Traitement automatique du signal ECG pour l'aide au diagnostic de ...

CHAPITRE 3. EFFET DU SOUS-ÉCHANTILLONNAGE 28
L’hypothèse des variances communes cause l’annulation du facteur de normalisation
et de la partie quadratique de l’exponentielle de l’Equation (3.13).
La frontière de décision entre les classes c et l sera donc linéaire. La région où
P r(H = c|X = x) = P r(H = l|X = x) sera linéaire en x, et en p dimensions
sera un hyperplan. Il en va de même pour toutes les frontières de décision entre
deux classes prises deux à deux.
On peut voir que l’Equation (3.15) et la fonction discriminante linéaire yc(x)
yc(x) = x T Σ −1 µ T c − 1
2 µT c Σ −1 µ c + log πc
(3.16)
sont équivalentes en termes de décision, avec H(x) = argmaxc yc(x).
En pratique on ne connait pas les paramètres de la distribution gaussienne, et
on les estime donc grâce à nos données, en veillant à ce que les expressions des
estimateurs maximisent la vraisemblance :
ˆπc = Nc/N (3.17)
Nc
ˆµ c = xi/Nc
ˆΣc =
i=1
C Nc
c=1 i=1
(3.18)
(xi − ˆµ c)(xi − ˆµ c)) T /(N − C), (3.19)
où Nc est le nombre de battements dans la classe c. Une fois les probabilités
à postériori connues pour chaque classe, le classifieur attribue l’échantillon à la
classe la plus probable.
Pour un LDA non-pondéré, expliqué dans [17], la vraisemblance est définie
comme :
V =
C
Nc
c=1 n=1
log(gc(x, µ c, Σ)), (3.20)
où C est le nombre de classes, Nc le nombre de données d’entraînement dans
la classe c, et gk(x, µc, Σ) est la valeur de la distribution gaussienne de moyenne
ˆµ et de covariance commune ˆ Σ.
Or, la proportion relative des classes influence un tel classifieur : si une classe domine
les données d’entrainement, alors le classifieur est hautement influencé par
ces classes [1], [28]. Une solution pour contrer ce phénomène a été étudiée dans
[17]. Elle consiste à pondérer les contributions de chaque donnée d’apprentissage.
Pour un LDA pondéré, la vraisemblance s’écrit donc :
C Nc
V = ωc log(gc(x, µ c, Σ)). (3.21)
c=1 n=1