Cours d'analyse, ECS deuxième année - Alain TROESCH

Cours d’analyse, ECS deuxième année 

Alain TROESCH 

2 septembre 2012

Table des matières 

1 Suites numériques : révisions 5 

1.1 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 

1.1.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 

1.1.2 Quelques propriétés utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 

1.1.3 Arithmétique des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

1.2 Propriétés des suites réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

1.2.1 Passage à la limite dans une inégalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

1.2.2 Théorème d’encadrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

1.2.3 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

1.2.4 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

1.3 Quelques types classiques de suite, à bien connaître . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

1.3.1 Suites définies par une récurrence affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

1.3.2 Suites définies par une récurrence linéaire d’ordre k (k > 1) . . . . . . . . . 11 

1.3.3 Suites définies par une récurrence du type : ∀n ∈ N,un+1 = f(un) . . . . . 11 

1.3.4 Suites définies implicitement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

1.4 Approximations et estimations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

1.4.1 Équivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

1.4.2 Négligeabilité (petit-o, vitesse de convergence) . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

1.4.3 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

2 Séries numériques : révisions 17 

2.1 Notion de série et de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

2.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

2.1.2 Propriétés liées à la convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 

2.1.3 Types de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 

2.2 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

2.2.1 Comparaisons entre séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

2.2.2 Comparaison entre une série et une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 

2.2.3 Comparaison avec une série de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 

2.2.4 Comparaison avec une série géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 

2.3 Étude de la semi-convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 

3 Intégrales impropres 23 

3.1 Rappel sur les intégrales définies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

3.1.1 Définition de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

3.1.2 Propriétés de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 Table des matières 

3.1.3 Calcul des intégrales – Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 

3.2 Notion d’intégrale impropre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 

3.2.1 Cas des fonctions définies sur un intervalle semi-ouvert . . . . . . . . . . . . 26 

3.2.2 Cas d’une fonction continue sur un intervalle ouvert . . . . . . . . . . . . . 28 

3.2.3 Cas d’une fonction continue sur une union d’intervalles ouverts . . . . . . . 29 

3.3 Propriétés des intégrales impropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

3.3.1 Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

3.3.2 Relation de Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

3.3.3 Positivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

3.4 Critères de convergence pour les intégrales de fonctions positives . . . . . . . . . . 31 

3.4.1 Un lemme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 

3.4.2 Critère de comparaison par inégalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 

3.4.3 Critère de comparaison par o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 

3.4.4 Critère de comparaison par équivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 

3.5 Cas des fonctions non positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

3.5.1 Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

3.5.2 Semi-convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

3.6 Comparaison série/intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

3.7 Techniques de calcul des intégrales impropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

3.7.1 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

3.7.2 Changements de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 

3.8 Intégrales classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 

3.8.1 Intégrale de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 

3.8.2 Fonction Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 

4 Révisions : fonctions d’une variable réelle 37 

4.1 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 

4.1.1 Définitions et rappel des propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 

4.1.2 Continuité sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 

4.2 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 

4.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 

4.2.2 Dérivées d’ordre supérieur – Fonctions de classe C n . . . . . . . . . . . . . . 39 

4.2.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 

4.2.4 Dérivabilité sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 

4.3 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 

4.3.1 Notion de convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 

4.3.2 Étude de la dérivabilité des fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . 42 

4.3.3 Caractérisation de la convexité par les dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . 42 

4.4 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 

4.4.1 Développement de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 

4.4.2 Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 

4.4.3 Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 

4.4.4 Formule de Taylor avec reste intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 

4.4.5 Cas des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Table des matières 3 

5 Fonctions de plusieurs variables : continuité, calcul différentiel 45 

5.1 Rappels de topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 

5.1.1 Distances et boules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 

5.1.2 Voisinages, ouverts, fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 

5.1.3 Sous-ensembles bornés de R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 

5.1.4 Droites, segments, plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 

5.2 Graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 

5.2.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 

5.2.2 Courbes de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 

5.3 Limites et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 

5.3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 

5.3.2 Critère séquentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 

5.3.3 Opérations sur les fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 

5.3.4 Continuité et topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 

5.4 Calcul différentiel (à l’ordre 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 

5.4.1 Fonctions et dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 

5.4.2 Fonctions de classe C 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 

5.4.3 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 

5.4.4 Formule de Taylor-Young à l’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 

5.4.5 Dérivation d’une composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 

5.4.6 Interprétation du gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 

5.4.7 Formule des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 

5.5 Dérivées d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 

5.5.1 Dérivées partielles d’ordre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 

5.5.2 Théorème de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 

5.5.3 Hessienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 

5.5.4 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 

6 Optimisation 59 

6.1 Recherche d’extrema locaux sur un ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 

6.1.1 Condition nécessaire du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 

6.1.2 Condition suffisante du deuxième ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 

6.1.3 Diagonalisabilité des endomorphismes symétriques . . . . . . . . . . . . . . 61 

6.2 Recherche d’extrema globaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 

6.2.1 Existence d’un maximum et/ou d’un minimum . . . . . . . . . . . . . . . . 62 

6.2.2 Recherche des extrema globaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 

6.2.3 Quelques cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 

6.2.4 Recherche de la position du graphe par rapport à l’hyperplan tangent . . . 66 

6.3 Recherche d’extrema sous contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 

6.3.1 Notion d’extremum sous contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 

6.3.2 Points critiques sous contrainte linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 

6.3.3 Description de H ⊥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 

6.3.4 Recherche des extrema sous contrainte linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4 Table des matières

Analyse – Chapitre 1 

Suites numériques : révisions 

Quelques rappels : 

• Une suite numérique (réelle ou complexe) est une famille (un)n∈N d’éléments de R ou C indexée 

sur N (parfois sur N ∗ , ou sur N \ {0,...,n0 − 1}). Il s’agit donc d’une fonction de N dans R 

ou C. 

• On rappelle que N : X = (x1,...,xn) ↦→ x 2 1 +···+x2 n est la norme usuelle de Rn , et on 

note N(X) = X. La distance de A à B est alors d(A,B) = B − A. Si n = 1, on obtient 

d(a,b) = |b − a|. De même dans C, assimilé à R 2 , où |.| désigne alors le module d’un nombre 

complexe 

• On rappelle que dans R n , B(a,r) désigne la boule ouverte de centre a et de rayon r, c’est-à-dire 

B(a,r) = {x ∈ R n | x−a < r}. Dans R, la boule ouverte de centre a et de rayon r est donc 

l’intervalle ]a−r,a+r[. 

• De même, B(a,r) désigne la boule fermée de centre a et de rayon r, c’est-à-dire B(a,r) = {x ∈ 

R n | x − a r}. Dans R, la boule fermée de centre a et de rayon r est donc l’intervalle 

[a−r,a+r]. 

• On rappelle qu’un voisinage V de x dans R n est un sous-ensemble V de E tel qu’il existe une 

boule ouverte centrée en x entièrement contenue dans V (en s’éloignant un peu de x, on ne sort 

pas de V ) 

Par exemple, V est un voisinage de x dans R s’il existe ε tel que ]x−ε,x+ε[⊂ V . 

Intuitivement cela signifie que x n’est pas « au bord » de V . 

• Par extention, on dit que V est un voisinage de +∞ si V contient un intervalle du type ]a,+∞[. 

De même, V est un voisinage de −∞ si V contient un intervalle du type ]−∞,b[. 

• Un ouvert U de R n est un sous-ensemble U de R n qui est voisinage de tous ses points, i.e. 

∀x ∈ U,∃ε > 0, B(x,ε) ⊂ U. 

Intuitivement : U n’a pas de « bord ». 

• Un sous-ensemble F de E est fermé si son complémentaire ∁EF est ouvert. 

Proposition 1.0.1 1. Toute union quelconque d’ouverts est un ouvert; 

2. Toute intersection d’un nombre fini d’ouverts est un ouvert; 

3. Toute intersection quelconque de fermés est un fermé ; 

4. Toute union d’un nombre fini de fermés est un fermé. 

Exemples 1.0.2 Voici deux contre-exemples à bien garder en tête :

6 Analyse – Chapitre 1. Suites numériques : révisions 

+∞ 

 

1. Contre-exemple pour une intersection infinie d’ouverts : − 

n=1 

1 

n ,1 

 

= [0,1[. 

+∞ 

 

1 

2. Contre-exemple pour une union infinie de fermés : 

n ,1 

 

=]0,1]. 

1.1 Convergence 

1.1.1 Limites 

Définition 1.1.1 Les propositions suivantes sont équivalentes, et définissent (chacune) la convergence 

d’une suite (un)n∈N d’éléments de R (ou C) vers un élément ℓ de R (ou C). 

(i) ∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n N, un ∈ B(ℓ,ε). 

(ii) ∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n N,|un −ℓ| < ε. 

(iii) pour tout voisinage V de ℓ, il existe N tel que pour tout n N, un ∈ V . 

Traduction : pour toute marge d’erreur ε qu’on peut se donner, à partir d’un certain rang, un est 

à peu près égal à ℓ, à cette marge d’erreur près. 

Attention ! « à peu près » ne signifie pas « exactement » ! Gardez-vous bien de dire que un = ℓ à 

partir d’un certain rang ! 

Dans le cas de suites réelles, on définit aussi la convergence vers les infinis : 

Définition 1.1.2 • Une suite (un)n∈N à valeurs dans R tend vers +∞ si et seulement si : 

n=1 

∀A ∈ R, ∃N ∈ N, ∀n N,un > A. 

• Une suite (un)n∈N à valeurs dans R tend vers −∞ si et seulement si : 

∀A ∈ R, ∃N ∈ N, ∀n N,un < A. 

Dans ce contexte, la définition par voisinages (définition 1.1.1, iii) reste valable, en utilisant la 

notion de voisinage de +∞ ou −∞ rappelée au début du chapitre. 

Théorème 1.1.3 Soit (un)n∈N une suite (réelle ou complexe). Si (un)n∈N admet une limite, alors 

cette limite est unique. Elle est notée lim 

n→+∞ un. 

Faites attention à ne pas utiliser cette notation avant de vous être assuré de l’existence de la 

limite. 

1.1.2 Quelques propriétés utiles 

Proposition 1.1.4 Si (un)n∈N tend vers ℓ, alors (un+1)n∈N et (un−1)n∈N∗ aussi. 

Proposition 1.1.5 Si (un)n∈N converge vers ℓ, et si ϕ est une application strictement croissante 

de N dans N, alors (u ϕ(n)) converge vers ℓ (une telle suite est appelée suite extraite de (un)n∈N) 

Exemple typique : u2n, u2n+1... 

Proposition 1.1.6 (hors-programme, démonstration à refaire au besoin) Si(u2n)n∈N et(u2n+1)n∈N 

convergent vers une même limite ℓ, alors (un)n∈N converge vers ℓ. De même pour (u3n), (u3n+1) 

et (u3n+2), etc.

1.1 Convergence 7 

1.1.3 Arithmétique des limites 

Théorème 1.1.7 Soit (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites convergentes. Alors : 

1. (|un|)n∈N est convergente, et lim 

n→+∞ |un| 

 

 

= 

lim 

 

 

 

; 

n→+∞ un 

2. (un +vn)n∈N est convergente, et lim 

n→+∞ (un +vn) = lim 

n→+∞ un + lim 

n→+∞ vn ; 

3. (unvn)n∈N est convergente, et lim 

n→+∞ (unvn) = lim 

n→+∞ un · lim 

n→+∞ vn ; 

 

un 

4. si lim 

n→+∞ vn = 0, alors vn = 0 à partir d’un certain rang; ainsi, 

un 

d’un certain rang, est convergente, et lim = 

n→+∞ vn 

lim 

n→+∞ un 

lim 

n→+∞ vn 

. 

vn 

 

est définie à partir 

Théorème 1.1.8 Les résultats ci-dessus restent vrais si la limite de (un)n∈N et/ou de (vn)n∈N est 

infinie, avec les règles arithmétiques suivantes (règles usuelles dans R) : 

a+∞ = +∞; +∞+∞ = +∞; a·(+∞) = (sg(a))∞; (±∞)·(±∞) = ±∞; 

1 

= 0. 

±∞ 

En revanche, les opérations arithmétiques suivantes ne sont pas définies, et donnent des formes 

indéterminées (ayez des exemples en tête) : 

∞−∞; 0·∞; 

∞ 

∞ ; 

0 

0 ; 1∞ ; 0 0 . 

Théorème 1.1.9 • Soit (vn)n∈N une suite de limite nulle, telle que : ∃N ∈ N, ∀n N, vn 

> 0. 

1 

Alors la suite est bien définie et tend vers +∞. 

vn 

nN 

• Soit (vn)n∈N une suite de limite nulle, telle que : ∃N ∈ N, ∀n N, vn 

< 0. Alors la suite 

1 est bien définie et tend vers −∞. 

vn 

nN 

• Soit (vn)n∈N une suite de limite nulle, prenant une infinité devaleurs strictement positives et 

1 

une infinité de valeurs strictement négatives. Alors la suite , si elle existe, n’admet pas 

de limite. 

Théorème 1.1.10 Soit (un)n∈N une suite convergeant vers un réel ℓ. Soit f une fonction continue 

en ℓ. Alors la suite (f(un))n∈N est convergente, et lim 

n→+∞ f(un) = f(ℓ). 

Exemple 1.1.11 La fonction exponentielle étant continue sur R, et la fonction logarithme étant 

continue sur R ∗ +, on obtient la règle arithmétique suivante : 

Soit (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites convergeant vers des réels ℓ > 0 et ℓ ′ . Alors (uvn n )n∈N converge 

vers ℓℓ′ . 

Pour les cas d’indétermination, on peut souvent lever l’indétermination en écrivant la puissance 

avec l’exponentielle et en utilisant les croissances comparées. 

Exemple 1.1.12 Soit (un)n∈N une suite définie par une récurrence : ∀n 0, un+1 = f(un). 

Alors, si f est continue sur R et si (un) admet une limite ℓ, en passant à la limite dans la relation 

de récurrence, on obtient l’équation suivante vérifiée par ℓ : ℓ = f(ℓ). Cette équation permet de 

déterminer les seules valeurs possibles de la limite. 

vn 

nN


Remarquez qu’ici, puisqu’on ne connait pas a priori la valeur de ℓ, on est obligé de supposer que 

f est continue sur tout R (ou sur un intervalle fermé contenant tous les termes de la suite à partir 

d’un certain rang). 

Attention ! Cet argument ne donne pas l’existence de la limite. Il faut pour cela utiliser un autre 

argument, par exemple en étudiant les variations de (un). 

1.2 Propriétés des suites réelles 

Par commodité, tous les théorèmes sont énoncés pour des propriétés vérifiées par les suites à partir 

du rang 0. Il est bien entendu que, les limites ne dépendant que des valeurs de la suite pour des 

indices « grands », les propriétés n’ont besoin d’être vérifiées qu’à partir d’un certain rang. 

1.2.1 Passage à la limite dans une inégalité 

Théorème 1.2.1 Soit (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites telles que : ∀n ∈ N, un vn. Alors, si 

(un)n∈N et (vn)n∈N admettent des limites dans R, lim 

n→+∞ un lim 

n→+∞ vn. 

Remarque 1.2.2 Avant de passer à la limite dans une inégalité, il faut avoir justifié soigneusement 

l’existence des limites. 

Remarque 1.2.3 Les inégalités strictes ne se conservent pas. 

1.2.2 Théorème d’encadrement 

Théorème 1.2.4 (théorème d’encadrement, ou « théorème des gendarmes »). Soit (un)n∈N, (vn)n∈N 

et (wn)n∈N trois suites réelles telles que : ∀n ∈ N, un vn wn. 

On suppose que (un)n∈N et (wn)n∈N convergent toutes deux vers une même limite finie ℓ. Alors 

(vn)n∈N converge, et lim 

n→+∞ vn = ℓ. 

Théorème 1.2.5 (théorème de minoration) Soit (un)n ∈ N et (vn)n∈N deux suites telles que pour 

tout n 0, un vn. 

1. Si (un)n∈N tend vers +∞, alors (vn)n∈N tend vers +∞. 

2. Si (vn)n∈N tend vers −∞, alors (un)n∈N tend vers −∞. 

Remarque 1.2.6 Les deux théorèmes ci-dessus donnent l’existence de la limite de(vn)n∈N. Il n’est 

pas utile de l’avoir justifiée avant. Attention à la rédaction de cet argument : l’existence 

de la limite doit bien clairement apparaître comme conséquence de ce théorème, et 

le symbole lim ne doit pas être utilisé trop tôt 

Remarque 1.2.7 Méthode de calcul de limites (dite par majoration/minoration) : 

• Si on parvient à trouver une majoration : ∀n 0, |un −ℓ| vn, où (vn)n∈N est une suite de 

limite nulle, alors (un)n∈N tend vers ℓ. 

• Si on parvient à minorer (un)n∈N par une suite de limite +∞, alors (un)n∈N tend vers +∞. 

• Si on parvient à majorer (un)n∈N par une suite de limite −∞ alors (un)n∈N tend vers −∞.

1.2 Propriétés des suites réelles 9 

(−1) 

Exemple 1.2.8 1. lim 

n→+∞ 

n 

nlnn 

1 

= 0 ; lim sin = 0 ; 

n→+∞ n 

2. lim 

n→+∞ nb a n = +∞ si a > 1 ; lim 

n→+∞ nb a n = 0 si |a| < 1 ; 

3. lim an 

n! 

= 0 ; 

Dans les exemples 2 et 3 apparaît une 

méthode très importante de comparaison avec une suite 

un+1 

géométrique : supposons que admette une limite ℓ, finie ou infinie. 

un 

n∈N 

• Si |ℓ| < 1, on peut majorer à partir d’un certain rang (|un|)n∈N par une suite géométrique de 

raison r telle que |r| < 1, donc (un)n∈N tend vers 0. 

• Si ℓ > 1, on peut minorer à partir d’un certain rang (un)n∈N par une suite géométrique de raison 

r > 1, donc (un)n∈N tend vers +∞. 

Ce petit raisonnement est à connaître imprétivement, et à refaire rigoureusement à chaque fois 

qu’on veut l’utiliser (sauf si on veut l’utiliser plusieurs fois dans une même copie, dans lequel cas on 

le fait bien une première fois, et les fois suivantes, on rappelle qu’on l’a déjà justifié correctement) 

Ce raisonnement sera très important notamment dans l’étude de la convergence de certaines séries. 

1.2.3 Suites monotones 

Théorème 1.2.9 Soit (un)n∈N une suite réelle. 

1. Si (un)n∈N est croissante et majorée, alors (un)n∈N converge dans R. 

2. Si (un)n∈N est décroissante et minorée, alors (un)n∈N converge dans R. 

3. Si (un)n∈N est croissante et non majorée, alors (un)n∈N tend vers +∞. 

4. Si (un)n∈N est décroissante et non minorée, alors (un)n∈N converge vers −∞ 

En particulier, toute suite monotone admet une limite (finie ou infinie). 

Remarque 1.2.10 Ce théorème est particulièrement utile pour établir la convergence de suites 

définies par une récurrence de type un+1 = f(un); la valeur de la limite est ensuite obtenue en 

résolvant ℓ = f(ℓ). 

1.2.4 Suites adjacentes 

Définition 1.2.11 Soit (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites réelles. On dit qu’elles sont adjacentes si 

et seulement si : 

1. l’une est croissante et l’autre décroissante ; 

2. (vn −un)n∈N tend vers 0. 

Lemme 1.2.12 Soit (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites adjacentes (avec (un)n∈N croissante et (vn)n∈N 

décroissante). Alors, pour tout n ∈ N, un vn. 

Théorème 1.2.13 (théorème des suites adjacentes) Soit (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites réelles 

adjacentes. Alors (un)n∈N et (vn)n∈N convergent, et lim 

n→+∞ un = lim 

n→+∞ vn. 

Corollaire 1.2.14 (théorème des intervalles emboîtés) Soit (In)n∈N une suite d’intervalles fermés 

bornés telle que pour tout n ∈ N, In+1 ⊂ In, et telle que la longueur des intervalles In tend 

vers 0. Alors 

In est un singleton. 

n∈N


1.3 Quelques types classiques de suite, à bien connaître 

Certains types de suite donnent lieu à des méthodes d’étude classiques, qu’il faut savoir mettre 

en pratique. Nous rappelons ici les résultats et méthodes les plus courants concernant un certain 

nombre de suites fréquemment rencontrées. 

1.3.1 Suites définies par une récurrence affine 

1.3.1.1 Suites géométriques : ∀n ∈ N, un+1 = aun 

Une récurrence immédiate amène : ∀n ∈ N, un = u0 ·a n . 

Limites : 

• lim 

n→+∞ un = 0 si |a| < 1 ; lim 

n→+∞ un = +∞ si a > 1 ; lim 

n→+∞ un = u0 si a = 1 ; 

• (un)n∈N n’a pas de limite si a −1 et u0 = 0. 

