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numériques et n’acceptent pas la rupture proposée par le maître.
Les règles du contrat didactique que l’enseignant échoue à mettre en œuvre sont : l’usage
des correspondances numériques peut être abandonné avec profit, la connaissance
des relations entre objets permet de définir des opérations entre ces objets. Les règles
qu’il parvient plus ou moins à établir sont : la recherche du gain de temps (à l’écrit) que
représentent les écritures multiplicatives « pour aller plus vite, on connaît l’opération » (voir
la règle des zéros) et la prise en compte, la marque en tant que phénomène mathématique,
de la persistance des relations numériques (voir Recherche de Yasmina I).
3.2.4. Le calcul avec les jours (CM1)
La séquence est initialisée par l’exposé de la recherche de Mélanie, qui effectue des
opérations avec les jours. Pour ce faire, elle établit une correspondance entre l’écriture
d’un jour (Lundi) et les nombres qui indiquent la place de ce jour dans les semaines ( , ,
etc.). On pourrait dire qu’il s’agit d’une relation de congruence modulo , mais le mot
ne sera jamais prononcé. Ce type de correspondance qui, à une liste d’objets organisées
en associe un seul ( , , … sont associés à Lundi) est étudié en mathématiques (il s’agit
de rassembler différents objets selon une relation d’équivalence 9 et de désigner chacune
des classes d’équivalence par un représentant). Ce type de correspondance a été un objet
d’enseignement au collège durant la réforme des mathématiques modernes, il a disparu
des programmes ensuite. Cependant, il reste un objet implicite, puisqu’il soutient le travail
prévu en e et dans les classes successives sur les écritures fractionnaires, puis en e le
travail sur les vecteurs. En conséquence, nous sommes confrontés à une étude qui ne
s’inscrit pas dans les prescriptions officielles de la discipline scolaire, mais qui ne peut pas
être considérée comme illégitime. Néanmoins, nous pouvons considérer l’activité durant
cette séquence comme une activité d’organisation de données, de lecture et d’écriture de
tableaux (les nombres associés aux différents jours vont être organisés de cette façon).
Dans ce cas, elle s’inscrit dans le programme de ce niveau d’étude. Durant la séquence de
travail observée, le maître va s’attacher dans un premier temps au calcul (en proposant et
en faisant proposer des calculs complexes), aux règles d’écriture des calculs complexes,
pour ensuite travailler sur l’usage du tableau, en faisant chercher les « représentants » – les
jours – de nombres importants. C’est une élève qui va faire surgir le nom de représentant et
l’intérêt de cette notion en substituant dans les calculs, des nombres par des jours. (« c’est
très beau Roxane, c’est même émouvant »). L’intérêt et le sens de l’objet d’étude, pour
l’élève qui a initié la recherche, sont encore une fois l’attrait que représentent les opérations
mystérieuses.
Les règles du contrat didactique sont : l’attention aux formes de l’expression (« je ne
comprends pas, tu n’es pas assez claire »), la prise en compte, la marque en tant que
phénomène mathématique cette fois d’un résultat surprenant (dimanche est élément
neutre) et son explication (« je sais pourquoi parce que ça va de en »), la recherche des
exemples ou des applications extrêmes (on peut prendre même avec trois millions),
les différentes façons de lire un tableau sont possibles (en colonnes ou en lignes).
3.2.5 Les corrections d’additions
Dans ce cas, deux nombres entiers sont équivalents si le reste de leur quotient par est le même.
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