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CHAPITRE 3. EFFET DU SOUS-ÉCHANTILLONNAGE 22 par µd + nécart−type ∗ σd où µd est la moyenne des N mesures de dissimilarité d pour les battements déjà acquis, σd l’écart-type correspondant et nécart−type un facteur multipliant σd. Ici, la faible variabilité intra-signal implique que µd + nécart−type ∗ σd va rapidement converger vers une valeur qui contrairement à δ s’adapte à l’ensemble des battements. La seconde modification est la suivante : au lieu de calculer la dissimilarité d entre le battement nouvellement acquis et les N battements précédemment acquis placés dans le sous-ensemble R ⊂ P , seul le dernier des N battements est considéré. Cela implique qu’aucun battement qui aurait été sélectionné par la variante de base ne sera manqué, mais que d’autres seront ajoutés au sous-ensemble R ⊂ P . Clustering : les k-means Les k-means est un algorithme classique de clustering. Il procède en deux étapes : Encodage - Décodage. Un gros désavantage est que les centroïdes peuvent se « perdre » : ils ne contiennent plus aucun point à une certaine itération. On peut cependant traiter ceux-ci pour les replacer intelligemment, ce qui permet de garder K constant. Un autre désavantage est qu’il peut converger vers un minimum local. L’algorithme des k-means va maintenant être décrit en détail, cette explication vient principalement de [23]. Le but des k-means est d’identifier des groupes, ou clusters de points dans un espace multidimensionnel. Supposons que l’on dispose d’un ensemble de points [b1, ..., bN] consistant en N observations dans un espace en D dimensions. Le but est de partitionner l’ensemble de ces points en un certain nombre K de clusters. Intuitivement, un cluster comprend un groupe de points pour lesquels la distance entre eux est petite comparée avec la distance entre ces points et les points n’appartenant pas au groupe. On peut formaliser ce concept en introduisant un ensemble de vecteurs {zk} de dimension D où k = 1, ..., K. zk sera associé avec le k e centroïde. Le but est maintenant d’assigner les points à des clusters, ainsi que de trouver un ensemble de vecteurs zk, de telle sorte que la somme des carrés des distances de chaque point bn jusqu’à son plus proche vecteur zk soit minimale. Définissons l’assignement des points vers les clusters. Pour chaque point bn, introduisons la variable unk ∈ {0, 1} où k = 1, ..., K qui décrit auquel des K clusters le point bn est assigné : si bn est assigné au cluster k, alors unk = 1 et unj = 0 pour j = k. On peut alors définir une fonction objective, appelée mesure de distorsion : J = N n=1 k=1 K unk bn − zk 2 . (3.7) Cette équation représente la somme des carrés de la distance entre chaque point et le centroïde de la classe à laquelle il a été assigné zk. Il faut maintenant trouver les valeurs des unk et de zk tel que J soit minimum. Pour ce faire, la
CHAPITRE 3. EFFET DU SOUS-ÉCHANTILLONNAGE 23 méthode des k-means a recourt à une procédure itérative dans laquelle chaque itération est composée de deux étapes successives. Pour commencer, il faut choisir une valeur initiale pour zk. Dans ce mémoire, les zk sont initialisés au hasard parmi les points de départ, sans remise. Ensuite, la première étape est de minimiser J par rapport à unk en maintenant zk constant. Dans la seconde étape, il faut minimiser J par rapport à zk en maintenant unk constant. Ce processus à deux étapes est répété jusqu’à convergence. On peut voir cette méthode comme un algorithme EM (pour Expectation - Maximization). Pour la première étape (déterminer unk, avec zk constant), J est une fonction linéaire et il suffit d’assigner le n e point au cluster le plus proche. Plus formellement unk = 1 si k = argminj xn − zj 2 , (3.8) et unj = 0 si j = k. Pour la seconde étape (déterminer zk, avec unk constant), J est une fonction quadratique de zk, qui peut donc être minimisée en posant sa dérivée égale à zéro : N 2 unk(xn − zk) = 0. (3.9) n=1 Ce qui peut aisément être résolu en zk : Nn=1 unkxn zk = Nn=1 unk . (3.10) Le dénominateur de cette expression est simplement égal au nombre de points compris dans le cluster k. zk est donc égal à la moyenne de tous les points xn qu’il représente. C’est de là que vient le nom de l’algorithme : les k-means. Les deux étapes de ré-assignement et de recalcul des clusters sont répétées jusqu’à ce qu’il n’y ait plus de changement d’assignement ou que zk ne varie plus ou presque plus. Comme chaque étape réduit la valeur de J, la convergence est assurée, cependant, il se peut que l’algorithme converge vers un minimum local. Dans ce mémoire, si un centroïde se « perd », il est remplacé par un centroïde comprenant uniquement le point le plus éloigné de l’ancienne position du centroïde vide. Le nombre de centroïdes reste donc constant du début à la fin de l’algorithme. La Table 3.2 présente un pseudo-code pour les k-means. Algorithmes k-means-like : Competitive learning,... : Ces algorithmes sont similaires aux k-means, mais avec des variantes qui évitent aux centroïdes de se perdre par exemple. Malheureusement, ils sont plus lents que les k-means et n’ont donc pas été utilisés. j-means : Les j-means sont une variante intéressante des k-means [24], [25] où les centroïdes sont contraints d’être des données initiales, contrairement aux k-means.
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