Sommes : 

• Si a = 1, 

• Si a = 1, 

n 

uk = u0 · 1−an+1 

; en particulier, 

1−a 

n 

uk = (n+1)u0. 

k=0 

• Si |a| < 1, lim 

• Si a 1, lim 

• Si a −1, 

n→+∞ 

k=0 

n 

a k = +∞, ce qu’on note : 

n 

k=0 

k=0 

n 

a 

n→+∞ 

k=0 

k = 1 

+∞ 

, ce qu’on note : 

1−a 

k=0 

+∞ 

n 

a k n’admet pas de limite. 

k=0 

k=0 

a k = 1−an+1 

1−a 

a k = 1 

1−a . 

a k = +∞. 

1.3.1.2 Suites arithmétiques : ∀n ∈ N, un+1 = un +b 

Une récurrence immédiate amène : ∀n ∈ N, un = u0 +bn. 

Limites : 

• lim 

n→+∞ un = +∞ si b > 0 ; lim 

n→+∞ un = −∞ si b < 0 ; lim 

n→+∞ un = u0 si b = 0 ; 

Sommes : Si b = 1, 

n 

k=0 

uk = (n+1)u0 +b· n(n+1) 

2 

1.3.1.3 Suites arithmético-géométriques : ∀n ∈ N, un+1 = aun +b, a = 1. 

En cherchant une suite géométrique (vn)n∈N telle que : ∀n ∈ N, vn = un − α, on trouve une 

explicitation de (un)n∈N : 

∀n ∈ N, un = a n 

 

u0 − b 

 

+ 

1−a 

b 

1−a . 

Ce résultat n’est pas à connaître : il faut savoir le retrouver ; on peut se souvenir, par exemple, que 

le réel α correspond au point fixe de la relation, et vérifier alors que (vn) est une suite géométrique, 

qu’on peut donc facilement expliciter.

1.3 Quelques types classiques de suite, à bien connaître 11 

1.3.2 Suites définies par une récurrence linéaire d’ordre k (k > 1) 

Soit k > 1. Soit (un)n∈N une suite (réelle ou complexe) définie par la donnée de k termes initiaux 

u0,...,uk−1 et par la relation de récurrence : 

∀n ∈ N, un+k = ak−1un+k−1 +···+a1un+1 +a0un. 

On définit le polynôme caractéristique P de cette relation de récurrence par : 

∀x ∈ R, P(x) = x k −ak−1x k−1 −···−a1x−a0. 

Théorème 1.3.1 (cas de racines simples) Si P admet exactement k racines distinctes 2 à 2 

(réelles ou complexes) r1,...,rk, alors il existe des complexes λ1,...,λk tels que : 

∀n ∈ N, un = λ1r n 1 +···+λkr n k = 

k 

i=1 

λir k i . 

Les complexes λ1,...,λk sont déterminés par les conditions initiales, par la résolution d’un système 

de k équations à k inconnes. 

Si les termes initiaux sont réels, alors bien sûr, la suite entière est réelle. Dans ce cas, si toutes les 

racines sont réelles, les coefficients λi sont réels aussi. En revanche, même dans le cas d’une suite 

réelle, on peut avoir des racines complexes. Dans ce cas, les coefficients λi seront complexes aussi, 

et conjugués pour les racines conjuguées. 

Théorème 1.3.2 (cas de racines multiples, pour k = 2) On suppose que k = 2, et que le polynôme 

du second degré P admet une racine double r = 0. Alors il existe des complexes λ et µ tels que : 

∀n ∈ N, un = (λ+µn)r n . 

Les complexes λ et µ sont déterminés pas les conditions initiales. 

1.3.3 Suites définies par une récurrence du type : ∀n ∈ N,un+1 = f(un) 

Définition 1.3.3 On dit qu’un intervalle I est stable par f si f est définie sur I et f(I) ⊂ I. 

Remarque 1.3.4 Pour que (un)n∈N soit bien définie, il suffit qu’il existe un intervalle I stable par 

f et un rang n0 tel que un0 ∈ I. En effet, alors, par une récurrence immédiate, pour tout n n0, 

un ∈ I, et comme f est définie sur I, un+1 est défini. 

Si f est définie sur R, il suffit de prendre I = R, qui est bien sûr stable pas f ! 

Si f est monotone (au moins sur un intervalle stable), on dispose de méthodes efficaces pour l’étude 

de la monotonie (une inégalité entre u0 et u1 se propage aux rangs suivants, éventuellement avec 

une alternance des inégalités en cas de décroissance) : 

Théorème 1.3.5 Soit I un intervalle stable par f, tel que u0 ∈ I. Alors si f est croissante sur 

I, (un)n∈N est monotone. 

Théorème 1.3.6 Soit I un intervalle stable par f, tel que u0 ∈ I. Alors si f est décroissante, 

(u2n)n∈N et (u2n+1)n∈N sont monotones de sens de variation opposé.


Ces deux théorèmes sont hors-programme. Il faut impérativement esquisser l’argument sur 

une copie, lors de la première utilisation. 

Dans des cas plus généraux, l’étude du signe de x ↦→ f(x)−x peut être utile, puisque un+1−un = 

f(un)−un. 

1.3.4 Suites définies implicitement 

Il s’agit de suites définies par une relation du type fn(un) = 0, où (fn)n∈N est une suite de 

fonctions. 

• Le fait que (un)n∈N soit bien définie (existence et unicité des termes un) provient souvent d’une 

étude de la monotonie stricte de fn, par l’utilisation du théorème de la bijection (éventuellement 

sur une restriction de fn) 

• La monotonie de (un)n∈N s’obtient souvent par l’étude du signe de fn(un+1) ou de fn+1(un). 

En effet, la comparaison entre fn(un+1) et fn(un) = 0 et la monotonie de fn (déjà étudiée dans 

le premier argument) permettent alors de comparer un et un+1. 

Voir les TD pour des exemples. 

1.4 Approximations et estimations 

1.4.1 Équivalents 

Nous nous restreignons au cas particulier (le plus fréquent) de suites ne s’annulant pas à partir 

d’un certain rang. 

Définition 1.4.1 Soit (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites telles que (vn)n∈N ne s’annule pas à partir 

un 

d’un certain rang N. Alors (un)n∈N et (vn)n∈N sont équivalentes si et seulement si vn nN tend 

vers 1. 

Remarque 1.4.2 1. Dans ce cas, (un)n∈N ne s’annule pas non plus à partir d’un certain rang. 

2. L’équivalence est une relation d’équivalence : reflexive, symétrique, transitive. 

Proposition 1.4.3 1. Si un ∼ 

+∞ vn, et si (un)n∈N converge vers ℓ (fini ou infini), alors (vn)n∈N 

converge, et sa limite est ℓ. 

2. La réciproque est fausse en générale. Si lim 

n→+∞ un = lim 

n→+∞ vn, on n’a pas forcément 

un ∼ vn. C’est vrai cependant si ℓ = 0, ℓ = −∞ et ℓ = +∞. 

+∞ 

Proposition 1.4.4 Si un ∼ 

+∞ u ′ n et vn ∼ 

+∞ v ′ n, alors unvn ∼ 

+∞ u ′ nv ′ n, et, si vn ne s’annule pas à 

partir d’un certain rang, un 

vn 

∼ 

+∞ 

u ′ n 

v ′ . 

n 

Exemple 1.4.5 Équivalents classiques, à connaître sur le bout des doigts : 

1. Si (un)n∈N tend vers 0, sin(un) ∼ 

+∞ un ; 

2. Si (un)n∈N tend vers 0, ln(1+un) ∼ 

+∞ un ; 

3. Si (un)n∈N tend vers 0, e un −1 ∼ 

+∞ un ;

1.4 Approximations et estimations 13 

4. Si (un)n∈N tend vers 0, cos(un)−1 ∼ +∞ − u2 n 

2 ; 

5. Si (un)n∈N tend vers 0, (1+un) a −1 ∼ +∞ aun (a = 0); 

6. Si (un)n∈N tend vers +∞, ln(un) ∼ 

+∞ ln(un +1) 

7. Si (un)n∈N tend vers +∞, u a n ∼ 

+∞ (un +1) a 

8. Si (un)n∈N tend vers une limite finie et non nulle ℓ, alors un ∼ 

+∞ un+1. 

ATTENTION ! ! ! 

1. NE PAS SOMMER DES ÉQUIVALENTS : si vous avez envie de faire une somme d’équivalents, 

reprenez la définition, ou utilisez les o définis dans le paragraphe suivant. C’est plus 

prudent, et cela vous évite de faire de grosses bêtises. 

2. NE JAMAIS APPLIQUER UNE FONCTION À UN ÉQUIVALENT. 

Cependant, vous pouvez élever un équivalent à une puissance constante, mais un mot de 

justification est bienvenu. 

3. Erreurs fréquentes : 

• 2un n’est pas équivalent à un (il faut tenir compte des constantes multiplicatives dans un 

équivalent, contrairement aux petit-o) 

• sivn = o(un) (voir plus loin pour la négligeabilité), on ne peut pas écrireunvn ∼ un. Cette 

+∞ 

erreur très fréquente provient d’une confusion provoquée par le fait qu’on dit souvent que 

« dans un équivalent, on peut négliger les négligeables », enn oubliant de préciser que 

ceci n’est valable qu’additivement, et non multiplicativement. Ainsi, dans les hypothèses 

ci-dessus, on peut écrire un +vn ∼ un 

+∞ 

Intérêt des équivalents : 

1. Comparer une suite à une suite de référence simple dont on connaît bien le comportement 

en +∞. Cela donne une estimation du comportement à l’infini (et notamment de la vitesse 

de convergence) de la suite initiale. 

2. Calculer des limites (cf TD). 

1.4.2 Négligeabilité (petit-o, vitesse de convergence) 

Définition 1.4.6 Soit (vn)n∈N une suite strictement positive. On dit que (un)n∈N 

est négligeable 

un 

devant (vn)n∈N si la suite tend vers 0. 

vn 

n∈N 

On note un = o(vn) ( « un est un petit-o de vn ») 

Définition 1.4.7 (hors-programme, mais parfois bien utile) Soit (vn)n∈N une suite strictement 

un 

positive. On dit que (un)n∈N est dominée par (vn)n∈N si la suite est bornée. 

On note un = O(vn) ( « un est un grand-O de vn ») 

Dans la suite, (un)n∈N, (vn)n∈N, (wn)n∈N et (xn)n∈N désignent quatre suites réelles. 

Proposition 1.4.8 1. un = o(1) si et seulement si (un)n∈N tend vers 0. 

2. un = O(1) si et seulement si (un)n∈N est bornée. 

3. Si (vn)n∈N est bornée et si un = o(vn), alors lim 

n→+∞ un = 0. 

vn 

n∈N


Proposition 1.4.9 Si vn > 0 à partir d’un certain rang, un ∼ 

+∞ vn si et seulement si un = 

vn +o(vn). 

Si vous voulez sommer des équivalents, utilisez cette écriture avec des petit-o, car les petit-o (de 

même nature) se somment, contrairement aux équivalents. 

Proposition 1.4.10 1. Si un = o(vn) et vn = o(wn), alors un = o(wn). 

2. Si un = o(vn) et vn ∼ 

+∞ wn, alors un = o(wn). 

3. Si un = o(wn) et vn = o(wn), alors un +vn = o(wn). 

4. Si un = o(wn) et vn = o(xn), alors unvn = o(wnxn). 

5. Si un = o(wn) et vn ∼ 

+∞ xn), alors unvn = o(wnxn). 

6. En particulier, wno(xn) = o(wnxn) 

(Les petit-o sont multiplicatifs : on peut rentrer ou sortir un facteur multiplicatif). 

Intérêt des o et O : 

Ils permettent de comparer la vitesse de convergence de deux suites vers leurs limites (en étudiant 

un −ℓ). On compare ainsi souvent la différence un −ℓ à une suite de référence de limite nulle, ou 

un à une suite de référence de limite +∞. 

1.4.3 Développements limités 

Les équivalents et les petit-o peuvent souvent s’obtenir à l’aide de développements limités, qui 

sont des approximations polynomiales au voisinage d’un point des fonctions. 

Rappel sur le calcul des développements limités : Les développements limités s’additionnent, 

se multiplient et se composent comme des polynômes. On peut ainsi obtenir la plupart 

des développements limités souhaités à partir du développement limité des fonctions usuelles. 

Attention à vérifier que le terme par lequel vous composez a la bonne limite. Par exemple, si un 

tend vers 1, vous ne pouvez pas utilier le DL au voisinage de 0 de l’exponentielle pour obtenir un 

DL de e un . En revanche, e un = ee un−1 , et comme un −1 → 0, vous pouvez maintenant composer 

les DL. Des petites astuces de ce type sont possibles dans la plupart des DL classiques, par exemple 

en mettant la constante en facteur, ou en utilisant des formules de trigonométrie. 

Attention à l’ordre de votre développement limité lors des additions, multiplications et compositions 

: 

• On additionne seulement des développements limités de même ordre. L’ordre de la somme est 

l’ordre commun des deux membres. 

• En multipliant un DL à l’ordrenet un DL à l’ordrem, on n’obtient pas un DL à l’ordren+m. 

Même si on obtient « des » termes d’ordre allant jusqu’à n+m, on n’obtient pas nécessairement 

ainsi tous « les » termes. Par exemple un terme d’ordre n+m pourra être obtenu en multipliant 

les termes d’ordre n et d’ordre m (c’est le seul qui sera compté), mais aussi en multipliant un 

terme d’ordre n+1 et un terme d’ordre m−1 (celui-ci sera oublié), ou de beaucoup d’autres 

façons. 

Pour être certain d’obtenir tous les termes du DL d’un produit à l’ordre p, il faut aller jusqu’à 

ce même ordre p pour chacun des termes du produit (ou au moins jusqu’à l’ordre p −v, où v 

est la valuation du DL de l’autre membre, c’est-à-dire le degré minimal dans le DL)

1.4 Approximations et estimations 15 

• De même pour la composition : le fait d’obtenir « des » termes de degré nm en composant un 

DL d’ordre m par un DL d’ordre n ne permet pas d’affirmer qu’on a tous les termes du DL 

d’ordre nm. 

DL classiques au voisinage de 0, à connaître par coeur et sans hésitation : 

(1+x) α , 

1 

1+x , 

1 

, exp, ln, cos, sin (voir le cours de première année pour les formules) 

1−x 

Il est utile de connaître par coeur le DL explicite de (1 + x) α pour α = 1 

2 

l’ordre 2, voire l’ordre 3, afin d’accélérer certains calculs : 

• √ 1+x = 1+ x x2 x3 

− + 

2 8 16 +o(x3 ) 

1 

• √ = 1− 

1+x x 3x2 5x3 

+ − 

2 8 16 +o(x3 ). 

et α = −1 

2 , jusqu’à 

Le développement de la tangente est hors-programme, et doit théoriquement être retrouvé en 

quotientant les DL du sinus et du cosinus. En cas de manque de temps, il peut tout de même être 

utile de connaître les premiers termes : 

au voisinage de 0, tanx = x+ x3 

3 +o(x3 ). 

Enfin, le développement de l’Arctan est hors-programme, et s’obtient en « intégrant » le DL de 

1 

1+x 2. Aucun résultat d’intégration n’étant donné au programme pour les DL, il faut le justifier 

en revenant à la formule de Taylor-Young : le DL de 1 

1+x 2 (obtenu par composition) fournit les 

dérivées successives en 0 de x ↦→ 1 

1+x 2 donc aussi les dérivées successives (avec un décalage de 

l’ordre) de x ↦→ Arctanx. En utilisant de nouveau la formule de Taylor-Young pour l’arctangente 

cette fois, on obtient, après avoir explicité un peu les calculs : 

au voisinage de 0, Arctanx = x− x3 

3 

+ x5 

5 

+···+(−1)p x2p+1 

2p+1 +o(x2p+2 ). 

Sauf en cas flagrant de manque de temps, esquissez cet argument. Faites au minimum référence à 

la formule de Taylor-Young.

16 Analyse – Chapitre 1. Suites numériques : révisions


Séries numériques : révisions 

2.1 Notion de série et de convergence 

2.1.1 Définitions 

Définition 2.1.1 • Une série (à termes dans R ou C) est la donnée d’une suite (un)n∈N appelée 

terme général de la série. Le point de vue diffère de celui adopté pour les suites dans la mesure 

où on s’intéresse à la somme des termes de (un)n∈N. Ainsi, on note un ou 

un la série de 

terme général (un)n∈N. 

• Soit un une série. Soit n ∈ N. La n-ième somme partielle Sn de un est : Sn = 

n∈N 

n 

uk. 

Cela définit la suite des sommes partielles (Sn)n∈N. 

• On dit que la série de terme général (un)n∈N converge si la suite (Sn)n∈N admet une limite finie. 

On note alors 

+∞ 

n=0 

un = lim 

n→+∞ Sn. 

Cette quantité est appelée somme de la série de terme général (un)n∈N. 

• Une série non convergente est dite divergente. En particulier, si (Sn)n∈N tend vers +∞, la série 

 

+∞ 

un diverge vers +∞, et on écrit un = +∞. 

n=0 

Toute série divergente ne diverge pas vers +∞ ou −∞ ! 

• Soit 

n∈N un une série convergente, et soit n ∈ N. Le n-ième reste de la série est : 

rn = 

+∞ 

k=n+1 

+∞ 

uk = uk −Sn. 

• La nature de la série un est le fait d’être convergente ou divergente. 

Attention à ne pas confondre suite (un)n∈N et série de terme général (un)n∈N. 

Remarque 2.1.2 Ces définitions s’étendent bien sûr à des séries 

N étant un entier positif quelconque. 

k=0 

nN 

k=0 

un, de terme général(un)nN,

18 Analyse – Chapitre 2. Séries numériques : révisions 

Exemple 2.1.3 Séries géométriques (résultat à savoir par cœur) 

Soit a ∈ C. La série a n converge si et seulement si |a| < 1 ; dans ce cas, 

Exemple 2.1.4 Série de Riemann de paramètre 1. La série 

n1 

1 

n 

+∞ 

n=0 

a n = 1 

1−a . 

est divergente. 

Remarque 2.1.5 • La convergence de la série un équivaut à la convergence de la suite(Sn)n∈N. 

• La convergence de la suite (un)n∈N équivaut à la convergence de la série (un+1 −un). C’est 

un moyen pratique de démontrer la convergence de certaines suites, en utilisant les techniques 

spécifiques et performantes des séries. 

2.1.2 Propriétés liées à la convergence 

Soit (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites. 

Proposition 2.1.6 Si (un)n∈N et (vn)n∈N ne diffèrent que d’un nombre fini de termes, alors 

un et vn sont de même nature. 

Théorème 2.1.7 Si un converge, alors (un)n∈N tend vers 0. De manière équivalente, si(un)n∈N 

ne tend pas vers 0, alors un diverge. 

Définition 2.1.8 Si (un)n∈N ne tend pas vers 0, on dit que un diverge grossièrement. 

Remarque 2.1.9 La réciproque est fausse. Par exemple 1 

n diverge alors que son terme 

général tend vers 0. Ainsi, toute série divergente n’est pas forcément grossièrement divergente. 

Proposition 2.1.10 Soit λ et µ deux complexes. 

1. Si un et vn convergent, alors (λun +µvn) converge, et : 

+∞ 

n=0 

(λun +µvn) = λ 

+∞ 

n=0 

+∞ 

un +µ 

n=0 

2. Si un converge et vn diverge, alors (un +vn) diverge. 

3. Si un et vn divergent, on ne peut rien conclure sur un +vn. 

2.1.3 Types de convergence 

Soit un une série. 

Types de convergence 

• On dit que un converge absolument si la série |un| est convergente. 

Théorème 2.1.11 Toute série réelle ou complexe absolument convergente est convergente. 

• Si un est convergente sans être absolument convergente, on dit que la série est semi-convergente. 

Types de divergence 

vn.

2.2 Séries à termes positifs 19 

• Si (un)n∈N ne tend pas vers 0, on dit que un diverge grossièrement. 

• Comme dit plus haut, une série peut être divergente sans être grossièrement divergente. 

Comme nous allons le voir, on dispose de moyens efficaces pour déterminer la convergence des 

séries à termes positifs. Ainsi, la démarche générale à suivre pour l’étude des séries est : 

1. Calculer si cela ne présente pas une difficulté excessive la limite de (un)n∈N pour étudier 

l’éventuelle divergence grossière. 

2. Étudier la convergence de |un|, c’est-à-dire la convergence absolue de un. 

3. Si |un| diverge, essayer d’obtenir la convergence (ou la divergence) par d’autres méthodes, 

plus spécifiques aux séries à termes quelconques (par exemple par la méthode des séries 

alternées). 

