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La recherche de Yasmina s’inscrit dans une gamme d’exercices que nous pourrions<br />
dénommer « exercices d’échanges ou de conversion » : « un jeton rouge pour deux jetons<br />
verts, un jeton vert pour trois jetons b<strong>le</strong>us, combien de jetons b<strong>le</strong>us pour cinq jetons rouges<br />
etc. » Ces exercices sont présents éga<strong>le</strong>ment dans <strong>le</strong>s manuels scolaires dès la classe<br />
de CP. Leur programmation s’inscrit dans l’exploration des principes de la numération<br />
décima<strong>le</strong> (et même plus largement dans <strong>le</strong>s principes de numération), dans <strong>le</strong>s premières<br />
études de structures et plus tardivement dans l’étude de la proportionnalité. Encore une<br />
fois, la recherche de Yasmina n’est donc pas décalée par rapport aux instructions officiel<strong>le</strong>s<br />
du CE . Le travail col<strong>le</strong>ctif, durant cette séquence, va consister à la compréhension des<br />
relations choisies par l’élève entre des objets (une jupe est éga<strong>le</strong> à deux pulls, un pull vaut<br />
trois chaussettes etc.). Le contexte de la recherche de Yasmina fait que <strong>le</strong>s élèves vont<br />
commencer par explorer ces relations en fixant des prix aux différents objets. L’objectif<br />
du maître est de convaincre <strong>le</strong>s élèves que, même si <strong>le</strong>s prix initiaux choisis varient, <strong>le</strong>s<br />
relations entre <strong>le</strong>s divers prix trouvés demeurent. Du point de vue de l’élève (absente) qui<br />
présente cette recherche, l’intérêt est de former des opérations « bizarres » : que va<strong>le</strong>nt, en<br />
chaussettes, trois jupes plus un pull ? Nous retrouvons une origine importante des recherches<br />
Freinet, la formation et l’exploration d’opérations non-conformes, inspirées par <strong>le</strong>s opérations<br />
habituel<strong>le</strong>s (multiplication, addition, soustraction). Dans <strong>le</strong> cas présent, se mê<strong>le</strong> peut être <strong>le</strong><br />
désir du code secret, bref <strong>le</strong> plaisir de jong<strong>le</strong>r avec des écritures mystérieuses et codées.<br />
Cet attrait pour <strong>le</strong>s codes, l’élaboration d’opérations étranges a pour effet ici de conduire<br />
l’élève à l’établissement de relations entre objets, bref à la description d’une structure, qui<br />
reste très simp<strong>le</strong> : <strong>le</strong>s relations entre objets ne sont pas exactes, constatées entre des prix<br />
réels. Ce jeu et <strong>le</strong> contrô<strong>le</strong> du jeu que se donne l’élève sont des éléments du sens de la<br />
situation. Dans la classe, cette première séquence se poursuit lors de la deuxième séance<br />
analysée.<br />
Les règ<strong>le</strong>s du contrat didactique que l’enseignant cherche à mettre en œuvre au fil de la<br />
séquence sont <strong>le</strong>s suivantes : <strong>le</strong> travail doit être organisé de façon chronologique. Un premier<br />
temps doit être consacré à la compréhension des règ<strong>le</strong>s de conversion, des correspondances<br />
entre objets. Un second temps est réservé à la manipulation des opérations. (Le maître,<br />
durant la première séance, déboutera plusieurs fois des élèves qui tentent de ne pas observer<br />
cette chronologie en proposant des résultats aux opérations mystérieuses de Yasmina « on<br />
s’occupe pas des opérations »). Une deuxième règ<strong>le</strong> concerne la forme argumentative que<br />
doivent prendre <strong>le</strong>s résultats obtenus (« Si une jupe est éga<strong>le</strong> à 0… »), règ<strong>le</strong> que <strong>le</strong> maître<br />
tente d’établir en demandant systématiquement aux élèves « Pourquoi ? ». Enfin, la dernière<br />
règ<strong>le</strong> est cel<strong>le</strong> de la prise en compte, de la marque en tant que phénomène mathématique,<br />
de la persistance des relations numériques.<br />
3.2.3. La recherche de Yasmina II<br />
Durant cette séquence (qui a lieu <strong>le</strong> <strong>le</strong>ndemain), <strong>le</strong>s opérations mystérieuses sont abordées.<br />
Cependant l’étude antérieure conduit <strong>le</strong>s élèves à remplacer encore <strong>le</strong>s objets par des prix.<br />
L’objectif initial du maître qui est d’explorer <strong>le</strong>s liens entre objets et d’en user pour établir<br />
des conversions ne se réalise pas « on peut essayer de remplacer <strong>le</strong>s vêtements qui sont<br />
là par d’autres vêtements […] sans passer par <strong>le</strong>s nombres ». En revanche, une partie de<br />
la séquence va être consacrée à l’écriture multiplicative d’une somme et à une approche<br />
de la division (« 0 c’est combien de chaussettes orange ? »). Les élèves résistent par<br />
conséquent aux injonctions et aux conseils du maître. Il semb<strong>le</strong> que <strong>le</strong>s élèves inscrivent cette<br />
séquence dans la continuité de la séquence précédente, basée sur des correspondances<br />
<strong>IUFM</strong> Nord-Pas de Calais