours de la collision. Compte tenu des
relations (D.1) et (D.2), ces deux lois de conservation s’écrivent dans le référentiel S
et
M(m,β 2 )va − M(m,β 2 )va = 0 = M(m,β 2 c)vc + M(m,β 2 d)vd
(D.4)
Ec(m,β 2 ) + Ec(m,β 2 ) = Ec(m,β 2 c) + Ec(m,β 2 d). (D.5)
Du fait que la fonction M(m,v 2 /c 2 ) est toujours strictement positive d’après nos hypothèses
générales, l’équation (D.4) entraîne que les vecteurs vitesses vc et vd sont colinéaires et de sens
1 Le choc est alors dit parfaitement élastique.
163

opposés. Les particules sortantes se déplacent donc sur une droite ∆s passant par le point de
collision O. Si on oriente cette droite, l’équation vectorielle (D.4) se traduit par l’équation
M(m,β 2 c)¯vc + M(m,β 2 d)¯vd = 0
où ¯vc et ¯vd sont les valeurs algébriques sur ∆s des vitesses de c et d respectivement. On a donc
M(m,β 2 c)vc = M(m,β 2 d)vd, (D.6)
à condition de poser vc = |vc| et vd = |vd|. Or nous avons suppposé que la fonction M(m,v 2 /c 2 )v
est strictement monotone. L’équation (D.6) entraîne donc
Il en résulte que (D.5) peut s’écrire
βc = βd. (D.7)
2Ec(m,β 2 ) = 2Ec(m,β 2 c). (D.8)
Mais nous avons supposé que la fonction Ec(m,v 2 /c 2 ) est elle aussi strictement monotone par
rapport à v. Les relations (D.6) et (D.8) entraînent donc que
βc = βd = β. (D.9)
Il résulte de ce qui précède que les particules sortantes se meuvent sur l’axe ∆s avec des
vecteurs vitesse opposés dont la valeur absolue commune est égale à la valeur absolue v :
vd = −vc, avec vc = vd = va = v. (D.10)
Nous allons supposer pour l’instant que l’angle θ entre ∆e et ∆s est tel que 0 < θ < π. Nous
pouvons dès lors repérer les points de S par rapport à un trièdre orthonormé Ox 1 x 2 x 3 tel que
l’axe Ox 1 soit porté par la droite ∆e et l’axe Ox 2 soit dans le plan défini par les droites ∆e et
∆s. Les composantes des vecteurs vitesses va et vb des particules incidentes sont alors
v 1 a = v, v 2 a = 0, v 3 a = 0, (D.11)
v 1 b = −v, v 2 b = 0, v 3 b = 0, (D.12)
tandis que les composantes des vecteurs vitesse des particules sortantes sont
v 1 c = v cos θ, v 2 c = v sin θ, v 3 c = 0, (D.13)
v 1 d = −v cos θ, v 2 d = −v sin θ, v 3 d = 0. (D.14)
Considérons maintenant le référentiel galiléen S ′ comouvant avec la particule incidente a.
Ce référentiel se déplace avec la vitesse va = v par rapport à S. Nous pouvons toujours choisir
des axes liés à S ′ de telle sorte que les coordonnées galiléennes dans S ′ s’expriment en fonction
des coordonnées galiléennes dans S par les transformations de Lorentz (4.22) écrites dans le
chap. 4 dans lesquelles w est remplacée par la vitesse va.
D’après la loi de composition des vitesses (4.35), les composantes des différents vecteurs
vitesse par rapport à S ′ sont
v 1′
a = 0, v 2′
a = 0, v 3′
a = 0, (D.15)
v 1′
b = − 2cβ
1 + β 2, v2 b = 0, v 3 b = 0, (D.16)
164