2.2 Séries à termes positifs 

Dans tout ce paragraphe, sauf indication contraire, on considère des séries un, où pour tout 

n ∈ N, un 0. On peut transcrire facilement tout ce qui suit : 

• au cas où : ∃N ∈ N, ∀n N, un 0 ((un)n∈N est positive à partir d’un certain rang). 

• au cas d’une série à termes tous négatifs. 

2.2.1 Comparaisons entre séries à termes positifs 

Proposition 2.2.1 Soit un une série à termes positifs. Alors soit un converge, soit elle 

diverge vers +∞. 

Théorème 2.2.2 (Théorème de comparaison des séries à termes positifs, TCSTP) 

Soit un et vn deux séries à termes positifs telles qu’il existe N ∈ N tel que pour tout n N, 

0 un vn. Alors : 

1. si vn converge, un converge aussi; 

2. si un diverge, vn diverge aussi. 

De plus, si la divergence est grossière pour un, elle l’est aussi pour vn. 

Corollaire 2.2.3 Soit un une série à termes quelconque, et vn une série à termes positifs. 

On suppose que un = O(vn). Alors si vn converge, la série un converge absolument. 

Le cas où un = o(vn) est un cas particulier de ce théorème. 

Théorème 2.2.4 (Théorème de comparaison de séries à termes positifs équivalents) 

Soit un et vn deux séries à termes positifs. Si un ∼ vn, alors les séries 

+∞ un et vn sont 

de même nature. 

Remarque 2.2.5 Contre-exemple dans le cas de séries à termes quelconques : (−1) n 

√ n converge 

et (−1) n 

√ n+(−1) n 

diverge. Pourtant : (−1)n 

√ n ∼ 

+∞ 

(−1) n 

√ n+(−1) n .


2.2.2 Comparaison entre une série et une intégrale 

Théorème 2.2.6 (Théorème de comparaison entre série et intégrale) 

Soit a ∈ R+ et soit f : [a,+∞[→ R une fonction continue décroissante et positive. Alors 

converge si et seulement si x ↦→ 

x 

Théorème 2.2.7 (Nature des séries de Riemann) 

Soit α ∈ R. La série 1 

converge si et seulement si α > 1. 

nα n1 

Cette série est appelée série de Riemann de paramètre α. 

a 

f(t) dt admet une limite finie lorsque x tend vers +∞. 

Exemple 2.2.8 Un autre exemple de comparaison : séries de Bertrand de paramètres 1 et β. 

Soit β ∈ R. Alors la série 1 

nln β converge si et seulement si β > 1. 

n 

2.2.3 Comparaison avec une série de Riemann 

Théorème 2.2.9 (Règle de Riemann, ou règle « n α un », HP, méthode à connaître) 

Soit un une série à termes positifs. 

1. S’il existe α > 1 tel que la suite (n α un)n∈N est bornée (par exemple si elle admet une limite 

nulle), alors un converge. 

2. Si (nun)n∈N est minorée à partir d’un certain rang par un réel k > 0 (par exemple si (nun) 

admet une limite infinie), alors un diverge. 

Comme la méthode est à reproduire à chaque fois, je développe avec toutes les précisions nécessaires 

un exemple ci-dessous. 

Exemple 2.2.10 Soit (α,β) ∈ R 2 , et 1 

n α ln β n 

1 

suppose que α > 1. On note pour tout n 2, un = 

nαln β n . 

Comme α > 1, on peut trouver un réel α ′ tel que 1 < α ′ < α. Alors : 

∀n 2, n α′ 

un = 

na 

f(n) 

la série de Bertrand de paramètre (α,β). On 

1 

n α−α′ ln β n . 

D’après les croissances comparées, la suite (n α′ 

un)n2 tend vers0. Ainsi, par définition des petit-o, 

 

1 

un = o 

nα′ 

. 

De plus, 

un est à termes positifs. Donc, d’après le corollaire du TCSTP, on en déduit que un 

n2 

converge, puisque 1 

nα′ est une série de Riemann de paramètre α′ > 1, donc convergente. 

De même que si α < 1, la série un diverge. En effet, soit α ′ tel que α < α ′ < 1. On a de même 

que plus haut, du fait des croissances comparées, 1 

n = o(un). Ainsi, si un convergeait, il en 

serait de même de 1 

n , d’où une contradiction. Il en résulte que un diverge.

2.2 Séries à termes positifs 21 

2.2.4 Comparaison avec une série géométrique 

Théorème 2.2.11 (Règle de d’Alembert, hors-programme, méthode à retenir) 

Soit 

un+1 

un une série à termes quelconques. On suppose que est définie à partir d’un 

un 

certain rang, et admet une limite ℓ. Alors : 

1. Si 0 ℓ < 1, alors un converge absolument. 

2. Si ℓ > 1, alors un diverge grossièrement. 

3. Si ℓ = 1, on ne peut pas conclure par cette méthode. 

La méthode étant plus importante que le résultat, j’expose ici un exemple aussi complètement que 

possible. 

Exemple 2.2.12 Soit z ∈ C. Alors zn converge absolument. 

n! 

En effet, soit pour tout n ∈ N, un = zn 

. Alors, pour tout n ∈ N : 

n! 

 

un+1 

 

un 

= 

 

 

 

z 

 

n+1 n! 

· 

(n+1)! zn 

 

 

|z| 

= 

n+1 . 

 

un+1 

Ainsi, lim 

 

n→+∞ 

un 

1 

= 0. Par définition des limites (en prenant ε = 2 ) : 

∃N ∈ N, ∀n N, 

Soit (vn)nN la suite définie par : 

 

 

 

 

un+1 

un 

 

 

 

 

1 

2 , donc |un+1| 1 

2 |un|. 

vN = |uN|, et ∀n N, vn+1 = 1 

2 vn. 

Alors, (vn)nN est une série géométrique de raison 1 

2 , donc vn converge. De plus, on montre 

nN 

par récurrence sur n N que |un| vn : 

Initialisation : vN = |uN|, donc |uN| vN. 

Hérédité : Soit n N tel que |un| vn. Alors |un+1| 1 

2 |un| 1 

2 vn = vn+1. 

D’après le principe de récurrence, pour tout n N, |un| vn. Ainsi, d’après le TCSTP, la série 

|un| converge, donc un converge absolument. 

Théorème 2.2.13 Pour tout z ∈ C, 

+∞ 

n=0 

z n 

n! = ez . 

C’est d’ailleurs souvent comme cela que l’on définit l’exponentielle. 

Théorème 2.2.14 (Formule du binôme négatif, à connaître) 

Pour tout z ∈ C tel que |z| < 1, et tout p ∈ N ∗ , 

1 

= 

(1−z) p 

+∞ 

n=0 

De plus, cette série est alors absolument convergente 

 

n+p−1 

z 

n 

n .


Cette identité est bien sûr aussi vrai pour p ∈ Z− puisqu’il ne s’agit alors de rien d’autre que de 

la formule du binôme de Newton dans ce cas. 

Remarquez que cette formule ne dit rien d’autre que le fait qu’on peut dériver la série géométrique 

termes à termes. Attention, c’est a priori la seule série de fonctions que vous puissiez dériver 

termes à termes, la justification en étant cette formule. 

2.3 Étude de la semi-convergence 

Aucun résultat théorique n’est à connaître concernant l’étude de la semi-convergence. Je donne 

tout de même le résultat suivant, à ne pas utiliser tel quel (mais la méthode est à savoir mettre 

en application). 

Théorème 2.3.1 (Théorème spécial de convergence des séries alternées, TSCSA, HP) 

Soit (an)n∈N une suite décroissante de limite nulle. Alors (−1) n an converge. 

Je développe entièrement un exemple ci-dessus, pour illustrer la méthode (à connaître). 

Exemple 2.3.2 Montrons que la série (−1) n 

converge. 

n 

n1 

Soit pour tout n ∈ N∗ , an = 1 

n . Alors (an)n∈N est décroissante de limite nulle. Notons (Sn)n∈N∗ les sommes partielles de la série (−1) nan. Montrons que les suites (S2n)n∈N∗ et (S2n+1)n∈N sont 

adjacentes. 

• ∀n ∈ N∗ , S2n+2 −S2n = (−1) 2n+2a2n+2 +(−1) 2n+1a2n+1 = a2n+2 −a2n+1 0, car (an)n∈N∗ est décroissante ; donc (S2n)n∈N∗ est décroissante. 

• ∀n ∈ N, S2n+3 −S2n+1 = (−1) 2n+3a2n+3 +(−1) 2n+2a2n+2 = a2n+2 −a2n+3 0, car (an)n∈N∗ est décroissante ; donc (S2n+1)n∈N est croissante. 

• ∀n ∈ N∗ , S2n+1 −S2n = (−1) 2n+1a2n+1 = −a2n+1, ainsi, lim 

n→+∞ S2n+1 −S2n = 0. 

Les suites (S2n)n∈N∗ et (S2n+1)n∈N sont donc adjacentes, donc convergent vers une même limite ℓ. 

Ainsi, étant donné ε > 0, par définition de la limite des suites, 

∃N1, ∀n N1, |S2n −ℓ| < ε et ∃N2, ∀n N2, |S2n+1 −ℓ| < ε. 

Par conséquent, ∀n 2max(N1,N2), |Sn − ℓ| < ε, ce qui montre la convergence de (Sn)n∈N ∗. 

Ainsi (−1) n an converge.


Intégrales impropres 

Soit a et b deux réels tels que a < b. 

Rappel : Si f est continue sur [a,b], alors f est intégrable sur [a,b], et on peut donc donner un 

sens à 

b 

a 

f(t) dt. De même si f est seulement continue par morceaux sur [a,b]. 

But : Donner un sens, lorsque cela est possible, à 

b 

a 

f(t) dt lorsque f n’est définie (et continue) 

que sur]a,b[,aetbpouvant éventuellement être infinis. On parle d’intégrale impropre (ou intégrale 

généralisée) 

3.1 Rappel sur les intégrales définies 

3.1.1 Définition de l’intégrale 

On rappelle qu’une fonction f admet une intégrale si quelque soit la manière d’approcher de plus 

en plus finement f par des fonctions en escalier, on obtient une même valeur limite de l’aire des 

rectangles définis par ces fonctions en escaliers. On définit alors l’intégrale de f comme étant cette 

valeur limite. 

Il faut retenir l’idée de cette construction par approximations, mais les détails techniques peuvent 

être oubliés. 

Le résultat essentiel d’existence des intégrales est le suivant : 

Théorème 3.1.1 Tout fonction continue (ou au moins continue par morceaux) sur un intervalle 

[a,b] est intégrable. 

On rappelle qu’une fonction est continue par morceaux si elle est continue, sauf en un nombre fini 

de points, et qu’en ces points, elle admet une limite à gauche et une limite à droite finies (cette 

hypothèse sur les limites à gauche et à droite est souvent oubliée...) 

De la construction de l’intégrale découle un résultat important qui est à connaître ; il est, dans 

certains cas, le seul moyen abordable pour calculer la limite de certaines suites :

24 Analyse – Chapitre 3. Intégrales impropres 

Théorème 3.1.2 (Sommes de Riemann) Soit f une fonction intégrable sur [a,b]. Alors : 

b 

a 

 

f 

n−1 

b−a 

f(x) dx = lim 

n→+∞ n 

k=0 

 

a+k b−a 

 

b−a 

= lim 

n n→+∞ n 

On utilise souvent ce théorème sur l’intervalle [0,1] : cela s’écrit alors : 

1 

0 

 

f 

n−1 

1 

f(x) dx = lim 

n→+∞ n 

k=0 

3.1.2 Propriétés de l’intégrale 

Les propriétés à retenir de l’intégrale sont les suivantes : 

Proposition 3.1.3 (Propriétés de l’intégrale) 

 

k 1 

= lim 

n n→+∞ n 

n 

f 

k=1 

n 

f 

k=1 

 

k 

. 

n 

 

a+k b−a 

 

. 

n 

• Additivité par rapport aux bornes – relation de Chasles : 

Soit f une fonction intégrable sur [a,b] et c ∈]a,b[. Alors f est intégrable sur [a,c] et sur [c,b], 

et : 

b 

a 

f(x) dx = 

c 

a 

f(x) dx+ 

b 

c 

f(x) dx. 

• Linéarité : 

L’ensemble Int([a,b]) des fonctions intégrables sur [a,b] est un espace vectoriel. 

De plus, 

[a,b] : Int([a,b]) −→ R est une forme linéaire sur l’espace vectoriel Int([a,b]). Autrement 

dit, pour toutes fonctions intégrables f et g, et tout réel λ, on a : 

b 

a 

(f(x)+λg(x)) dx = 

b 

a 

f(x)+λ 

b 

a 

g(x) dx. 

• Positivité, ou croissance, de l’intégrale : 

Soit f et g deux fonctions intégrables sur [a,b] telles que pour tout x ∈ [a,b], f(x) g(x). Alors : 

b 

a 

f(x) dx 

b 

En particulier, si f est intégrable sur [a,b] et positive, 

• Stricte positivité de l’intégrale : 

a 

g(x) dx. 

b 

a 

f(x) dx 0. 

Soit f une fonction continue sur [a,b], positive et non identiquement nulle. Alors 

En contraposant et en utilisant la positivité (c’est le plus souvent ainsi qu’on l’utilise) : 

Si f est une fonction continue et positive, telle que 

b 

a 

b 

a 

f(t) dt > 0. 

f(t) dt = 0, alors f est identiquement 

nulle sur [a,b]. 

• Majoration, ou inégalité triangulaire 

Soit f une fonction intégrable sur [a,b]. Alors |f| est intégrable sur [a,b], et : 

 

 

 

 

 

b 

a 

 

 

 

f(x) dx 

 

b 

a 

|f(x)| dx.

3.1 Rappel sur les intégrales définies 25 

3.1.3 Calcul des intégrales – Primitives 

Le calcul des intégrales est basé essentiellement sur la notion de primitive, du fait du résultat 

fondamental suivant : 

Théorème 3.1.4 Soit I un intervalle et f : I → R une fonction continue sur R. Alors f admet 

une primitive sur I. 

De plus, soit x0 ∈ I et y0 ∈ R. L’unique primitive F de f telle que F(x0) = y0 est : 

On en déduit : 

∀x ∈ I, F(x) = y0 + 

x 

x0 

f(t) dt. 

Théorème 3.1.5 (Théorème fondamental du calcul des intégrales) 

Soit f intégrable et continue sur [a,b]. Soit F une primitive de f. Alors : 

b 

a 

f(t) dt = F(b)−F(a). 

Ce théorème est à la base des deux grandes techniques (outre le calcul directe à l’aide d’une 

primitive) permettant de calculer des intégrales : 

Théorème 3.1.6 (Intégration par parties) Soit f,g deux fonctions de classe C1 sur [a,b]. 

Alors : b 

f ′ b (x)g(x) dx = f(x)g(x) 

a − 

b 

f(x)g ′ (x) dx. 

a 

Théorème 3.1.7 (Changement de variables) Soit f une fonction continue sur [α,β], et u 

une fonction de classe C 1 de [a,b] vers [α,β]. Alors f est intégrable entre u(a) et u(b), et : 

u(b) 

u(a) 

f(x) dx = 

b 

On dit qu’on a fait le changement de variable x = u(t). 

a 

a 

f(u(t))u ′ (t) dt. 

Le théorème fondamental du calcul des intégrales permet également l’étude de fonctions définies 

à l’aide d’intégrales, la dépendance s’effectuant au niveau des bornes, via le théorème suivant : 

Théorème 3.1.8 (Dérivation d’intégrales dépendant de leurs bornes) 

Soit I et J deux intervalle Soit u et v deux fonctions de classe C1 de I dans J, et soit f une 

fonction continue sur J. Soit G la fonction définie par : ∀x ∈ I, G(x) = 

v(x) 

Alors G est de classe C 1 sur I, et : ∀x ∈ I, G ′ (x) = v ′ (x)f(v(x)) −u ′ (x)f(u(x)). 

u(x) 

f(t) dt. 

Ce théorème permet par exemple de montrer que l’intégrale d’une fonction T-périodique sur un 

intervalle de longueur T ne dépend pas de cet intervalle. 

Le théorème fondamental du calcul des intégrales montre l’importance de la notion de primitive 

pour le calcul des intégrales, la capacité à calculer une intégrale étant fortement liée à la capacité 

de trouver une primitive. Il est donc indispensable de reconnaître rapidement les fonctions que l’on


sait primitiver directement. Une telle habitude est aussi indispensable pour exploiter correctement 

la méthode de l’intégration par parties. Je rappelle donc ici les primitives classiques. Ce tableau 

est à connaître parfaitement. 

f(x) F(x) I f F 

0 0 R 

a ∈ R ax R 

xp , p ∈ N 

xp+1 p+1 

R u ′ up up+1 x 

p+1 

p+1 

x p , p ∈ Z ∗ − \{−1} 

x p , p ∈ R\{−1} 

1 

x 

p+1 

xp+1 p+1 

R ∗ + ou R ∗ − 

R ∗ + 

ln|x| R ∗ + ou R∗ − 

u ′ 

u 

ln|u| 

e x e x R u ′ e u e u 

sinx −cosx R u ′ sinu −cosu 

cosx sinx R u ′ cosu sinu 

1 

1+x 2 Arctanx R 

3.2 Notion d’intégrale impropre 

u ′ 

1+u 2 

Arctanu 

Nous cherchons maintenant à définir la notion d’intégrale pour une fonction qui ne serait pas 

continue (ni même définie) sur tout l’intervalle d’intégration. 

3.2.1 Cas des fonctions définies sur un intervalle semi-ouvert 

Définition 3.2.1 Soit f une fonction continue sur un intervalle [a,b[, où soit b est un réel tel que 

b > a, soit b = +∞. 

1. On dit que l’intégrale de f sur [a,b[ est convergente si la fonction F définie sur [a,b[ par : 

∀x ∈ [a,b[, F(x) = 

x 

a 

f(t) dt 

admet une limite finie lorsque x tend vers b − . Dans ce cas, on note 

b 

a 

f(t) dt = lim 

x→b− F(x) = lim 

x→b− x 

a 

f(t) dt. 

2. On dit que l’intégrale de f sur [a,b[ est divergente si F n’admet pas de limite finie en b − . 

On note également 

b 

a 

f(t) dt l’objet abstrait « intégrale impropre », mais on ne peut pas 

associer de valeur à cette notation. On dit que l’intégrale 

b 

a 

f(t) dt diverge. 

3. Dans le cas particulier où F tend vers +∞ en b − , on s’autorisera à écrire : 

b 

a 

f(t) dt = +∞. 

4. Dans tous les cas (convergence ou divergence), on appelle 

généralisée). 

b 

a 

f(t) dt intégrale impropre (ou

3.2 Notion d’intégrale impropre 27 

5. On dit quebest un point d’impropriété de l’intégrale généralisée 

b 

a 

f(t) dt admet une impropriété en b. 

On définirait de la même façon une intégrale impropre 

b 

a 

b 

a 

f(t)dt, ou que l’intégrale 

f(t) dt d’une fonction continue sur 

l’intervalle semi-ouvert]a,b], admettant donc une impropriété en a, ainsi que les notions de convergence 

et de divergence associées. 

Proposition 3.2.2 Soit b = +∞, et soit f une fonction continue sur [a,b[, admettant une limite 

finie en b. Notons ˜ f le prolongement par continuité de f sur [a,b]. Alors l’intégrale 

convergente, et 

On dit dans ce cas que l’intégrale 

b 

a 

b 

a 

f(t) dt = 

b 

a 

˜f(t) dt. 

f(t) dt est faussement impropre en la borne b. 

b 

a 

f(t) dt est 

Remarque 3.2.3 Attention à ne pas parler d’intégrale faussement impropre en une borne infini : 

cela n’a pas de sens, la fonction ne pouvant pas être prolongée par continuité en +∞ ou −∞. 

D’ailleurs, la proposition entre en défaut dans ce cas, puisque l’existence d’une limite finie en +∞ 

n’assure pas la convergence de l’intégrale en +∞. Au contraire, puisque l’existence d’une limite 

finie non nulle assure la divergence (par comparaison à une intégrale de Riemann, on obtient 

f(x) = o(1) = o(x 0 ), voir plus loin pour l’étude des intégrales de Riemann et l’étude des critères 

de comparaison). 

Exemples 3.2.4 1. 

2. 

3. 

+∞ 

0 

1 

0 

sint 

t 

+∞ 

sint dt est divergente. 

dt est convergente. 

0 

e −t dt = 1. 

