Traitement automatique du signal ECG pour l'aide au diagnostic de ...
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CHAPITRE 3. EFFET DU SOUS-ÉCHANTILLONNAGE 19<br />
<strong>de</strong>ux battements x = [x0, ..., xX−1] et y = [y0, ..., yY −1] <strong>de</strong> longueurs respectives<br />
X et Y :<br />
- Norme <strong>de</strong> Minkowsky L2 :<br />
<br />
<br />
<br />
d(x, y) = X−1 <br />
(xl − yl) 2 . (3.1)<br />
l=0<br />
Cette mesure <strong>de</strong> dissimilarité ne fonctionne bien sûr qu’avec <strong>de</strong>s battements<br />
<strong>de</strong> longueur i<strong>de</strong>ntique X = Y . On l’appellera <strong>au</strong>ssi norme d’ordre 2<br />
à c<strong>au</strong>se <strong>de</strong> son exposant (et <strong>de</strong> la racine carrée).<br />
- Dynamic time warping (DTW) :<br />
Cette mesure <strong>de</strong> dissimilarité permet quant à elle <strong>de</strong> comparer <strong>de</strong>s battements<br />
<strong>de</strong> longueurs différentes. Elle permet <strong>de</strong> comparer les valeurs <strong>de</strong> xi à<br />
celle <strong>de</strong> yj sans forcément que i = j. Le but est <strong>de</strong> trouver un chemin <strong>de</strong> longueur<br />
f, (i1, j1), ..., (if , jf ), tel que le coût final le long <strong>du</strong> chemin soit minimum,<br />
<strong>au</strong> sens d’un certain critère. A chaque nœud, le coût <strong>de</strong> transition<br />
<strong>pour</strong> venir <strong>du</strong> nœud précé<strong>de</strong>nt (il−1, jl−1), t[(il, jl), (il−1, jl−1)] est calculé.<br />
Le coût total <strong>de</strong>s transitions v<strong>au</strong>t donc : T = f l=1 t[(il, jl), (il−1, jl−1)]<br />
On peut utiliser une fonction w quelconque <strong>de</strong> al = il −il−1 et bl = jl −jl−1<br />
<strong>pour</strong> restreindre les transitions possibles. On peut <strong>au</strong>ssi normaliser <strong>pour</strong><br />
obtenir un coût indépendant <strong>de</strong> la longueur <strong>du</strong> chemin :<br />
f<br />
l=1 T =<br />
t[(il, jl), (il−1, jl−1)] ∗ w(al, bl)<br />
f l=1 w(al,<br />
. (3.2)<br />
bl)<br />
T peut alors servir <strong>de</strong> mesure <strong>de</strong> dissimilarité.<br />
Pour effectuer ces opérations efficacement, chaque entrée <strong>de</strong> la matrice<br />
<strong>de</strong> programmation dynamique G[i, j] est calculée en fonction <strong>de</strong>s nœuds<br />
G[i − a, j − b] et <strong>du</strong> coût <strong>de</strong>s transitions (voir la Figure 3.1). Dans notre<br />
cas, <strong>pour</strong> repro<strong>du</strong>ire la fonction w <strong>de</strong> [3], les seules transitions possibles et<br />
leurs coûts associés sont :<br />
G[i, j] = min{G[i, j − 1] + d[(i, j)|(i, j − 1)],<br />
G[i − 1, j] + d[(i, j)|(i − 1, j)],<br />
G[i − 1, j − 1] + 2d[(i, j)|(i − 1, j − 1)]}.<br />
(3.3)<br />
- Trace :<br />
Cette métho<strong>de</strong> sert en réalité <strong>de</strong> sélection <strong>de</strong> variables utilisée en reconnaissance<br />
<strong>de</strong> la parole [22], mais dans notre cas, elle permet <strong>de</strong> ré<strong>du</strong>ire<br />
x et y à une longueur Ltrace ≤ min(X, Y ) ≤ max(X, Y ). Une fois une<br />
longueur commune atteinte, on peut utiliser la norme <strong>de</strong> Minkowsky <strong>pour</strong>