et
v 1′
c = −
v 1′
d = −
cβ(1 − cos θ)
1 − β2 cosθ
cβ(1 + cosθ)
1 + β2 , v2′ d = −
cos θ
, v2′ c = 1 − β2 cβ sin θ
1 − β 2 cos θ
1 − β 2 cβ sin θ
1 + β 2 cosθ
, v3′
c = 0, (D.17)
, v3′
d = 0, (D.18)
On détermine immédiatement le carré des vecteurs vitesses v ′ a, v ′ b, v ′ c et v ′ d à partir des
expessions (D.15)-(D.18). Il vient après division par c 2 :
β ′ a
2 v
= ′ 2
a
c
2 = 0,
2
4β 2
(1 + β 2 ) 2,
β ′ 2 v
b = ′ b
=
c2 (D.19)
β ′ 2 v
c = ′ 2
c
c2 = β22(1 − cos θ) − β2 sin2 θ
(1 − β2 cos θ) 2 , (D.20)
β ′ 2 v
d = ′ 2
d
c2 = β22(1 + cosθ) − β2 sin2 θ
(1 + β2 cos θ) 2 . (D.21)
D.1 Détermination de la fonction M
m, v2
c2
Ecrivons la conservation de la somme des vecteurs quantités de mouvement dans le référentiel
S ′ . Il vient
M
m,β ′ 2
b
2cβ
1 + β2 = M(m,β′ 2 cβ(1 − cos θ)
c )
1 − β2 cos θ + M(m,β′ 2 cβ(1 + cosθ)
d )
1 + β2 , (D.22)
cos θ
en projetant sur l’axe O ′ x 1′
et
M(m,β ′
2
c ) 1 − β2 cβ sin θ
1 − β2 cos θ − M(m,β′
2
d ) 1 − β2 cβ sin θ
1 + β2 cos θ
= 0 (D.23)
en projetant sur O ′ x2′ . La projection sur l’axe O ′ x3′ se réduit évidemment à l’égalité 0 = 0.
La division des deux membres de (D.23) par cβ √ 1 − β2 sin θ donne la relation
M(m,β ′ 2
c )
1 − β2 cos θ = M(m,β′ d
2
)
1 + β2 . (D.24)
cos θ
Substituons (D.24) dans (D.22). L’équation obtenue se simplifie et devient après division
des deux membres par 2cβ :
1
M(m,β ′ 2
b )
1 + β2 = M(m,β′ c
2
)
1 − β2 , (D.25)
cos θ
où β ′ b et β ′ c sont respectivement donnés par (D.19) et (D.20). Cette équation montre que la
quantité M(m,β ′ 2 2 ′ 2
c )/(1 − β cos θ) ne dépend pas de l’angle θ. Lorsque θ → 0, β c → 0. Du
165

fait que nous avons postulé que M(m,β 2 ) est continue sur l’intervalle 0 ≤ β 2 < 1, on voit que
(D.25) entraîne
M(m,β ′ 2 1 + β
b ) = M(m, 0) 2
1 − β2. Or, la quantité β ′ 2
b donnée par (D.19) peut encore s’écrire
Il en résulte que
β ′ 2 (1 − β
b = 1 − 2 ) 2
(1 + β2 ) 2.
1 + β2 =
1 − β2 1
1 − β ′ 2
b
Substituons (D.28) dans (D.26). Nous obtenons :
M(m,β ′ b
2 ) = M(m, 0)
(D.26)
(D.27)
. (D.28)
1
1 − β ′ 2
b
. (D.29)
Cette relation est valide pour tout β ′ b dans l’intervalle [0, 1[. Or, nous avons admis que
M(m, 0) = 0 (voir éq. (5.8)). Il résulte donc de (D.29) que la fonction M(m,v 2 /c 2 ) cherchée
s’écrit
M
m, v2
c 2
= m
1 − v2
c2 . (D.30)
Cette relation conduit à l’expression relativiste de p donnée par (5.10).
D.2 Détermination de la fonction Ec
m, v2
c 2
La conservation de l’énergie totale dans le référentiel S ′ s’exprime par l’équation :
E(m, 0) + E(m,β ′ 2 ′ 2 ′ 2
b ) = E(m,β c ) + E(m,β d ). (D.31)
Cette équation montre que la quantité E(m,β ′ 2 ′ 2
c ) + E(m,β d ) ne dépend pas de l’angle θ. Si
on pose
u = cos θ,
β ′ 2 ′ 2 ′ 2 ′ 2
c et β d peuvent être considérés comme des fonctions de u. Dès lors, E(m,β c ) + E(m,β d )
doit être indépendant de u, ce qui se traduit par la condition
∂
E(m,β
∂u
′
2 ′ 2
c ) + E(m,β d ) = 0 (D.32)
Pour abréger, désignons par E ′ (m,β 2 ) la dérivée partielle de la fonction E(m,β 2 ) :
E ′ (m,β 2 ) = ∂
∂β 2 E(m,β2 ).
166