Théorème 3.2.5 (Propriétés de convergence des intégrales de Riemann) 

1. Intégrales de 

 

Riemann en +∞ : 

+∞ 

dt 

L’intégrale converge si et seulement si α > 1. 

tα 1 

2. Intégrales de Riemann en −∞ : 

L’intégrale 

−1 

−∞ 

dt 

= 

(−t) α 

−1 

−∞ 

dt 

converge si et seulement si α > 1. 

|t| α 

3. Intégrales de Riemann en a + ∈ R (a < b) 

b 

dt 

L’intégrale converge si et seulement si α < 1 

(t−a) α 

a 

4. Intégrales de Riemann en b− ∈ R (a < b) 

b 

dt 

L’intégrale converge si et seulement si α < 1 

(b−t) α 

a


Cas particulier : soit b > 0, 

Un dernier exemple : 

b 

0 

dt 

converge si et seulement si α < 1. 

tα Exemple 3.2.6 Soit f : [1,+∞[→ R, définie sur tout intervalle [n,n+1] (n ∈ N∗ ) par : 

• f(x) = 0 si x ∈ n+ 1 1 1 1 

2 − 2n3,n+ 2 + 2n3 

; 

• f(x) = 2n4x−n− 1 

 

1 1 1 

2 +n si x ∈ n+ 2 − 2n3,n+ 2 ; 

• f(x) = −2n4x−n− 1 

 

1 1 1 

2 +n si x ∈ n+ 2 ,n+ 2 + 2n3 

. 

+∞ 

Alors, f(t)dt est convergente, maisf ne tend pas vers0 en+∞ (elle n’est même pas majorée, 

1 

puisque la suite f n+ 1 

 

2 n∈N∗ tend vers +∞). Ainsi, le fait que f ne tende pas vers 0 en +∞ 

ne suffit pas à obtenir la divergence d’une intégrale, même si f est positive. C’est une différence 

importante par rapport à la convergence des séries. 

Définition 3.2.7 Soit f une fonction continue sur [a,b[ telle que 

(= la fonction « reste ») de l’intégrale 

b 

a 

b 

a 

f(t) dt converge. Le reste 

f(t) dt est la fonction R définie pour tout x ∈ [a,b[ par : 

R(x) = 

b 

x 

f(t) dt. 

Proposition 3.2.8 Soit f continue sur [a,b[ telle que 

vers 0 en b : 

lim 

x→b − 

b 

x 

b 

a 

f(t) dt = 0. 

f(t) dt converge. Alors son reste tend 

Proposition 3.2.9 Soit f continue sur [a,b[, F une primitive (quelconque) de f. Alors 

converge si et seulement si F admet une limite en b − , et dans ce cas, 

b 

a 

f(t) dt = lim 

x→b F(x)−F(a). 

Cela s’adapte bien entendu pour les fonctions continues sur ]a,b]. 

3.2.2 Cas d’une fonction continue sur un intervalle ouvert 

b 

a 

f(t) dt 

Définition 3.2.10 Soit f une fonction continue sur un intervalle ouvert ]a,b[. Soit c un point 

quelconque de ]a,b[. On dit que l’intégrale de f sur ]a,b[ est convergente si chacune des intégrales 

c 

a 

f(t) dt et 

b 

c 

f(t) dt est convergente. On pose alors 

b 

a 

f(t) dt = 

c 

a 

f(t) dt+ 

b 

c 

f(t) dt. 

Proposition 3.2.11 Ni la notion de convergence, ni la valeur de l’intégrale en cas de convergence, 

ne dépendent du choix de c dans ]a,b[.

3.2 Notion d’intégrale impropre 29 


+∞ 

0 

dt 

diverge pour tout α ∈ R. 

tα 2. Dissociez l’étude des deux bornes de l’intégrale ! Exemple : 

+∞ 

−∞ 

sint dt. 

Proposition 3.2.13 Soit f continue sur ]a,b[, et F une primitive de f sur ]a,b[. Alors 

converge si et seulement si F admet une limite finie en a et en b. Dans ce cas, 

b 

a 

limb f(t) dt = lim F(x)− lim F(x) = F(x) 

x→b x→a lima 

Attention à bien justifier l’existence des limites de F avant d’écrire cette égalité. 

Exemple 3.2.14 Calcul de 

+∞ 

−∞ 

dt 

. 

1+t 2 

3.2.3 Cas d’une fonction continue sur une union d’intervalles ouverts 

Définition 3.2.15 Soit −∞ a0 < a1 < ··· < an +∞. 

Soit f continue sur ]a0,an[\{a1,...,an} =]a0,a1[∪]a1,a2[∪···∪]an−1,an[. 

On dit que l’intégrale 

an 

a0 

f(t) dt converge si et seulement si chacune des intégrales ai 

b 

a 

ai−1 

f(t) dt 

f(t) dt, 

i ∈ [1,n], converge. On est donc ramené à l’étude de n intégrales impropres en chacune de leurs 

deux bornes, donc à l’étude de la convergence en 2n bornes (les deux bornes extrêmes, et pour 

chacune des n − 1 bornes intermédiaire, l’étude à droite et à gauche de cette borne). En cas de 

convergence, on définit : 

an n 

ai 

f(t) dt = f(t) dt. 

On dit que l’intégrale impropre 

a0 

an 

a0 

i=1 

ai−1 

f(t) dt admet des imrpopriétés en a0,a1,...,an. 

Corollaire 3.2.16 Soit f une fonction continue par morceaux sur [a,b], c’est-à-dire telle qu’il 

existe a0 = a < a1 < ··· < an−1 < an = b tels que f soit continue sur chaque ]ai−1,ai[, i ∈ [1,n], 

et tels que f admette une limite à droite en tout ai, i ∈ [0,n−1], et une limite à gauche en tout 

ai, i ∈ [1,n]. Alors 

b 

a 

f(t) dt converge. 

Proposition 3.2.17 Soit a = a0 < a1 < ··· < an = b et soit f continue sur ]a0,a1[∪]a1,a2[∪···∪]an−1,an[, 

et F une primitive de f sur cet ensemble. Alors 

b 

a 

f(t) dt converge si et seulement si F admet 

des limites à droite en tout ai, i ∈ [0,n−1], et des limites à gauches en tout ai, i ∈ [1,n], et dans 

ce cas : 

b 

a 

f(t) dt = lim 

x→a − n 

n−1 

F(x)+ 

k=1 

(− lim 

x→a + 

k 

F(x)+ lim 

x→a − 

k 

F(x))− lim 

x→a + 

0 

F(x) dx = 

n 

k=1 

lim 

x→a − 

k 

n−1 

F(x)− 

k=0 

lim F(x). 

x→a + 

k


3.3 Propriétés des intégrales impropres 

3.3.1 Linéarité 

Proposition 3.3.1 Soit a = x0 < x1 < ··· < xn = b, et soit E l’ensemble des fonctions définies 

et continues sur [a,b]\{a0,...,an}, telles que 

1. E est un espace vectoriel sur R; 

2. 

b 

a 

: E −→ R est une forme linéaire sur E 

b 

a 

f(t) dt converge. Alors : 

Autrement dit, quitte à restreindre f et g à [a,b] privé des points d’impropriété de f et de g, si 

b 

a 

de R 2 . 

f(t) dt et 

b 

a 

g(t) dt convergent, il en est de même de 

b 

a 

(λf(t)+µg(t)) dt, pour tout (λ,µ) 

Proposition 3.3.2 Soit f et g deux fonctions définies et continues sur [a,b] \ {a0,...,an}. Si 

b 

a 

f(t) dt converge et 

b 

Remarque 3.3.3 En revanche, si 

pour 

b 

a 

(f +g)(t) dt. 

3.3.2 Relation de Chasles 

a 

g(t) dt diverge, alors 

b 

a 

f(t) dt et 

b 

a 

b 

(f +g)(t) dt diverge. 

a 

g(t) dt divergent, on ne peut rien conclure 

Théorème 3.3.4 Soit a = a0 < ··· < an = b et f une fonction définie et continue sur [a,b] \ 

{a0,...,an}. Soit c ∈]a,b[. Si 

b 

a 

b 

a 

f(t) dt converge, alors 

f(t) dt = 

c 

a 

f(t) dt+ 

c 

a 

b 

c 

f(t) dt et 

f(t) dt. 

b 

c 

f(t) dt convergent, et 

Remarque 3.3.5 1. Attention à l’hypothèsec ∈]a,b[, nécessaire ici pour obtenir la convergence 

des deux intégrales. Si c ∈]a,b[, il faut partir de l’hypothèse de convergence sur le plus grand 

des intervalles considérés. 

2. Attention, généralement, on ne s’autorise pas à inverser l’ordre des bornes dans une intégrale 

impropre (on considère 

b 

a 

avec a b), car la borne inférieure correspond à une limite par 

au-dessus et la borne supérieur à une limite par en-dessous : échanger les deux bornes 

échangerait implicitement cette convention sur le côté par lequel on prend la limite. 

Ainsi, faites attention à la façon d’exprimer la relation de Chasles lorsque c ∈]a,b[ : se 

ramener à la situation du théorème, en échangeant le rôle des variables. 

3.3.3 Positivité 

Proposition 3.3.6 (Positivité de l’intégrale)

3.4 Critères de convergence pour les intégrales de fonctions positives 31 

Soit a = a0 < a1··· < an = b et f définie et continue sur [a,b]\{a0,...,an} telle que 

converge. Alors si f 0 sur [a,b]\{a0,...,an}, on a 

b 

a 

f(t) dt 0. 

b 

a 

f(t) dt 

Corollaire 3.3.7 (Croissance de l’intégrale) 

Supposons que f et g sont deux fonctions définies et continues sur [a,b] \ {a0,...,an}, et que 

b 

a 

f(t) dt et 

b 

a 

g(t) dt convergent. Alors, si f g sur [a,b]\{a0,...,an}, alors 

b 

a 

f(t) dt 

b 

Proposition 3.3.8 (Stricte positivité de l’intégrale) 

a 

g(t) dt. 

Soit a = a0 < a1··· < an = b et f définie et continue sur [a,b]\{a0,...,an} telle que 

b 

a 

f(t) dt 

converge.. Alors si f 0 sur [a,b] \ {a0,...,an}, et si f n’est pas identiquement nulle sur cet 

ensemble, on a : 

b 

a 

f(t) dt > 0. 

3.4 Critères de convergence pour les intégrales de fonctions 

positives 

Tous les critères sont donnés pour une fonction f continue sur [a,b[, donc pour des intégrales 

b 

a 

f(t) dt admettant une seule impropreté en b. Ces critères se généralisent bien entendu aux 

intégrales admettant une impropriété en leur borne inférieure, puis aux intégrales de fonctions 

continues sur[a,b] sauf en un nombre fini de point, par découpage en plusieurs intégrales impropres 

en une seule borne. 

Dans tout ce paragraphe, les fonctions f et g sont définies et continues sur un intervalle 

[a,b[. 

3.4.1 Un lemme 

Lemme 3.4.1 Si f 0, alors 

est bornée sur [a,b[. 

b 

3.4.2 Critère de comparaison par inégalité 

a 

f(t) dt converge si et seulement si la fonction F : x ↦→ 

Proposition 3.4.2 Si pour tout x ∈ [a,b[, 0 f(x) g(x), alors : 

1. si 

2. si 

b 

a 

b 

a 

f(t) dt diverge, alors 

g(t) dt converge, alors 

b 

a 

b 

a 

g(t) dt diverge; 

f(t) dt converge. 

Remarque 3.4.3 Attention à l’hypothèse de positivité des fonctions qu’on intègre ! 

x 

a 

f(t) dt



2. 

3. 

+∞ 

0 

π 

2 

0 

+∞ 

1 

cos 2 t 

t 2 dt converge ; 

e −t2 

dt converge (archi-classique !); 

1 

sint 

dt diverge. 

3.4.3 Critère de comparaison par o 

Proposition 3.4.5 Supposons que f et g sont positives (et toujours continues) sur [a,b[, et qu’au 

voisinage de b, f(x) = o(g(x)). Alors 

• si 

• si 

b 

a b 

a 

g(t) dt converge, alors 

f(t) dt diverge, alors 

b 

a 

b 

a 

f(t) dt converge; 

g(t) dt diverge. 

Remarque 3.4.6 L’hypothèse de positivité de f est en fait inutile : ainsi qu’on le verra plus tard, 

on obtient dans ce cas la convergence absolue de 

f = o(g) au voisinage de b, on a aussi |f| = o(g). 


+∞ 

e 

0 

−√t dt converge. 

2. (Intégrales de Bertrand en +∞) 

+∞ 

2 

dt 

t α ln β t 

3. (Intégrales de Bertrand en 0) 

1 

2 

0 

b 

dt converge si et seulement si α > 1, ou α = 1 et β > 1 

a 

f(t) dt, donc la convergence. En effet, si 

dt 

tα dt converge si et seulement si α < 1 ou si α = 1 et β > 1. 

|lnt| β 

3.4.4 Critère de comparaison par équivalents 

Théorème 3.4.8 On suppose f et g positives et continues sur[a,b[. Alors, si f ∼g, alors 

b− et 

b 

a 

g(t) dt sont de même nature. 

b 

a 

f(t) dt 

Remarque 3.4.9 Si f et g sont continues sur [a,b[∪]b,c], il convient de séparer l’étude à droite 

et à gauche au point b, et donc de considérer un équivalent à droite, et un équivalent à gauche au 

point b. 


2. 

1 

0 

1 

sint 

dt diverge. 

2 

0 

dx 

|x(x−1)(x−2)| est convergente.

3.5 Cas des fonctions non positives 33 

3.5 Cas des fonctions non positives 

3.5.1 Convergence absolue 

Définition 3.5.1 Soit f une fonction continue sur [a,b[. On dit que 

ment si 

b 

a 

|f(t)| dt converge. 

b 

a 

f(t) dt converge absolu- 

Par extention, on définit la convergence absolue pour une fonction admettant plusieurs points 

d’impropriété. 

Théorème 3.5.2 Si 

b 

Théorème 3.5.3 (Inégalité triangulaire) 

Si 

b 

a 

a 

f(t) dt converge absolument, alors 

f(t) dt converge absolument, alors 

 

 

 

 

 

b 

a 

 

 

 

f(t) dt 

 

Exemple 3.5.4 Convergence et encadrement de 

3.5.2 Semi-convergence 

Définition 3.5.5 On dit que 

absolument convergente. 

Exemple 3.5.6 

+∞ 

1 

sinx 

x 

b 

a 

b 

a 

+∞ 

1 

b 

a 

|f(t)| dt. 

sint 

dt. 

t2 f(t) dt converge. 

f(t) dt est semi-convergente, si elle est convergente sans être 

dx est semi-convergente. 

3.6 Comparaison série/intégrale 

Théorème 3.6.1 Soit f : [a,+∞[ une fonction continue, décroissante et positive. Alors la série 

 

+∞ 

f(n) converge si et seulement si l’intégrale f(t) dt converge. 

na 

Exemple 3.6.2 On retrouve de la sorte les propriétés de convergence des séries de Riemann ou 

des séries de Bertrand. 

3.7 Techniques de calcul des intégrales impropres 

3.7.1 Intégration par parties 

a 

Théorème 3.7.1 Soit u et v deux fonctions de classe C 1 sur [a,b[, telles que le produit uv admette 

une limite finie en b − . Alors 

b 

a 

u(t)v ′ (t) dt et 

b 

a 

u ′ (t)v(t) dt sont de même nature, et en cas


de convergence, 

b 

a 

u(t)v ′ (t) dt = 

limb− u(t)v(t) − 

a 

b 

a 

u ′ (t)v(t) dt 

= lim 

t→b− u(t)v(t)−u(a)v(a)− 

b 

a 

u ′ (t)v(t) dt. 

Corollaire 3.7.2 Si u et v sont de classe C 1 sur ]a,b[, et si uv admet des limites en a et en b, 

alors 

b 

a 

u(t)v ′ (t) dt et 

b 

a 

b 

a 

u(t)v ′ (t) dt = 

u ′ (t)v(t) dt sont de même nature, et en cas de convergence, 

limb− u(t)v(t) − 

lima + 

b 

a 

u ′ (t)v(t) dt 

= lim 

t→b−u(t)v(t)− lim 

x→a +u(t)v(t)− 

b 

a 

u ′ (t)v(t) dt. 

Remarque 3.7.3 Dans les deux résultats ci-dessus, on peut partir d’une intégrale définie (non 

impropre) pour arriver à une intégrale impropre. C’est la cas par exemple si v est de classe C 1 sur 

[a,b], et si u est continue sur [a,b], mais de classe C 1 seulement sur [a,b[. 

Théorème 3.7.4 Soit u et v deux fonctions de classe C 1 sur [a,b[. Si uv n’admet pas de limite 

en b, alors la convergence de 

b 

a 

uv ′ entraîne la divergence de 

Remarque 3.7.5 • En pratique, il est très fréquent de restreindre l’intervalle d’intégration à 

[a,x], x 

intégrale définie, puis de passer à la limite lorsque x tend vers b. Cela peut avoir l’avantage de 

prouver du même coup la convergence de l’intégrale initiale. 

• Ceci n’est pas une obligation, à condition de justifier les convergences, et de donner les hypothèses 

adéquates d’existence de limites pour le produit uv. 

• En revanche, dans la situation où on part d’une intégrale convergente, mais avec un produit uv 

n’admettant pas de limite finie, il est nécessaire de faire l’intégration par parties sur un intervalle 

restreint uv, et de passer à la limite ensuite, en gardant à l’esprit que la divergence du terme 

uv va être compensée par la divergence de l’intégrale qu’on obtient après IPP. 


2. 

3. 

+∞ 

1 

1 

0 

+∞ 

1 

lnt 

dt = 1 

t2 Arctant 

t2 dt = ln2 π 

+ 

2 4 . 

lnt 

dt = −ln2. 

(1+t) 2 

3.7.2 Changements de variable 

La nécessité de mettre les bornes dans l’ordre pour une intégrale impropre (pour ne pas mélanger 

limites supérieures et limites inférieures) complique un peu l’énoncé du changement de variables. 

On va être amené à distinguer suivant que le changement de variables échange les bornes ou non, 

plus précisément suivant qu’il est croissant ou décroissant. 

b 

a 

u ′ v.

3.8 Intégrales classiques 35 

Remarquez que dans la formule du changement de variable pour les intégrales impropres, les 

hypothèses faites sur ϕ sont plus fortes que pour le changement de variables pour les intégrales 

définies. On impose en particulier la bijectivité du changement de variables, ce qui n’était pas 

nécessaire pour les intégrales définies. 

Théorème 3.7.7 Soit ϕ une application de classe C 1 , strictement monotone, réalisant une bijec- 

tion de ]α,β[ sur ]a,b[. Soit f :]a,b[→ R une fonction continue. Alors les intégrales 

β 

• 

• 

α 

b 

a b 

f(ϕ(t))ϕ ′ (t) dt sont de même nature, et en cas de convergence : 

a 

f(t) dt = 

β 

f(t) dt = − 

α 

β 

f(ϕ(t))ϕ ′ (t) dt si ϕ est croissante (ϕ conserve l’ordre des bornes) 

α 

f(ϕ(t))ϕ ′ (t) dt si ϕ est décroissante (ϕ échange les bornes) 

b 

a 

f(t) dt et 

Remarque 3.7.8 Tout comme la formule d’intégration par parties, ce théorème donne avant tout 

un critère de comparaison de la nature de deux intégrales. 

Exemple 3.7.9 

1 

dt 

0 

1 

−1 

4 . 

t(1+ln 2 π 

= 

t) 2 

dx 

√ 1−x 2 

= π. 

3.8 Intégrales classiques 

3.8.1 Intégrale de Gauss 

Théorème 3.8.1 1. L’intégrale 

2. L’intégrale 

+∞ 

−∞ 

3.8.2 Fonction Γ 

e −t2 

+∞ 

0 

dt converge, et 

e −t2 

+∞ 

−∞ 

dt converge, et 

e −t2 

dt = √ π. 

+∞ 

Définition 3.8.2 La fonction Γ est la fonction définie, pour tout réel x pour lequel cette intégrale 

converge, par : 

Γ(x) = 

+∞ 

t 

0 

x−1 e −t . 

0 

e −t2 

Proposition 3.8.3 1. Le domaine de définition de Γ est DΓ =]0,+∞[. 

2. ∀x ∈ R∗ + , Γ(x+1) = xΓ(x). 

3. ∀n ∈ N∗ , Γ(n) = (n−1)! 

4. Γ 

1 √ 

2 = π. 

dt = 

√ π 

2 .

36 Analyse – Chapitre 3. Intégrales impropres


Révisions : fonctions d’une variable 

réelle 

Nous ne reprenons pas dans ce chapitre les notions de limite et de comparaison locale (équivalents 

et négligeabilité) qui sont supposées aquises. 

4.1 Continuité 

4.1.1 Définitions et rappel des propriétés 

Dans ce paragraphe, f désigne une fonction d’un intervalle X dans R. 

