Mesure et incertitudes - Un cours de physique en spéciale PC ...

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X = mesurande,
de valeur vraie x 0
à déterminer
qui peut être
directe ou indirecte via
des capteurs,
des instruments de mesure,
des mesurages d'autres grandeurs, ...
Représentation d'une grandeur
X en sciences physiques
X = x +/- U(x) [X]
valeurs obtenues par le mesurage
(ensemble des processus de mesure)
x = mesure
incertitude
sur x
unité de X
cf chapitre :
Invariance dimensionnelle
qui peut être une
- incertitude type, notée u(x), caractérisant
la dispersion des résultats de la mesure,
- incertitude élargie, notée U(x) définissant
un intervalle contenant, à un niveau
de confiance donnée, la grandeur mesurée.
0

= 0
ε = |x − x0|
=
εr =
|x − x0|
|x|
0
=
X = x0 + ε + ∆
0 ε
∆
erreur erreur
systématique aléatoire
e
D
x 0 xi
valeur vraie (inconnue) une mesure
moyenne (inconnue)
d'une infinité de mesures

ε ∆
E(X) = x0
u(x)
U(x)
k k
k 2
[x − U(x); x + U(x)]
k = 3
N X x < x >
〈x〉 ˆ= 1
N ΣN k=1xk
〈s〉 = 1
T
s(t) dt
T 0
〈x2 〉 ˆ= 1
N ΣNk=1x2k
N → ∞ x → µ
σx {x}
(x 2
σx = − µ) = 〈x2 〉 − µ 2
x
σx 〈x − 〈x〉〉 = 〈x〉 − 〈x〉 = 0
(x − 〈x〉) 2 √
x

N < 20
N
(xi − x)
i=1
σN−1 =
2
N − 1
x σx
N X
xk
σN−1
σN−1
σx
x
N
N
σm
σm
σm = σN−1
√
N
n x1, x2, · · · , xn
u(x) x = x1+x2+···+xp
p
u(x) = σn−1
√n
X
N
r = σu(x)
u(x) ≈
1
(2N − 1)

N = 10, 25 % N = 50
r ≈ 10 %
✎
✍
r
a b a b
|b − a|
u(x) =
6
a b
|b − a|
u(x) =
2 √ 3
|b − a|
u(x) =
2 √ 6
X = x0 + E1 + E2 + · · · + En
E1, E2, · · · , En
u 2 (X) = u 2 (E1) + u 2 (E2) + · · · + u 2 (En)
☞
✌

f x1 x2 xn
X1 X2 Xn
f
f(x1, x2, ..., xn) σxi xi
σf f σ 2 2
f = Σi
∂f
σ
∂xi
2 xi
f = x ± y ⇒ σf =
√
1 Nσ 2 N
σ 2 x + σ 2 y
N X σxi = σ ∀i σf = σ
√ N f = 1
N Σixi ⇒ σf =
f = ax + b ⇒ σf = |a| σx σf = a 2 σ 2 x
f = x × y
f = x/y
⇒ σf
|f| =
f = x n × y k ⇒ σf
|f| =
σx
x
n σx
x
2
2
+
+
2 σy
y
k σy
2 y
σf =
(nx n−1 y k ) 2 σ 2 x + (x n × ky k−1 ) 2 σ 2 y
f
f(x1, x2, ..., xn) ∆xi xi
∆f f ∆f = Σi
∂f
∂xi
∆xi
f
f df = Σi ∂f
∂xi dxi
∆f
f = x − y ⇒ ∆f = ∆x + ∆y
f = ax + b ⇒ ∆f = |a| ∆x
f = x × y ⇒ ∆f = |y| ∆x|x| ∆y ⇒ ∆f ∆x ∆y
|f| = |x| + |y|
f = xn × yk ⇒ ∆f = nxn−1yk
∆xxn
× kyk−1 ∆f
∆y ⇒
∆x ∆y
|f| = |n| |x| + |k| |y|
∆ lg (f) = ∆ (n lg (x) + k lg (y)) ⇒ ∆f
f
= |n| ∆x
x
+|k| ∆y
y

k
x U(x) = ku(x), u(x)
X ∈ [x − U(x); x + U(x)] p
k U(x
k
X m σ
(−σ X − m +σ) ≈ 68 %
(−2σ X − m +2σ) ≈ 95 %
(−3σ X − m +3σ) ≈ 99, 7 %
2σ 3σ 5σ
En T.P., on prendra 2σ pour l ′ incertitude élargie
N
N > 1 σ σN−1
N < 10) σN−1 σ
U(x) = tp,N × σN−1
√ N
tp,N
p
t0.95,N
t0.95,N
t ≈ 2

X = x ± U(x) unité.
U(x)
x.
σℓ = 0, 25 ℓmes = (8, 6 ± 0, 5)
ℓmes = (8 ± 0, 5) [7, 5; 8, 5]
[8, 1; 9, 1]
ℓmes = (8, 653 ± 0, 5) 0, 053 8, 653
U
U
x = 12, 3257 u(x) 0, 232 k = 2 U = 0, 464.
0, 04 X = 12, 33 ± 0, 47
x = 123, 385 u(x) 2, 892 k = 2 U = 5, 784
0, 57 X = 123, 4 ± 5, 8.
68%
r
r = 0, 99
r = 0, 98

m σ > 0
R f(x) = 1
σ √ 2π exp
(x − m)2
−
2σ2
Xi
m σ
Xi X = 1
n
Xi
n
n
i=1
Pn,p(k) n
p k Pk = C k np k (1 − p) n−k C k n!
n =
k!(n − k)!
N
p ≪ 1 n
n ≪ N Pλ(n) = λn
n! e−λ , où λ = Np
n = Np = λ σ = √ λ