Guide pratique pour la conception d'enquêtes sur les ménages

164 Guide pratique pour la conception d’enquêtes sur les ménages
nous savons calculer au moyen des méthodes exactes présentées dans les sections précédentes, c’està-dire
:
67. L’équation (7.26) fait intervenir une matrice de covariance m × m de m estimations de base
y1, y2, …, ym, avec des termes de variance m et des termes identiques de covariance m(m − 1)/2, qui
peuvent être évalués au moyen des méthodes exactes de statistiques linéaires présentées dans la section
précédente.
Exemple 5 (variance d’un ratio)
Pour illustrer la méthode de linéarisation, prenons l’estimation de la variance pour le ratio :
Il y a lieu de noter que, dans ce cas, ∂
∂ =
r 1
y x
∂r
y r
et =− 2 =− . Par conséquent,
∂ x x x
qui est l’expression familière de la variance d’un ratio trouvée dans la plupart des manuels
d’échantillonnage.
68. La linéarisation est largement utilisée dans la pratique car elle peut être appliquée à presque
toutes les conceptions d’échantillon et à toute statistique qui peut être linéarisée, c’est-à-dire exprimée
sous forme de fonction statistique linéaire familière comme des moyennes ou des totaux, avec
des coefficients provenant de dérivés partiels, comme l’exige la méthode de linéarisation par série de
Taylor. Une fois linéarisée, la variance de l’estimation non linéaire peut être calculée de façon estimative
au moyen des méthodes exactes décrites ci-dessus [voir Cochran (1977) et Lohr (1999) pour
des informations techniques concernant le processus de linéarisation, avec des exemples].
7.7.3.1.
Avantages
69. Comme la méthode de linéarisation d’estimation de la variance est utilisée depuis longtemps,
sa théorie est bien développée et elle peut être appliquée à un plus grand nombre de conception
d’échantillonnage que celles auxquelles peuvent être appliquées les méthodes de réplication (décrites
ci-après). Si les dérivés partiels sont connus et si les termes quadratiques et les termes de rang supérieur
dans la linéarisation par série de Taylor sont négligeables, la linéarisation produit une estimation
approximative de la variance pour presque tous les estimateurs linéaires étudiés, comme les ratios et
les coefficients de régression.
7.7.3.2.
vz ( ) = v( d y ) = d vy ( ) + dd cov( y , y )
Limitations
m
i i
2
i i i
i=
1
i≠j ∑ ∑ ∑
j i j
(7.26)
y
z = r =
x
(7.27)
1
2
vr () = 2 { vy ( ) + rvx ( ) − 2rcov(
yx , ) } ,
x
(7.28)
70. La linéarisation ne donne de bons résultats que si les hypothèses susmentionnées concernant
les dérivés partiels et les termes de rang supérieur sont correctes. Autrement, de graves distorsions