Définition 4.1.1 Soit a ∈ X. On dit que f est continue en a si une des propriétés équivalentes 

suivantes est vérifiée : 

(i) f admet une limite en a (forcément égale à f(a)); 

(ii) ∀ε > 0, ∃η > 0, ∀x ∈ X, |x−a| < η =⇒ |f(x)−f(a)| < ε ; 

(iii) pour tout voisinage V de f(a), il existe un voisinage U de a tel que f(U) ⊂ V . 

(iv) (caractérisation séquentielle) pour toute suite (xn)n∈N à valeurs dans X tendant vers a, 

(f(xn))n∈N tend vers f(a). 

Proposition 4.1.2 Soit f et g deux fonctions de X dans R, et a ∈ X. Soit λ ∈ R. 

1. Si f est continue en a, alors λf est continue en a. 

2. Si f et g sont continues en a, alors aussi f +g. 

3. Si f et g sont continues en a, alors aussi fg. 

4. Si f et g sont continues en a, et g(a) = 0, alors g ne s’annule pas sur un voisinage de a, et 

est continue en a. 

f 

g 

Proposition 4.1.3 Soit X,Y ⊂ R, et f : X → Y , g : Y → R. Soit a ∈ X. Si f est continue en 

a, et si g est continue en f(a), alors g ◦f est continue en a.

38 Analyse – Chapitre 4. Révisions : fonctions d’une variable réelle 

4.1.2 Continuité sur un intervalle 

Définition 4.1.4 Soit Y ⊂ X On dit que f est continue sur Y si f est continue en tout point 

de Y . 

Théorème 4.1.5 (Fonction continue sur un intervalle fermé borné) 

Soit I = [a,b] un intervalle fermé borné, et soit f : I → R une fonction continue sur I. Alors f 

est bornée, et atteint ses bornes. 

Dans ce qui suit, par convention, f(+∞) désigne lim f(x) dans le cas où cette limite existe, et 

x→+∞ 

de même pour f(−∞). 

Théorème 4.1.6 (Théorème des valeurs intermédiaires) 

On donne trois énoncés équivalents du TVI : 

1. (TVI, version 1) Soit f une fonction continue sur un intervalle I d’extrémités a et b dans 

R (avec existence des limites dans le cas de bornes infinies). Alors, si f(a) > 0 et f(b) < 0 

(ou l’inverse), il existe c ∈]a,b[ tel que f(c) = 0 

2. (TVI, version 2) Soit f une fonction continue sur un intervalle I, et soit M = supf(x) 

et 

x∈I 

m = inf f(x). Alors f prend toutes les valeurs de l’intervalle ]m,M[, i.e. : 

x∈X 

∀x0 ∈]m,M[, ∃c ∈ I,f(c) = x0. 

3. (TVI, version 3) L’image d’un intervalle quelconque par une fonction continue est un intervalle. 

Corollaire 4.1.7 L’image d’un intervalle fermé borné par une fonction continue est un intervalle 

fermé borné. 

Définition 4.1.8 Soit A,B ⊂ R. Un homéomorphisme f : A → B est une application continue 

bijective dont la réciproque est continue. 

Théorème 4.1.9 (théorème de la bijection, version forte) Soit I un intervalle d’extrémités 

a et b. Soit f : I → R strictement monotone et continue. Soit : 

α = lim 

x→a f(x) et β = lim 

x→b f(x) 

(exitent car f est monotone). Alors f(I) est un intervalle d’extrémités α et β, et f est un homéomorphisme 

de I sur f(I). 

4.2 Dérivabilité 


Dans ce qui suit, on se donne une fonction f : I → R, I étant un intervalle (fermé ou ouvert) 

d’extrémités a et b

4.2 Dérivabilité 39 

Définition 4.2.1 Soit x0 ∈]a,b[. On dit que f est dérivable en x0 si f(x)−f(x0) 

x−x0 

finie lorsque x tend vers x0. On note alors : 

f ′ f(x)−f(x0) 

(x0) = lim = lim 

x→x0 x−x0 h→0 

et on appelle f ′ (x0) la dérivée de f en x0. 

f(x0 +h)−f(x0) 

, 

h 

admet une limite 

Remarque 4.2.2 Interprétation géométrique : la dérivée en x0 est la pente de la tangente à la 

courbe de f en x0. 

Théorème 4.2.3 (Continuité des fonctions dérivables) 

Si f est dérivable en x0, alors f est continue en x0. La réciproque est fausse! 

Définition 4.2.4 Soit x0 ∈ [a,b[. On dit que f est dérivable à droite en x0 si f(x)−f(x0) 

x−x0 

une limite à droite lorsque x tend vers x0. On note alors : 

f ′ d(x0) = lim 

x→x + 

f(x)−f(x0) 

= lim 

x−x0 h→0 

0 

+ 

De même pour la dérivée à gauche f ′ g(x0). 

f(x0 +h)−f(x0) 

. 

h 

admet 

Proposition 4.2.5 Soit x0 ∈ X. Alors f est dérivable en x0 si et seulement si f est dérivable à 

gauche et à droite en x0, et f ′ g(x0) = f ′ d (x0). 

Définition 4.2.6 On dit que f est dérivable sur un intervalle fermé I = [a,b] si f est dérivable 

sur ]a,b[, et si f est dérivable à droite en a et à gauche en b. Cela définit donc la fonction dérivée 

f ′ : [a,b] → R 

4.2.2 Dérivées d’ordre supérieur – Fonctions de classe C n 

Définition 4.2.7 Soit x0 ∈]a,b[. On définit les dérivées d’ordre supérieur par récurrence sur n. 

Soit n 2. On dit que f est n fois dérivable en x0 si f est n−1 fois dérivable sur un voisinage 

U de x0 et si la fonction dérivée (n − 1)-ième est dérivable en x0. La dérivée n-ième de f en x0 

est alors la dérivée de la dérivée (n−1)-ième en x0. On note f (n) (x0) cette dérivée n-ième. Ainsi : 

f (n) (x0) = f (n−1)′ (x0). 

Définition 4.2.8 On suppose que X = [a,b] est un intervalle fermé. On définit par récurrence la 

dérivée n-ième de f en a. On dit que f est dérivable n fois en a si et seulement si f est dérivable 

n−1 fois sur un intervalle [a,a+ε[ (définissant ainsi f (n−1) sur [a,a+ε[), et si f (n−1) est dérivable 

à droite en a. On note alors f (n) (a) cette dérivée à droite. 

Définition 4.2.9 On dit que f est dérivable n fois sur [a,b] si f est dérivable n fois en tout point 

de [a,b], y compris en a et en b. Cela définit une fonction f (n) : [a,b] → R. 

On définit de la même façon la dérivabilité n fois sur tout type d’intervalle, borné ou non borné. 

Définition 4.2.10 Soit f : I → R, où I est un intervalle. On dit que f est de classe C n sur I si 

f est n fois dérivable sur I et si la dérivée n-ième f (n) est continue sur I.


4.2.3 Propriétés 

Proposition 4.2.11 (Régles usuelles de dérivabilité) 

Soit f et g deux fonctions de I (d’extrémités a et b) dans R, et x0 ∈]a,b[. Soit n ∈ N ∗ . Soit λ et 

µ deux réels. 

1. Si f est dérivable n fois en x0, alors λf aussi et (λf (n) )(x0) = λf (n) (x0). 

2. Si f et g sont dérivables n fois en x0, alors f+g aussi et (f+g) (n) (x0) = f (n) (x0)+g (n) (x0). 

3. Si f et g sont dérivables en x0, fg aussi et (fg) ′ (x0) = f ′ (x0)g(x0)+f(x0)g ′ (x0) 

Corollaire 4.2.12 (Dérivée d’un produit quelconque) 

Soit f1,...,fn : I → R et x0 ∈]a,b[. Si f1,...,fn sont dérivables en x0, alors leur produit aussi, 

et : 

(f1···fn) ′ n 

= f ′ k(x0) 

fi(x0). 

k=1 

i∈[[1,n]]\{k} 

Corollaire 4.2.13 (Formule de Leibniz) 

Soit f et g deux fonctions de I dans R et x0 ∈]a,b[. Si f et g sont n fois dérivables en x0, alors 

fg aussi, et : 

(fg) (n) = 

n 

k=0 

 

n 

f 

k 

(k) (x0)g (n−k) (x0). 

Proposition 4.2.14 (Dérivée de composées) 

Soit I et J deux intervalles ouverts de R, et f : I → J, g : J → R. Soit x0 ∈ I tel que y0 = f(x0). 

Si f est dérivable en x0 et g dérivable en y0, alors g ◦f est dérivable en x0, et : 

(g ◦f) ′ (x0) = f ′ (x0)g ′ (y0) = f ′ (x0)·g ′ ◦f(x0). 

Corollaire 4.2.15 Soit I un intervalle ouvert, f : I → R, et x0 ∈ I tel que f(x0) = 0 et f 

dérivable en x0. Alors 1 

f est dérivable en x0 et 

1 

f 

′ 

(x0) = −f′ (x0) 

f 2 (x0) . 

Corollaire 4.2.16 (Dérivée d’un quotient) 

Soit f,g : I → R, et x0 ∈ I tel que g(x0) = 0 et f et g dérivables en x0. Alors f 

est dérivable en 

x0 et 

′ 

f 

g (x0) = f′ g−fg ′ 

f2 (x0). 

Théorème 4.2.17 (Dérivation des fonctions réciproques) Soit I et J deux intervalles, et 

soit f une application bijective continue de I dans J. Soit t0 ∈ I, et x0 = f(t0). Si f est dérivable 

en t0, et si f ′ (t0) = 0, alors f −1 est dérivable en x0, et : 

(f −1 ) ′ (x0) = 1 

f ′ (t0) = 

1 

f ′ (f−1 (x0)) . 

Corollaire 4.2.18 Soit I et J deux intervalles, et f : I → J bijective. Si f est de classe C p sur 

I, et si f ′ ne s’annule pas sur I, alors f −1 est de classe C p sur J. 

4.2.4 Dérivabilité sur un intervalle 

Lemme 4.2.19 (CN d’extremum par annulation de la dérivée) 

Soient a 

en x0, alors f ′ (x0) = 0. 

g

4.3 Fonctions convexes 41 

Théorème 4.2.20 (théorème de Rolle) 

Soit f : [a,b] → R continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[. Alors, si f(a) = f(b), il existe c ∈]a,b[ 

tel que f ′ (c) = 0. 

Théorème 4.2.21 (théorème des accroissements finis, TAF) 

Soit f : [a,b] → R continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[. Alors il existe c ∈]a,b[ tel que : 

f(b)−f(a) = (b−a)f ′ (c). 

Remarque 4.2.22 Interprétation géométrique : il existe une tangente parallèle à la corde. 

Corollaire 4.2.23 (Inégalité des accroissements finis, IAF) 

Soit f : [a,b] → R continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[. Soit M un majorant de f ′ sur ]a,b[ 

(par exemple M = sup f 

x∈]a,b[ 

′ (x)), et m un minorant de f ′ sur ]a,b[ (par exemple m = inf 

x∈]a,b[ f′ (x)). 

Alors : 

m(b−a) f(b)−f(a) M(b−a). 

En particulier, si M est un majorant de |f ′ |, alors |f(b)−f(a)| M|b−a|. 

Théorème 4.2.24 (variation des fonctions) 

Soit f : [a,b] → R, tel que f est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[. Alors : 

1. f est croissante sur [a,b] si et seulement si pour tout x ∈]a,b[, f ′ (x) 0. 

Si cette inégalité est stricte sauf en un nombre fini de points, alors f est strictement croissante. 

2. f est décroissante sur [a,b] si et seulement si pour tout x ∈]a,b[, f ′ (x) 0. 

Si cette inégalité est stricte sauf en un nombre fini de points, alors f est strictement décroissante. 

Corollaire 4.2.25 Soit I un intervalle (ouvert ou fermé ou semi-ouvert) d’extrémités a et b, 

f : I → R continue sur I, dérivable sur ]a,b[. Alors f est constante si et seulement si pour tout 

x ∈]a,b[, f ′ (x) = 0. 

4.3 Fonctions convexes 

4.3.1 Notion de convexité 

Définition 4.3.1 Soit I un intervalle, et f : I → R. On dit que f est convexe sur I si : 

∀(x,y) ∈ I 2 , ∀λ ∈ [0,1], f(λx+(1−λ)y) λf(x)+(1−λ)f(y). 

On dit que f est concave sur I si : 

∀(x,y) ∈ I 2 , ∀λ ∈ [0,1], f(λx+(1−λ)y) λf(x)+(1−λ)f(y). 

Interprétation géométrique : f est convexe ssi la courbe reste sous les cordes.


4.3.2 Étude de la dérivabilité des fonctions convexes 

Proposition 4.3.2 Soit f : I → R et pour tout u ∈ I, soit Fu : I \{u} → R la fonction définie 

par : 

∀t ∈ I \{u}, Fu(t) = f(t)−f(u) 

. 

t−u 

Alors, f est convexe si et seulement si pour tout u ∈ I, la fonction Fu est croissante. 

Théorème 4.3.3 (Dérivabilité des fonctions convexes) 

Soit I un intervalle ouvert, et f : I → R une fonction convexe. Alors f est dérivable à droite et à 

gauche en tout point de I, et : 

1. ∀x ∈ I, f ′ g (x) f′ d (x). ; 

2. ∀(x,y) ∈ I 2 , x < y =⇒ f ′ d (x) f′ g (y); 

3. f ′ g et f′ d sont croissantes sur I 

Corollaire 4.3.4 Soit I un intervalle ouvert, et f convexe sur I. Alors f est continue sur I. 

Remarque 4.3.5 Le théorème et son corollaire sont faux si on ne suppose pas que I est ouvert. 

Proposition 4.3.6 Soit I un intervalle ouvert et x0 ∈ I. Soit f : I → R une fonction convexe 

sur I. Puisque f est dérivable à gauche et à droite, sa courbe admet une tangente à gauche et une 

tangente à droite en x0. Alors la courbe de f est au-dessus de sa tangente à gauche, et au-dessus 

de sa tangente à droite. 

Remarque 4.3.7 Les résultats ci-dessus se transcrivent évidemment au cas de fonctions concaves. 

Dans ce cas, les dérivées à droite et à gauche sont décroissantes. 

4.3.3 Caractérisation de la convexité par les dérivées 

Théorème 4.3.8 (Caractérisation des fonctions convexes dérivables) 

Soit I un intervalle ouvert, et f : I → R une fonction dérivable sur I. Les propriétés suivantes 

sont équivalentes : 

1. f est convexe; 

2. f ′ est croissante; 

3. la courbe de f se trouve au-dessus de toutes ses tangentes. 

Corollaire 4.3.9 (Caractérisation des fonctions convexes deux fois dérivables) 

Soit I un intervalle ouvert, et f : I → R une fonction deux fois dérivable sur I. Alors f est convexe 

si et seulement si pour tout x ∈ I, f ′′ (x) 0.

4.4 Formules de Taylor 43 

4.4 Formules de Taylor 

Dans toute cette section, f désigne une fonction d’un intervalle I de R vers R, et x0 ∈ I. 

4.4.1 Développement de Taylor 

But : étant donné n, définir un polynôme P de degré n qui approche au mieux f au voisinage 

d’un point x0 ∈ I, en imposant : 

P(x0) = f(x0) P ′ (x0) = f ′ (x0) ... P (n) (x0) = f (n) (x0). 

Définition 4.4.1 Soit f une fonction admettant en x0 une dérivée d’ordre n. Alors le développement 

de Taylor de f en x0 à l’ordre n est l’unique polynôme P de degré au plus n vérifiant les 

conditions : P(x0) = f(x0), P ′ (x0) = f ′ (x0), ... , P (n) (x0) = f (n) (x0). 

Ce polynôme est donné explicitement par : ∀x ∈ R, P(x) = 

n (x−x0) k 

·f 

k! 

(k) (x0). 

Définition 4.4.2 Si f admet en x0 une dérivée d’ordre n, on note Rn la différence entre f et son 

développement de Taylor : 

∀x ∈ I, Rn(x) = f(x)− 

k=0 

n (x−x0) k 

·f 

k! 

(k) (x0). 

k=0 

Rn est appelé reste de Taylor à l’ordre n de f au point x0. 

L’objet des formules de Taylor est d’étudier ce reste. Cela a pour but d’estimer l’erreur faite en 

approchant f par son développement de Taylor. Notamment, si f est de classe C ∞ sur I, est-ce 

qu’en faisant tendre n vers +∞, le développement de Taylor tend vers f ? 

Définition 4.4.3 Soit f une fonction de classe C∞ sur I. Si pour tout xinI, limn→+∞Rn(x) = 0, 

alors : 

+∞ (x−x0) 

∀x ∈ I, f(x) = 

n 

f 

n! 

(n) (x0). 

Dans ce cas, on dit que f est développable en série de Taylor au point x0. 

n=0 

Les trois formules suivantes donnent trois évaluations du reste de Taylor, plus ou moins précises 

suivant que les hypothèses sont plus ou moins fortes. On commence par la moins précise des 

formules de Taylor, aussi celle qui demande le moins d’hypothèses. 

4.4.2 Formule de Taylor-Young 

Théorème 4.4.4 (Formule de Taylor-Young à l’ordre n au point x0) 

Soit I un intervalle ouvert de R, x0 ∈ I, et f : I → R une fonction de classe C n au voisinage de 

x0. Alors, au voisinage de x0 : 

f(x) = 

n 

k=0 

f (k) (x0) 

(x−x0) 

k! 

k +o((x−x0) n ). 

Remarque 4.4.5 En fait, l’existence de f (n) (x0) suffit à obtenir cette formule.


La formule de Taylor-Young ne nous donne qu’une information locale, au voisinage de x0. En 

aucun cas elle ne peut être utilisée pour une étude globale. 

La formule suivante donne une information globale, mais dépendant d’une inconnue c que l’on 

contrôle mal. L’information est donc plus précise que dans la formule de Taylor-Young, puisqu’elle 

est globale. En contrepartie, on a besoin d’hypothèses plus fortes. 

4.4.3 Formule de Taylor-Lagrange 

Théorème 4.4.6 (Formule de Taylor-Lagrange à l’ordre n au point a, évaluée en b) 

Soit a 

∃c ∈]a,b[, f(b) = 

n 

k=0 

f (k) (a) 

(b−a) 

k! 

k + (b−a)n+1 

(n+1)! f(n+1) (c). 

Remarques 4.4.7 • L’hypothèse de classe C n+1 est un peu plus forte que nécessaire. Il suffit que 

f soit de classe C n sur [a,b] et n+1 fois dérivable sur ]a,b[. 

• Avec la restriction des hypothèses donnée dans le remarque précédente, la formule de Taylor- 

Lagrange à l’ordre 0 est exactement la formule des accroissements finis. 

Corollaire 4.4.8 (Inégalité de Taylor-Lagrange à l’ordre n au point a) 

Sous les mêmes hypothèses, et l’hypothèse supplémentaire que |f (n+1) | est majoré par un réel M 

sur ]a,b[, on a : f(b)− 

n 

k=0 

f (k) (a) 

k! 

(b−a) k 

 

 

 

 

 

M(b−a)n+1 

. 

(n+1)! 

Avec un encadrement de f n+1 , on obtient de même un encadrement du reste. 

La dernière formule donne une expression exacte du reste, ne dépendant d’aucun paramètre existentiel. 

Étant la plus précise, c’est également celle qui nécessite les hypothèses les plus fortes. 

4.4.4 Formule de Taylor avec reste intégral 

Théorème 4.4.9 (Formule de Taylor avec reste intégral à l’ordre n au point a) 

Soit a < b, et f : [a,b] → R une fonction de classe Cn+1 sur [a,b]. Alors : 

n (t−a) 

∀t ∈ [a,b], f(t) = 

k 

·f 

k! 

(k) t 

(t−x) 

(a)+ 

n 

f 

n! 

(n+1) (x) dx. 

4.4.5 Cas des polynômes 

k=0 

Soit P un polynôme de degré n et x0 ∈ R. Alors P (n+1) = 0. Ainsi, d’après la formule de Taylor- 

Lagrange, applicable car P est de classe C ∞ sur R, le reste de Taylor au point x0 est nul. On en 

déduit : 

Théorème 4.4.10 (Formule de Taylor pour les polynômes) 

Soit P un polynôme de degré au plus n. Alors : 

n 

∀x ∈ R, P(x) = 

k=0 

0 

P (k) (x0) 

(x−x0) 

k! 

k . 

Ce théorème peut bien entendu être démontré de manière purement algébrique.


Fonctions de plusieurs variables : 

continuité, calcul différentiel 

5.1 Rappels de topologie 

Dans toute cette section, on considère R n muni de sa structure euclidienne canonique. 