Compte tenu des notations que nous venons d’introduire et des relations
∂β ′ 2
c
∂u = −2β2 (1 − β2 )
(1 − β2 ,
u) 3
∂β ′ 2
d
∂u = 2β2 (1 − β2 )
(1 + β2 ,
u) 3
l’équation (D.32) s’écrit après division des deux membres par 2β 2 (1 − β 2 ),
1
E ′ (m,β ′ 2
c )
(1 − β2u) 3 = E ′ (m,β ′ d
2 1
)
(1 + β2u) 3.
(D.33)
Faisons tendre u vers 1, ce qui correspond à θ → 0. Alors β ′ 2 ′ 2 ′ 2
c → 0 et β d → β b . L’équation
(D.33) devient après multiplication de ses deux membres par (1 + β2 ) 3 :
Posons
On voit facilement que
E ′
L’équation (D.34) s’écrit donc
m, 1 − (1 − β2 ) 2
(1 + β 2 ) 2
ζ = 1 − (1 − β2 ) 2
(1 + β 2 ) 2.
(1 + β2 ) 3
(1 − β2 =
) 3
∂E ′ (m,ζ)
∂ζ
= E ′ (m, 0) (1 + β2 ) 3
(1 − β 2 ) 3.
1
(1 − ζ) 3/2.
= E ′ (m, 0)
(1 − ζ) 3/2.
(D.34)
(D.35)
(D.36)
L’intégration de (D.36) est immédiate et donne la relation
E(m,ζ) = 2E ′
1
(m, 0) √ − 1 + E(m, 0). (D.37)
1 − ζ
Il s’ensuit que l’énergie totale d’une particule isolée de vitesse v est donnée par une relation
de la forme
E m, v2
c2
= 2E ′
1
(m, 0) √ − 1 + E(m, 0). (D.38)
1 − β2 Il est clair que la partie entre crochets s’annule lorsque v = 0. On peut donc poser que la
fonction universelle exprimant l’énergie cinétique d’une particule est donnée par
Ec m, v2
c2 ⎛
1
= CE
⎝
1 − v2
c2 ⎞
− 1⎠
, (D.39)
où CE est la constante 2E ′ (m, 0), tandis que le terme E(m, 0) peut être considéré comme l’énergie
totale d’une particule de masse m au repos. Nous avons admis que l’énergie cinétique relativiste
se comportait comme l’énergie cinétique en théorie newtonienne pour les vitesses très petites
devant c. Or, d’après (D.39), on a
Ec m, v2
c2
= 1
2 CE
v2
4 v
+ O
c2 c4
.
La comparaison avec l’expression newtonienne 1
2 mv2 de l’énergie cinétique montre qu’il faut
poser
CE = mc 2 .
D’où la formule (5.11).
167

Mathématiques
Bibliographie sommaire
Ouvrages correspondant au niveau de ce cours :
J. HLADIK, Calcul tensoriel en physique. Masson, 1994.
A. LICHNEROWICZ, Éléments de calcul tensoriel. Armand Colin.
Ouvrages de niveau plus élevé :
Y. CHOQUET-BRUHAT, Géométrie différentielle et systèmes extérieurs. Dunod, 1968.
L. P. EISENHART, Riemannian Geometry. Princeton Yniversity Press, 1926. Réédité par
Dover.
Physique
Ouvrages correspondant au niveau de ce cours :
J. HLADIK, Introduction à la relativité restreinte. Dunod, 2001.
J. HLADIK, Introduction à la relativité générale niveau M 1. Ellipses, 2006.
R. D’INVERNO, Introducing Einstein’s Relativity. Oxford University Press, 1992.
B. SCHUTZ, A First Course in General Relativity. Cambridge University Press, 1985.
I. SIMON, Relativité restreinte : Cours et applications. Vuibert, 2004.
P. TOURRENC, Gravitation et Relativité. Armand Colin, 1997. (Ouvrage épuisé).
Quelques ouvrages fondamentaux :
L. LANDAU & E. LIFCHITZ, Théorie des champs. Ellipses, 1998.
C. W. MISNER, K. S. THORNE & J. A. WHEELER, Gravitation. Freeman, 1973.
R. M. WALD, General Relativity. University of Chicago Press, 1984.
S. WEINBERG, Gravitation and Cosmology : Principles and Applications of the General
Theory of Relativity. Wiley, 1972.
C. WILL, Theory and Experiment in Gravitational Physics. 2nd edit., Cambridge University
Press, 1993.
Recueil de problèmes :
A. P. LIGHTMAN, W. H. PRESS, R. H. PRICE & S. A. TEUKOLSKY, Problem Book in
Relativity and Gravitation. Princeton University Press, 1975.
168