5.1.1 Distances et boules 

On rappelle la définition d’une norme : 

Définition 5.1.1 Soit n ∈ N ∗ Une norme sur R n est une application N : R n −→ R+ telle que : 

1. ∀x ∈ R n , N(x) = 0 ⇐⇒ x = 0 ; 

2. ∀x ∈ R n , ∀λ ∈ R, N(λx) = |λ|N(x); 

3. ∀(x,y) ∈ (R n ) 2 , N(x+y) N(x)+N(y) (inégalité triangulaire). 

Voici quelques exemples 

Exemples 5.1.2 1. Sur R : ∀x ∈ R, N(x) = |x| ; de même sur C. 

2. Sur Rn : ∀X = (x1,...,xn) ∈ Rn 

, N(X) = x2 1 +...+x2 n. 

3. Autre norme sur R n ; soit p ∈ N∗, ∀X = (x1,...,xn) ∈ R n , Np(X) = p |x1| p +...+|xn| p . 

4. Autre norme sur R n ; ∀X = (x1,...,xn) ∈ R n , Np(X) = sup(|x1|,...,|xn|). 

L’exemple 2 est la norme euclidienne associée à la structure euclidienne canonique de R n . 

On rappelle : 

Théorème 5.1.3 (Inégalité de Cauchy-Schwarz numérique) Pour tous n-uplets de R, (x1,...,xn) 

et (y1,...,yn), on a 

 

n 

 

 

 

xkyk 

 

 

 

 

n 

x2 n 

k y2 k . 

k=1 

k=1 

k=1

46 

Analyse – Chapitre 5. Fonctions de plusieurs variables : continuité, calcul 

différentiel 

Définition 5.1.4 Soit E un ensemble. Une distance sur E est une fonction d : E × E −→ R+ 

telle que : 

1. ∀(x,y) ∈ E 2 , d(x,y) = 0 ⇐⇒ x = y ; 

2. ∀(x,y) ∈ E 2 , d(x,y) = d(y,x); 

3. ∀(x,y,z) ∈ E 2 , d(x,z) d(x,y)+d(y,z) (inégalité triangulaire). 

Un espace métrique (E,d) est un ensemble E muni d’une distance d. 

Exemples 5.1.5 1. Toute norme N sur R n définit une distance d par : ∀(X,Y) ∈ (R n ) 2 , 

d(X,Y) = N(Y −X). 

2. Par exemple, distance usuelle sur R : ∀(x,y) ∈ R 2 , d(x,y) = |y −x| 

3. Par exemple, distance usuelle sur C : ∀(x,y) ∈ C 2 , d(x,y) = |y −x| 

4. Par exemple, distance usuelle (euclidienne) surR n :∀(X,Y) ∈ (R n ) 2 , X = (x1,...,xn), Y = 

(y1,...,yn) : 

d(X,Y) = (y1 −x1) 2 +···+(yn −xn) 2 . 

Définition 5.1.6 Soit (E,d) un espace métrique, x ∈ E et r ∈ R+. 

1. La boule ouverte de centre x et de rayon r est : B(x,r) = {y ∈ E | d(y,x) < r} 

2. La boule fermée de centre x et de rayon r est : B(x,r) = {y ∈ E | d(y,x) r} 

Par exemple, dans R, la boule ouverte de centre x et de rayon r est l’intervalle ]x−r,x+r[. Dans 

R n muni de la distance euclidienne, il s’agit de la notion usuelle de boule. On peut avoir des formes 

un peu plus surprenantes pour d’autres distances. 

5.1.2 Voisinages, ouverts, fermés 

Définition 5.1.7 Soit (E,d) un espace métrique, et soit x ∈ E. Un voisinage V de x est un 

sous-ensemble V de E tel qu’il existe une boule ouverte centrée en x entièrement contenue dans 

V : 

∃ε > 0, B(x,ε) ⊂ V, i.e. ∃ε > 0, ∀y ∈ E, d(y,x) < ε =⇒ y ∈ V. 

Intuitivement : en s’éloignant un peu de x, on ne sort pas de V . 

Par exemple, V est un voisinage de x dans R s’il existe ε tel que ]x−ε,x+ε[⊂ V . 

Définition 5.1.8 Soit (E,d) un espace métrique. 

• Un ouvert U de E est un sous-ensemble U de R qui est voisinage de tous ses points 

• De manière équivalente, U ⊂ E est ouvert ssi : 

∀x ∈ U,∃ε > 0, B(x,ε) ⊂ U. 

Définition 5.1.9 Un sous-ensemble F de E est fermé si son complémentaire ∁EF est ouvert. 

Proposition 5.1.10 1. Toute union quelconque d’ouverts est un ouvert; 

2. Toute intersection d’un nombre fini d’ouverts est un ouvert; 

3. Toute intersection quelconque de fermés est un fermé ; 

4. Toute union d’un nombre fini de fermés est un fermé.

5.1 Rappels de topologie 47 

Exemples 5.1.11 Voici deux contre-exemples à bien garder en tête : 

+∞ 

 

1. Contre-exemple pour une intersection infinie d’ouverts : − 1 

n ,1 

 

= [0,1[. 

2. Contre-exemple pour une union infinie de fermés : 

5.1.3 Sous-ensembles bornés de R n 

+∞ 

n=1 

n=1 

 

1 

n ,1 

 

=]0,1]. 

Définition 5.1.12 (dans R) : Un sous-ensemble F de R est borné s’il est majoré et minoré, 

c’est-à-dire s’il existe deux réels m et M tels que ∀x ∈ F, m x M. 

Définition 5.1.13 (valable dans tout espace métrique (E,d), en particulier dans R n ) : Un sousensemble 

F de E est borné s’il existe une boule ouverte contenant F, c’est-à-dire s’il existe x ∈ E 

et R > 0 tels que F ⊂ B(x,R). 

5.1.4 Droites, segments, plans 

Définition 5.1.14 La droite passant par A et dirigée par le vecteur U est l’ensemble 

dA,U = {A+tU, t ∈ R}. 

Il s’agit d’une paramétrisation de dA,U (description d’un ensemble à l’aide d’un ou plusieurs 

paramètres réels) 

Tout choix d’un point différent de la droite et d’un vecteur directeur différent (forcément colinéaire 

à U) donne une autre paramétrisation de la même droite 

Définition 5.1.15 Soit A et B deux points de R n . Le segment [A,B] est l’ensemble 

[A,B] = {tA+(1−t)B, t ∈ [0,1]}. 

Il s’agit donc des barycentres à coefficients positifs de A et B. Intuitivement, il s’agit de l’ensemble 

des points de la droite passant par A et dirigée par −→ 

AB, situés au sens large entre A et B. 

Définition 5.1.16 SoitE un sous-ensemble deR n . On dit queE est convexe si pour tout(A,B) ∈ 

E 2 , le segment [A,B] est contenu dans E. Autrement dit, pour tout A et B de E, et pour tout 

t ∈ [0,1], tA+(1−t)B ∈ E. 

Proposition 5.1.17 Une droite est convexe. Un segment est convexe. 

Définition 5.1.18 1. Un hyperplan vectoriel de R n est un sous-espace vectoriel de R n de 

codimension 1, donc de dimension n−1. 

2. Soit H un hyperplan vectoriel de Rn . L’hyperplan affine de Rn de direction H et passant 

par A est l’ensemble des points M tels que −−→ 

AM ∈ H, donc l’ensemble {A+X, X ∈ H}. 

Proposition 5.1.19 1. Toute équation a1x1 +···+anxn = 0 définit un hyperplan vectoriel. 

Réciproquement, tout hyperplan vectoriel peut être décrit par une équation de ce type. 

2. Toute équation a1x1 + ··· + anxn = b définit un hyperplan affine. Réciproquement, tout 

hyperplan affine peut être décrit par une équation de ce type.

48 


différentiel 

Proposition 5.1.20 1. Soit A un vecteur non nul de coordonnées (a1,...,an). Il existe un 

unique hyperplan vectoriel orthogonal à A. Cet hyperplan est d’équation a1x1+···+anxn = 0. 

Cette relation ne fait qu’exprimer que 〈A,X〉 = 0. 

2. Soit A un vecteur non nul de coordonnées (a1,...,an) et B un point de R n de coordonnées 

(b1,...,bn). Alors il existe un unique hyperplan affine orthogonal à A et passant par B. Cet 

hyperplan est d’équation a1(x1−b1)+···+an(xn−bn) = 0. Cette relation ne fait qu’exprimer 

que 〈X −B,A〉 = 0. 

5.2 Graphes 

Dans toute la suite de ce chapitre, R n sera muni de sa structure euclidienne canonique, 

et la norme considérée est la norme auclidienne associée à cette structure. La distance 

considérée est la distance associée à cette norme. 

On note ainsi : 

∀X = (x1,...,xn) ∈ R n , X = 

 

x 2 1 +···+x2 n . 

Ainsi, X désigne la norme euclidienne de X. Si X = (x1,...,xn) et Y = (y1,...,yn) sont deux 

vecteurs de R n , la distance euclidienne de X à Y est alors : 

d(X,Y) = X −Y = (x1 −y1) 2 +···+(xn −yn) 2 . 

Enfin, on note 〈X,Y〉 le produit scalaire de X et Y dans R n . Avec les notations précédentes : 

〈X,Y〉 = x1y1 +···+xnyn. 

Dans tout ce qui suit, on considère D un sous-ensemble de R n , et une fonction f : D −→ R. 

5.2.1 Définition et exemples 

Définition 5.2.1 Le graphe de la fonction f est le sous-ensemble de R n+1 suivant : 

G = {(x1,...,xn,y) ∈ D×R ⊂ R n+1 , y = f(x1,...,xn)}. 

Par exemple, si n = 2, le graphe est une surface (ou nappe) dans R 3 , la hauteur au point (x,y) 

étant donnée par la valeur de la fonction en ce point. Comparez à la notion de graphe pour les 

fonctions à une seule variable ! 

Exemples 5.2.2 1. Si f est une fonction affine définie sur R 2 par f(x,y) = ax + by + c, le 

graphe de f est l’hyperplan affine d’équation z = ax+by+c. 

2. Soit une partie du monde rapportée à un repère orthonormé (on néglige la courbure de la 

Terre). On définit f sur cette partie du monde en posant f(x,y) égale à l’altitude au point 

(x,y). Alors le graphe de f est la surface du sol. 

5.2.2 Courbes de niveau 

Il est très difficile de représenter sur les supports usuels le graphe d’une fonction à deux variable 

(c’est une surface dans l’espace). On se contente souvent d’en faire une projection sur le plan 

(0,i,j), et d’indiquer des hauteurs de référence pour préciser la hauteur de la surface à certains

5.3 Limites et continuité 49 

points. Généralement, on indique des lignes où la hauteur de la surface va être la même (cela 

revient à faire une coupe suivant un plan z = k). 

Même si l’intérêt graphique semble moindre pour des fonctions de plus de 2 variables, on définit 

de manière générale : 

Définition 5.2.3 La courbe de niveau de hauteur k de f est la courbe de D constitué des points 

(x1,...,xn) pour lesquels la valeur de f(x1,...,xn) est constante égale à k. C’est donc l’ensemble 

{(x1,...,xn) ∈ D, f(x1,...,xn) = k}. 

Il s’agit de la coupe du graphe par l’hyperplan affine d’équationxn+1 = k, projeté orthogonalement 

sur le sous-espace vectoriel R n des n premières coordonnées de R n+1 . 

L’indication d’un certain nombre de courbes de niveau sur le plan donne une représentation assez 

fidèle du graphe, comme le montre en cartographie l’exemple de l’altitude : de nombreuses cartes 

indiquent des courbes de niveau, plus ou moins resserrées, suivant la précision souhaitée. Ces 

courbes de niveau donnent une assez bonne idée de l’altitude et des dénivelés (donc des variations 

du graphe). 

Exemples 5.2.4 Voici quelques exemples de courbes de niveau issus de la vie quotidienne : 

• Courbes de niveau d’altitude, appelées courbes isohypses 

• Courbes de niveau de température, appelées courbes isothermes 

• Courbes de niveau de pression atmosphérique, appelées courbes isobares 

• Courbes de niveau de quantité de précipitation, appelées courbes isohyètes 

5.3 Limites et continuité 


Définition 5.3.1 Soit D un domaine de R n . On note D (appelé adhérence de D) le plus petit 

sous-ensemble fermé de R n tel que D ⊂ D 

En pratique, D est généralement l’union de D et de son « bord ». Par exemple, dans R, l’adhérence 

d’un intervalle sera l’intervalle fermé de mêmes extrémités. 

Mais attention aux cas exotiques de sous-ensembles n’ayant pas un bord bien défini. Par exemple, 

l’adhérence de Q dans R est R tout entier (cette propriété équivaut à la densité de Q dans R) 

Dans ce qui suit D est un domaine de R n . 

Définition 5.3.2 Soit X ∈ D, X = (x1,...,xn). On dit que f admet une limite finie ℓ en X si : 

∀ε > 0, ∃δ > 0 ∀Y = (y1,...,yn) ∈ D, Y −X δ =⇒ |f(y1,...,yn)−ℓ| ε. 

Exemple 5.3.3 Pour tout α > 0, la fonction X ↦→ X α de R n dans R admet 0 pour limite en 0. 

Remarque 5.3.4 SiX ∈ D et quef admet une limiteℓenX, alors on a nécessairementf(X) = ℓ. 

En s’inspirant du cas de fonctions à une variable, on pourrait définir de même une limite +∞ ou 

−∞ en un point X.

50 


différentiel 

La notion de limite de fonctions de plusieurs variables n’est pas explicitement au 

programme, mais est utile pour manipuler la notion de continuité 

Proposition/Définition 5.3.5 Soit f : D → R, et soit X = (x1,...,xn) ∈ D. Les propositions 

suivantes sont équivalentes : 

1. Pour tout voisinage V de f(X) dans R, il existe un voisinage U de X dans R n tel que 

f(U) ⊂ V . 

2. Pour tout voisinage V de f(X) dans R, f −1 (V) est un voisinage de X dans R n . 

3. ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀Y ∈ D, Y −X < δ =⇒ |f(Y)−f(X)| < ε. 

4. f admet une limite en X (cette limite est nécessairement f(X)). 

Si une de ces quatre propositions est satisfaite, on dit que f est continue en X. 

Proposition 5.3.6 1. Soit f, g et h sont trois fonctions définies sur D ⊂ R n telles que pour 

tout Y ∈ D, f(Y) g(Y) h(Y), et soit X ∈ D. Si f(X) = g(X) = h(X) et que f et h 

sont continues en X, alors g est continue en X. 

2. En particulier, si f et g sont telles que pour tout Y de D, |f(Y)| g(Y), et si g(X) = 0, 

alors, si g est continue en 0, f aussi. 

Proposition 5.3.7 1. Soit α > 0 et X0 ∈ R n . La fonction X ↦→ X − X0 α est continue 

sur R. 

2. Soit f définie sur D ⊂ R n , et X0 ∈ D. Alors, s’il existe α > 0 et β > 0 tels que pour tout X 

au voisinage de X0 dans D, on ait 

alors f est continue en X0. 

|f(X)−f(X0)| βX −X0 α , 

Corollaire 5.3.8 Soit i ∈ [1,n], et pr i : R n → R la projection sur le i-ième facteur, défini par 

pri(x1,...,xn) = xi. Alors la fonction pr i est continue sur R n . 

Remarque 5.3.9 Dans le résultat précédent, on utilise une majoration très utile : siX = (x1,...,xn), 

alors pour tout i ∈ [1,n], |xi| X. Souvenez-vous en ! 

5.3.2 Critère séquentiel 

Définition 5.3.10 Soit(Uk)k∈N une suite à valeurs dansR n ; pour toutk ∈ N,Uk = (x1,k,...,xn,k). 

On dit que (Uk) converge vers X ∈ R n si : 

∀ε > 0, ∃K ∈ N, ∀k K, Uk −X < ε. 

Proposition 5.3.11 Soit (Uk)k∈N une suite à valeurs dans R n ; pour tout k ∈ N, Uk = (x1,k,...,xn,k). 

La suite (Uk)k∈N converge vers X = (x1,...,xn) si et seulement si pour tout i ∈ [1,n], (xi,k)k∈N 

converge vers xi. 

Théorème 5.3.12 (Caractérisation séquentielle de la continuité) 

La fonction f : D → R est continue en X ∈ D si et seulement si pour toute suite (Uk)k∈N de 

vecteurs de D qui converge vers X, (f(Uk))k∈N converge vers f(X) (dans R).

5.3 Limites et continuité 51 

Par conséquent, si X = (x1,...,xn), f est continue en X si et seulement si pour toute suite 

(x1,k)k∈N convergeant vers x1, toute suite (x2,k)k∈N convergeant vers x2, etc., et toute suite 

(xn,k)k∈N convergeant vers xn, telles que pour tout k, (x1,k,...,xn,k) soit dans D, f(x1,k,...,xn,k) 

tend vers f(x1,...,xn) lorsque k tend vers +∞. 

Comme pour le cas des fonctions à une variable, ce critère est en pratique souvent utilisé pour 

montrer qu’une fonction n’est pas continue en un point. On l’utilise aussi d’un point de vue 

théorique, pour obtenir toutes les propriétés liées à la continuité, exposées dans le paragraphe 

suivant. 

5.3.3 Opérations sur les fonctions continues 

Proposition 5.3.13 Soit f,g : D → R deux fonctions continues en un point (a1,...,an) de D. 

Alors : 

1. f +g est continue en (a1,...,an); 

2. fg est continue en (a1,...,an); 

3. si f(a1,...,an) = 0, 1 

f 

On suppose toujours que D ⊂ R n . 

est continue en (a1,...,an). 

Proposition 5.3.14 (Continuité d’une composition de fonctions) 

1. (Composition à gauche) Soit f : D → R, soit A ⊂ R tel que f(D) ⊂ A, et g : A → R. Soit 

X ∈ D tel que f est continue en X et g est continue en f(X). Alors g◦f est continue en X. 

2. (Composition à droite) Soit f : D → R, A ⊂ R et g1,...,gn : A → R telles que pour tout 

t ∈ R, (g1(t),...,gn(t)) ∈ D. Si pour tout i ∈ [1,n], gi est continue en t, et si f est continue 

en (g1(t),...,gn(t)), alors la fonction de A dans R définie par t ↦→ f(g1(t),...,gn(t)) est 

continue en t. 

Corollaire 5.3.15 Soit f une fonction de R dans R continue en a. Alors la fonction (x1,...,xn) ↦→ 

f(xi) est continue en tout point (x1,...,xi−1,a,xi+1,...,xn). 

Exemples 5.3.16 1. La fonction (x,y) ↦→ e x siny est continue sur R 2 . 

2. La fonction (x,y) ↦→ xy est continue sur R 2 . 

3. Les fonctions polynomiales sont continues sur R n 

Ce résultat fournit une nouvelle méthode, très importante, pour justifier qu’une fonction f n’est 

pas continue en un point (ou de manière équivalente, n’admet pas de limite en un point). En effet en 

contraposant la propriété précédente, si u1,...,un sont n fonctions d’une variable t ∈ I, continues 

en t0, et telles que pour tout t ∈ I, (u1(t),u2(t),...,un(t)) ∈ D, si la fonction d’une variable 

f(u1(t),...,un(t)) n’est pas continue en t0, alors f n’est pas continue en (u1(t0),...,un(t0)). 

Exemple 5.3.17 Soit f définie sur D = {(x,y) ∈ R2 | x + y > 0}∪{0}, par f(0) = 0 et pour 

1 − 

tout (x,y) tel que f(x,y) = 0, f(x,y) = xln(x+y), et u1 : t ↦→ t, et u2 : t ↦→ −t+e t2 , prolongée 

par continuité en 0 par u2(0) = 0.

52 


différentiel 

5.3.4 Continuité et topologie 

Proposition 5.3.18 Soit f une fonction continue sur R n . Alors : 

1. L’image réciproque de tout ouvert de R par f est un ouvert de R n . 

2. L’image réciproque de tout fermé de R par f est un fermé de R n . 

Exemples 5.3.19 1. Par exemple, les courbes de niveau sont des fermés, puisqu’il s’agit des 

ensembles f −1 ({k}), et que {k} est fermé. 

2. Par exemple, si f est continue sur R n , un ensemble du type {X ∈ R n , f(X) < k} est ouvert, 

alors que {X ∈ R n f(X) k} est fermé. 

3. Exemples : les boules ouvertes et fermées 

Théorème 5.3.20 (admis) Soit f une fonction continue sur un sous-ensemble fermé borné K ⊂ 

R n . Alors f est bornée sur K et atteint ses bornes. 

5.4 Calcul différentiel (à l’ordre 1) 

5.4.1 Fonctions et dérivées partielles 

La notion de dérivée partielle correspond à la notion de dérivation par rapport à une des variables 

en fixant les autres, c’est-à-dire en les considérant comme une constante. Les règles de dérivation 

découlent alors directement des règles de dérivation des fonctions à une variable. 

Dans ce qui suit, U désigne un ouvert de R n . 

Définition 5.4.1 Soit f : U → R, et A = (a1,...,an) un point de U. On définit, pour tout 

i ∈ [1,n], l’ensemble 

Di = {x ∈ R | (a1,...,ai−1,x,ai+1,...,an) ∈ U}. 

La i-ième application partielle de f en a est l’application fi : Di → R (fonction à une seule 

variable), définie par : 

fA,i(x) = f(a1,...,ai−1,ai,ai+1,...,an). 

Proposition 5.4.2 Les Di définis ci-dessus sont des ouverts de R, et contiennent ai. En particulier, 

ce sont des voisinages de ai. Ainsi, la i-ième fonction partielle en A est définie au voisinage 

de ai. 

Définition 5.4.3 Soit f : U → R une fonction définie sur un ouvert U de R n , et soit A = 

(a1,...,An) ∈ U. Soit i ∈ [1,n]. On dit que f est dérivable en A par rapport à xi (ou que 

f admet une dérivée partielle par rapport à la variable xi en X) si la fonction partielle d’une 

variable réelle fA,i est dérivable en ai. Autrement dit, f est dérivable en A par rapport à xi si 

l’expression 

h ↦→ f(a1,...,ai−1,ai +h,ai+1,...,an)−f(a1,...,ai−1,ai,ai+1,...,an) 

h 

admet une limite finie lorsuqe h tend vers 0.

5.4 Calcul différentiel (à l’ordre 1) 53 

On définit alors la dérivée partielle de f par rapport à xi au point A par : 

∂f 

∂xi 

(A) = ∂f 

(a1,...,an) = f 

∂xi 

′ A,i (ai) 

= lim 

h→0 

f(a1,...,ai−1,ai +h,ai+1,...,an)−f(a1,...,ai−1,ai,ai+1,...,an) 

. 

h 

Si f admet une dérivée par rapport à xi sur tout U, la dérivée partielle par rapport à xi définit 

une fonction : ∂f 

: U → R. 

∂xi 

Définition 5.4.4 Soit f : U −→ R et X ∈ U. Alors, si f admet une dérivée partielle en A par 

rapport à toutes les variables xi, on définit le gradient de f au point X par : 

 

∂f 

∇f(A) = (A),..., 

∂x1 

∂f 

 

(A) . 

∂xn 

Il s’agit donc d’un vecteur de R n . 

Si f admet des dérivées partielles par rapport à tous les xi sur tout U, alors le gradient définit 

une application ∇ : U → R n . 

5.4.2 Fonctions de classe C 1 

Définition 5.4.5 Soit f : U → R (U ouvert de Rn ). On dit que f est de classe C1 si f admet des 

dérivées partielles ∂f 

sur tout U, pour tout i ∈ [1,n], et que ces dérivées partielles sont toutes 

∂xi 

continues sur U. 

Proposition 5.4.6 Soit U un ouvert de R n , et f et g des fonctions de classe C 1 sur U, et soit 

λ ∈ R. Alors f +λg et fg sont de classe C 1 sur U, et f 

g est de classe C1 sur U \g −1 ({0}). 

Proposition 5.4.7 Soit f : R → R une fonction de classe C 1 sur I. Alors, la fonction (x1,...,xn) ↦→ 

f(xi) est de classe C 1 sur R i−1 ×I ×R n−i . 

5.4.3 Développements limités 

Définition 5.4.8 1. Une fonction polynomiale sur R n est une fonction obtenue comme com- 

binaison linéaire de monômes (x1,...,xn) ↦→ x i1 

1 ×···×xin 

n , (i1,...,in) ∈ N n . 

2. On dit qu’une fonction polynomiale P est de degré au plus n si tous les monômes ci-dessus 

intervenant dans P vérifient i1 +···+in n. 

3. P est de degré exactement n s’il existe au moins un monôme x i1 

1 ...xin 

n , aveci1+···+in = n, 

de coefficient non nul dans P. 

Proposition 5.4.9 Toute fonction polynomiale est continue et de classe C 1 sur R n . 

Définition 5.4.10 Un développement limité à l’ordre n de f : Rn → R en 0Rn est la donnée 

d’une fonction polynomiale P : Rn → R de degré au plus n tel que, pour X au voisinage de 0Rn, f(X) = P(X)+o(X n ).

54 


différentiel 

Bien entendu, on définit de même les DL en (a1,...,an) en faisant un changement de variable. 

Cas important (le seul au programme) : 

Un DL à l’ordre 1 de f en 0Rn est la donnée de réels a, b1,...,bn tels que, au voisinage de 0Rn : 

f(X) = a+b1x1 +···+bnxn +o(X), où X = (x1,...,xn). 

Remarque 5.4.11 Pour n = 2, l’équation f(x,y) = a + bx + cy + o(X) signifie que le plan 

d’équation z = a + bx+c est tangent au graphe au point (0,0). Par conséquent, faire un DL à 

l’ordre 1 fournit un excellent moyen, souvent économe en calculs, pour déterminer l’équation du 

plan tangent au graphe d’une fonction à deux variables. 

Plus généralement, pour une fonction denvariables, le DL à l’ordre1 fournit un hyperplan tangent 

au graphe au point 0. 

5.4.4 Formule de Taylor-Young à l’ordre 1 

Théorème 5.4.12 (Formule de Taylor-Young à l’ordre 1) 

Soit U un ouvert, et A = (a1,...,an) ∈ U. Soit f : U → R une fonction de classe C 1 sur U. Alors, 

au voisinage du point A = (a1,...,an), on a : 

f(x1,...,xn) = f(a1,...,an)+(x1−a1) ∂f 

(A)+···+(xn−an) 

∂x1 

∂f 

(A)+o(X−A), X = (x1,...,xn). 

∂xn 

On peut réexprimer cette expression à l’aide du gradient. Au voisinage de A, 

f(X) = f(A)+〈∇f(A),X −A〉+o(X −A), 

ou encore, au voisinage de 0Rn pour la variable H : 

f(A+H) = f(A)+〈∇f(A),H〉+o(H). 

Corollaire 5.4.13 Si f est de classe C 1 au voisinage de A, alors f est continue en A. 

Remarque 5.4.14 L’existence des dérivées partielles en A n’est pas suffisante pour assurer la 

continuité. Ayez un contre-exemple en tête. 

Proposition 5.4.15 (réciproque à la formule de Taylor-Young, hors programme) 

Si f admet un DL à l’ordre 1 en A = (a1,...,an), disons, au voisinage de A : 

f(X) = α+β1(x1 −a1)+···+βn(xn −an)+o(X −A), 

et si f est continue en A, alors f admet des dérivées partielles en A, et : 

La démonstration est à refaire au cas par cas. 

∀i ∈ [1,n], ∂f 

(A) = βi. 

∂xi 

5.4.5 Dérivation d’une composition 

On se donne une fonction f : U → R, U étant un ouvert de R n . 

Théorème 5.4.16 (cas d’une composition à gauche par g : I → R, I ⊂ R, f(U) ⊂ I) 

Soit A ∈ U et i ∈ [1,n].

5.4 Calcul différentiel (à l’ordre 1) 55 

1. Si f est dérivable par rapport à xi en A et g est dérivable en f(A), alors g ◦f est dérivable 

par rapport à xi en A, et : 

∂(g ◦f) 

(A) = g 

∂xi 

′ (f(A)) ∂f 

(A). 

∂xi 

2. En particulier, si f est dérivable par rapport à tous les xi, i ∈ [1,n] en A et g est dérivable 

en f(A), alors g ◦f est dérivable par rapport à tous les xi en A, et : 

∇(g ◦f)(A) = g ′ (f(A))·∇f(A). 

3. Si de plus, f et g sont de classe C 1 respectivement sur U et I, alors g ◦ f est de classe C 1 

sur U. 

Théorème 5.4.17 (cas d’une composition à droite par w1,...,wn : V → R, V ouvert de R) On 

suppose que pour tout t ∈ V , (w1(t),...,wn(t)) ∈ U. On peut alors définir F sur V par : 

∀t ∈ V, F(t) = f(w1(t),...,wn(t)). 

F est une fonction de V dans R, donc à une seule variable. 

Soit t0 ∈ U. Si pour tout i ∈ [1,n], wi est dérivable en t0, et si f est de classe C 1 au voisinage de 

(w1(t0),...,wn(t0)), alors F est dérivable en t0, et : 

F ′ (t0) = 

n 

i=1 

w ′ ∂f 

i (t0) (w1(t0),...,wn(t0)). 

∂xi 

Réexprimons ceci en notant pour tout t dans V , W(t) = (w1(t),...,wn(t)). W est donc une fonction 

de R dans R n . On définit, en tout point où cela est possible, W ′ par W ′ (t) = (w ′ 1(t),...,w ′ n(t)). 

Alors, l’égalité précédente se réécrit : 

F ′ (t0) = 〈 ∇f(W(t0)),W ′ (t0) 〉. 

Si de plus les wi sont de classe C 1 , il en est de même de F. 

Un cas particulier est la notion de dérivée directionnelle de f : 

Proposition/Définition 5.4.18 Soit A ∈ U, et X un vecteur unitaire de R n . Si f est de classe 

C 1 au voisinage de A, alors la fonction g : t ↦→ f(A + tX), définie sur un voisinage de 0, est 

dérivable en 0, et : 

g ′ (0) = 〈 ∇f(A), X 〉 

Cette quantité est appelée dérivée de f suivant la direction X, et est parfois notée : 

Exemple 5.4.19 ∂f 

∂x = f′ ∂f 

e1 = 

∂e1 

5.4.6 Interprétation du gradient 

f ′ ∂f 

X (A) = (A) = 〈 ∇f(A), X 〉 

∂X 

et ∂f 

∂y = f′ ∂f 

e2 = , où e1 = (1,0) et e2 = (0,1). 

∂e2 

Proposition 5.4.20 Soit f admettant un gradient sur U un ouvert de R n .

56 


différentiel 

1. Le gradient indique la direction de plus forte variation, donc la direction pour laquelle la 

dérivée directionnelle est la plus élevée. 

2. La dérivée de f suivant une direction tangente à une courbe de niveau est nulle. Autrement 

dit, le gradient est perpendiculaire aux courbes de niveau. 

Ainsi, le gradient suit la direction de plus forte pente, et est perpendiculaire aux courbes de niveau. 

5.4.7 Formule des accroissements finis 

Théorème 5.4.21 Soit f : U → R (U ouvert de R n ) une fonction de classe C 1 sur U. Soit A et 

B deux points de U tels que le segment [A,B] soit inclus dans U. Alors, il existe C ∈]A,B[, tel 

que 

f(B)−f(A) = 〈B −A,∇f(C)〉. 

5.5 Dérivées d’ordre supérieur 

5.5.1 Dérivées partielles d’ordre n 

Soit U un ouvert de Rn , et f : U → R une fonction admettant des dérivées partielles sur U. Soit 

(i,j) ∈ [1,n] 2 . Alors ∂f 

est une fonction de U dans R 

∂xi 

2 . 

1. Si ∂f 

∂ 

est dérivable par rapport à xj en A ∈ U, on note : 

∂xi 

2f (A) = 

∂xj∂xi 

∂ ∂f 

(A) 

∂xj ∂xi 

2. Si i = j, on note ∂2f (A). 

∂x 2 i 

En itérant cette construction, on définit, si cela a un sens, des dérivées partielles à tous ordres, 

∂nf , où pour tout k ∈ [1,m], im ∈ [1,n]. 

∂xin ···∂xi1 

Dans cette écriture, on commence par dériver par rapport à xi1, puis à xi2, etc. jusqu’à xin. 

Définition 5.5.1 (Dérivée seconde directionnelle) On dit que f admet une dérivée directionnelle 

seconde en A dans la direction V , si la fonction t ↦→ f(A+tV) admet une dérivée seconde. On 

note cette dérivée seconde f ′′ 

U (A). 

En particulier, si (e1,...,en) désigne la base canonique de R n , on a pour tout i ∈ [1,n], 

f ′′ 

ei (A) = ∂2f ∂x2 i 

Définition 5.5.2 On dit que f est de classe C n sur l’ouvert U si toutes les dérivées partielles 

d’ordre n existent sur U (en considérant tous les ordres possibles de dérivation par rapport aux 

xi), et si elles sont toutes continues sur U. 

Le cas de fonctions de classe C n , avec n 3, est hors programme. 

Théorème 5.5.3 Une combinaison linéaire, un produit ou un quotient dont le dénominateur ne 

s’annule pas, de fonctions de classes C 2 sur U est encore de classe C 2 . 

Théorème 5.5.4 Soit f : U → R, (U ouvert de R n ) et I ⊂ R tel que f(U) ⊂ I. Soit g : I → R. 

Si f est de classe C 2 sur U et g est de classe C 2 sur I, alors g ◦f est de classe C 2 sur U. 

.

5.5 Dérivées d’ordre supérieur 57 

5.5.2 Théorème de Schwarz 

Le théorème suivant montre que sous certaines conditions, l’ordre dans lequel on fait les dérivations 

par rapport à x ou y importe peu : 

Théorème 5.5.5 (Schwarz) Soit f : U → R (U ouvert de Rn ) et A ∈ U. Soit (i,j) ∈ [1,n] 2 . Si 

∂ 

f admet en A des dérivées partielles secondes 

2f ∂ 

(A) et 

∂xi∂xj 

2f (A), continues en A, alors 

∂xj∂xi 

∂ 2 f 

∂xi∂xj 

(A) = ∂2f (A). 

∂xj∂xi 

C’est notamment le cas si f est une fonction de classe C 2 . C’est cette hypothèse que l’on vérifie 

généralement. 

5.5.3 Hessienne 

Définition 5.5.6 Soit U un ouvert de Rn , et f : U → R une fonction de classe C2 sur U. Soit 

A ∈ U. La hessienne de f au point A est la matrice carrée d’ordre n définie par : 

2 ∂ f 

HA = (A) . 

∂xi∂xj 1i,jn 

La hessienne au point A est aussi très souvent notée ∇ 2 f(A) 

Proposition 5.5.7 La fonction f étant de classe C 2 , la hessienne ∇ 2 f(A) de f au point A est 

une matrice symétrique. 

Exemple 5.5.8 Si n = 2, la hessienne de f au point A est : 

∇ 2 ⎛ 

∂ 

⎜ 

f(A) = ⎜ 

⎝ 

2f ∂x2(A) ∂2f ∂x∂y (A) 

∂2f ∂x∂y (A) 

∂2f ∂y2(A) ⎞ 

⎟ 

⎠ 

On note traditionnellement (notations de Monge) : 

r = ∂2 f 

∂x 2, s = ∂2 f 

∂x∂y , t = ∂2 f 

∂y 2. 

Ainsi, la hessienne se réécrit, à l’aide des notations de Monge : 

∇ 2 

r s 

f(A) = . 

s t 

Définition 5.5.9 On définit qA la forme quadratique de R n dont la matrice dans la base canonique 

de R n est la matrice hessienne HA. 

Par exemple, dans le cas où 

n = 2, avec les notations de Monge, qA est la forme quadratique 

r s 

canoniquement associée à , donc 

s t 

∀(x,y) ∈ R 2 , qA(x,y) = rx 2 +2sxy +ty 2 .

58 


différentiel 

De manière générale, pour n quelconque, 

qA(x1,...,xn) = 

1i,jn 

∂2f (A)xixj = 

∂xi∂xj 

n 

i=1 

∂2f ∂x2(A)x i 

2 i +2 

1i


Optimisation 

L’optimisation d’une fonction de plusieurs variables f consiste en la recherche des extremas de f. 

On commence par déterminer une condition nécessaire pour qu’une fonction définie sur un ouvert 

admette un extremum en un point A. Il s’agit de l’analogue de la condition nécessaire f ′ (a) = 0 

dans le cas d’une fonction d’une variable. Cette condition porte sur les dérivées d’ordre 1. 

On détermine ensuite une condition suffisante pour un tel point pour qu’il s’agisse d’un extremum 

local. L’analogue pour les fonctions d’une variable est l’étude locale de la convexité de f : si f est 

de convexité constante au voisinage de f, on a un extremum local (maximum en cas de concavité et 

minimum en cas de convexité). C’est une condition portant sur f ′′ . Pour les fonctions de plusieurs 

variables, une condition similaire sera donnée, portant sur les dérivées partielles d’ordre 2, donc 

sur la hessienne de f au point A. 

On étudie ensuite le cas où f n’est pas définie sur un ouvert. 

Enfin, on étudie les extrema de restictions de f à des sous-espaces affines de R n (droites ou plans 

par exemple). Il s’agit de la recherche d’extrema sous contraintes linéaires. 

On rappelle dans une premier temps la définition d’un extremum. 

Définition 6.0.13 Soit D ⊂ R n , f : D −→ R une fonction définie sur D. Soit A un point de D. 

1. On dit que f admet un maximum global en A si : 

∀X ∈ D, f(X) f(A) 

2. On dit que f admet un minimum global en A si : 

∀X ∈ D, f(X) f(A) 

3. On dit que f admet un maximum global strict en A si : 

∀X ∈ D, X = A =⇒ f(X) < f(A) 

4. On dit que f admet un minimum global strict en A si : 

∀X ∈ D, X = A =⇒ f(X) > f(A) 

5. On dit que f admet un maximum local en A s’il existe un voisinage V de A tel que : 

∀X ∈ V, f(X) f(A) 

6. On dit que f admet un minimum local en A s’il existe un voisinage V de A tel que : 

∀X ∈ V, f(X) f(A)

60 Analyse – Chapitre 6. Optimisation 

6.1 Recherche d’extrema locaux sur un ouvert 

6.1.1 Condition nécessaire du premier ordre 

Théorème 6.1.1 Soit U un ouvert de R n et f : U → R une fonction de classe C 1 sur U. Soit 

A ∈ U. Si f admet un extremum local en A, alors ∇f(A) = 0n. 

Définition 6.1.2 Soit U un ouvert de R n et f : U → R une fonction de classe C 1 sur U. Soit 

A ∈ U. Si ∇f(A) = 0n, on dit que A est un point critique de f. 

Ainsi, pour que f de classe C 1 sur un ouvert admette un extremum en un point A de cet ouvert, 

il est nécessaire que ce point soit un point critique. 

Par conséquent, la recherche des points critiques fournit (sur un ouvert) les seuls points candidats 

à être des extrema locaux de f. 

Attention, la réciproque est fausse : un point peut être un point critique sans que f 

présente un extremum local en ce point. 

Exemples 6.1.3 1. f : (x,y) ↦→ xy sur R 2 . 

2. f : (x,y) ↦→ x 4 +2x 2 +y 2 . 

3. f : (x,y) ↦→ x+y sur [0,1] 2 

Proposition 6.1.4 Soit f de classe C1 sur un ouvert U de Rn , à valeurs dans R, et soit A un 

point critique de f. Alors pour tout vecteur X unitaire, f ′ X (A) = 0. 

Proposition 6.1.5 Soit f une fonction de classe C 1 sur un ouvert U de R n , à valeurs dans R, et 

C le graphe de f dans R n+1 . Alors, si A ∈ U est un point critique de f, alors le graphe C présente 

en (A,f(A)) un hyperplan tangent d’équation xn+1 = f(A). Ce plan est donc parallèle au plan 

engendré par (e1,...,en). 

6.1.2 Condition suffisante du deuxième ordre 

Théorème 6.1.6 Soit U un ouvert de R n et f : U → R une fonction de classe C 2 de U. Soit 

A ∈ U un point critique de f, et soit qA la forme quadratique associée à f au point A, c’est-à-dire 

associée à la matrice symétrique ∇ 2 f(A). Alors : 

1. Si pour tout X ∈ R n \{0n}, qA(X) < 0, alors f présente un maximum local en A. 

2. Si pour tout X ∈ R n \{0n}, qA(X) > 0, alors f présente un minimum local en A. 

3. Si qA prend des valeurs strictement positives et strictement négatives, alors f ne présente 

pas d’extremum local au point A. 

4. Si qA prend des valeurs positives ou nulles, et qu’il existe H = 0n tel que qA(H) = 0, alors 

on ne peut pas conclure. 

5. Si qA prend des valeurs négatives ou nulles, et qu’il existe H = 0n tel que qA(H) = 0, alors 


Rappel : Le signe de qA peut être étudié à l’aide des valeurs propres de la matrice symétrique 

associée à qA, c’est-à-dire les valeurs propres de la hessienne ∇ 2 f(A).

6.1 Recherche d’extrema locaux sur un ouvert 61 

Corollaire 6.1.7 Soit U un ouvert de R n et f : U → R une fonction de classe C 2 de U. Soit 

A ∈ U un point critique de f. Alors : 

1. Si les valeurs propres de ∇ 2 f(A) sont strictement négatives, alors f présente un maximum 

local en A. 

2. Si les valeurs propres de ∇ 2 f(A) sont strictement positives, alors f présente un minimum 

local en A. 

3. Si ∇ 2 f(A) admet au moins une valeur propre strictement positive et une valeur propre 

strictement négative, alors f ne présente pas d’extremum local au point A. 

4. Si les valeurs propres de ∇ 2 f(A) sont positives et que 0 est valeur propre de ∇ 2 f(A), alors 


5. Si les valeurs propres de ∇ 2 f(A) sont négatives et que 0 est valeur propre de ∇ 2 f(A), alors 


Exemple 6.1.8 1. (x,y) ↦→ e xy 

2. (x,y) ↦→ x 2 +2xy +2y 2 +y 

3. (x,y) ↦→ x 2 y 

4. (x,y) ↦→ x 2 y 2 

Théorème 6.1.9 (Cas des fonctions de deux variables) 

Soit U un ouvert de R 2 , f : U → R une fonction de classe C 2 sur U, et A ∈ U un point critique 

de f. Soit, conformément aux notations de Monge : 

r = ∂2 f 

∂x 2(A), 

s = ∂2 f 

∂x∂y (A) et t = ∂2 f 

∂y 2(A). 

1. Si rt−s 2 > 0, f admet un extremum local en A et : 

• si r < 0, il s’agit d’un maximum local 

• si r > 0, il s’agit d’un minimum local. 

2. Si rt−s 2 < 0, f n’admet pas d’extremum local en A. On dit que la courbe de f présente un 

col ou un point-selle au point A. 

3. Si rt−s 2 = 0, on ne peut pas conclure. 

Exemples 6.1.10 1. f : (x,y) ↦→ 2x 2 +2xy + y2 

2 

2. g : (x,y) ↦→ 2x 2 +2xy + y2 

2 −x4 . 

6.1.3 Diagonalisabilité des endomorphismes symétriques 

L’étude des points critiques de la fonction ϕ : X ↦→ 

d’obtenir : 

t XAX 

X 2 définie sur l’ouvert Rn \{0n} permet 

Théorème 6.1.11 Soit A une matrice symétrique réelle. Alors A admet au moins une valeur 

propre réelle. 

C’est ce théorème qui était à la base de la démonstration de la diagonalisabilité des matrices 

symétriques.


6.2 Recherche d’extrema globaux 

6.2.1 Existence d’un maximum et/ou d’un minimum 

La preuve de l’existence d’un maximum et/ou d’un minimum d’une fonction f définie sur un 

domaine D de R n se ramène très souvent à l’étude d’une restriction ou d’un prolongement de f 

à un sous-ensemble fermé borné de R n , car, comme nous l’avons déjà vu, sur un sous-ensemble 

fermé borné, on a une propriété d’existence de ce maximum et de ce maximum, si f est continue : 

Théorème 6.2.1 Soit f : D → R une fonction continue sur un domaine D de R n , supposé 

fermé et borné. Alors f est bornée sur D et atteint ses bornes (donc admet un maximum et un 

minimum). 

Ainsi, dans le cas où D est un domaine quelconque (non nécessairement fermé borné), on peut 

énoncer divers critères d’existence, en se ramenant à cette situation : 

Corollaire 6.2.2 Soit f : D → R une fonction continue sur un domaine D de R n . S’il existe 

un sous-ensemble F de R n tel que : 

• F ⊂ D 

• F est fermé et borné 

• ∃X0 ∈ F, ∀X ∈ D\F, f(X) f(X0) 

alors f admet un maximum global sur D. 

On énonce de même pour le minimum 



• F ⊂ D 


• ∃X0 ∈ F, ∀X ∈ D\F, f(X) f(X0) 

alors f admet un minimum global sur D. 

Ces deux résultats sont obtenus en considérant une restriction def à un sous-ensemble fermé borné 

F. La troisième hypothèse est une vérification du fait que le maximum (ou minimum) trouvé sur 

F est aussi un maximum (ou minimum) sur D tout entier. 

Exemple 6.2.4 Prouver l’existence du maximum et du minimum de la fonction f définie sur R2 par : 

∀(x,y) ∈ R 2 , f(x,y) = 

sinx 

(x−1) 2 +y 2 +1 . 

On peut aussi parfois se ramener à un domaine fermé borné par prolongement (par exemple un 

prolongement par continuité au bord d’un domaine ouvert, ou partiellement ouvert, et borné). On 

obtient : 



• D ⊂ F 

• F est fermé et borné

6.2 Recherche d’extrema globaux 63 

• f se prolonge en une fonction g continue sur F 

• ∃X0 ∈ D, ∀X ∈ F \D, g(X) g(X0) = f(X0) 

alors f admet un maximum global sur D. 



• D ⊂ F 


• f se prolonge en une fonction g continue sur F 

• ∃X0 ∈ D, ∀X ∈ F \D, g(X) g(X0) = f(X0) 

alors f admet un minimum global sur D. 

Ici, la quatrième hypothèse est la vérification que les points qu’on a rajoutés (ceux qui sont dans 

F \D) ne peuvent pas correspondre au maximum (ou minimum) trouvé sur F (ou, s’il s’agit d’un 

maximum, le même maximum est atteint sur D en X0). 

Exemple 6.2.7 Montrer que la fonction définie sur B(0,2) (boule ouverte) par 

∀(x,y) ∈ R 2 , f(x,y) = 

x 

x 2 +y 2 +1 

admet un maximum global et un minimum global sur B(0,2). 

Remarque 6.2.8 Pour montrer qu’une fonction f n’admet pas de maximum sur un domaine D, 

il suffit de trouver une paramétrisation (u1(t),...,un(t)) définie pour t ∈]a,b[, (intervalle borné 

ou non) tel que 

∀t ∈]a,b[, (u1(t),...,un(t)) ∈ D, et lim 

t→b ou a f(u1(t),...,un(t)) = +∞. 

De même pour montrer qu’une fonction n’admet pas de minimum. 

On peut aussi utiliser des suites ; par exemple, dans le cas d’une fonction de deux variables définie 

sur un domaine D de R 2 , pour justifier que f n’admet pas de maximum, il suffit de trouver deux 

suites (un) et (vn) (non nécessairement convergentes) telles que pour tout n ∈ N, (un,vn) ∈ D, et 

lim 

n→+∞ f(un,vn) = +∞. 

Exemple 6.2.9 f définie sur D = B(0,1)\{(x,y) ∈ B(0,1) | x = −y} par 

f(x,y) = xy 

x+y . 

Cette fonction n’admet pas de maximum ni de minimum surD, car pour toutt ∈]0, 1 

2 [,(t,−t+t3 ) ∈ 

D, et (t,−t−t 3 ) ∈ D, et 

et de même, 

f(t,−t+t 3 ) = t(−t+t3 ) 

t3 ∼− 0 1 

t 

f(t,−t−t 3 ) = t(−t−t3 ) 

−t 3 ∼ 0 

1 

t 

donc: lim 

t→0 f(t,−t+t 3 ) = −∞, 

donc: lim 

t→0 f(t,−t−t 3 ) = +∞,


6.2.2 Recherche des extrema globaux 

Démarche générale : 

• Démontrer l’existence ou la non existence du maximum et/ou du minimum par les arguments 

vus dans la section précédente 

• En cas d’existence du maximum et/ou du minimum : 

∗ Décomposer le domaine D de R n comme union d’un ouvert U et de sous-ensembles fermés Fi 

de « dimension » plus petite que n, c’est-à-dire paramétrable à l’aide d’au plus n−1 variables. 

Typiquement, un domaine sera décomposé en son « intérieur » et ses bords. 

∗ Rechercher les points critiques sur U, seuls candidats pour les extrema, et calculer la valeur 

de f en ces extrema 

∗ Recommencer l’étude sur chacun des Fi : les Fi étant paramétrables par strictement moins de 

variables, le même argument va permettre de se ramener petit à petit à l’étude de fonctions 

d’une variable, pour lesquels une étude des variations donne le résultat. On obtient donc ainsi 

les extrema sur chaque ouvert Fi 

∗ On compare toutes les valeurs obtenues pour les extrema sur chacun des Fi et les valeurs aux 

points critiques de U. La plus grande de ces valeurs fournira le maximum (si on sait qu’il 

existe) et la plus petite le minimum (aussi sous réserve d’existence) 

Remarquez que pour que cette démarche soit valide, il faut avoir prouver l’existence du minimum 

ou du maximum avant, sinon, on n’est pas assuré que la valeur trouvée soit effectivement un 

minimum ou un maximum. 

Exemple 6.2.10 Recherche des extrema globaux de f définie sur [0,1] 2 par 

f(x,y) = x 3 −4y 3 +xy. 

Remarque 6.2.11 Si f est définie et de classe C 1 sur un ouvert, la première étape est parfois 

inutile : si la fonction f n’admet pas de point critique sur U, on peut conclure directement que f 

n’admet ni maximum ni minimum. Il peut donc être intéressant de déterminer d’abord les points 

critiques, sachant que le fait de trouver des points critiques n’est en revanche pas suffisant pour 

affirmer l’existence d’un minimum ou d’un maximum : si on trouve des points critiques, il faut 

revenir à l’étape 1, pour justifier l’existence ou non, parmis ces points critiques, d’un maximum 

ou d’un minimum. 

6.2.3 Quelques cas particuliers 

Cas d’une fonction f composée à l’arrivée par une fonction g de R dans R 

Proposition 6.2.12 Soit f une fonction définie sur un domaine D de R n et à valeurs dans un 

sous-ensemble E de R. Soit g une fonction de E dans R. On définit la fonction F sur D par 

F = g ◦f, c’est à dire : 

∀(x1,...,xn) ∈ D, F(x1,...,xn) = g(f(x1,...,xn). 

Alors, si g admet un maximum global en t0 ∈ E, et si t0 ∈ Im(f), alors F admet un maximum 

global en tout point (x1,...,xn) tel que f(x0,...,xn) = t0. 

Plus précisément, si T est l’ensemble des points de R en lesquels g atteint son maximum, et si 

T ∩Im(f) = ∅, alors les points en lesquels F admet un maximum sont exactement les points de 

f −1 (T).

6.2 Recherche d’extrema globaux 65 

Exemples 6.2.13 • (x,y) ↦→ xye −xy sur R 2 . 

∗ Existence d’un maximum, et ensemble des points en lesquels ce maximum est atteint 

∗ Non existence d’un minimum. 

• Cas d’une fonction dépendant uniquement de X. 

Exemple : (x,y,z) ↦→ (x2 +y 2 +z 2 )e 1−x2 −y 2 −z 2 

1+x 2 +y 2 +z 2 

Cas d’une fonction polynomiale de degré 2. 

Des mises sous formes canoniques successives suivant chacune des variables successivement permet 

de déterminer assez facilement l’existence ou non d’un maximum ou minimum, et en cas 

d’existence, la valeur et le point en lequel ce maximum ou minimum est atteint. 

Exemples 6.2.14 • (x,y,z) ↦→ x 2 −2xy +2y 2 −4xz −4yz +8z 2 

• (x,y) ↦→ 2x 2 −4xy +5y 2 +2x−5y +2 

Cas d’une fonction de hessienne « positive » 

Nous entendons par là le fait que les valeurs propres de la hessienne en un point A sont positives 

(éventuellement strictement). Cela équivaut à la positivité (ou stricte positivité sauf en 0) de la 

forme quadratique associée qA. Nous avons déjà vu que si A est un point critique de f (sur un 

ouvert), la stricte positivité de qA est une condition suffisante d’obtention d’un minimum local 

en A. 

Si cette propriété de positivité est vérifiée non seulement en A, mais aussi en tout point B d’un 

ensemble convexe, nous nous retrouvons avec une propriété équivalente, dans le cas d’une seule 

variable, à la condition de convexité, et nous obtenons une condition suffisante pour qu’un point 

critique soit un minimum global : 

Proposition 6.2.15 1. Soit U un sous-ensemble ouvert et convexe de R n (c’est-à-dire tel que 

pour tout B et tout C de U, le segment [B,C] est inclus dans U). Soit f une fonction de 

classe C 2 de U dans R, et A ∈ U un point critique de f. On suppose de plus que pour tout 

B ∈ U, la forme quadratique qB associée à f en ce point est positive ( i.e. la hessienne n’a 

que des valeurs propres positives). Alors f présente au point A un minimum global. 

2. Si de plus, pour tout B ∈ U, les valeurs propres de ∇ 2 f(B) sont strictement positives, alors 

f n’atteint son minimum qu’au point A. 

Cette proposition n’est pas au programme. La démonstration, utilisant la formule de 

Taylor-Lagrange, doit être refaite à chaque fois 

Remarque 6.2.16 La propriété de convexité de U est un peu plus forte que nécessaire. Il suffit 

que U soit étoilé par rapport au point critique A, c’est-à-dire (A étant fixé égal au point critique) 

que pour tout B ∈ U, [A,B] ⊂ U.


6.2.4 Recherche de la position du graphe par rapport à l’hyperplan 

tangent 

Étude locale 

On trouve l’équation de l’hyperplan tangent en A, soit par un développement limité à l’ordre 1, 

soit en utilisant le gradient, l’équation étant xn+1 = f(A)+〈∇f(A),X −A〉, où X = (x1,...,xn). 

Ces deux méthodes sont équivalentes, ainsi que l’exprime la formule de Taylor-Young à l’ordre 1. 

La position locale du graphe par rapport à l’hyperplan tangent peut alors être obtenue en étudiant 

le signe du terme d’ordre 2 dans le développement limité à l’ordre 2, ce qui équivaut, d’après la 

formule de Taylor-Young à l’ordre 2, à l’étude du signe de qA, donc des valeurs propres de la 

hessienne au point A. 

Exemples 6.2.17 

(x,y) ↦→ e xcosy au point (0,0). 

(x,y) ↦→ √ 1−xy au point (0,0). 

Étude globale 

Prouver que l’hyperplan d’équation xn+1 = a1x1 + ··· + anxn + b, tangent à la courbe de f au 

point A, est en-dessous de la courbe en tout point de D, revient à prouver que la fonction 

(x1,...,xn) ↦→ f(x1,...,xn)−(a1x1 +···+anxn +b) 

admet un minimum global en A (égal à 0). On est donc ramené aux techniques d’étude des extrema 

globaux. 

En particulier, on obtient (démonstration à refaire à chaque fois) : 

Proposition 6.2.18 Soit U un ouvert convexe de R n , et A ∈ U. Si la hessienne en tout point 

B de U n’a que des valeurs propres (strictement) positives sur U, alors la courbe de f reste 

(strictement sauf en A) au dessus de l’hyperplan tangent en A. 

Évidemment, vous avez reconnu l’analogue du théorème positionnant la courbe par rapport aux 

droites tangentes dans le cas d’une fonction convexe d’une variable. 

6.3 Recherche d’extrema sous contrainte 

6.3.1 Notion d’extremum sous contrainte 

Définition 6.3.1 Soit D un sous-ensemble de R n et f une fonction de D dans R. Soit C un 

sous-ensemble de R n tel que C ∩ D = ∅. On dit que f admet un extremum local (resp. global) 

sous la contrainte C au point A ∈ C∩D, si et seulement si la restriction f |C∩D admet un extremum 

local (resp. global) au point A. 

Exemple 6.3.2 f : (x,y) ↦→ xe x−y , contrainte C = {(x,y) ∈ R 2 ,| y = x 2 }

6.3 Recherche d’extrema sous contrainte 67 

Ainsi, par une paramétrisation de l’ensemble C, on est souvent ramené à une étude des extrema 

(sans contrainte) d’une fonction de moins de variables. 

Dans le cas particulier où la contrainte C est un sous-espace affine (c’est-à-dire le translaté d’un 

sous-espace vectoriel de R n , ou encore l’intersection d’un certain nombre d’hyperplans affines), 

nous disposons de techniques particulières. 

Dans les cas les plus simples, ces techniques ne sont pas plus efficaces que l’utilisation d’une 

paramétrisation (pour le cas d’une contrainte égale à une droite par exemple). Mais dans certains 

cas un peu plus complexes (abstraits ou généraux), ces techniques peuvent s’avérer utiles. 

Définition 6.3.3 On dit qu’une contrainte C ⊂ R n est linéaire si et seulement si elle peut s’écrire 

comme intersection d’un nombre fini p d’hyperplans affines. 

Ainsi, une contrainte linéaire C sera déterminée par un certain nombre d’équations : 

⎧ 

⎪⎨ 

g1(X) = b1 

C : . 

⎪⎩ 

gp(X) = bn, 

où, pour tout i ∈ [1,p], gi s’écrit sous la forme : gi(X) = ai,1x1 +···+ai,nxn. 

Ainsi, l’équation gi(X) = bi est l’équation d’un hyperplan affine. 

Notation 6.3.4 Soit C une contrainte linéaire, déterminer par les p équations ci-dessus. On note 

H l’ensemble des solutions du système homogène associé : 

⎧ 

⎪⎨ 

g1(X) = 0 

H : . 

⎪⎩ 

gp(X) = 0, 

Ainsi, H est l’unique sous-espace vectoriel de R n parallèle à C. 

6.3.2 Points critiques sous contrainte linéaire 

Proposition 6.3.5 Soit f une fonction de classe C 1 sur un ouvert U de R n , et C une contrainte 

linéaire. Si f admet un extremum local sous la contrainte C en A ∈ C ∩U, alors : 

∀H ∈ H, f ′ H(A) = 0 soit: 〈∇f(A),H〉 = 0. 

Corollaire 6.3.6 Soit f une fonction de classe C 1 sur un ouvert U de R n , et C une contrainte 

linéaire. Si f admet un extremum local sous la contrainte C en A ∈ C ∩U, alors : 

∇f(A) ∈ H ⊥ . 

Définition 6.3.7 Soit f une fonction de classe C 1 sur un ouvert U de R n , et C une contrainte 

linéaire. On dit que A ∈ U ∩C est un point critique de f sous la contrainte C si ∇f(A) ∈ H ⊥ . 

Ainsi, le fait que A est un point critique sous la contrainte C est une condition nécessaire pour que 

f présente en A en extremum local sous la contrainte C. 

Exemple 6.3.8 Déterminer les points critiques de f : (x,y) ↦→ 3x 2 −2xy +y 2 sou la contrainte 

C : y = 2x+1.


6.3.3 Description de H ⊥ 

L’appartenance à H ⊥ définissant la notion de point critique, il peut être intéressant d’avoir une 

description facile à déterminer et à utiliser de H ⊥ . On peut trouver une telle description à l’aide 

des fonctions gi. 

Proposition 6.3.9 Soit g définissant l’équation d’un hyperplan, donc une fonction polynomiale 

homogène de degré 1, c’est-à-dire une fonction admettant une description de la forme suivante : 

∀X = (x1,...,xn) ∈ R n , g(X) = a1x1 +···+anxn. 

Alors g est de classe C1 sur Rn , et pour tout B ∈ Rn , 

⎛ ⎞ 

∇g(B) = 

Ainsi, le gradient de g est constant. On notera alors simplement ∇g au lieu de ∇g(A). 

Proposition 6.3.10 Soit C une contrainte définie par une seule équation g(X) = b. Alors 

Plus généralement : 

⎜ 

⎝ 

a1 

. 

an 

⎟ 

⎠ . 

H ⊥ = Vect(∇g). 

Proposition 6.3.11 Soit C la contrainte linéaire définie par les fonctions g1,...,gp et les réels 

b1,...,bp, et H l’espace vectoriel associé. Alors : 

H ⊥ = Vect(∇g1,...,∇gp). 

Corollaire 6.3.12 Soit U un ouvert de R n . Soit f une fonction de U dans R. Soit C une 

contrainte définie par les équations gi(X) = bi, i ∈ [1,p]. Alors un point A ∈ U ∩C est un point 

critique de f sous la contrainte C si et seulement s’il existe des réels λ1,...,λp tels que 

∇f(A) = λ1∇g1 +···+λp∇gp. 

6.3.4 Recherche des extrema sous contrainte linéaire 

Pour déterminer si un point critique est un maximum (ou minimum) local ou global, sans passer 

par une paramétrisation de C, il suffit d’étudier le signe de f(A+H)−f(A), H ∈ H localement 

(au voisinage de 0) ou globalement. 

Aucun résultat « tout fait » n’est au programme. Les techniques utilisées sans contrainte peuvent 

s’adapter. À étudier au cas par cas, avec démonstration. Par exemple : 

• Si qA est strictement positive, pas nécessairement sur R n \{0}, mais sur H\{0}, la formule de 

Taylor-Young permet d’obtenir l’existence d’un minimum local en A sous la contrainte C. De 

même en cas de négativité. 

• Si U est convexe, il suffit que qB soit positive sur H en tout point B de U∩C pour que f admette 

un minimum global en A sous la contrainte C. Utilisez la formule de Taylor-Lagrange pour le 

démontrer.

Cours d'analyse, ECS deuxième année - Alain TROESCH

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